TELMG Modul 10: Základy relativistické elektrodynamiky

Transkript

1 Budeme se zabývat výhradně elektromagnetikým polem ve vakuu Nejprve velmi stručně zrekapitulujeme potřebné poznatky ze speiální teorie relativity Einsteinovy postuláty Maxwellovy rovnie elektromagnetikého pole nejsou invariantní vůči Galileově transformai Můžeme to nahlédnout nejjednodušeji tak uvědomíme-li si že z MR pro vakuum plyne ryhlost světla ve vakuu univerzální konstantou = ( ε ) ož je v rozporu s klasikým adičním teorémem ryhlostí podle kterého by měl pozorovatel pohybujíí se ryhlostí v vůči zdroji světla naměřit ryhlost světla ± v Přesná měření (např slavný Mihelsonův-Morleyův pokus) ukázala také experimentálně že ryhlost světla ve vakuu je nezávislá na ryhlosti pozorovatele Albert Einstein r 95 formuloval dva postuláty: - obený prinip relativity: tvar fyzikálníh zákonů (všeh nejen mehanikýh) nezávisí na volbě (ineriální) soustavy - prinip konstantní ryhlosti světla: ve všeh (ineriálníh) soustaváh má ryhlost světla stejnou velikost Lorentzova transformae Uvažujme dva souřadné systémy S a S kde systém S se vůči S pohybuje ryhlostí v v kladném směru osy x V čase t = t = nehť osy obou systémů splývají Z Einsteinovýh postulátů plyne vztah mezi čárkovanými a nečárkovanými proměnnými: kde γ = v vx x = γ ( x vt) y = y z = z t = γ t je činitel který může nabývat hodnot od do Uvedený vztah nazýváme Lorentzovou transformaí Einsteinův adiční teorém ryhlostí Pro transformai ryhlosti z Lorentzovy transformae snadno nalezneme dx vx v v x = dt vv x dy vy v y = dt γ vv x dz vz v z = dt γ vv x Relativita současnosti Události současné v soustavě S tzn t = t = t ale nesoumístné (přesněji x x) pozoruje pozorovatel v různýh časeh vx t = γ t v Časový interval mezi nimi v S je t = t t = γ ( x x) Dilatae času - Dvě soumístné události v S (stačí x = x) nesoučasné ( t t ) nastanou v S v časeh vx t = γ t tzn že časový interval mezi nimi

2 ( ) t = t t = γ t t = γ t Uvedenými událostmi může být např odečítání údajů na hodináh pevně spojenýh se soustavou S Protože γ můžeme říi že pozorovatel v S naměří γ -krát delší časový interval než pozorovatel v S ož je jev známý jako dilatae času Vlastní čas Nejkratší časový interval τ naměří pozorovatel v klidu vůči pozorovanému tělesa (hodinám) Čas měřený tímto pozorovatelem nazýváme vlastním časem tělesa a platí pro něj vztah dτ = dt γ kde dt je odpovídajíí časový interval měřený v jiné než klidové soustavě Vlastní čas je tzv Lorentzovským invariantem má stejnou hodnotu ve všeh ineriálníh soustaváh Kontrake délek Tělesa která se vůči pozorovateli pohybují se jeví podélně zkráena na délku l podle vztahu l l = γ kde l představuje tzv klidovou délku tyče Dohází k délkové kontraki Odvození viz seminář příklad Prostoročasový interval Je definován vztahem s = t x y z resp v difereniální formě ds = dt dx dy dz Jednoduhým výpočtem s resp ds se dá dokázat že prostoročasový interval () je Lorentzovským invariantem prostoročasový interval se tedy hová obdobně jako délkový interval dl = dx + dy + dz při Galileově transformai Minkovského formalismus Ukazuje se formálně užitečným zavést místo prostorovýh souřadni xyz a času t čtyřrozměrný prostor zvaný Minkovského prostoročas vztahy x = x x = y x3 = z x4 = it kde i je imaginární jednotka Čtvrtá (časová) souřadnie je tudíž ryze imaginární Prostoročasový interval lze nyní vyjádřit vztahy s = x x resp ds dx dx = V uvedenýh vztazíh i dále platí Einsteinova sčítaí konvene kdy sčítáme přes index který se ve vzori objeví dvakrát (řeké indexy probíhají hodnoty od do 4 latinské od do 3)

