Nekvantový pohled na fyzikální pole

Transkript

1 43 Nekvantový pohled na fyzikální pole Albert Einstein ( ) Uvažujme nyní myšlenkový experiment, v němž uvnitř vlakového vagónu kmitá foton mezi dvěma planparalelními zradly, vzájemně vzdálenými l, z nihž jedno je umístěno např. na stropě vagónu a druhé na podlaze, viz obr... Obr.. l t t l Bude-li vagón v klidu, bude pozorovatel uvnitř vagónu pozorovat totéž, o pozorovatel stojíí venku na peróně. Trajektorie paprsku je v tomto případě pro každého z pozorovatelů svislou úsečkou, která se tudíž jeví oběma pozorovatelům stejně dlouhá a proto ji světlo překoná z hlediska každého z pozorovatelů za stejný čas t l. (. ) 43

2 44 Jakmile se dá vagón do rovnoměrného přímočarého pohybu, elá situae se radikálně změní viz obr... Obr.. v t t t v t Trajektorie paprsku bude i nyní vzhledem k pozorovateli uvnitř vagónu svislou úsečkou délky l, neboť pohyb vagónu nemůže mít žádný vliv na fyzikální proesy v ineriální soustavě s ním spojené. Vůči pozorovateli stojíímu na peróně se však paprsek již nebude pohybovat svisle. Označíme-li jednotlivé trajektorie dle obr.., potom doba kterou fotonu potrvá pohyb po delší trajektorii bude dána dle Pythagorovy věty vztahem t t v t. (. ) Pythagoras ze Samu (57 49 př. n. l) 44

3 45 Odtud plyne v v t t t. (.3 ) Pro zobenění tohoto výsledku uvažujme dvojii ineriálníh soustav Σ, Σ podle obr..3. Nehť v počátku soustavy Σ je umístěn zdroj shopný vysílat světelný signál všemi směry. Signál vyslaný v okamžiku t, kdy počátky obou soustav splývají, urazí za dobu t v libovolném směru vzdálenost ( x + y + z ) t r Obr..3. (.4 ) V okamžiku t může být tento signál zahyen ve všeh bodeh kulové plohy poloměru r. Einsteinův prinip relativity žádá, aby i v čárkované soustavě se signál šířil izotropně ryhlostí. Pro vzdálenost r musí tedy platit 45

4 46 ( x + y + z ) t r. (.5 ) Prinip relativity tedy žádá, aby vztahy (.4 ) a (.5 ) byly invariantní vůči transformai prostorovýh i časovýh souřadni mezi oběmi soustavami, tj. aby platilo t r t r. (.6 ) Uvedenému požadavku vyhovuje Lorentzova transformae, kterou pro případ soustavy na obr..3 můžeme zapsat ve tvaru β x γ ( x vt) ; y y ; z z ; t γ t x, (.7 ) kde ( ) v β, γ β. (.8 ) Zavedeme-li polohové vektory r ( x, y, z), ( x, y, z ) r určujíí polohu libovolného bodu v příslušné soustavě, můžeme Lorentzovu transformai (.7 ) zapsat ve vektorovém tvaru r v r v r r + v ( γ ) γ t ; t γ t v, (.9 ) v. Inverzní transformai vyjadřujíí souřadnie v soustavě Σ pomoí souřadni v soustavě Σ získáme vzájemnou záměnou čárkovanýh a nečárkovanýh veličin, přičemž pokládáme v v. Vektorový tvar (.9 ) Lorentzovy transformae zůstane v platnosti i v obenějším případě, kdy se dvě soustavy Σ, Σ s vzájemně rovnoběžnými stejnojmennými osami pohybují vůči sobě libovolně orientovanou ryhlostí v(v x, v y, v z ). kde ( v,, ) 46

5 47 Při malýh ryhlosteh, kdy můžeme zanedbat veličiny druhého řádu ve srovnání s jednotkou, můžeme klást γ a Lorentzovy transformae: r v r r v t ; t t. (. ) Připomeňme si některé základní důsledky plynouí z Lorentzovy transformae. Mějmež dvě události, z nihž jedna probíhá v okamžiku t v bodě (x, y, z ), druhá v okamžiku t v bodě (x, y, z ) (vzhledem k soustavě Σ ). Označme postupně β x x x y y y ; z z z ; ; t t t. (. ) Přejdeme-li nyní k soustavě Σ, najdeme z Lorentzovy transformae β x γ ( x v t) ; y y ; z z ; t γ t x. (. ) Pro prostorovou vzdálenost dostaneme s použitím (. ) l [( x ) + ( y ) + ( z ) ] [( l) + ( x) ( γ ) vγ x t + γ v ( t) ]. (.3 ) Ze vztahů (. ), (.3 ) je zřejmé, že bude-li časový interval t, tj. uvažované události budou v soustavě Σ současné, bude interval t obeně různý od nuly v závislosti na prostorovém intervalu x. Podobně bude-li např. l, tj. obě události budou v soustavě Σ soumístné, nemusí tomu tak být v soustavě Σ, neboť obeně l. Předpokládejme, že uvažované události se týkají jedné částie a spojme počátek soustavy Σ s touto částií. Soustava Σ se pak nazývá vlastní (klidovou) soustavou této částie. 47

6 48 Aby soustava Σ zůstala ineriální soustavě Σ rovnoměrně a přímočaře ryhlostí v ve směru osy x. Potom l, x, x v t a z (. ) plyne t t. (.4 ) γ Veličinu t nazveme vlastní čas částie a označíme τ. Položíme-li v okamžiku splynutí obou počátků τ t, můžeme psát t v τ t. (.5 ) γ Vlastní čas částie tedy plyne pomaleji, než čas v laboratorní soustavě Σ. Tento výsledek můžeme zobenit i na nerovnoměrný pohyb částie ryhlostí v(t). V každém nekonečně malém časovém intervalu můžeme totiž předpokládat, že ryhlost částie je konstantní, a spojit s částií okamžitou klidovou ineriální soustavu souřadni. Potom platí ( t) v dτ dt (.6 ) a pro konečný časový interval t ( t) v τ dt (.7 ) t Uvažujme nyní těleso konečného objemu a spojme soustavu Σ s tímto tělesem. 48

7 49 Budeme srovnávat podélný rozměr tělesa v obou soustaváh: l x. (.8 ) x ; l l x x Veličinu l nazveme vlastní délkou tělesa. Problém vzniká pouze s určením vzdálenosti l konovýh bodů pohybujíího se tělesa. Souřadnie těhto bodů musíme totiž určovat současně. Musí tedy být t a podle (. ) x γ x, v l γ l l, (.9 ) nebo, pro obený nerovnoměrný pohyb tělesa dl ( t ) v v( t) dt (. ) t ( t) v l v( t) dt. (. ) t Rozměr ve směru pohybu tělesa je tedy kratší než jeho vlastní délka. Protože příčné rozměry tělesa zůstávají beze změny, mění se povrh a objem tělesa pouze v závislosti na podélném rozměru. Z Lorentzovy transformae plynou důležité vztahy pro skládání ryhlostí části. Protože ryhlost částie v soustavě Σ resp. Σ lze vyjádřit jako dr dr u ; u, (. ) dt dt dostaneme přímým výpočtem z (.9 ) 49

8 5 5 ( ) + v v u v u v u u γ γ γ, (.3 ) nebo ve složkáh ; ; v u u u v u u u v u v u u x z z x y y x x x γ γ. (.4 ) v případě pomalé Lorentzovy transformae můžeme psát v u v u u. (.5 ) V klasiké dynamie je definována hybnost p částie jako součin její hmotnosti m a ryhlosti u dané ineriální soustavě Σ : p u m. (.6 ) První věta impulsová je vyjádřena vztahem dt dp F. (.7 ) Hmotnost m je přitom považována za invariant. Aby mohl být vztah (.7 ) zahován i v relativistiké dynamie, je třeba zobenit definii pojmu hybnosti p vztahem

9 5 m u p m u. (.8 ) u Veličina m je zde opět invariantní vůči Lorentzově transformai a nazývá se vlastní či klidovou hmotností. Veličina m m (.9 ) u je relativistiká hmotnost částie. S využitím (.8 ) lze vyjádřit kinetikou energii částie jakožto míru práe vykonané silou F ve směru ds po dráze s, vztahem: s s m u m u dp T d d d d F s s u p u dt u u u d m u m u m u du u du du du u u u du u u du u m m m u u u m u m u + u m + u m u m ( ) u + u m m m m m m u u u. 5

10 5 Rovnii (.3 ) přepíšeme do tvaru (.3) 3 u E m T + m T + E m + mu + m +..., 8 (.3 ) kde E je tzv. klidová energie tělesa. Pomoí (.8 ) a (.3 ) zapíšeme rozdíl u E u 4 p m m. (.3 ) Vidíme, že tento výraz je relativistiký invariant. Přejdeme-li tedy do soustavy Σ, musí platit 4 E E p p. (.33 ) Porovnáme nyní výraz (.33 ) s obdobným vztahem (.6 ) pro kinetiký invariant t r. Vidíme, že pro složky vektoru p a energii E musí platit rovněž Lorentzova transformae jako pro složky polohového vektoru r a čas t. Přiřadíme,, E, E r p r p t t, a analogiky (.9 ) zapíšeme Lorentzovu transformai pro hybnost ve vektorovém tvaru jako p v E p p + v ( γ ) γ v. (.34 ) Odtud již snadno najdeme transformační vztahy pro sílu F při přehodu mezi soustavami Σ a Σ. Uvážíme-li, že 5

11 dp dp d dt d d dr de F, F, γ, u, F u, dt dt dt dt dt dt dt dt (.35 ) dostaneme 53 F F v γ F + v v u v γ ( γ ) ( F u). (.36 ) Pro případ pomalé Lorentzovy transformae se výraz (.36 ) zjednoduší na F F ( F u) v. (.37 ) u v Prozkoumáme nyní vzájemné silové působení dvou bodovýh nábojů v situai, kdy se oba pohybují různým způsobem vůči ineriální pozorovaí soustavě Σ. Omezíme se na rovnoměrný přímočarý pohyb jednoho z nábojů Q, a to nejprve ryhlostí u <<, kdy můžeme použít pomalé Lorentzovy transformae. Zkušební náboj Q nehť se pohybuje libovolným způsobem okamžitou ryhlostí v. Přejdeme nyní k jiné ineriální soustavě souřadni Σ, jejíž stejnojmenné osy jsou rovnoběžné s osami soustavy Σ a která se pohybuje vůči soustavě Σ ryhlostí u. V soustavě Σ je tedy náboj Q nehybný a vytváří elektrostatiké pole v souladu s Coulombovým zákonem. Na náboj Q pohybujíí se v této soustavě ryhlostí v působí Coulombova síla 53

12 54 Q Q ( r r ) F 3 Q Q 4πε r Q r Q, (.38 ) kde r Q a r Q jsou polohové vektory nábojů Q a Q v soustavě Σ. Charles-Augustin de Coulomb (736 86) Abyhom nyní vyjádřili sílu působíí ze strany náboje Q na náboj Q v původní, laboratorní soustavě Σ, použijeme pomalé transformae síly (.37 ) a podle zavedeného označení zde nahradíme v u, u v. F ( F v) u F. (.39 ) u v Pro zpětnou transformai dostáváme F ( F v ) u F, (.4 ) u v kde ovšem u u. 54

13 55 55 Abyhom přešli na pravé straně (.4 ) k ryhlostem části u a v uvnitř laboratorní soustavy, použijeme pomalé transformae ryhlostí (.5 ), opět se záměnou v u, u v, u v : v u u v v. (.4 ) Po dosazení do (.4 ), zanedbání veličin řádu u a úpravě najdeme ( ) ( ) ( ) [ ] ( ). F u v F v u F v F u F u v F v u F v u u v u u v u u v F F F (.4 ) Dosadíme nyní za F Coulombovu sílu (.38 ). Rozdíl polohovýh vektorů upravíme pomoí pomalýh Lorentzovýh transformaí (. ). Při tom předpokládáme, že v soustavě Σ, kde náboj Q vytváří statiké pole, určujeme polohu obou nábojů současně ( ) Q Q t t. S přesností na veličiny řádu u tedy máme ( ) R R R u r r r r R u t t Q Q Q Q Q Q. (.43 ) Konečný výsledek pro sílu F mezi dvěma bodovými pohybujíími se náboji dostáváme tedy ve tvaru

14 56 Q R Q F Q + v ( u R) 3 3. (.44 ) 4πε R 4πε R Všimněme si nejdříve prvního členu na pravé straně (.44 ), který vyjadřuje tu část síly F, jež nezávisí na ryhlosti v náboje Q. Tento člen určuje rovněž i sílu působíí na náboj Q, je-li jeho ryhlost v vůči laboratorní soustavě nulová, jakožto výsledek působení elektrikého pole vytvářeného pohybujíím se nábojem Q. Pro jeho intenzitu podle (.44 ) dostáváme E F Q R ( rq ) 3. (.45 ) Q 4πε R Podle E nelze ztotožňovat se statikým Coulombovým polem, neboť v časové závislosti polohového vektoru R je impliitně obsažena i časová závislost E. Z tvaru (.45 ) je zřejmé, že pro pole E platí v každém okamžiku Gaussův zákon. Tedy pro každou uzavřenou plohu S klidovou vůči soustavě Σ, obklopujíí v daném okamžiku náboj Q, platí Q d E S. (.46 ) S ε V případeh, kdy lze zavést objemovou hustotu náboje, platí rovněž difereniální tvar ρ div E. (.47 ) ε Z tvaru (.45 ) rovněž vyplívá, že pole E je v každém okamžiku poteniálové, tj. v každém bodě platí rot E. (.48 ) 56

15 57 Na druhé straně z jeho časové závislosti plyne, že nabitá částie, která v něm vykoná pohyb po uzavřené dráze konečnou ryhlostí, může obeně vykonat nenulovou prái. Použitím označení podle (.45 ) lze vztah (.44 ) přepsat do přehlednějšího tvaru F Q E + v ( u E ). (.49 ) Druhý člen napravo reprezentuje nový typ silového působení mezi pohybujíími se náboji, které závisí na ryhlosti v zkušebního náboje Q. Zavedeme-li nový typ vektorového pole ( r ) ( u E ) B Q, (.5 ) Dostaneme namísto (.49 ) tvar ( E + v ) F Q, (.5 ) B známý jako Lorentzova síla. Veličina B Charakterizuje tzv. magnetiké pole a nazývá se magnetikou indukí. Podobně jako pole elektriké, můžeme i magnetiké pole harakterizovat indukčními čarami, které mají tu vlastnost, že vektor magnetiké induke v daném bodě leží ve směru tečny k indukční čáře jdouí tímto bodem a jeho orientae souhlasí se směrem orientae indukční čáry. Hustotu toku indukčníh čar je možno normovat tak, aby se rovnala velikosti vektoru magnetiké induke. Vypočteme-li div B z (.5 ) dostaneme vzhledem k (.48 ) div B div E ( u E ) ( E rot u u rot ). (.5 ) 57

