TELMG Modul 03: Maxwellovy rovnice. I. a II. MR: aplikací plošného integrálu a Stokesovy věty integrálního počtu

Transkript

1 Difereniální a integrální tvar Maxwellovýh rovni kot James Clerk Maxwell ( ) Integrální tvar Difereniální tvar d I Hdl = I + d dt D D rot H = j+ d II Edl = d dt B B rot E = III D d = Q div D = ρ IV B d = div B = Přehod mezi difereniálním a integrálním tvarem Maxwellovýh rovni I a II MR: aplikaí plošného integrálu a tokesovy věty integrálního počtu III a IV MR: aplikaí objemového integrálu a Gaussovy věty integrálního počtu Veličiny vystupujíí v Maxwellovýh rovniíh definie, rozdělení Budíí veličiny: volný elektriký náboj Q = ρdv, resp jeho objemová hustota ρ ; vodivý proud I = jd, resp jeho proudová hustota j V Vektory elektromagnetikého pole: silové vektory E,B, vektory zahrnujíí vliv prostředí D,H Materiálové vztahy, klasifikae látkovýh prostředí nedílná součást Maxwellovýh rovni D = D( E) εe+ P ( P je vektor polarizae prostředí, tj objemová hustota dipólového momentu, P div P = ρ představuje objemovou hustotu polarizačního náboje a = j proudovou hustotu polarizačního proudu) B H = H( B) M ( M je vektor magnetizae prostředí, tj objemová hustota magnetikého µ ( m) momentu, rot M = j představuje proudovou hustotu magnetizačního proudu) Prostředí (látka) homogenní nelineární lineární nehomogenní izotropní D = ε E B = µ H neizotropní D= εe D = E B = µ H B = µ H ( i εij j) ( i ij j)

2 Ohmův zákon v difereniálním tvaru: j = γ E+ E ( v), kde γ je měrná elektriká vodivost prostředí ( v) a E představuje tzv vtištěné síly, tj síly jiné než elektriké povahy (tepelné, hemiké, mehaniké aj, jsou přítomny např v elektrikýh zdrojíh) Fyzikální význam jednotlivýh Maxwellovýh rovni Pro integrální tvar: ilustrativní obrázky, objasňujíí geometriké vztahy Pro difereniální tvar: komentář ohledně zřídel a vírů Rovnie kontinuity elektrikého proudu odvození Integrální tvar dq jd = dt Difereniální tvar ρ div j = Vyjadřuje zákon zahování elektrikého náboje Plyne z I a III MR (aplikaí divergene na I MR v difereniálním tvaru a použitím identity div rot = a dosazením za div D ze III MR) Linearita Maxwellovýh rovni formulae, důkaz V lineárním prostředí odpovídá lineární kombinai budííh veličin (nejčastěji součtu prinip superpozie) stejná lineární kombinae vektorů elektromagnetikého pole Plyne z linearity difereniálníh operátorů (v difereniálním tvaru MR), resp integrálů (v integrálním vyjádření MR) a linearity materiálovýh vztahů (!) Jednoznačnost řešení Maxwellovýh rovni přesná formulae Za předpokladu danýh počátečníh podmínek (stav pole ve sledované oblasti v počátečním čase t ) a hraničníh podmínek (stav pole na hranii sledované oblasti ve sledovaném časovém intervalu od t do t 1 ) je řešení MR jednoznačné (tzv smíšená Cauhyova úloha) Maxwellovy rovnie včetně materiálovýh vztahů představují elkem 14 skalárníh rovni pro 1 složek vektorů pole vektory E,B, D,H - není to příliš mnoho? Třetí a čtvrtá MR má harakter univerzální počáteční podmínky (platné nejen na počátku, ale trvale) Odvození: z první, resp druhé MR aplikaí divergene plyne ( div D ρ ) =, resp ( div B) =, tzn div D ρ = konst, resp div B = konst Třetí a čtvrtá MR pokládají uvedené konstanty rovny nule Hraniční podmínky odvození limitním přehodem platí na nespojitém rozhraní dvou různýh prostředí (s různým ε, µ nebo γ ) dq ( plošný) plošná hustota volného náboje σ= ( Q = σ d d ) proudová hustota plošného vodivého proudu i plošný ( I i n d l = = i n d l ) odvození z integrálního tvaru MR limitním přiblížením integrační oblasti k rozhraní