3 Matie Lorentzovy transformae Lorentzovu transformai lze vyjádřit pomoí proměnnýh x takto: ( iβ ) x = γ x x x = x x3 x3 4 = x γ ( x iβx ) = 4 4 v kde byl zaveden obvyklý symbol β = Soustavu můžeme vyjádřit v matiovém tvaru rovnií x = Lx kde zavedená matie Lorentzovy transformae L má tvar L γ iβγ = -iβγ γ Jedná se o tzv ortogonální matii tzn že matie inverzní vznikne transpozií (záměnou řádků a sloupů) a že platí pro odvozování důležitý vztah L L = δ kde δ λ je Kronekerův tenzor Čtyřvektory a čtyřtenzory λ λ Analogiky pojmu vektor a tenzor v třídimenzionálním prostoru zavádíme pojmy čtyřvektor a čtyřtenzor v prostoročase: Veličiny A které se transformují stejně jako souřadnie tj podle vztahu A = LA nazýváme čtyřvektory Veličiny T které se transformují podle vztahu T = Lκ Lλ Tκλ nazýváme čtyřtenzory druhého řádu Obdobně pro vyšší řády Invarianty Lorentzovy transformae např prostoročasový interval ds vlastní čas dτ klidovou délku l atd označujeme také jako prostoročasové skaláry Důležitým invariantem je kromě uvedenýh objemový element čtyřprostoru 4 dω d x = dxdxdx3dx4 ož je obdoba objemového elementu dv dxdydz v třídimenzionálním prostoru Analogiky jako v 3D-prostoru platí že derivae čtyřvektoru podle skaláru je čtyřvektor derivae A čtyřvektoru podle souřadni tvoří čtyřtenzor atd V dalším používáme složkový zápis tzn že např x znamená čtyřvektor ( ) 3 4 xxxx nikoliv pouze jednu složku

4 Čtyřryhlost dx Veličina u = tvoří čtyřvektor zvaný čtyřryhlost Na základě vyjádření vlastní času podle (7) dτ můžeme čtyřryhlost vyjádřit pomoí obyčejné ryhlosti v jako u = ( γv iγ ) () Podobně se dají definovat veličiny jako čtyřhybnost čtyřzryhlení čtyřsíla a formulovat relativistikou mehaniku ož přesahuje ráme tohoto kursu My se v dalším omezíme pouze na relativistikou formulai základů elektrodynamiky Transformae objemové hustoty elektrikého náboje Množství elektrikého náboje dq je invariantem tzn nezávisí na volbě referenčního systému tj dq = dq Objemový element dv není jak víme invariantem protože v důsledku kontrake podélnýh dv rozměrů platí dv = kde dv je objemový element ve své klidové soustavě γ Uvažujme objemový element dv obsahujíí náboj dq který je v klidu vůči systému S Protože dq dq je lorentzovským invariantem ale dv nikoliv není ani objemová hustota náboje ρ = dv invariantem nýbrž se transformuje podle vztahu ρ = γρ kde symbolem ρ je označena klidová hustota ρ elektrikého náboje kterou by naměřil pozorovatel v S Transformae proudové hustoty čtyřproud Vpřípadě pohybu elektrikýh nábojů tj nenulové proudové hustoty elektrikého proudu j = ρv se transformační vztahy ještě víe komplikují neboť je nutno kromě objemové kontrake nutno uvážit také Einsteinův adiční teorém ryhlostí pro ryhlost v proudovýh nosičů a vzájemnou ryhlost referenčníh soustav v Dá se však ukázat že veličina dx j ρ = ρ dt ( j i ) tvoří čtyřvektor tzn transformuje podle vztahu j = L j Konkrétní výpočet dává transformační vztahy v j = γ ( j ρv) j = j j 3 = j3 ρ = γ ρ j Veličinu j nazýváme čtyřvektorem proudové hustoty elektrikého proudu zkráeně čtyřproudem Tato veličina v sobě zahrnuje všehny tři složky vektoru j proudové hustoty i objemovou hustotu ρ elektrikého náboje Kovariantní tvar rovnie kontinuity elektrikého proudu Kovariantním tvarem určité rovnie nazýváme takový tvar ze kterého je patrno že uvedená rovnie je invariantní vůči Lorentzově transformai Nejčastěji se jedná o rovnii ve které vystupují pouze prostoročasové čtyřtenzory (včetně čtyřvektorů a skalárů) a ve které jsou použity pouze čtyřtenzorové operae (jejímiž produkty jsou opět čtyřtenzory obeně různýh řádů) Pak je invariane vůči Lorentzově transformai automatiky zaručena ρ Zavedením čtyřproudu j snadno upravíme rovnii kontinuity elektrikého proudu div j + = na tvar