16 58 Znamená to, že magnetiké indukční čáry nemají zdroje a musí se buď uzavírat samy do sebe, nebo začínat a končit v nekonečnu. Takové pole nazýváme solenoidálním. Jak ukázal P. A. M. Dira, relativistiká kvantová mehanika připouští možnost existene tzv. magnetikýh monopólů, tj. magnetikýh nábojů které jsou zdrojem indukčníh čar. Jejih existene však nebyla dosud experimentálně potvrzena. Aplikujeme-li operai rotae na definiční vztah (.5 ), zjistíme s ohledem na (.47 ), že rot B je obeně různá od nuly, tj. magnetiké pole není poteniální. Při elkovém hodnoení získanýh výsledků tedy vidíme, že při malé u ryhlosti, kdy můžeme zanedbat faktor proti jedniče, vede použití Lorentzovy transformae v případě elektrikého pole ke stejnému výsledku, jako použití klasiké Galileiho transformae, podle níž F F. Galileo Galilei (564 64) Na druhé straně však i při těhto malýh ryhlosteh má použití Lorentzovy transformae za následek objevení se nového členu reprezentujíího působení magnetikého pole, ve výrazu (.5 ) pro sílu. Uvažujme nyní případ, kdy se náboj Q pohybuje libovolnou ryhlostí u <. Zabývejme se nejprve pouze elektrostatikou interakí, tj. působením pohybujíího se náboje Q na nehybný zkušební náboj Q. 58

17 59 K tomuto účelu použijeme jednoduhý myšlenkový experiment využívajíí efektu relativistiké kontrake délek. Mějme pro určitost dvě ineriální souřadné soustavyσ a Σ, přičemž Σ se vůči laboratorní soustavě Σ pohybuje ryhlostí v ve směru osy x (viz obr..3). Mějme nyní rozlehlý deskový kondenzátor nehybný v soustavě Σ s rovinami desek rovnoběžnými s rovinou x, y. V soustavě Σ bude mezi deskami kondenzátoru existovat homogenní elektriké pole ve směru osy z o velikosti σ E, (.53 ) ε kde σ je plošná hustota náboje na deskáh kondenzátoru. Přejdeme-li nyní do soustavy Σ, bude se zde kondenzátor pohybovat ryhlostí v a jeho rozměry ve směru osy x se zkrátí faktorem γ -. V témže poměru se tedy zmenší ploha desek kondenzátoru, a protože elkový náboj na deskáh kondenzátoru zůstává neměnný, vzroste hustota náboje z σ na σ σ γ. (.54 ) Vzniká samozřejmě otázka, zda i v laboratorní soustavě souřadni zůstane zahován směr siločar pole rovnoběžný s osou z. Symetrie pohybu připouští eventuální vznik podélné složky pole ve směru osy x. Avšak vzhledem k tomu, že pole uvnitř kondenzátoru je superpozií polí dvou opačně nabitýh rovinnýh desek, lze očekávat, že by se takové případné podélné složky pole vzájemně vykompenzovaly. Tedy i v soustavě Σ budeme mít homogenní pole ve směru osy z o σ velikosti E. ε Díky lorentzovské kontraki desek tedy siločáry pole zhoustnou a máme E E γ. (.55 ) 59

18 6 Budeme-li nyní orientovat desky kondenzátoru rovnoběžně s rovinou x, z uvidíme, že tatáž změna nastane i s vektorem intenzity pole orientován ve směru osy y. Naproti tomu, budou-li desky kondenzátoru orientovány rovnoběžně s rovinou y, z, projeví se v laboratorní soustavě Σ zkráení délek jako sblížení desek kondenzátoru a tato změna nemá vliv na hustotu siločar pole, a tedy ani na vektor jeho intenzity ve směru osy x. Tímto názorným způsobem jsme dospěli k závěru, že mezi složkami elektrostatikého pole a složkami elektrikého pole nábojů pohybujííh se ve směru osy x rovnoměrně libovolnou ryhlostí v platí transformační vztahy E E ; E γ E ; E γ E. (.56 ) x x y y z z Mějme nyní bodový náboj Q pohybujíí se rovnoměrně ryhlostí u. S tímto nábojem spojíme počátek ineriální soustavy souřadni pohybujíí se podle obr..3 a osu x namíříme ve směru u v. Protože elektriké pole tohoto náboje bude zřejmě osově symetriké vzhledem k ose x, budeme vyšetřovat pouze jeho složky v rovině x, z. Vzhledem k rovnoměrnému pohybu náboje Q je lhostejné, ve kterém okamžiku budeme pole vyšetřovat. Můžeme proto s výhodou zvolit okamžik t t, kdy počátky obou soustav Σ a Σ vzájemně splývají (viz obr..4). Obr..4 6

19 6 Přitom můžeme použít zjednodušené Lorentzovy transformae (.7 ), kde položíme t, kdy nám počátky obou soustav splývají. V soustavě Σ vytváří náboj statiké Coulombovo pole o složkáh E x E z Q 4πε Q 4πε osθ r sin Θ r Q 4πε Q 4πε x 3 r z 3 r Q 4πε Q 4πε γ x 3 r z r 3., (.57 ) Pro složky E x, E z pak podle (.56 ) a (.57 ) platí E E x z Q 4πε Q 4πε γ x, 3 r γ z, 3 r (.58 ) čili E z z. (.59 ) E x x Získáme tak důležitý poznatek, že elektriké pole přímočaře se pohybujíího bodového náboje zůstává radiální a že jeho siločáry leží v přímkáh proházejííh tímto nábojem. Zbývá určit rozložení hustoty těhto siločar v prostoru neboli velikost vektoru E. Q Po jednoduhé matematiké úpravě a substitui k dostáváme 4πε 6

20 6 6 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). sin Θ β β β β β γ γ γ γ r k z x z z x k z z x z x k z x z x k r z x k E (.6 ) Směr siločar je přitom vyjádřen úhlem Θ pro nějž platí Θ Θ tg x z x z tg γ γ. (.6 ) siločáry se tedy v prostoru natáčejí jako pevné tyčky. Vektor intenzity elektrikého pole E můžeme tedy podle (.6 ) napsat jako ( ) sin r Q r E πε β β Θ, (.6 ) anebo v případě obené polohy náboje Q jako ( ) ( ) sin R Q q R E r πε β β Θ, (.63 ) kde vektor průvodiče R r q r Q, r Q je polohový vektor bodu, v němž elektriké pole určujeme pomoí zkušebního náboje q. Náboj, který se pohybuje libovolnou relativistikou ryhlostí vytváří tedy elektriké pole, které se liší od pole E daného (.45 ) faktorem

21 63 Γ β β R u R 3 3 ( β sin Θ), (.64 ) zvaným Heavisideův faktor. Pole E Γ E narozdíl od pole E pomalu se pohybujíího náboje již tedy není sfériky symetriké ale závisí kromě vzdálenosti též na úhlu, jejž svírá průvodič se směrem pohybu náboje, viz obr..5 Obr..5 Čím víe se blíží ryhlost nabité částie ryhlosti světla, tím víe se siločáry zhušťují ve směru kolmém ke směru pohybu. Porovnáme-li nyní výše diskutované případy působení nehybného náboje na pohyblivý a naopak, zjistíme, že zde není splněn třetí Newtonův zákon. 63

22 64 Isaa Newton (643 77) Nehybný náboj totiž působí na pohyblivý silou F E(r) q, kde pole E(r) je Coulombovo, zatímo pohybujíí se náboj působí na nehybný náboj silou téhož tvaru, v němž však obeně vystupuje pole (.63 ). Jen při malýh ryhlosteh přehází toto pole na tvar (.45 ). Porušení Newtonova třetího zákona je důsledkem relativity současnosti měření obou sil v soustaváh jež se vůči sobě navzájem pohybují. Přestože elektriké pole pohybujíího se náboje nemá již siločáry rozloženy středově symetriky a nemá tedy oulombovský tvar, měl by v důsledku invariane velikosti náboje vůči pohybu, zůstat nadále v platnosti Gaussův zákon (.46 ). Přesvědčme se o tom. Budeme nejprve uvažovat Gaussovu plohu ve tvaru kulové plohy S k poloměru r nehybné v soustavě Σ, v okamžiku, kdy se náboj Q nahází v jejím středu C. Vektor E má v tomto případě stále směr normály ke kulové ploše, takže pro elkový tok intenzity platí E ds E ds, (.65 ) S S φ k k kam za E musíme dosadit (.6 ). Pro výpočet integrálu zavedeme sfériké souřadnie r, Θ, ϕ vztažené ke středu koule. 64

23 65 Souřadnie r představuje vzdálenost od středu C, úhel Θ je úhlem který svírá průvodič se směrem pohybu náboje (osou x) a úhel ϕ je polární úhel v rovině kolmé ke směru pohybu a proházejíí středem C. Vzhledem k osové symetrii úlohy intenzita pole na úhlu ϕ nezávisí a je funkí pouze souřadni r a Θ. Máme tedy Q φ E ds Γ r sin Θ dθ dϕ S S 4πε r k ( β ) sin ( β Θ) ( t ) π π Q Θ dϕ dθ 3 4πε sin π k t ( β ) ( + t ) Q Q Γsin Θ dθ dt 3 ε ε β β osθ t Q t Q β. ε β β ε (.66 ) Uvažujme nyní případ, kdy se pohybuje jak náboj Q, tak i zkušební náboj q, různými konstantními ryhlostmi. Použijeme-li namísto pomalýh Lorentzovýh transformaí (.37 ), (.5 ) přesné transformae (.3 ) a (.3 ), dostaneme jako výsledek opět sílu tvaru (.49 ) resp. (.5 ), tedy Lorentzovu sílu. ( u E ) ( E + v B) F q E + v q. (.67 ) Na místě elektrikého pole zde však již nevystupuje pole Coulombova typu (.45 ) nýbrž elektriké pole náboje Q pohybujíího se libovolnou konstantní ryhlostí u (.63 ). Q ΓE Γ R. (.68 ) 4πε R E 3 65

24 66 Vztah mezi elektrikým a magnetikým polem typu (.5 ) se přitom ukazuje být obeně platným, a platí tedy B ( u E). (.69 ) Vztahů (.68 ), (.69 ) použijeme k výpočtu elektrikého a magnetikého pole nekonečně dlouhého homogenního paprsku nábojů pohybujííh se ryhlostí u. Zavedeme-li lineární hustotu náboje τ v tomto paprsku, můžeme použít vztahu (.68 ) pro vyjádření příspěvku E k elkovému poli v daném bodě, který vzbudí krátký úsek paprsku nesouí náboj Q τ l: Γ τ R E R l. (.7 ) 3 4πε Celkovou intenzitu E pak dostaneme integraí přes elou délku paprsku. Přitom opět stačí uvažovat pouze projeke do směru kolmého k paprsku. Obr..6 Podle obr..6 máme 66

25 67 r r l r otg Θ, dl dθ, R sin Θ sin Θ, (.7 ) a tedy s použitím (.66 ) Γ sin Θ τ dl Γ sin Θ dθ τ τ E. (.7 ) 4πε R 4πε πε r π Obdobným způsobem byhom mohli vypočíst i magnetikou induki. Uvážíme-li však, že ryhlost jednotlivýh elementů u je vždy rovna intenzitě E, můžeme použít vztahu (.69 ), a tak získat přímo µ uτ B. (.73 ) π r Nábojový paprsek vytváří tedy staionární elektriké a magnetiké pole. Intenzita elektrikého pole je totožná s intenzitou elektrostatikého pole nabité přímky při téže lineární hustotě náboje. Magnetiké pole má směr kolmý k rovině paprsku a průvodiče do daného bodu. Uvažujme nyní dvojii nekonečně dlouhýh rovnoběžnýh nábojovýh paprsků o vzájemné vzdálenosti r, s lineárními nábojovými hustotami τ, τ a ryhlostmi u, u. Na nábojový element τ l druhého paprsku bude působit elektriká síla E τ l, kde E je intenzita elektrikého pole podle (.7 ). Na jednotku délky druhého paprsku bude tedy působit elektriká síla f e : f e τ τ πε r. (.74 ) Podobně lze spočítat podle (.67 ) i magnetikou sílu, použijeme-li pro magnetikou induki v místě druhého paprsku výsledek (.73 ). Jelikož vektor B je kolmý na společnou rovinu obou paprsků, bude mít magnetiká síla f m působíí na jednotku délky druhého paprsku velikost 67

26 68 f m µ (.75 ) π τ u τ u r a oba paprsky se budou přitahovat nebo odpuzovat touto silou v závislosti na souhlasnosti znaménka součinů τ u, τ u. Například budou-li mít oba paprsky souhlasná znamení nábojů i souhlasnou orientai ryhlosti u, u, bude elektriká síla paprsky odpuzovat a magnetiká síla je bude přitahovat. Velikost obou typů sil je v poměru f f m e uu. (.76 ) není bez zajímavosti, že výraz pro elkovou sílu působíí mezi dvěma paprsky lze získat bez zavádění pojmu magnetikého pole, pouze jako důsledek relativistikého efektu kontrake délek. Mějme pro určitost opět souhlasné znaménko τ, τ a souhlasný směr ryhlostí u, u a zvolme směr odpudivé síly jako kladný. Přejděme do soustavy Σ pohybujíí se spolu s náboji druhého paprsku ryhlostí u. V této soustavě působí na druhý paprsek zřejmě pouze elektriké síly a platí τ τ πε r f e, (.77 ) kde τ, τ jsou lineární hustoty nábojů v soustavě Σ. Přejdeme nyní zpět do laboratorní soustavy. Pro příčnou složku síly připadajíí na jednotku délky v podélném směru přitom platí f f. Zbývá přetransformovat lineární hustoty náboje τ, τ do laboratorní soustavy. Můžeme k tomu použít vztahů analogikýh (.54 ), který však platí pouze pro přehod mezi laboratorní soustavou Σ a klidovou soustavou Σ. Podle tohoto vztahu τ τ /γ. 68

27 69 Náboje prvního paprsku se obeně pohybují v obou soustaváh a to ryhlostmi u a u. Musíme proto přejít nejprve od klidové soustavy prvního paprsku Σ ( τ τ / γ ) a odtud do soustavy Σ, kde τ τ γ τ γ / γ. Výsledná síla na jednotku délky druhého paprsku v laboratorní soustavě je tedy f f e τ τ τ τ γ πε r πε r γ γ. (.78 ) Dosadíme-li γ u, γ u, γ u, (.79 ) dostaneme po úpravě f τ τ u u πε. (.8 ) r První člen zde odpovídá elektriké síle (.74 ), druhý magnetiké síle (.75 ). Z (.76 ) je zřejmé, že magnetiké síly mezi nábojovými paprsky v případě pomalu se pohybujííh nábojů u, u představují jen malou relativistikou opravu k silám elektrikým. Můžeme si však představit složitější struktury, v nihž budou převládat síly magnetiké. Uvažujme například kladné a záporné náboje téže velikosti s lineární hustotou τ rovnoměrně rozložené na příme. Jsou-li oba druhy náboje v klidu, bude tato přímka elektriky neutrální. Představme si nyní, že náboje jednoho znaménka, např. záporné, se začnou pohybovat ryhlostí u. Podle zákona o kontraki délek vzroste lineární hustota zápornýh nábojů na -γτ a přímka se stane nabitou s hustotou τ ( γ ). 69