3 označme prostředí indexy 1 a a zvolme v lib bodě rozhraní normálový vektor n, směřujíí z prostředí 1 do prostředí, pak hraniční podmínky mají tvar Div B = Rot E = Rot H = i Div D = σ plošná divergene Div V n( V -V1) = Vn V1 n Rot V n V -V1 = n Vt -V1 t plošná rotae Elektromagnetiké poteniály zavedení - také elektrodynamiké poteniály - skalární poteniál ϕ ( r,t) a vektorový poteniál Ar,t A E grad ϕ =, definované vztahy B = rot A - možnost uvedeného vyjádření vektorů E a B plyne ze II a IV MR a obráenýh identit div rot = a rot grad = Energie elektromagnetikého pole - výraz pro objemovou hustotu, Poyntingův vektor, odvození zákona zahování 1 Objemová hustota elektromagnetiké energie: w= we + wm = ( ED+ HB) Poyntingův vektor: P E H j Jouleovův tepelný výkon v jednotkovém objemu: je = γ w Zákon zahování energie: = je + div P, resp wdv = jedv + Pd V V lovně: úbytek elektromagnetiké energie v objemu V je dán praí elektrikýh sil uvnitř objemu V a tokem Poyntingova vektoru z tohoto objemu Poyntingův vektor představuje vektor proudové hustoty elektromagnetiké energie Odvození ZZE: D 1 vynásobení I MR rot H = j + skalárně vektorem E ; B vynásobení II MR rot E = vektorem H ; 3 odečtení vzniklýh rovni;

4 D B 1 4 použití vztahu E + H = ( ED+ HB) 5 použití vektorové identity div E H = H rot E E rot H (platí pro lineární prostředí); Hybnost elektromagnetikého pole - výraz pro objemovou hustotu, Maxwellův tenzor napětí, formulae zákona zahování Lorentzova síla na bodový náboj F = Q( E+ v B) Objemová hustota Lorentzovy síly f = ρe+ j B Označme symbolem p objemovou hustotu hybnosti prostředí Protože síla je rovna časové změně hybnosti, dostáváme za předpokladu, že v láte působí pouze elektromagnetiké síly, p rovnii = f = ρe + j B Z této rovnie lze po dosazení za veličiny ρ a j z MR odvodit zákon zahování hybnosti Objemová hustota hybnosti elektromagnetikého pole g = D B Maxwellův tenzor napětí elektromagnetikého pole: Tij wδ ij ( Ei Dj HiBj ) = +, kde 1 w= ( ED+ HB) je hustota elektromagnetiké energie a δ ij Cronekerův tenzor Zákon zahování hybnosti: g p Difereniální tvar: = + div T gi pi Ti1 Ti Ti3 (složkově: = ) x y z Integrální tvar: gdv = pdv + Td V V 3 (složkově: gidv = pidv + Tijdj V V ) j = 1 Každá komponenta tenzoru T ij určuje množství i -té složky hybnosti elektromagnetikého pole, která proteče za jednotku času jednotkovou ploškou kolmou k j -té souřadné ose P V lineárním izotropním prostředí (vakuu) platí D = ε E, B = µ H a tudíž g = εµ P =, kde v v je ryhlost světla v daném prostředí, P Poyntingův vektor Moment hybnosti elektromagnetikého pole - výraz pro objemovou hustotu Objemová hustota momentu hybnosti elektromagnetikého pole (v bodě r dl ): r g( r) dv = Z MR se dá odvodit zákon zahování momentu hybnosti ve tvaru jisté rovnie kontinuity