5 j = Levá strana rovnie vyjadřuje tzv čtyřdivergeni čtyřvektoru j Čtyřpoteniál Obdobně jako se podařilo z veličin j a ρ vytvořit čtyřvektor j dá se z vektorového poteniálu A a skalárního poteniálu ϕ složit čtyřvektor A Ai ( ) ϕ Jedná se o tzv čtyřpoteniál elektromagnetikého pole Kovariantní tvar rovni pro poteniály ρ Vyjdeme z rovni pro poteniály ve vakuu A= j ϕ = které snadno přepíšeme na ε ε tvar ( A) = j ( iϕ ) = j4 Zavedením čtyřpoteniálu A můžeme obě rovnie nahradit ε ε jedinou A = j ε ϕ Obdobně Lorentzovu podmínku pro vakuum div A + = zjednodušit na tvar můžeme zavedením čtyřpoteniálu Α = nebo-li čtyřdivergene čtyřpoteniálu se rovná nule Tenzor elektromagnetikého pole Tenzorem elektromagnetikého pole nazýváme antisymetriký čtyřtenzor F A A Z definie čtyřpoteniálu můžeme elkem snadno získat expliitní tvar tenzoru elektromagnetikého pole (viz seminář příklad ): F B3 B -ie B B -ie 3 = B B -ie3 ie ie ie3 Je zřejmé že složkami tenzoru elektromagnetikého pole jsou složky vektorů E a B elektromagnetikého pole ož odůvodňuje jeho název

6 Kovariantní tvar kalibračníh rovni pro poteniály Z definie tenzoru elektromagnetikého pole plyne že se jeho složky (a tudíž i vektory pole) nezmění nahradíme-li čtyřpoteniál podle shématu f Α Α + x Uvedená záměna není ovšem ni jiného než známá kalibrační invariantnost f ϕ ϕ zapsaná ve čtyřvektorové podobě t Kovariantní tvar Maxwellovýh rovni A A+ grad f Z definie tenzoru elektromagnetikého pole plynou následujíí rovnie (odvození viz seminář příklady 3 a 4): λ λ + + = λ = ε j Uvedené rovnie představují kovariantní tvar Maxwellovýh rovni pro vakuum B První rovnie zastupuje rovnie div B = rot E + = druhá rovnie je ekvivalentní rovniím ρ E div E = rot H ε ε = j Odvození viz seminář příklady 5 a 6 Transformační vztahy pro vektory pole Při hledání transformačníh vztahů pro vektory pole E B vyjdeme z toho že jejih složky jsou současně složkami tenzoru elektromagnetikého pole F jehož transformační předpis známe Tak např pro složku F musí platit F = L κl λfκλ Z hodnot L λ je nenulová pouze L = z hodnot L κ pouze L = γ a L4 = iβγ tudíž F = γf + iβγf4 Dosadíme za F = B 3 F = B3 v F4 = ie odkud po elementární úpravě obdržíme výsledek B 3 = γ B3 E Obdobně jednoduše se dají spočítat ostatní komponenty vektorů E B uveďme pouze výsledky: E = E E γ ( E v B ) = E = γ ( E + v B ) B = B v B = γ B + E 3 v B 3 = γ B3 E Provedeme-li rozklad vektorů pole na složky podélné a kolmé k vektoru ryhlosti v můžeme transformační vzore přepsat na tvar E = γ ( E + v B) E = E B = B B = γ B v E