28 7 Máme-li nyní dvě takové, pro jednoduhost identiké rovnoběžné přímky ve vzdálenosti r, budou na sebe působit elektrikou silou f e τ ( γ ). (.8 ) πε r Abyhom určili elkovou sílu působíí na jednotku délky druhé přímky, musíme určit zvlášť sílu působíí na kladné a záporné náboje. Na kladné náboje působí zřejmě síla f τ ( γ ). (.8 ) πε r Přejdeme-li do klidové soustavy zápornýh nábojů druhé přímky, zjistíme, že na ně působí ze strany první přímky táž síla. Výsledná elková síla na jednotku délky druhé přímky bude, jak víme, táž i v laboratorní soustavě, takže dostáváme f τ ( γ ). (.83 ) πε r Srovnáním (.8 ) a (.83 ) zjistíme, že elková přitažlivá síla (.83 ) je mnohem větší než nepatrná odpudivá síla elektriká (.8 ). V prvním přiblížení je elková síla f silou magnetikou: f τ µ u τ µ I. (.84 ) πε r β π r π r Mějme nyní rovinu nabitou s plošnou hustotou náboje σ, přičemž všehny náboje se pohybují touž konstantní ryhlostí u. Rovinu lze rozdělit na úzké přímé proužky šířky l rovnoběžné se směrem pohybu nábojů. 7

29 7 André-Marie Ampère ( ) Každý takový proužek můžeme považovat za přímý nábojový paprsek o lineární hustotě τ σ l a pole jím vytvořené popsat oby pole nábojového paprsku, dle předhozíh příkladů. Superpozií elektrikého pole těhto nábojovýh paprsků zjistíme, že elektriké pole této roviny je konstantní, kolmé k rovině a rovnou E σ. (.85 ) ε Určíme nyní magnetiké pole této roviny. Můžeme například uvažovat vždy dvojie proužků symetriky umístěnýh vůči patě kolmie spuštěné z daného bodu mimo rovinu a zjistíme, že příspěvek k magnetikému poli od takové dvojie je rovnoběžný s rovinou (viz obr..7). 7

30 7 Obr..7 Z téhož obrázku najdeme vztahy l r tan α, r dα dl, os α r R, osα µ σu B α π R os l. (.86 ) Integrováním pak zjistíme výsledné magnetiké pole: µ σ u µ σu B π π π dα. (.87 ) Podívejme se nyní, jak se transformují složky elektrikého a magnetikého pole při přehodu od jedné ineriální soustavy ke druhé. Použijme opět naši představu pohyblivého kondenzátoru z jedné z předhozíh úloh, znázorněnou na obr..8. 7

31 73 Obr..8 Předpokládejme, že kondenzátor se pohybuje ve směru osy x konstantní ryhlostí u v soustavě Σ, resp. u v soustavě Σ. Můžeme jej tedy považovat za soustavu dvou rovin tvořenýh nábojovými paprsky s opačným znaménkem náboje. Budeme-li v soustavě Σ superponovat elektriká pole (.78 ) a magnetiká pole (.87 ) těhto dvou rovin, zjistíme, že vektor intenzity elektrikého pole E je orientován ve směru osy y a má velikost E σ, (.88 ) ε vektor magnetiké induke B je orientován ve směru osy z a má velikost B µ σu. (.89 ) 73

32 74 Stejný obraz ovšem budeme pozorovat i v soustavě Σ, pouze s tím rozdílem, že musíme dosadit čárkované hodnoty σ, u. Podle relativistikého zákona skládání ryhlostí (.4 ) dostaneme u v βu β u, β u, (.9 ) uv βuβ v u u kde β, βu, β u. Abyhom určili σ, musíme nejprve přejít ze soustavy Σ do klidové soustavy kondenzátoru Σ (pohybujíí se vůči laboratorní soustavě σ ryhlostí u) a najít zde σ. γ u Z této soustavy pak přejdeme do soustavy Σ, kde bude γ u σ σ σ σ γ u γ u β γ u u βu β βuβ σ βuβ σγ ( βuβ ). γ u β β ( )( u ) (.9 ) Potom σ σ β βσ µ σu E γ γ E β γ E βb a ( ) u y y y z ε ε ε ε µ. (.9 ) 74

33 75 z ( ) ( ) B µ σ u µ σγ β β γ µ σ u µ σ v u σ β β γ Bz γ Bz Ey. ε (.93 ) kdybyhom nyní orientovali myšlený kondenzátor rovnoběžně s rovinou x, y, nalezli byhom vztahy mezi z-ovými složkami elektrikého pole a y-ovými složkami magnetikého pole. Podobně byhom z tohoto myšlenkového experimentu mohli usoudit, že složky E x a B x se při transformai nemění. Dostáváme tedy následujíí obené transformační rovnie pro složky elektrikého a magnetikého pole: ( ) ( ) E E, E γ E βb, E γ E + βb, x x y y z z z y β β B x Bx, B y γ By + Ez, B z γ Bz Ey, (.94 ) které, jak si později ukážeme, jsou složkami jediného antisymetrikého čtyřtenzoru F ik, zvaného tenzor elektromagnetikého pole. Vidíme, že složky elektrikého a magnetikého pole jsou zde nerozlučně spjaty transformačními vztahy. Předpokládáme-li, že v soustavě Σ jsou náboje v klidu, bude B a z (.94 ) nám vyplynou transformae (.56 ) jako zvláštní případ. Z transformačníh vztahů (.94 ) dále plyne, že je-li v soustavě Σ pole čistě elektriké (.B ), objeví se v soustavě Σ magnetiké pole o složkáh β β B x, B y E z, B z E y, (.95 ) neboli, psáno vektorově B v E. (.96 ) 75

34 76 Analogiky, je-li v soustavě Σ pole čistě magnetiké (.E ), bude v soustavě Σ E, E βb, E βb, (.97 ) čili x y z z y E v B. (.98 ) Pro malé ryhlosti v můžeme položit γ a transformační vztahy (.94 ) zjednodušit na E E + v B, B B v E. (.99 ) Pomoí obenýh transformaí (.94 ) se lze přesvědčit, že existují určité kombinae vektorů E(r) a B(r), které se při transformai mezi dvěmi ineriálními soustavami nemění. Takové veličiny nazýváme invarianty elektromagnetikého pole. Jsou to Π E B, (. ) Σ B E. (. ) Ze vztahu (. ) zejména plyne, že jsou-li vektory E a B v nějaké ineriální soustavě navzájem kolmé, zahovají si tuto vlastnost ve všeh ineriálníh soustaváh. Vyšetříme nyní obené vlastnosti elektrikého a magnetikého pole jako jsou jejih rotae a divergene. Dospějeme tak k úplnému systému rovni popisujííh vlastnosti tzv. elektromagnetikého pole, tj. sjednoeného elektrikého a magnetikého pole. Pro elektriké pole náboje pohybujíího se libovolnou, tedy i ultrarelativistikou ryhlostí jsme si ověřili platnost Gaussova zákona. 76

35 77 Pokud lze zavést objemovou hustotu náboje ρ, můžeme tento zákon vyjádřit opět i v difereniálním tvaru ρ dive. (. ) ε Přesně vzato, pro divergeni pole E byhom měli psát ( ) dive div Γ E E gradγ + Γ dive. (.3 ) Snadno se však přesvědčíme, že E gradγ a objemové hustoty náboje zavedené (.47 ) a (. ) se liší normovaím koefiientem Γ: ρ Γ ρ. (.4 ) Otázkou je, zda pole E zůstává poteniální, tj. zda pro ně platí vztah (.48 ). Již pouhým pohledem na rozložení siločar na obr.5a snadno usoudíme, že toto pole poteniální není. Bude-li se totiž nabitá částie pohybovat v tomto poli po uzavřené dráze l, vyznačené na obrázku, bude přitom vykonána nenulová práe, neboť k prái budou přispívat pouze radiální úseky této dráhy, neboť k prái budou přispívat pouze radiální úseky této dráhy, přičemž hustota siločar a tedy i intenzita pole je na obou těhto úseíh různá. Přímým výpočtem dostáváme ( ) rote rot Γ E gradγ E + Γ rote gradγ E. (.5 ) Vypočteme ( ) R dγ dγ u R R u gradγ gradθ 3, (.6 ) dθ dθ R u sin Θ neboť 77

36 78 u R os Θ, grad ( osθ ) sin Θ gradθ. (.7 ) ur Potom ( u R) R R u Γ dγ d rote E B, (.8 ) dθ R u sin Θ dθ R u sin Θ viz (.67 ). Vidíme, že vektor rote je obeně nulový a rovnoběžný s vektorem magnetiké induke B ΓB. Výraz na pravé straně (.8 ) lze vyjádřit jako pariální časovou B derivai magnetikého pole. t Dokažme si to: elektriké a magnetiké pole pohybujíího se náboje určujeme v bodě o polohovém vektoru r q. Budeme-li tento bod fixovat v prostoru, potom časová závislost pole v tomto bodě bude dána časovou závislostí vektoru ( t) f ( t) f ( t) R : R r q r Q. (. 9) Pariální časovou derivai pole pak můžeme vyjádřit jako dr t dt dt f dr Q grad f grad f grad f Použijeme-li tento výsledek, můžeme psát ( ) u (. ) B ( u grad ) B B ( u grad Γ ) ( u grad ) B (. ) t První člen na pravé straně upravíme podle (.6 ) na 78

37 79 dγ u R os Θ u R dγ u ( grad ) 3 B u Γ B dθ R u sin Θ B sin Θ. dθ R (. ) K úpravě druhého členu (. ) použijeme vztahu ( grad )( ) ( grad ) ( grad ) a b b a a b. (.3 ) Dostaneme Γ Γ Γ( u grad ) B ( u grad )( u E ) u ( u grad ) E Γ Q R u ( u grad ) 4πε R 3 ( ) Γ Q u 3R u R u 3 5 4πε R R Γ Q 3u osθ 3Γu 4 ( u R) B os Θ. 4πε R R (.4 ) Snadno spočteme d d Γ β sin ΘosΘ 3Γ sin Θ β Θ (.5 ) a spojením výsledků (. ) a (.4 ) s (. ) najdeme d B u d Γ sin 3 os d Γ Θ + Γ Θ B B. (.6 ) dt R dθ dθ R u sin Θ Porovnáním (.6 ) s (.8 ) získáme Faradayův zákon elektromagnetiké induke: B rot E. (.7 ) t 79

38 8 Všimněme si nyní vlastností magnetikého pole B. Pro jeho divergeni dostáváme Mihael Faraday (79 867) ( ) div div rot rot B u E E u u E B u rot E u ( u B), t t (.8 ) neboť vektory u a B jsou vždy kolmé. Konečně se budeme zajímat o rotai B. Dostáváme rot B rot ( u E ) div div ( grad ) ( grad ) u E E u + E u u E E E ρ u + µ ρu +. t t ε (.9 ) kde konstanta µ je permeabilita vakua. ε Představme si nyní soustavu nábojů, které se pohybují v soustavě Σ rovnoměrnými a přímočarými pohyby libovolnými ryhlostmi. 8

39 8 Pole vytvářené touto soustavou nábojů můžeme vyjádřit oby superpozii polí jednotlivýh bodovýh nábojů. Podle výše získanýh výsledků vyhovují výsledná vektorová pole systému rovni E rot B µ ρu + t (. ) ρ div E ε (. ) B rot E t (. ) div B, (.3 ) popisujííh obené vlastnosti tzv. elektromagnetikého pole. Jak ukázali M. Faraday a J. C. Maxwell, platí tyto rovnie i pro případ nábojů pohybujííh se zela obeně, tj. též se zryhlením. Vyjádříme-li nyní soustavu (. ) (.3 ) tzv. Maxwellovýh rovni v Gaussově soustavě jednotek, mnohé výpočty se nám tím poněkud zjednoduší: rot E B t 4π j (.4 ) div E 4πρ (.5 ) rot B E + (.6 ) t div B. (.7 ) První dvojie Maxwellovýh rovni popisuje generai elektrikého a magnetikého pole svými zdroji, tj. hustotou elektrikého náboje ρ a proudu j vystupujíími na pravé straně. Druhá dvojie vyjadřuje další vnitřní vlastnosti pole. 8

40 8 Z rovni (.4 ) a (.6 ) je vidět, že elektriké a magnetiké pole mohou svou časovou proměnností vzájemně generovat jedno druhé. Tvůri klasiké elektrodynamiky J.C. Maxwell (83-879) O. Heaviside (85-95) H. Hertz ( ) Provedeme-li divergeni první Maxwellovy rovnie a časovou derivai druhé Maxwellovy rovnie, pak sečtením obou takto upravenýh rovni obdržíme rovnii kontinuity div + ρ j. (.8 ) t Aby byly Maxwellovy rovnie splnitelné, musí být vyhověno rovnii kontinuity. Jinými slovy, elektriké náboje kolem sebe budí elektriké a magnetiké pole tak, aby se samy zahovávaly. Rovnie (.5 ), (.7 ) neobsahují časové derivae a mají proto harakter okrajovýh podmínek. Zbývajíí dvě rovnie (.4 ), (.6 ), které lze divergováním převést na tvar t ρ E (.9 ) t ( div 4πρ ) 4 π div j + t div B div rot E, (.3 ) 8

41 83 Pak zaručují, že jsou-li počáteční podmínky (.5 ), (.7 ) splněny v nějakém čase t, zůstávají splněny neustále ve všeh časeh. V teorii pole je výhodné kromě vektorů intenzit daného pole zavést též poteniály pole, ož jsou veličiny jejihž difereniální formy udávají příslušné intenzity. V elektrostatie lze intenzitu elektrikého pole E vyjádřit jako E - grad ϕ, čímž je identiky splněna Maxwellova rovnie rot E. V magnetismu platí rovnie div B, takže musí existovat vektorové pole A takové, že B rot A. Z druhé dvojie Maxwellovýh rovni tedy plyne, že pro obené elektromagnetiké pole lze psát A E grad ϕ, (.3 ) t B rot A, (.3 ) čímž jsou obě poslední Maxwellovy rovnie splněny identiky. Protože intenzity polí závisejí pouze na derivaíh poteniálů, nejsou tyto poteniály určeny jednoznačně. Daným polím E a B mohou odpovídat různé hodnoty poteniálů k A lze přičíst libovolný konstantní vektor a k ϕ libovolný skalár aniž se změní hodnoty intenzit E a B. Obeně, magnetiké pole B rot A se nezmění jestliže k A přičteme gradient libovolné funke f (rot grad f ). Aby se přitom nezměnilo ani pole E je zároveň třeba k poteniálu ϕ f přidat člen. t Provedeme-li tedy kalibrační transformai poteniálů A A A + grad f, (.33 ) f ϕ ϕ ϕ, (.34 ) t 83

42 84 kde f (r, t) je libovolná skalární funke místa a času, příslušné elektromagnetiké pole se nezmění. Tato určitá svoboda ve volbě poteniálů umožňuje provést jejih kalibrai tak, aby to bylo o nejvýhodnější pro řešení daného problému. Maxwellovy rovnie (.4 ), (.5 ) vyjádřené dosazením z (.33 ), (.34 ) mají obeně značně složitý tvar: A 4π ϕ A j + grad grad A +, (.35 ) t t ϕ 4πρ grad A. (.36 ) t Tyto rovnie se značně zjednoduší, předepíše-li se pro poteniály tzv. Lorenzova kalibrační podmínka grad ϕ A +. (.37 ) t Tato podmínka může být splněna funkí f vyhovujíí rovnii f A + ϕ. (.38 ) f div t t Při této kalibrai nabývají Maxwellovy rovnie vyjádřené pomoí poteniálů separovaný a symetriký tvar D Alembertovýh rovni A 4π A A j, (.39 ) t ϕ 4π ϕ ϕ ρ. (.4 ) t Obené řešení těhto rovni je tvaru tzv. retardovanýh poteniálů: 84