5 Klasifikae elektromagnetikýh polí Elektromagnetiké pole staionární v čase neproměnné ρ = ρ j = j r ( r ) nestaionární v čase proměnné ρ = ρ j = j r,t ( r,t) statiké pole nábojů v klidu j = proudové pole stejnosměrnýh proudů j D kvazistaionární j elektrostatiké E, D (ve vodiči = ) magnetostatiké pole permanentníh magnetů B, H elektriké E, D (ve vodiči ) magnetiké B, H

6 Příklad 1 eminář Odvoďte z difereniálního tvaru Maxwellovýh rovni jejih integrální tvar Návod: užijte Gaussovy a tokesovy věty integrálního počtu Příklad Vypočtěte náboj Q( R ), obsažený v kouli o poloměru R se středem v počátku souřadni, jestliže r objemová hustota náboje ubývá exponeniálně se vzdáleností od počátku, tj ρ = ρ e Jaký je náboj Q, obsažený v elém prostoru? R Q( R) = 4πρ ( R R ) e + + ; Q = 8πρ Příklad 3 Vypočtěte vodivý proud I, tekouí obdélníkovou plohou o rozměreh a b (strana a rovnoběžná s osou y, strana b s osou z, střed obdélníka v počátku), jestliže proudová hustota j( r) = y os( z) x, kde x, y, z jsou vektory kartézské báze Příklad 4 I 1 b a sin 6 3 = Vypočtěte objemovou hustotu vázaného polarizačního náboje ρ, víte-li, že vektor polarizae P r = x x Vektory x, y, z jsou vektory kartézské báze prostředí Příklad 5 ρ = 1 ( m) Vypočtěte proudovou hustotu vázaného magnetizačního proudu j, víte-li, že vektor magnetizae M r = x y Vektory x, y, z jsou vektory kartézské báze prostředí Příklad 5 ( m) j = z Nalezněte takovu formu Maxwellovýh rovni v difereniálním tvaru, ve které vystupují pouze silové vektory E, B a místo vektorů prostředí D a H vázané náboje a proudy Návod: použijte materiálové vztahy pro vektory D a H a zaveďte objemovou hustotu polarizačního náboje ρ = div P, proudovou hustotu polarizačního proudu P j = a proudovou hustotu m magnetizačního proudu j = rot M I II III rot B µ j j j ε µ = B rot E = 1 div E = ( ρ + ρ ) ε ( m) E IV div B =

7 Příklad 6 Určete rozložení náboje ρ ( r,t ar ), víte-li, že proudová hustota os j r,t = j e ωt e, kde r j, a, ω jsou kladné konstanty a e r je vektor lokální báze, příslušný sfériké souřadnii r Nápověda: použijte rovnii kontinuity elektrikého proudu a ar ρ( r,t) = ρ( r, ) j e sinωt ω Příklad 7 Odvoďte hraniční podmínky pro vektory elektromagnetikého pole na rozhraní dvou prostředí Návod: aplikujte integrální tvar Maxwellovýh rovni ve vhodně zvolené infinitezimální oblasti v okolí rozhraní a proveďte limitní přehod k povrhu této oblasti Příklad 8 Nehť v rovině xy teče konstantní plošný proud s hustotou i = i x Určete elkový plošný proud I, A= x,y, a protékajíí libovolnou orientovanou křivkou, ležíí v rovině xy a spojujíí body [ A A ] B = [ x B,y B, ] Vektory x, y, z jsou vektory kartézské báze I =± i ( y y ) (znaménko závisí na zvolené kladné orientai proudu) Příklad 9 B A Odvoďte z Maxwellovýh rovni v difereniálním tvaru zákon zahování energie Návod: v přednáše Příklad 1 Vypočtěte časovou střední hodnotu objemové hustoty energie w, Poyntingova vektoru P a hybnosti elektromagnetikého pole g rovinné monohromatiké vlny ve vakuu, dané rovniemi 1 E( x,t) = E os( kx ωt) y, B ( x,t ) = x E ( x,t ) 1 w = εe ( 1, kde je ryhlost světla ve vakuu εµ 1 w P we = wm = εe ), P = w x, g = x = 4