7 V případě v << můžeme položit γ a dostaneme přibližné vztahy E E+ v B B B v E Z výsledků plyne že čistě elektriké pole v S ( B = ) má v S nenulovou magnetikou složku B v E Magnetiké pole je tedy relativistikým efektem druhého řádu (člen úměrný v / ) Přesto se v praxi projevuje i při nerelativistikýh ryhlosteh nábojů neboť i při relativně malýh proudeh dohází k pohybu obrovského množství elementárníh nosičů náboje (např pro proud velikosti A 8 dostáváme /e 6 elektronů prošlýh průřezem vodiče za s) Příklad (řešený) Odvoďte vztah pro kontraki délek Seminář Řešení: Z Lorentzovy transformae plyne že dvě současné nesoumístné události v S ( t = t = t) mají v S x -ové souřadnie rovny x γ ( x vt) = a tedy jejih podélná vzdálenost ( ) l x x = γ x x = γl () kde l x x Nehť pozorovatel v S měří délku tyče která je vůči S v klidu Uvedené události jsou nyní definovány jako současné přiložení délkového měřidla (v čase t ) k oběma konům tyče (souřadnie x > x) Naměří vzdálenost l = x x Pozorovatel v S vidí tyto události také lokalizovány na obou koníh tyče (souřadnie x x ) ve vzdálenosti l = x x = l To že události pro něj nastávají v různýh časeh t t nevadí neboť tyč je vůči němu v klidu Dosazením do vztahu () dostáváme l Příklad (řešený) = γ l odkud Odvoďte expliitní tvar tenzoru magnetikého pole Řěšení l = l /γ Z antisymetrie tenzoru F plyne že má obeně 6 různýh složek Spočítejme nejprve složku F Na základě definie čtyřpoteniálu a známého vztahu B = rot A obdržíme ( ) ( ) Α Α A A A A F = = = ( rot A ) = B3 3 y y Obdobně F3 = B F3 = B A Nyní spočítejme složku F 4 S využitím vztahu E = gradϕ obdržíme Α Α ( A 4 ) ( iϕ ) A ϕ F4 = = i ie x4 x i t x = t x Obdobně F4 = ie F43 = ie3

8 Příklad 3 λ λ Odvoďte rovnii + + = λ pro tenzor elektromagnetikého pole F Návod: Stačí dosadit definiční vztah F A A Příklad 4 Odvoďte rovnii = ε j pro tenzor elektromagnetikého pole F Návod: Nejprve přímým výpočtem ověřte že pro čtyřdivergeni tenzoru F platí rovnii pro čtyřpoteniál ve vakuu A = j ε = A a pak použijte Příklad 5 λ λ Ověřte že rovnie + + = λ B rot E + = vyjadřuje IV a II MR pro vakuum tj rovnie div B = Návod: Uvedená rovnie představuje elkem 64 rovni ale z důvodu antisymetrie tenzoru F jsou pouze 4 nezávislé Použijte pouze rovnii s indexy λ = = = 3 a rovnii s indexy λ = i = j = 4 Do vzniklýh rovni dosaďte za složky tenzoru F expliitní vyjádření pomoí složek vektorů pole Příklad 6 Ověřte že rovnie E rot H ε = j = ε j vyjadřuje III a I MR pro vakuum tj rovnie ρ div E = ε Návod: Dosaďte za složky tenzoru F expliitní vyjádření pomoí složek vektorů pole Rozepište čtyřproud j podle definie