43 85 ϕ r r ρ r, t r r ( r, t) dv + ϕ r r j r, t r r (, t) dv + A A r, (.4 ), (.4 ) kde r (x, y, z) je polohový vektor bodu v němž stanovujeme poteniály, r (x, y, z ) je polohový vektor objemového elementu dv dx dy dz při integrai hustoty náboje a proudu. ϕ a A popisují vnější pole působíí na soustavu. Vztahy (.4 ) a (.4 ) ukazují, že v daném místě r a v daném čase t je pole určeno nikoliv okamžitým rozložením náboje a proudu v prostoru, nýbrž rozložením retardovaným vždy o čas t r r, který je potřeba k překonání vzdálenosti R r r ryhlostí. Napíšeme-li Maxwellovy rovnie (.4 ), (.6 ) pro prostorovou oblast, kde j, ρ, pak jejih pariální derivaí podle času a dosazením ze zbývajííh dvou Maxwellovýh rovni získáme D Alembertovy rovnie E E, t B B, t (.43 ) analogiké rovniím (.39 ), (.4 ) pro poteniály, pouze tentokrát bez přítomnosti elektrikýh nábojů. 85

44 86 Jelikož tyto rovnie mají nenulová řešení, může elektromagnetiké pole existovat i samostatně, bez přímé vazby na elektromagnetiké náboje a jejih proudy. Budeme-li hledat partikulární řešení závislá pouze na jedné souřadnii x a na čase t, zjednoduší se rovnie (.43 ) na E E, x t B B. x t (.44 ) Řešením je každá funke tvaru x E E x, t, x B B x, t. (.45 ) Stejná hodnota pole E a B jaká je v bodě o souřadnii x v čase t bude ve všeh bodeh, jejihž souřadnie a čas splňují rovnii x x (.t t ). Jedná se tedy o vlnění šíříí se ve směru osy x fázovou ryhlostí. Z Maxwellovýh rovni tak plyne existene elektromagnetikýh vln šířííh se prostorem ryhlostí světla. Tento poznatek přivedl Maxwella k názoru, že světlo je zřejmě elektromagnetiké vlnění o velmi krátké vlnové déle. Tím se Maxwellovi podařilo sjednotit do uelené teorie nejen jevy elektriké a magnetiké, ale zahrnout sem i jevy optiké. V rovinné vlně šíříí se ve směru osy x jsou všehny veličiny funkemi x pouze t. 86

45 87 x Je-li E E t, pak z Maxwellovýh rovni (.4 ) a (.6 ) pro ρ, j, plyne B n de E rot E n, (.46 ) t x t d t takže vztah mezi elektrikým a magnetikým polem v elektromagnetiké vlně je B n E, (.47 ) kde n je jednotkový vektor ve směru šíření vlny. Vektory elektrikého a magnetikého pole jsou tedy neustále kolmé jak navzájem, tak i ke směru šíření vln elektromagnetiké vlny jsou příčné. Protože B rot A, stačí pro popis rovinné vlny pouze vektorový poteniál A, pomoí něhož se pole E a B stanoví vztahy A B n, (.48 ) t A E n n t. (.49 ) Nejjednodušší případ elektromagnetiké vlny je vlna monohromatiká, v níž je pole v každém bodě jednoduhou harmonikou funkí času. ( ) ( t) ( ) ωt α ( ) A A r konst. r os + r. (.5 ) V rovinné monohromatiké vlně bude pole harmonikou funkí x argumentu t : 87

46 88 x A A os ω t + α, (.5 ) kde A a α nezávisí na t ani na x. Zavedením vlnového vektoru ω k n (.5 ) lze rovinnou vlnu vyjádřit ve tvaru ( r, t) os( ωt + α ) A A kr (.53 ) platném pro libovolný směr šíření vlny. V komplexním tvaru má vztah (.53 ) podobu ( kr ωt ) i A Re e A, (.54 ) i kde A A e α. Při pootočení souřadniové soustavy o úhel ς kolem n se pole v rovinné elektromagnetiké vlně bude transformovat podle zákona. (.55 ) i A A e ς A elektromagnetiká vlna je tedy invariantní vzhledem k pootočení o úhel ς π. Tomu odpovídá hodnota spinu elektromagnetikého pole π s. (.56 ) ς 88

47 89 Jednoduhými úvahami o prái potřebné k rozmístění nábojů do požadované konfigurae lze ukázat, že elektrostatikou energii soustavy N nabitýh těles E (.57 ) N e qa a dv dv ε ϕ ρϕ 8π a lze vyjádřit pomoí integrálu intenzity jejih společného pole, takže elektrikému poli lze přisoudit energii rozloženou s hustotou W e 8π E (.58 ) v prostoru. Podobně, úvahy o prái potřebné k indukování elektrikýh proudů v soustavě elektrikýh obvodů ukazují, že energie takovéto soustavy vodičů ε N e Iaφa dv dv A j B (.59 ) 8π a je dána objemovým integrálem vektoru induke B buzeného magnetikého pole a můžeme ji považovat za energii tohoto magnetikého pole rozloženou v prostoru s hustotou W m 8π B. (.6 ) Hustota energie v elektromagnetikém poli se pak rovná součtu hustot odpovídajííh elektriké a magnetiké slože: Wem We + Wm ( E + B ). (.6 ) 8π 89

48 9 Elektromagnetiké pole samotné musí tedy obsahovat energii a hybnost, která může proudit i prázdným prostorem a konat prái na elektrikýh nábojíh, tj. měnit se na jiné formy energie. Elektromagnetiké pole není tedy jen prostor v němž působí elektriké a magnetiké síly, ale je samostatnou fyzikální entitou speifikou formou hmoty. Skalárním vynásobením rovnie (.4 ) polem E a rovnie (.6 ) polem B a jejih sečtením získáme po úpravě rovnii E + B div ( E B) j E. (.6 ) t 8 4π Integrae přes nějakou zvolenou prostorovou oblast V pak po aplikai Gaussovy věty dává E + B dv ve dv + E B ds 8 4π ρ t V V S ( ). (.63 ) Rovnie (.63 ) vyjadřuje zákon zahování energie v elektromagnetikém poli: Elektromagnetiká energie obsažená v prostorové oblasti V se zmenšuje jednak o mehanikou prái vykonanou elektrikými silami na nábojíh uvnitř oblasti V, a jednak o energii vyzářenou polem ven z oblasti V skrze ohraničujíí plohu S V. Rovnii (.63 ) je rovněž možno zapsat ve tvaru d dt elmag + kin E B ds P ds V 4π S S ( ε ε ) ( ) (.64 ) z něhož vidíme, že úbytek elkové energie elektromagnetikého pole a nabitýh části v objemu V za jednotku času je roven elkovému toku tzv. Poyntingova vektoru P plohou S obklopujíí oblast V. 9

49 9 John Henry Poynting (85 94) Rovnie (.64 ) vyjadřuje zákon zahování součtu elkové energie elektromagnetikého pole a kinetiké energie všeh nábojů. Podobně lze ukázat, že elektromagnetiké pole má hybnost danou integrálem p P dv. (.65 ) V Proud energie v rovinné elektromagnetiké vlně je vzhledem k (.47 ) a (.6) roven P E B Wem 4π n 4π n n, (.66 ) z čehož je rovněž patrno, že se pole ve vlně šíří ryhlostí světla. Mějme soustavu pohybujííh se elektrikýh nábojů soustředěnou v nějaké omezené prostorové oblasti (viz obr..9) 9

50 9 Obr..9 Pole buzené soustavou pohybujííh se elektrikýh nábojů je dáno nikoliv okamžitým, ale retardovaným rozložením a pohybem nábojů. Umístíme-li počátek souřadni kamsi do nitra této soustavy nábojů, pak při studiu pole ve velkýh vzdálenosteh R L, kde L je harakteristiký rozměr soustavy, budou všehna místa zdrojové soustavy přibližně ve stejné vzdálenosti R jako je počátek souřadni. Vzdálenost R - r jednotlivýh míst r zdroje od vyšetřovaného vzdáleného bodu R jsou přibližně stejné a rovny R r R R r, (.67 ) kde R je jednotkový vektor směřujíí od počátku σ do vyšetřovaného bodu, takže retardované poteniály lze pro velké vzdálenosti od zdroje psát ve tvaru R R r ϕ ( R, t) ρ r, t + dv, (.68 ) R R R r A( R, t) j r, t + dv. (.69 ) R 9

51 93 Retardační čas se tedy skládá ze dvou různýh částí. První část R určuje vnější retardai, tj. dobu potřebnou k tomu, aby změny v elektromagnetikém poli překonaly vzdálenost od počátku souřadni (tj. od zdrojové soustavy), do vzdáleného pozorovaího bodu. R r Druhá část rovná harakterizuje vnitřní retardai, tj. dobu šíření rozruhu v poli v rámi zdrojové soustavy. V případě, že rozložení náboje v soustavě se mění dostatečně pomalu, lze vnitřní retardai zanedbat. K tomu stačí, aby harakteristiká doba T za kterou se rozložení náboje L znatelně změní, splňovala podmínku T. Jelikož T λ je vlnová délka elektromagnetiké vlny vyzařované soustavou, lze podmínku zanedbatelnosti vnitřní retardae napsat též ve tvaru L λ tj. rozměry soustavy musejí být malé ve srovnání s délkou vyzařovanýh vln. Charakteristiká doba změny rozložení nábojů souvisí s průměrnou ryhlostí nábojů vztahem T L, (.7 ) v takže k zanedbání retardae je třeba, aby byla splněna podmínka v. Při zanedbání vnitřní retardae jsou poteniály ve velkýh vzdálenosteh od zdrojové soustavy rovny R ϕ ( R, t) ρ r, t dv, (.7 ) R R A( R, t) j r, t dv. (.7 ) R 93

52 94 Ve vlnové zóně, tj. ve vzdálenosteh velkýh jak ve srovnání s rozměry zdrojové soustavy, tak s délkou vyzařovanýh vln je možno v rámi malýh oblastí prostoru považovat proměnnou složku pole za rovinnou vlnu. Stačí zde tedy stanovit vektorový poteniál N N d A ρv dv qivi qir i R R R dt i i (.73 ) R d ɺ t, R R kde d qiri je dipólový moment soustavy v čase t. Elektriké a magnetiké pole je pak podle (.47 ) rovno E( R, t) ( dɺɺ R ) R, (.74 ) R B d ɺɺ R, (.75 ) ( R, t) ( ) R R kde dipólový moment d se opět bere v okamžiku t. Tok elektromagnetiké energie ve vlnové zóně, tj. intenzita elektromagnetikého záření, je vyjádřena Poyntingovým vektorem podle (.66 ). Použijeme-li polárníh souřadni podle obr.., můžeme jej přepsat ve tvaru d P ( E B) ( d R ) ɺɺ R 4π 4π R 4π R ɺɺ 3 3 sin ϑ. (.76 ) 94

53 95 Obr.. Ve velké vzdálenosti od zdrojové soustavy (ve vlnové zóně) je proměnná složka pole dána druhou časovou derivaí dipólového momentu soustavy d.. a má harakter elektromagnetikýh vln odnášejííh pohybovou energii zdroje do prostoru. Úhlové rozdělení intenzity záření elektrikého dipólu je dáno koefiientem sin ϑ, viz směrový diagram na obr... Obr.. Směrový diagram vyzařování elektrikého dipólu. Celkový výkon vyzařovaný soustavou je pak dán tokem energie přes elou sférikou plohu R konst.: ɺɺ I d R d π sin ϑ P S sin d d 3 π ϑ ϑ. (.77 ) 3 4π R 3 R konst. ɺɺ 95

54 96 V případě, že zdrojová soustava sestává pouze z jednoho zryhleně se pohybujíího náboje q, je d ɺɺ q ɺɺ r q a, (.78 ) a vyzařovaný výkon je roven I q 3 a. 3 (.79 ) Vztahy (.73 ) až (.77 ) pro pole záření ostrovní soustavy elektrikýh nábojů ve vlnové zóně byly získány v aproximai prvního řádu v poměru L (členy vyššíh řádů byly zanedbány), ož vedlo λ k uplatnění pouze dipólového momentu soustavy. V obeném případě je však třeba vzít v úvahu i další členy v rozvoji poteniálu podle monin L, ož vede k tomu, že elková intenzita λ elektromagnetikého záření soustavy pohybujííh se nábojů je dána časovými derivaemi jednotlivýh multipólovýh momentů rozložení náboje. Kromě dipólového momentu se na záření obvykle nejvíe podílí kvadrupólový moment ( δ ) K ρ 3x x r dv (.8 ) αβ α β αβ a popř. magnetiký dipólový moment m ( ) dv ρ r v, (.8 ) které k záření přispívají podle vztahu 96

55 97 I d ɺɺ + K ɺɺɺ 3 5 αβ + m ɺɺ. (.8 ) jestliže vlastnosti zdrojové soustavy jsou takové, že d ɺɺ, jako je tomu např. v soustavě tvořené tělesy se stejným speifikým nábojem q m, dipólové záření nevzniká a uplatní se pouze záření vyššíh multipólů způsobené členy vyššího řádu v rozvoji poteniálu podle monin L λ. Elektrodynamika tak dospívá k obenému závěru, že při každém nerovnoměrném pohybu elektrikýh nábojů dohází k vyzařování elektromagnetikýh vln, které odnášejí část jejih kinetiké energie do prostoru. Analýza elektromagnetikého pole v malýh vzdálenosteh od zdrojové soustavy ukázala, že uvnitř a v blízkosti zdrojové soustavy se vytváří určitá malá proměnná složka elektrikého pole s fází odlišnou od hlavní proměnné složky. V aproximai třetího řádu je tento člen roven Ere ɺɺɺ d. (.83 ) 3 3 Ve zdrojové soustavě bude na každý náboj q působit určitá dodatečná reaktivní síla F q E (.84 ) re re konajíí za jednotku času prái F re v, takže elková práe vykonaná tímto polem na všehny náboje soustavy vyhází N re 3 i i i A ɺɺɺ d q v ɺɺɺ d dɺ, (.85 ) ož při zprůměrňování podle času dává 97

56 98 A re 3 dɺɺ. (.86 ) 3 Je vidět, že tato přídavná složka pole způsobuje příslušné brždění pohybů ve zdroji zpětnou reakí vyzařovanýh vln, a to v plné energetiké shodě se vztahem (.77 ) získaným analýzou pole ve vzdálené vlnové zóně. Pohybovou rovnii nabité částie v elektromagnetikém poli pod vlivem Lorentzovy síly (.67 ) je tudíž třeba doplnit o brzdíí účinek elektromagnetikého vyzařování: q d v F q E + ( v B ) + 3. (.87 ) 3 dt Kromě ryhlosti šíření a vlnové povahy elektromagnetikého záření plyne z D Alembertovýh rovni (.39 ), (.4 ), že o do transformačníh vlastností se veličina ϕ hová jako časová a veličina A µ (A) jako prostorové složky čtyřvektoru k A ( ϕ, ) A, (.88 ) který se nazývá čtyřpoteniál a umožňuje přepsat D Alembertovy rovnie do čtyřrozměrného tvaru a sloučit je tak do jediné prostoročasové rovnie A k k A 4π j m x x m k (.89 ) kde j k k dx ρ ( ρ, j ), (.9 ) dt neboť x t) je tzv. čtyřproud. 98

57 99 S jeho pomoí lze rovnii kontinuity (.8 ) přepsat do čtyřrozměrného tvaru: j x k k j. (.9 ) k, k Lorenzova kalibrační podmínka ve čtyřrozměrném tvaru zní A x k k A k, k, (.9 ) tj. čtyřpoteniál je volen tak, aby jeho čtyřdivergene byla rovny nule. Ze vztahů (.3 ), (.3 ) vidíme, že složky vektorů E a B lze interpretovat oby komponenty antisymetrikého čtyřtenzoru F Ex Ey Ez Ex B k i z B A A y x x Ey Bz Bx Ez By Bx ik i k (.93 ) nazývaného tenzor elektromagnetikého pole. Elektromagnetiké pole ve čtyřrozměrném prostoročase je tímto tenzorem úplně popsáno. Lorenzovy pohybové rovnie nabité hmotné částie v elektromagnetikém poli (.67 ) lze interpretovat jako prostorové složky čtyřrozměrné rovnie pohybu nabité částie dv m dt i q ik F vk, (.94 ) jejíž časová komponenta popisuje změny energie částie v důsledku práe vykonané elektromagnetikými silami. První dvojii Maxwellovýh rovni lze pomoí F ik sjednotit do jediné čtyřrozměrné rovnie 99

58 F x ik k F ik, k 4π j i (.95 ) popisujíí buzení elektromagnetikého pole čtyřproudem j i. Podobně druhou dvojii Maxwellovýh rovni lze zapsat jako jedinou rovnii pro složky tenzoru elektromagnetikého pole: Fik Fkm Fmi + +. (.96 ) m i k x x x Vztahy vyjadřujíí v klasiké elektrodynamie hustotu proudu energie a hybnosti v elektromagnetikém poli lze shrnout pomoí tenzoru energie hybnosti elektromagnetikého pole ik i km lm T elmag. Fm F Flm F 4π + 6π. (.97 ) Po dosazení hodnot ik F z (.93 ) je zřejmé, že T elmag. je roven hustotě energie elektromagnetikého pole (.6 ), a komponenty T α jsou rovny složkám Poyntingova vektoru (.66 ). Prostorové složky tenzoru energie hybnosti elektromagnetikého pole: αβ Telmag. σαβ ( E B ) δαβ Eα Eβ Bα Bβ 4π +, (.98 ) kde δ αβ je Kronekerův tenzor, tvoří trojrozměrný, tzv. Maxwellův tenzor napětí. Tenzor energie hybnosti, který úplně popisuje rozložení a pohyb energie a hybnosti v dané fyzikální soustavě, má obeně následujíí strukturu:

59 ik Hustota energie Hustota proudu energie T Hustota proudu energie hustota proudu hybnosti E hustota hybnosti E v E t t t. hustota hybnosti E Tenzor napětí v σ ik t (.99 ) Označíme-li hustotu energie W, je lokální zákon zahování energie vyjádřen rovnií kontinuity W + div ( v W ). (. ) t Díky univerzálnímu vztahu (.3 ) mezi energií, hmotností a hybností, d je hustota rozložení hybnosti P p dána hustotou proudu energie v W dv W Ρ v. (. ) Pro nekoherentní prah platí Ρ v ρ. (. ) Lokální zákon zahování hybnosti pak může být napsán ve tvaru P t α α ( ) + div v P. (.3 ) Ve čtyřrozměrném prostoročase je pohyb částie reprezentován její světočárou, jíž lze popsat parametrikou rovnií x i i x ( λ) (.4 )

60 kde λ je vhodný parametr, za nějž nejčastěji dosazujeme invariantní veličiny jako je vlastní čas τ nebo přímo délka světočáry daná prostoročasovým intervalem s. Minkowského metriku v difereniálním tvaru můžeme zapsat jako ds dt + dx + dy + dz. (.5 ) Zavedeme-li označení x t, x x, x y, x 3 z, nabyde Minkowského metrika tvar ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ds dx + dx + dx + dx, (.6 ) který je speiálním případem obené kvadratiké formy ds g dx dx η dx dx, (.7 ) i k i k ik ik v níž má metriký tenzor g ik speiální tvar g ik ηik. (.8 ) Tenzor η ik je tzv. Minkowského metriký tenzor. Herman Minkowski (864 99)

61 3 Přehod od ineriální soustavy Σ se souřadniemi x i k soustavě Σ se souřadniemi x i musí být lineární transformaí prostorovýh souřadni 3 i i k i i k i x ak x + b ak x + b, (.9 ) k i i kde ak ; b jsou konstanty nezávislé na x. Jedině tak může být splněn speiální prinip relativity zajišťujíí rovnoprávnost všeh ineriálníh soustav. Aby byl splněn prinip stálé ryhlosti světla, musí tato transformae dále vyhovovat podmíne s η x x η x x s (. ) i k i k ik ik invariane intervalu. Transformae (.9 ) vyhovujíí podmíne (. ) jsou čtyřrozměrným vyjádřením obenýh Lorenzovýh transformaí mezi ineriálními soustavami Σ a Σ. Měříme-li souřadnie a čas takovým způsobem, že při t t počátky kartézskýh souřadni v obou soustaváh Σ a Σ splývají, potom jsou b i. Tehdy hovoříme o tzv. homogenníh Lorenzovýh transformaíh x a x. (. ) i i k k Transformační vztah (.9 ) obsahuje elkem zdánlivě i nezávislýh koefiientů a k. Dosazením transformačního vztahu (. ) a (. ) však dostaneme podmínku η η a a, (. ) l m ik lm i k Která tyto koefiienty svazuje deseti rovniemi, vzhledem k symetrii v indexeh i, k. 3

62 4 Zůstává tak pouze 6 nezávislýh transformačníh koefiientů, které odpovídají třem parametrům udávajíím směr os x, y, z a třem komponentám vektoru ryhlosti pohybu soustavy Σ vůči Σ. Množina všeh homogenníh Lorenzovýh transformaí (. ) tvoří spojitou šestiparametrikou Lorenzovu grupu. Množina všeh Nehomogenníh Lorenzovýh transformaí (.9 ), které vzniknou z homogenníh transformaí přidáním čtyř transformaí posuvu počátku prostoročasovýh souřadni x i x i + b i, tvoří ti parametrikou Poinarého grupu. V případě speiální Lorentzovy transformae přejde vztah (. ) v (.7) potažmo (. ), takže koefiienty a mají hodnoty i k i a k γ γ. (.3 ) βγ γ Souřadnie x i (x, x, x, x 3 ) dané události jsou komponentami polohového čtyřvektoru příslušného světobodu v prostoročase. Čtvere délky tohoto čtyřvektoru, tj. interval mezi počátkem (,,, ) a daným světobodem (x, x, x, x 3 ): ( ) ( ) ( ) ( ) x x + x + x + x η x x, (.4 ) 3 i k ik je veličina invariantní vůči Lorenzovým transformaím. d Vektory ryhlosti x dv d x v a zryhlení a hrají důležitou dt dt dt úlohu v klasiké mehanie, takže je užitečné zavést jejih čtyřrozměrné analogie v mehanie relativistiké. i dx Přímým zobeněním vzniká veličina se nehodí, neboť to není dt čtyřvektor (dt není relativistiký invariant). 4

63 5 Invariantní mírou času je vlastní čas τ, takže jako čtyřryhlost je přirozené definovat čtyřvektor u i i i dx dx dτ ds. (.5 ) Vzhledem ke vztahu (.6 ) mezi dτ a dt lze složky čtyřryhlosti vyjádřit pomoí obyčejné ryhlosti v ve tvaru (, ) i u γ γ v. (.6 ) Při ryhlosti v, přehází prostorová část čtyřryhlosti v obyčejnou ryhlost. Ze vztahu dx i dx i dτ snadno plyne i u ui. (.7 ) Z geometrikého hlediska je čtyřvektor u i jednotlivým tečným vektorem ke světočáře dané částie. Čtyřzryhlení částie se definuje jako i i i i du d x d x a dτ dτ ds. (.8 ) Z derivae vztahu (.7 ) podle τ dostaneme i a u i, (.9 ) Takže čtyřvektor ryhlosti a zryhlení v prostoročase jsou navzájem ortogonální. Rovnoměrný a přímočarý pohyb volné částie, je ve čtyřrozměrném tvaru vyjádřen rovnií 5

64 6 a i i d x (. ) dτ popisujíí přímkovou světočáru. Čtyřrozměrným zobeněním hybnosti klasiké mehaniky, je čtyřvektor i i p m u (. ) zvaný čtyřhybnost. Dosazením složek u i z (.6 ) dostaneme γ ( µ,, 3). (. ) p m p µ Prostorová část je tedy rovna relativistiké hybnosti p mv m v γ, (.3 ) zatímo časová komponenta je p. E Komponenty čtyřhybnosti lze proto zapsat jako p i E, p. (.4 ) z prostoročasového hlediska jsou tedy energie a hybnost částie složkami jediného čtyřvektoru energie hybnosti, jednoznačně harakterizujíího pohybový stav částie. Čtvere čtyřhybnosti ( o )( ) p p m u m u m (.5 ) i i i i 6

65 7 je podle (. ) roven i p pi E p, (.6 ) ož vede ke vztahu (.3 ). Čtyřvektor síly, čili čtyřdíly, se definuje jako časová změna čtyřhybnosti částie i dp du dτ dτ. (.7 ) i i F m S obyčejným trojrozměrným vektorem síly čtyřsíly vztahem d F p souvisí komponenty dt i F F v γ, F γ. (.8 ) Mezi čtyřsílou a čtyřhybností platí vztah f i i u, (.9 ) tj. čtyřsíla je v prostoročase kolmá k čtyřryhlosti. d Newtonova pohybová rovnie F p má ve čtyřrozměrném zobenění dt tvar F i i dp. (.3 ) dτ Prostorová část této rovnie popisuje změnu hybnosti a časová komponenta změnu energie částie pod vlivem působíí síly. Stejně, jako jsme výše sjednotili energii a hybnost do jediného čtyřvektoru energie hybnosti, můžeme nyní rovnie zahování 7

66 8 (. ), (.3 ) sloučit do jediné tenzorové rovnie T x ik k ik T,, (.3 ) k kde tenzor energie hybnosti bude mít tvar 3 v v v 3 v v v v v v v. (.3 ) v v v v v v v ik T W v v v v v v 3 v Fyzikální význam jednotlivýh komponent tenzoru energie hybnosti je tedy následujíí: T hustota energie (. hmotnosti ) T α α-složka proudu energie, tj. α-složka hustoty hybnosti T αβ α-složka hustoty β-složky hybnosti, tj. α-složka síly působíí na daný objemový element přes jednotkovou plošku s normálovým vektorem n β. Rozepsáním tenzorového zákona zahování (.3 ) ve složkáh a separaí prostorovýh a časovýh derivaí dostaneme rovnie α α αβ T T T T + ; + α β t x t x. (.33 ) Jejih integraí přes libovolnou prostorovou oblast V αβ T T T dv + dv ; T dv + dv β t x t x α α α V V V V 8

67 9 a po úpravě pomoí Gaussovy věty, obdržíme rovnie (.34 ) α α αβ T dv T ds ; T dv T ds, t t V S V S (.35 ) kde integrály na pravé straně se berou přes uzavřenou plohu S V obklopujíí objem V. Podle první z těhto rovni je ryhlost změny energie obsažené v objemu V rovna toku energie přes uzavřenou plohu S ohraničujíí tento objem. Podobně druhá rovnie říká, že změna hybnosti v objemu V za jednotku času je rovna proudu hybnosti přes ohraničujíí plohu S. Rovnie (.35 ) tedy vyjadřují zákon zahování energie a hybnosti v integrálním tvaru. Obeně, elková čtyřhybnost p i je pomoí tenzoru energie hybnosti vyjádřena integrálem i ik p T ds k (.36 ) přes uzavřenou plohu zahrnujíí elý trojrozměrný prostor. Rovnie (.3 ) je pak ekvivalentní tvrzení, že tato čtyřhybnost se zahovává. Trojrozměrný vektor momentu hybnosti B klasiké mehaniky definovaný jako B r p, (.37 ) se v STR nahrazuje obenějším čtyřtenzorem momentu hybnosti ik i k k i B x p x p. (.38 ) Je to antisymetriký tenzor, jehož prostorové složky jsou rovny složkám trojrozměrného vektoru B. 9

68 Pro kontinuum je ( ) ( ). (.39 ) ik i k k i i km k im B x dp x dp x T x T ds m Aby byl splněn zákon zahování momentu hybnosti B ik,k, musí být ( x i T km x k T im ),. (.4 ) m Kromě zákona (.3 ) je k tomu zapotřebí aby tenzor energie hybnosti byl symetriký, tj. T ik ki T. (.4 ) Nejjednodušším typem kontinua je soubor vzájemně neinteragujííh části označovaný jako koherentní prah. Hustota čtyřhybnosti části v takové soustavě činí ρ u i, takže α α T ρ u (α,, 3). (.4 ) Hustota energie je T ρ (.43 ) a hustota proudu hybnosti αβ dx dx T ρ d τ d τ. (.44 ) Tenzor energie hybnosti koherentního prahu tedy je ik i k T ρ u u. (.45 )

69 Použijeme-li při sledování ideální kapaliny vztažnou soustavu v níž se uvažovaný objemový element nepohybuje, bude platit Pasallův zákon, podle něhož je tlak P stejný ve všeh směreh. V takové vztažné soustavě bude tenzor napětí roven σ P δ T. (.46 ) αβ αβ αβ Hustota hybnosti je zde T α, takže tenzor energie hybnosti v klidové vztažné soustavě má tvar T ik ρ P. (.47 ) P P Blaise Pasal (63 66) Po transformai do obené vztažné soustavy, v níž se daný objemový element pohybuje čtyřryhlostí u i, bude tenzor energie hybnosti ideální kapaliny dán vztahem ( ) ik i k ik T P + W u u + P η (.48 ) resp. ( ) T P + W u u + P δ. (.49 ) ik i i k k

70 Konepi tenzoru energie hybnosti je výhodné zahovat i v případě, kdy se nejedná o skutečné kontinuum. Sestává-li vyšetřovaná soustava z N bodovýh části o hmotnosteh m a i (a,,, N), které se pohybují čtyřryhlostmi u a, pak tenzor energie hybnosti můžeme definovat jako N i k N k ik α dxa dxa 3 k dxa 3 T ( t, x ) ma δ ( x xa ( t) ) pa δ ( x xa ) dτ dt, dt a a (.5 ) kde δ 3 (x) je trojrozměrná Diraova delta funke. Z hlediska ineriální vztažné soustavy STR se jeví prostor třírozměrný a má eukleidovskou geometrii. Avšak v Minkowského pseudoeukleidovském prostoročase STR se v neineriálníh vztažnýh soustaváh stává geometrie trojrozměrného prostoru obeně neeukleidovskou. Snadno to lze demonstrovat na příkladu rotujíí vztažné soustavy diskutovaném v. kapitole. V rovinném Minkowského prostoročase STR je pole fiktivníh setrvačnýh sil vznikajííh v neineriálníh vztažnýh soustaváh popsáno metrikým tenzorem g ik, který pak vystupuje v obeně invariantníh fyzikálníh zákoneh. Rozdíl mezi polem zdánlivýh setrvačnýh sil a skutečným gravitačním polem je jen v tom, že v prvním případě je prostoročas plohý a vhodnou transformaí se lze vždy vrátit ke globální ineriální soustavě, zatímo v druhém případě nikoliv. To je však rozdíl pouze globální, lokálně žádný rozdíl neexistuje. A protože fyzikální zákony mají lokální harakter, lze soudit, že i skutečné gravitační pole je v libovolné vztažné soustavě plně určeno metrikým tenzorem prostoročasu g ik. Pomoí prinipu ekvivalene lze zobenit všehny fyzikální zákony STR na zakřivený prostoročas OTR. To ovšem vyžaduje rozdělit prostoročas na dostatečně malé oblasti, v rámi nihž lze gravitační pole považovat za homogenní.

71 3 Pro každou takovou oblast zavést lokálně ineriální vztažnou soustavu a podle prinipu ekvivalene v ní použít zákony STR. Vhodnou transformaí prostoročasovýh souřadni pak v těhto zákoneh přejít k příslušné neineriální vztažné soustavě, v níž vzniklé fiktivní síly budou lokálně totožné se skutečnými gravitačními silami v daném místě a spojit takto získané lokální informae v globální elek. Problém stanovení vlivu gravitae na fyzikální děje se nám tak rozloží na řadu lokálníh problémů, které lze na základě prinipu ekvivalene řešit v rámi STR. Tento obený postup si nyní můžeme demonstrovat na jednoduhýh příkladeh. Mějme testovaí částii hmotnosti m pohybujíí se v daném gravitačním poli, která se v okamžiku τ nahází ve světobodě P. Zavedeme-li v tomto bodě lokálně ineriální vztažnou soustavu S ɶ i s kartézskými prostoročasovými souřadniemi xɶ souvisejíími s vlastním časem τ testovaí částie vztahem dτ k η ikdx ɶ, (.5 ) bude v této soustavě v okamžiku τ v okolí testovaí částie stav beztíže a lokálně zde tedy bude platit STR. Rovnie pohybu testovaí částie v této lokálně ineriální soustavě proto budou ɶ ( τ ) dτ i d x. (.5 ) Přejdeme-li od soustavy S ɶ k obené neineriální vztažné soustavě S s prostoročasovými souřadniemi x i souvisejíími s vlastním časem vztahem dxɶ dxɶ dx dx l m i k j ds dτ gikdx dx ; gik ( x ) ηlm i k. (.53 ) 3

72 4 Pohybová rovnie (.5 ) se přetransformuje na tvar i k l d x i dx dx kl + Γ, (.54 ) dτ dτ dτ kde i im gmx gml gkl Γ kl g + + l k m x x x. (.55 ) Stejnou proeduru můžeme udělat v každém bodě světočáry testovaí částie a vždy obdržíme rovnii tvaru (.55 ). Rovnie (.55 ) je tedy obenou rovnií pohybu testovaí částie v zakřiveném prostoročase, která je kovariantní vzhledem k libovolné transformai prostoročasovýh souřadni. Jako druhý příklad si vezměme difereniální zákon zahování energie a hybnosti, který má ve STR tvar T T x ik ik, k k. (.56 ) Stejný tvar bude mít i v každé lokálně ineriální vztažné soustavě S ɶ v gravitačním poli: T ik xɶ ( xɶ ) k. (.57 ) Po transformai do obené (neineriální) vztažné soustavy S tento zákon nabude kovariantní tvar T x ik k i mk k im + Γ T + Γ T, (.58 ) mk mk který představuje formulai zákona zahování energie a hybnosti v zakřiveném prostoročase. 4

73 5 Z těhto dvou příkladů již můžeme vyvodit obené zákonitosti. Podle prinipu ekvivalene jsou fyzikální zákony v gravitačním poli lokálně identiké, jako fyzikální zákony v neineriálníh vztažnýh soustaváh bez gravitae. Neineriální vztažná soustava je pak po matematiké stráne ekvivalentní křivočaré soustavě prostoročasovýh souřadni. Zobenění fyzikálníh zákonů na přítomnost zakřiveného prostoročasu bude tedy spočívat v jejih přepsání do obenýh křivočarýh souřadni. Rozdíl oproti rovinnému prostoročasu STR je pak jen v tom, že plohý prostoročas dovoluje vrátit se vhodnou transformaí vždy zpět k zákonům STR v kartézskýh souřadniíh globální ineriální soustavy, zatímo pro zakřivený prostoročas to možné není. Globální ineriální soustavy zde neexistují, existují pouze křivočaré souřadnie. Zobenění fyzikálníh zákonů STR na zakřivený prostoročas spočívá v tom, že obyčejné pariální derivae podle souřadni jsou nahrazeny derivaemi kovariantními, ož se zkráeně formuluje jako pravidlo čárky změnit na středníky. Krom toho Minkowského tenzor η ik přehází v obený metriký tenzor g ik. Uvažujme částii s nulovou klidovou hmotností, pohybujíí se ryhlostí. Její pohyb bude v lokální ineriální soustavě dán rovniemi ɶ, dλ τ η ɶ ɶ, i d x i k ds d ikdx dx (.59 ) kde λ je afinní parametr nahrazujíí vlastní čas τ, jenž zde není použitelný, neboť je roven nule. V obeném zakřiveném prostoročase má rovnie šíření světla tvar 5

74 6 i i k d x i dx dx kl + Γ, dλ dλ dλ i k ds dx dx gik, dλ dλ dλ i k ds g dx dx. ik (.6 ) Světočáry, po kterýh se volně pohybují fotony se v OTR nazývají izotropními, čili nulovými geodetikami, neboť vlastní čas dτ a čtyřvzdálenost ds jsou podél nih rovny nule. Tenzor elektromagnetikého pole (.93 ) bude mít v zakřiveném prostoročase tvar F A A. (.6 ) ik k ; i i ; k Snadno lze však ukázat, že platí A A A A. (.6 ) k ; i i ; k k, i i, k Podobně i první dvojie Maxwellovýh rovni si zahovává svůj původní tvar: F + F + F F + F + F. (.63 ) ik, l li, k kl, i ik; l li; k kl; i Nahradíme-li v Lorentzově rovnii pohybu nabité testovaí částie v elektromagnetikém poli i du q ik m F uk dτ (.64 ) derivai i du dτ absolutní derivaí, dostaneme rovnii pohybu testovaí částie v elektromagnetikém a gravitačním poli ve tvaru 6

75 7 i i du i k l Du q ik m + Γklu u m F u ds ds k. (.65 ) Rovnie kontinuity j i, i bude mít v zakřiveném prostoročase obený tvar j, (.66 ) i ; i ik a druhá část Maxwellovýh rovni F, zobení na tvar k 4π i j se v gravitačním poli F ik ; k 4π i j. (.67 ) Čtyřvektor proudové hustoty je ve STR definován jako j i i dx ρ, (.68 ) dt dq kde ρ je hustota rozložení náboje v prostoru. dv Po transformai do křivočarýh souřadni přehází element objemu dv v γ dv, kde γ je determinant prostorového metrikého tenzoru γ αβ a dv dx + dx + dx 3. Čtyřproud v obenýh rovniíh (.66 ) a (.67 ) bude dán výrazem j i i dx ρ. (.69 ) g dx Pro ujasnění vlivu gravitae na elektromagnetiké jevy je zajímavé rozepsat rovnie (.63 ) a (.67 ) v trojrozměrném tvaru. Zavedeme-li veličiny 7

76 8 E F, D g F, B F, H g F, α α αβ αβ α α αβ αβ (.7 ) Budou v nih mít rovnie (.63 ) a (.67 ) po separai prostorovýh a časovýh složek tvar B x B x αβ γ B + x E x γα β B + x E αβ α β + β α x βγ α, ; (.7 ) γ γ x x α β α ( γ D ) 4πρ, α α α dx ( γ H ) + γ ( γ D ) 4πρ. x dx (.7 ) Jestliže je gravitační pole statiké, dají se tyto rovnie přepsat v běžné trojrozměrné vektorové symbolie D E g H ; B g B div B ; rot E t D divd 4πρ ; rot H + t 4π j, (.73 ) kde vektor intenzity magnetikého pole H má složky H βγ H, (.74 ) α γ ε αβγ a vektor magnetiké induke B má složky 8

77 9 B α αβγ γ ε Bβγ. (.75 ) Pohlédneme-li na rovnie (.73 ) z hlediska negravitační fyziky, ihned shledáme, že mají tvar Maxwellovýh rovni elektromagnetikého pole v látkovém prostředí s permitivitou a permeabilitou ε µ. (.76 ) g ϕ + Zakřivený prostoročas má tedy na elektromagnetiké pole podobný vliv jako elektriky a magnetiky měkké látkové prostředí. Elektromagnetiké vlnění, které je řešením Maxwellovýh rovni, se tedy bude v nehomogenním gravitačním poli šířit nerovnoměrně a křivočaře, stejně jako je tomu i v případě rovnie nulové geodetiky (.6 ) popisujíí pro změnu pohyb fotonů hmotnosti ħω m. (.77 ) Díky univerzálnosti gravitační interake zde neexistuje žádná disperze. V silnýh nehomogenníh gravitačníh políh lze tudíž očekávat zajímavé optiké jevy (jako např. gravitační čočky), podobné těm, které vznikají v optiky nehomogenníh látkovýh prostředíh. Zbývá ještě vyjasnit vztahy mezi prostoročasovými intervaly událostí v prostoročase a jejih souřadniemi x i v obené vztažné soustavě S. Vyjdeme z výrazu pro invariantní prostoročasový interval ds d i x τ gikdx dx (.78 ) a zavedeme ineriální vztažnou soustavu S ~ takovou, že je momentálně v klidu vůči vztažné soustavě S v daném bodě. 9

78 Potom jak délky infinitesimálníh měřííh tyčí, tak i časové intervaly budou stejné v soustavě S i S ~. V lokálně ineriální soustavě S ~ se souřadniemi ds i k α ( dx ) + dx ~ d~ xα dτ η dx dx. (.79 ) ik Vztah mezi časovou souřadnií x a vlastním časem τ snadno určíme, vezmeme-li dvě události, které z hlediska referenční soustavy S nastaly kráte po sobě v tomtéž místě. α Interval mezi těmito událostmi je pak (.78 ), a protože dx, je ds d tj. ( dx ) τ g, (.8 ) dτ g dx, (.8 ) ož můžeme pro slabá gravitační pole přepsat ve tvaru dx d ϕ ϕ τ + + dt. (.8 ) Pro získání vztahu mezi skutečnými délkami a prostorovými souřadniemi x α (α,, 3), musíme výraz pro délku elementární měříí tyče v klidové lokálně ineriální soustavě S ~ 3 α ( dx ) ~ α dl dx dx ~ (.83 ) α α přetransformovat do obené (neineriální) soustavy S. Pro vlastní délku nekonečně krátké měříí tyče pak dostáváme vztah

79 β α αβ β α β α αβ γ dx dx dx dx g g g g dl, (.84 ) kde k i k i k m i l lm ik x x x x x x x x x x x x g ~ ~ ~ ~ ~ ~ α α η (.85 ) a. ~ ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~, ~ ~ β α β γ α γ αβ α α γ γ α x x x x x x x x g x x x x x x x x g x x g (.86 ) Pro interval vlastního času pak dostáváme,, ~, ~ x x dx x x dx dx x x dx k k α β β α α (.87 ) tj. ( ) ( ) dx g d τ, (.88 ) ve shodě s (.8 ).

80 g α gβ Výraz gαβ tedy udává metriku neineriální vztažné soustavy g v třírozměrném prostoru, tj. trojrozměrnou metriku γ αβ indukovanou metrikou prostoročasu g ik. Oddělením prostorovýh členů v identitě g ik g ik lze odvodit vztahy mezi metrikou prostoru a prostoročasu: γ g αβ g αβ γ g,, (.89 ) kde g je determinant sestavený z g ik a γ je determinant ze složek γ αβ. Aby byla vztažná soustava odpovídajíí metrikému tenzoru g ik fyzikálně realizovatelná, musí být trojrozměrná metriká forma (.84 ) pozitivně definitní, a podle (.8 ) musí též platit g <. Tyto, tzv. Hilbertovy podmínky vyjadřujeme pomoí determinantů a subdeterminantů metrikého tenzoru takto: g g g g g g g <, g g g >, g <. (.9 ) g g g Existuje-li vztažná soustava, v níž složky metrikého tenzoru g ik nezávisí na časové souřadnii x, nazývá se příslušné gravitační pole staionární. Pokud ve staionárním poli naví existuje vztažná soustava v níž všehny smíšené komponenty metrikého tenzoru g α jsou rovny nule, jedná se o statiké gravitační pole, ve kterém jsou oba toky času ekvivalentní. Z gravitačního zákona plyne, že statiká gravitační pole jsou buzena statikým rozložením hmoty, avšak gravitační pole sfériky symetrikého tělesa ve vakuu je statiké i tehdy, když toto těleso radiálně pulzuje, jak si ukážeme později. Staionární gravitační pole může být v praxi buzeno pouze kompaktním izolovaným tělesem, neboť v soustavě několika volnýh těles způsobí

81 3 jejih gravitační interake vzájemné pohyby, takže výsledné gravitační pole bude proměnné. Příkladem staionárního pole je gravitační pole okolo axiálně symetrikého tělesa, rovnoměrně rotujíího kolem své osy. Toto pole však není statiké, neboť oba směry toku času zde nejsou ekvivalentní. Při obráení šipky času se mění znaménko úhlové ryhlosti rotae tělesa. Uveďme si ještě jeden významný důsledek vztahu mezi intervalovým a vlastním souřadniovým časem, kterým je již gravitační rudý posuv. Dle vztahu (.8 ) budou ve dvou místeh s různým gravitačním poteniálem témuž intervalu souřadniového času odpovídat různé intervaly vlastního času. Nehť ve staionárním gravitačním poli se v bodě P nahází zdroj světla, který vyšle dva světelné impulsy oddělené intervalem τ (P ) vlastního času. Souřadniový časový interval mezi těmito událostmi pak bude ( ) ( ) τ P t ( P ) x ( P ). (.9 ) g P Tyto světelné signály se šíří prostorem a budou zahyeny pozorovatelem v bodě P. Protože ve staionárním gravitačním poli složky metrikého tenzoru nezávisí na časové souřadnii, bude interval souřadniového času t (P ) mezi okamžiky přijetí obou impulsů pozorovatelem P stejný, jako v bodě vyslání P, tj. ( ) t ( P ) t P. (.9 ) Protože ( P ) t ( P ) g ( P ) τ, (.93 ) bude 3

82 4 τ ( P ) g ( P ) τ ( P ) g ( P ). (.94 ) Stejně tak, bude-li v bodě P probíhat periodiký proes vyzařování světelnýh vln, pak počet těhto kmitů za jednotku souřadniového času bude stejný ve všeh bodeh trajektorie šíříího se záření a poměr mezi periodami T(P ) a T(P ) záření v místeh P a P bude dán opět vztahem (.94 ). Poměr frekvení proto bude ( ) ( ) ( ) ( ) ω P g P ω P g P Ve slabém gravitačním poli je g ( P) + ϕ takže platí ω ω ( ) ( P ) neboli. (.95 ) ( P), (.96 ) ϕ ( P ) P + + ϕ ϕ ( P ) P P + ( ) ϕ ( ), (.97 ) ( ) ( ) ω ( ) ( ) ( ) ω ω P ω P ϕ P ϕ P ϕ. (.98 ) ω P 4

83 5 Gravitační pole je projevem geometrie prostoročasu ovlivňované univerzálně veškerou hmotou energií. Bude tedy přirozené jej popsat obenou rovnií tvaru Objekt popisujíí geometrii Objekt popisujíí distribui prostoročasu energie hmoty. (.99 ) přičemž pro slabá gravitační pole musí dávat správnou newtonovskou limitu, tj. Poissonovu rovnii ϕ 4πρG (.3 ) s poteniálem ϕ souvisejíím s metrikým tenzorem vztahem g ϕ +, (.3 ) kde, d x dt h α α x (.3 ) a h ϕ. (.33 ) V tomto případě tenzor g ik nezávisí na x, g α (α,, 3) a existuje vztažná soustava, v níž může být metriký tenzor rozložen na ( ) η ( ), g x + h x h. (.34 ) ik ik ik 5

84 6 Objektem, který vyčerpávajíím způsobem a nezávisle na konkrétní struktuře popisuje distribui a pohyb hmoty a energie ve fyzikální soustavě je tenzor energie-hybnosti T ik. Označíme-li levou stranu (.99 ) popisujíí geometrii prostoročasu jako G ik, dostaneme rovnie gravitačního pole ve tvaru G ik K T, (.35 ) ik kde K je nějaká konstanta, kterou je třeba určit. K tomu je třeba přesněji speifikovat veličinu G ik tím, že na ni budeme klást několik rozumnýh fyzikálníh požadavků: ) G ik musí být symetriký tenzor. řádu, aby byl konzistentní s T ik. ) G ik je objekt popisujíí gravitační pole a tedy geometrii prostoročasu. Měl by být proto sestaven z metrikého tenzoru g ik a tenzoru křivosti R i klm. 3) Z důvodu lokálního zahování energie a hybnosti zdroje musí být kovariantní čtyřdivergene G ik ;k. 4) V rovinném prostoročase musí být G ik. 5) G ik je lineární funkí tenzoru křivosti, takže obsahuje derivae metrikého tenzoru g ik jen do druhého řádu, přičemž tyto druhé gik derivae jsou obsaženy lineárně (tj. aby G ik byl lineární v i k x x s koefiienty které jsou funkemi pouze g ik, nikoliv jeho prvníh derivaí). Podmínky 5 umožňují jednoznačné nalezení veličiny G ik. Z difereniální geometrie plyne, že veličina vyhovujíí podmínkám, a 5 musí mít tvar Gik A Rik + B gik R + C gik, (.36 ) kde A, B, C, jsou konstanty. 6

85 7 Dle požadavku 4, musí být C, přesněji C 57 Λ m, (.37 ) ož je tzv. kosmologiká konstanta. Vzhledem k její nepatrné hodnotě ji prozatím můžeme pro zjednodušení položit rovnu nule, později se k ní však ještě vrátíme. Z požadavku 3 vzhledem k Bianhiho identitám (.63 ), (.65 ) plyne A B, (.38 ) čili A R g R K T ik ik ik. (.39 ) Konstantu A je možno zahrnout do konstanty K, položíme-li k K. (.3 ) A Tím dostáváme G ik, čili tzv. Einsteinův tenzor ve tvaru Gik Rik gik R k Tik. (.3 ) Konstantu k snadno určíme z požadavku aby pro slabá pole přešly obené rovnie v Newtonův gravitační zákon. Nejprve provedeme v rovniíh (.3 ) limitní přehod k nerelativistiké mehanie tím, že budeme uvažovat gravitační pole slabé, s čímž souvisí též nízké ryhlosti objektů v tomto poli. Jako zdroj gravitačního pole použijeme nejjednodušší klasiký model nestrukturované hmoty nekoherentní prah popsaný tenzorem energie hybnosti 7

86 8 ik i k T ρ V V. (.3 ) Za předpokladu malýh ryhlostí můžeme položit V i (,,, ), takže nenulová komponenta T ik bude pouze T ρ. (.33 ) Jednoduhou algebraikou úpravou rovni (.3 ) dostaneme tvar ik ik ik R k T g T, (.34 ) který se nám v případě (.33 ) redukuje na jedinou rovnii R k ρ, (.35 ) neboť ostatní rovnie jsou v naší aproximai rovny nule. R vypočítáme ze vztahu (.55 ), přičemž s ohledem na slabost pole členy druhého řádu vypustíme. Dostaneme tak R Γ, (.36 ) x α α ož použitím vztahu (.96 ) platného pro slabá pole dává R ϕ. (.37 ) Položíme-li pak 8π G k, (.38 ) 4 8

87 9 získáme Poissonovu rovnii pole (.3 ) ve tvaru ϕ ρ π ρ. (.39 ) 4 4 k G Jejím řešením bude ρ dv ϕ G, (.3 ) R ož je Newtonův zákon jako speiální případ Einsteinovýh gravitačníh rovni pro velmi slabá gravitační pole. Nyní již nám ni nebrání zapsat hledané rovnie gravitačního pole: 8π G Gik Rik gik R T 4 ik. (.3 ) Kontrakí metrikým tenzorem g ik dostaneme 8πG R R T, (.3 ) 4 čímž rovnie gravitačního pole obdržíme též v ekvivalentním tvaru 8π G Rik T 4 ik gikt, (.33 ) i kde T T i. Tato soustava nelineárníh pariálníh difereniálníh rovni druhého řádu pro složky metrikého tenzoru g ik plně určuje prostoročasovou distribui metrikého tenzoru, tj. prostorové rozložení a časovou evolui gravitačního pole buzeného soustavou zdrojů popsanou tenzorem energie hybnosti T ik. Kovariantní čtyřdivergene levé strany G ik je identiky rovna nule. 9

88 3 Je to důsledek Bianhiho identit (.63 ), (.65 ), pro tenzor křivosti, tj. projevem geometriko topologikého prinipu hranie hranie je rovna nule. V našem případě se jedná o orientovanou dvojrozměrnou hranii trojrozměrné hranie čtyřrozměrné oblasti prostoročasu. Z gravitačníh rovni (.3 ) tedy přirozeně plyne lokální zákon zahování energie a hybnosti zdroje ve tvaru T, (.34 ) ik ; k jakožto důsledek obené komplementarity mezi zdrojem a jím buzeným polem jež má takové vlastnosti, z nihž automatiky plynou zákony zahování tohoto zdroje. Zdroj kolem sebe vytváří pole právě tak, aby se sám zahovával. Tento zákon zahování vede k rovniím pohybu zdrojové soustavy popsané příslušným tenzorem energie hybnosti. Gravitační rovnie tedy určují nejen gravitační pole pro dané rozložení hmoty, ale určují i pohyb hmotnýh zdrojů. Na rozdíl od všeh ostatníh teorií pole není v OTR nutno zvlášť zvenčí postulovat pohybové rovnie zkušebníh části v daném gravitačním poli. Tyto rovnie pohybu se dají získat jako důsledek rovni pole. i ik 4π j Např. pro elektromagnetiké pole z Maxwellovýh rovni F ; k identiky plyne díky antisymetrii tenzoru elektromagnetikého pole F ik i vztah j ;, ož je rovnie kontinuity proudu, čili zákon zahování i elektrikého náboje. Maxwellovy rovnie tak omezují svobodu zdrojů pouze po stráne elektriké, zatímo Einsteinovy rovnie postihují všehny formy pohybu zdrojů. Gravitae a mehanika jsou zde vzájemně sjednoeny na rozdíl od Newtonovy teorie, kde jsou zela nezávislé. Podobně, máme-li volné elektromagnetiké pole ve vakuu, pak z Einsteinovýh rovni na jejihž pravé straně bude vystupovat tenzor energie hybnosti elektromagnetikého pole: 3

89 3 l lm Rik gik R Fil Fk gik Flm F (.35 ) plynou i Maxwellovy rovnie tohoto volného elektromagnetikého pole ik m k k lm F ; k. Přitom R a R R δ i Rlm R 4. Einsteinovy a Maxwellovy rovnie se tak dají sloučit do jediné soustavy rovni 4. řádu (Misnerovy Wheelerovy rovnie), která v geometrikém tvaru obsahuje jak Maxwellovu elektrodynamiku (bez nábojů) v zakřiveném prostoročase, tak i Einsteinovy rovnie udávajíí zakřivení prostoročasu tímto elektromagnetikým polem. Elektromagnetiké pole zanehává na geometrii prostoročasu harakteristiké stopy, z nihž jej lze poznat a jejihž hováním je určeno. Charles W. Misner (93) Elektromagnetiké pole, které je určeno výrazem obsahujíím odmoniny Riiho tenzoru křivosti R ik lze tedy plně popsat pomoí pouze gravitačníh veličin složek metrikého tenzoru. Maxwellovy rovnie jsou pak dány vztahem mezi Riiho křivostí a ryhlostí, s jakou se mění. Zákony elektrodynamiky tak nabývají čistě geometriký harakter. Dostáváme tak velie zajímavý popis, v němž elektromagnetiké pole je projevem prázdného zakřivovaného prostoročasu. Naneštěstí však, jak později ukázal Witten, při integrai Misnerovýh Wheelerovýh rovni mohou příslušné Cauhyovy okrajové podmínky odpovídat současně víe než jednomu Maxwellovskému poli. Uvedená 3

90 3 metoda geometrikého popisu elektrodynamiky se tím stává nejednoznačnou. Baron Augustin-Louis Cauhy ( ) Uvažujme nyní dvě částie, z nihž jedna je umístěna v bodě x i (tu budeme považovat za vztažnou) a druhá v blízkém bodě x i + ε i kde ε i je čtyřvektor prostoročasové odlehlosti těhto dvou testovaíh části. Jestliže nyní tyto částie neháme spolu volně padat v gravitačním poli, budou se pohybovat po světočáráh x i (λ), x i (λ)+ ε i (λ), kde čtyřvektor ε i (λ) spojuje body obou trajektorií se stejným λ. Kovariantní derivai jejih odhylky, tj. deviai obou geodetik snadno odvodíme s použitím vztahu (.48 ) pro kovariantní derivai vektoru podél křivky. Hledaná rovnie deviae geodetik pak bude i k m D ε i dx dx l R klm ε. (.36 ) dλ dλ dλ Vidíme, že geodetiky dvou těles padajííh vedle sebe v nehomogenním gravitačním poli se budou vůči sobě obeně odhylovat, přičemž i D ε vzájemné zryhlení obou části je úměrné tenzoru křivosti R i klm. dλ Složky tenzoru křivosti tedy popisují gradienty gravitačníh sil slapové síly. 3

91 33 V rovinném prostoročase jsou všehny složky tenzoru křivosti nulové, takže k deviai geodetik nedohází. Abyhom nyní získali úplnější obraz o vlivu gravitae na pohyb hmoty, přejdeme od dvou geodetik k elé soustavě takovýh geodetik, zaplňujííh jistou oblast prostoročasu. Do každého bodu prostoru v této oblasti dosadíme hmotnou částii a neháme ji volně padat zakřiveným prostoročasem, přičemž zaznamenáváme její světočáru. Každým bodem prostoročasu v uvažované oblasti bude potom proházet některá z těhto geodetik. Stanovíme-li pro každou geodetiku v každém jejím bodě jednotkový tečný vektor V i, dostáváme pro kongrueni geodetik elé pole tečnýh vektorů V i (x k ). Divergene, respektive konvergene C geodetik v dané oblasti je dána kovariantní čtyřdivergene vektorového pole V i : C V. (.37 ) i ; i Konvergene kongruene geodetik časového typu se řídí důležitou Rayhaudhuriho difereniální rovnií d C R V V C ds 3 i k ik + σ +, (.38 ) kde δ popisuje vzájemný skluz geodetik. Amal Kumar Rayhaudhuri (93 5) 33

92 34 V případě, že by kongruene geodetik rotovala, bude na pravé straně (.38 ) ještě člen -ω. Pro konvergeni izotropníh geodetik platí analogiká rovnie d C R V V C dλ i k ik + σ +, (.39 ) Kde V i jsou izotropní tečné vektory. Poslední dva členy na pravýh stranáh rovni (.38 ), (.39 ) jsou nezáporné, takže o výsledném znaménku změn konvergene rozhoduje člen R ik V i V k. Aby i tento člen byl nezáporný, musí být dle Einsteinovýh rovni (.33 ) gravitační pole buzeno tenzorem energie hybnosti splňujíím nerovnost i k Tik T gik V V (.33 ) pro všehny V i časového typu, resp. nerovnost i k T V V (.33 ) ik pro izotropní vektory V i (pro něž je g ik V i V k ). Pro T ik ideální kapaliny je to splněno tehdy, jestliže hustota a tlak splňují relae ρ ; ρ + (.33 ) resp. p α ρ ; ρ + p α. (.333 ) α ukazuje se, že energetiká podmínka (.33 ) je splněna pro všehny dosud známé formy hmoty, neboť hustota energie je nezáporná a 34

93 35 k narušení energetiké podmínky by bylo třeba velkého záporného tlaku p. V reálném vesmíru je však zřejmě splněna ještě o něo silnější podmínka tzv. energodominane. Pro každý vektor V i časového typu je ik T VV (.334 ) i k a vektor T ik V k je časového nebo izotropního typu, takže lokální hustota energie je vždy nezáporná a naví lokální proud energie se realizuje pouze na plášti nebo uvnitř světelného kuželu. Energie tedy dominuje nad všemi ostatními složkami tenzoru energie hybnosti, tj. platí T T. (.335 ) ik Pro T ik ideální kapaliny je to splněno tehdy, když ( ) ρ ; ρ ρ α,, 3, (.336 ) p α tj. když tlak nepřevyšuje hustotu energie (ryhlost zvuku nepřevyšuje ryhlost světla). Člen R ik V i V k v rovniíh (.38 ), (.39 ) je tedy při splnění rozumnýh energetikýh podmínek (.33 ) rovněž nezáporný, takže pro ryhlost změny konvergene geodetik platí nerovnost d C ds 3 C. (.337 ) Podle níž konvergene monotónně roste podél kongruene geodetik. Pokud jsou tedy splněny energetiké podmínky pro tenzor energie hybnosti takové, aby podle Einsteinovýh rovni bylo i k R V V (.338 ) ik 35

94 36 pro každý vektor V i časového resp. izotropního typu, má gravitae přitažlivý harakter a na geodetiky časového resp. izotropního typu fokusujíí účinek. Einsteinovy rovnie gravitačního pole byly do značné míry zkonstruovány podle vzoru Maxwellovýh rovni elektrodynamiky. Při sledování analogií mezi gravitaí a elektrodynamikou se vynoří základní otázky: Jakou ryhlostí se šíří gravitační interake? Existuje gravitační analogie elektromagnetikýh vln? Jakým způsobem gravitae zprostředkovává přenos energie? Mějme izolovanou hmotnou soustavu popsanou tenzorem energie - hybnosti T ik v asymptotiky rovinném prostoročase. Souřadniovou soustavu zvolíme tak, aby ve velikýh vzdálenosteh od hmotného zdroje spojitě přeházela v asymptotikou ineriální (Lorenzovu) soustavu. Složky metrikého tenzoru budeme vyšetřovat ve tvaru g η + h (.339 ) ik ik ik kde η ik (.34 ) je Minkowského metrika a hik g ik η (.34 ) ik jsou odhylky od této metriky. Definujeme-li si veličiny 36

95 37 h h i ik i ik ik, ik h η ψ h ik ηikh (.34 ) a souřadnie zvolíme tak, aby ψ ik všude vyhovovalo kalibračním k podmínkám ψ ;, můžeme Einsteinovy rovnie vyjádřit pomoí ψ ik i k ( ) ik lm ik ik ψ, lm η 6π T + t, (.343 ) kde t ik jsou veličiny druhého a vyššího řádu v ψ ik. Řešení takto linearizovanýh Einsteinovýh rovni lze vyjádřit podobně jako v elektrodynamie, formou retardovanýh integrálů ik ik R t, x ik 4G T t α α ψ ( t, x + ) 4 R kde t ik, (.344 ) α ( α ) 3 α d x R x x. (.345 ) Pokud je t ik, je vztah (.344 ) vlastně integrální rovnií, neboť t ik je funkí ψ ik. Pro slabá pole však v aproximai linearizované teorie není pseudotenzor t ik přítomen. Vztah (.344 ) ukazuje, že výsledné gravitační pole není určeno okamžitým rozložením hmoty ~ energie, neboť změny v gravitačním poli se šíří ryhlostí, ož se dalo očekávat již při odvozování OTR z STR, v níž hraje ryhlost světla rozhodujíí úlohu pro strukturu prostoročasu. V dostatečně velikýh vzdálenosteh od zdrojové soustavy bude gravitační pole již značně slabé, takže ve vztahu (.339 ) bude hik. Předpokládejme nyní, že prostoročas je takřka rovinný a Minkowského metrikou, jen slabě deformovanou gravitačním polem vyjádřeným veličinami h ik. 37

96 38 Tehdy budou všehny nelineární efekty zpětného vlivu pole na metriku zanedbatelně malé. Takovéto gravitační pole pak můžeme vyšetřovat oby nezávislé pole, na pozadí Minkowského prostoročasu podobně, jako např. pole elektromagnetiké. Při vhodnýh kalibračníh podmínkáh platí pro slabá pole linearizované Einsteinovy rovnie (.343 ). Pro vakuum je pak ψ ik (.346 ) ož je rovnie popisujíí gravitační vlny šíříí se ryhlostí světla. Nejjednodušší řešení linearizovanýh gravitačníh rovni ve vakuu ψ lm r i kr x Re( Alm e ) (.347 ) popisuje rovinnou monohromatikou vlnu s amplitudou A lm a vlnovým vektorem k r. Z rovnie (.343 ) plynou vztahy k k r r m, A k, (.348 ) lm podle nihž k je izotropní vektor kolmý k A. Z toho tedy plyne, že gravitační vlny jsou příčné vlny s frekvení ω k k + k + k, (.349 ) x y z šíříí se ryhlostí světla ve směru k. Harmoniká řešení (.347 ) tvoří úplnou bázi funkí ψ a libovolné řešení vlnovýh rovni může být složeno jako superpozie těhto řešení. Lorentzovy podmínky snižují počet veličin ψ ik z deseti na šest nezávislýh komponent. Lorentzovy podmínky jsou invariantní vůči transformai 38

97 39 ψ ψ + f + f, (.35 ) ik ik i, k k, i kde f i jsou čtyři libovolné funke splňujíí podmínky l fi, l, ψ ik. (.35 ) Vhodnou volbou f i pak mohou být veličiny ψ ik redukovány na pouhé dvě nezávislé složky odpovídajíí dvěma stavům polarizae. Pro monohromatikou rovinnou vlnu (.347 ) lze vybrat kalibrační funke f i tak, aby bylo ψ i, ψ αα. (.35 ) Potom bude h ψ, h, h αα. (.353 ) ik ik i Tato velmi výhodná kalibrae se nazývá příčná s nulovou stopou a označujeme ji zkratkou TT (Transversal Traeless). V TT-kalibrai mají složky tenzoru křivosti s komponentami h ik velmi jednoduhou souvislost: αβ α β α β α β αβ αβ, R R R R h h t. (.354 ) Pakliže se rovinná vlna šíří ve směru osy x, je popsána tenzorem h ik. (.355 ) hyy hzz hyz hyy Nenulové jsou zde tedy jen složky h ik : 39

98 4 ( ) ( ) Re ( ), Re( i ω t x i ω t x + ) h h A e h h A e. yy zz yz zy (.356 ) Při přehodu k novému souřadnému systému S pootočenému kolem osy šíření gravitačníh vln z o úhel ϑ, tj. při transformai t t, x x osϑ + y sin ϑ, y y osϑ x sin ϑ, z z, (.357 ) se jednotlivé vektory polarizae gravitační vlny transformují podle vztahu ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ ) e e os + e sin, e e sin + e os (.358 ) jestliže se rovinná vlna ψ při pootočení o úhel ϑ kolem směru šíření transformuje podle zákona ψ ψ, (.359 ) i s e ψ π tj. zůstává-li invariantní při pootočení o úhel ϑ kolem osy šíření, s pak s je spin kvanta přiřazeného této vlně. Pro gravitační vlny vyhází tento úhel invariane ϑ π, čemuž odpovídá spin s. To je spin nesený hypotetikým gravitačním kvantem gravitonem. Gravitační vlny přenášejí hmotnost ~ energii a proto jsou jednak ovlivňovány gravitačním polem jímž proházejí, a jednak spolupůsobí jako zdroj gravitae, tj. přispívají k elkové křivosti prostoročasu. Říkáme, že gravitační vlny nejsou gravitačně neutrální. Podobně, ani elektromagnetiké vlny nejsou gravitačně neutrální, avšak jsou elektromagnetiky neutrální nenabité, tj. neovlivnitelné elektrikým a magnetikým polem, ani jiným elektromagnetikým polem. Lokálně lze gravitační vlny považovat za rozruh v geometrii prostoročasu šíříí se ryhlostí, vyvolaný nějakým nerovnoměrným pohybem hmoty, a šíříí se rovinným prostoročasem, aniž je třeba brát 4

99 4 zřetel na interaki s elkovým zakřivením prostoročasu na jehož pozadí se vlny šíří a na nelineární interake mezi nimi navzájem. Globálně však zakřivení prostoročasu způsobené rozložením ostatní hmoty bude způsobovat frekvenční posuv gravitačníh vln a měnit směr jejih šíření. K tomuto globálnímu zakřivení přitom bude přispívat i energie nesená samotnými gravitačními vlnami. Při šíření gravitačníh vln budou tedy vznikat harakteristiké nelineární efekty. Např. dvě gravitační vlny se budou vzájemně rozptylovat. Abyhom mohli odlišit vlníí se část křivosti prostoročasu od globální křivosti pozadí způsobené přítomností hmotnýh těles, musí být střední délka gravitačníh vln mnohem menší než harakteristiký poloměr křivosti prostoročasu na jehož pozadí se vlny šíří λ R. (.36 ) Místní křivost ve vlně může být přitom podstatně větší, než globální křivost prostoročasu. Odlišení pozadí od vln je umožněno nikoliv rozdílem v zakřivení, ale rozdílností měřítek, v nihž se zakřivení periodiky mění. Jak si ukážeme dále, samotné gravitační vlny vyvolávají dle Einsteinovýh rovni též globální zakřivení prostoročasu úměrné A/λ. Proto ke splnění základní podmínky krátkovlnné aproximae (.36 ) je nutné, aby též amplituda A gravitačníh vln byla malá. Prostoročas vyhovujíí podmíne (.36 ) lze potom analyzovat jednak z hlediska lokálníh měřítek, a jednak z hlediska globálníh vlastností prostoročasu. Příslušná metoda analýzy gravitačníh vln v krátkovlnné aproximai se nazývá Isaasonův formalismus. Metriký tenzor pak můžeme rozepsat jako g g + h, (.36 ) glob ik ik ik glob kde g ik je globální metrika prostoročasu na jehož pozadí se vlny h ik šíří. 4

100 4 Rihard A. Isaason (937) Podobně též tenzor křivosti R ik lze rozložit v řadu podle malého bezrozměrného parametru λ / R. glob ( ) ( ) λ R R R R F R ik ik ik ik , (.36 ) glob kde R ik je globální křivost pozadí, monotónní v rozsahu většího množství vlnovýh délek, ( ) l l l Rik ( h ; ik hik ; l + hlk ; i + hli ; k ) (.363 ) je vlníí se část křivosti prostoročasu která je lineární v λ/r a R h h + h h + h h h + ( ) lm lm ik lm ; i ; k ( lm ; ik ik ; lm li ; km lk ; im ) l ; m ( ; ; ) ( lm ml + hk h li m h mi l h ; m h ; m ) (.364 ) je část tenzoru křivosti kvadratiká v λ/r. Spouštění a zvedání indexů, stejně jako kovariantní derivování se zde glob všude provádí podle metriky g ik. Obené vakuové rovnie pole R ik mohou pak být rozděleny na části a analyzovány jednak z hlediska lokálního, a jednak z hlediska globálního. 4

101 43 V oblasteh srovnatelnýh s vlnovou délkou λ gravitačníh vln, kde se globální zakřivení prostoročasu přímo neuplatňuje, musí být ( ) R. (.365 ) ik Pomoí veličin ψ h ik ik glob h gik, (.366 ) volbou vhodné kalibrae, v níž je ψ (.367 ) k i ; k a vyneháním členů vyššíh řádů můžeme rovnii přepsat ve tvaru ψ + ψ, (.368 ) l glob lm ik ; l Rlikm ož je rovnie šíření gravitačníh vln v zakřiveném prostoročase, analogiká rovnii šíření elektromagnetikýh vln v geometriké optie. Rovnie říká, že gravitační vlny se šíří podél izotropníh geodetik. j k k, k k (.369 ) j i i ; j jsou křivky kolmé k plohám konstantní fáze, které jsou dány rovnií izotropníh geodetik a představují tzv. gravitační paprsky. Vektor polarizae je kolmý k paprskům a přenáší se podél nih paralelním přenosem. Amplituda A vlny s vlnovým vektorem k tvoří diabatiký invariant ( ) A k α (.37 ) α ; 43

102 44 vyjadřujíí zákon zahování počtu gravitonů při šíření gravitačního záření v prostoročase, jehož globální křivost se mění pomalu ve srovnání s frekvení vln. Optiké efekty, jako je rudý posuv, či zakřivování paprsků v gravitačním poli tedy platí i pro gravitační vlny. Při globálním přístupu provádíme zprůměrňování všeh veličin přes oblast o rozměreh několikanásobku vlnové délky, abyhom oddělili globální křivost prostoročasu od lokálníh fluktuaí v gravitačníh vlnáh, které se tím zahladí: ( ) R, (.37 ) ik zatímo globální křivost prostoročasu se praktiky nezmění R glob ik R. (.37 ) glob ik Obr.. V Isaasonově krátkovlnné aproximai lze odlišit globální zakřivení prostoročasu ("pozadí") od lokálníh fluktuaí gravitačníh vln, pokud je vlnová délka mnohem menší než harakteristiký poloměr křivosti prostoročasu. Tato separae se provádí pomoí zprůměrování přes oblast o několika vlnovýh délkáh za použití vhodné normované váhové funke W(z) konvergujíí k nule s rostouí vzdáleností. 44

103 45 Ke středování použijeme vhodné normované váhové funke konvergujíí k nule s rostouí vzdáleností (s rostouím počtem vlnovýh délek), a paralelního přenosu do vyšetřovaného místa podél vhodné geodetiky v metrie g. glob ik Rovnie pole pak budou R glob ik ( ) + R, (.373 ) ik ož lze upravit na tvar Einsteinovýh rovni glob glob glob glob 8π G vln Gik Rik R gik T, (.374 ) 4 kde zdroj na pravé straně 4 vln Tik Rik gik R 8πG ( ) glob ( ) (.375 ) je tzv. Isaasonův tenzor efektivní rozprostřené energie hybnosti gravitačníh vln. Rovnie (.374 ) popisují, jak gravitační vlny při svém šíření globálně zakřivují prostoročas. T tedy můžeme interpretovat jako tenzor energie hybnosti vln ik gravitačníh vln šířííh se prostoročasem (.374 ) plynou běžné zákony zahování glob g ik, pro který z rovni T. (.376 ) ik vln ; k Zbylé členy vyššíh řádů v rovnii R ik popisují shora zmíněné nelineární efekty jako jsou interake vln se sebou samými, apod. Šíří-li se prostoročasem elektromagnetiké či gravitační vlny, budí tedy kolem sebe gravitační pole, tj. zakřivují prostoročas, v němž se šíří, ož samozřejmě nezůstává bez zpětného vlivu na jejih pohyb. 45

104 46 Dle OTR mohou velmi mohutné gravitační či elektromagnetiké vlny vytvořit ve svém okolí natolik silné gravitační pole, že jím budou nueny trvale obíhat po uzavřenýh dráháh. Vytvoří si tak kolem sebe jakýsi gravitační vlnovod ze zakřivené geometrie prostoročasu, v němž trvale irkulují. Takovýto útvar nazýváme elektromagnetiký, resp. gravitační geon. Jestliže bude geon elkové hmoty M sfériky symetriký, bude vzbuzovat sfériky symetriké gravitační pole a prostoročasová metrika bude mít tvar warpové bubliny: ( ϑ sin ϑ ϕ ) ds g dt + g dr + r d + d, (.377 ) tt rr Radiální složka metrikého tenzoru má tvar g rr G m r r ( ), (.378 ) kde m(r) je hmotnost energie obsažená uvnitř koule o poloměru r. Časová složka vně geonu má tvar g tt GM, (.379 ) r uvnitř geonu má pak hodnotu g tt. (.38 ) 9 Čas tedy plyne uvnitř geonu třikrát pomaleji než daleko od geonu. Pro vzdáleného pozorovatele bude geon vykazovat gravitační účinky jako běžná hmota. Na oběžnou dráhu okolo geonu lze např. navést družii. V případě elektromagnetikého geonu se nelze velku čemu divit, neboť 46

105 47 již z STR plyne, že elektromagnetiké vlny přenášejí energii a tedy i hmotu. Gravitační geon je však tvořen pouze vlněním gravitačního pole, tj. vlněním geometrie prázdného prostoročasu. Vlníí se křivost prázdného prostoročasu se tedy z dálky může jevit jako hmotný útvar. Gravitační geon je tedy názorným příkladem hmoty utvořené doslova z prázdného prostoročasu pouhým vlněním jeho křivosti. Z toho důvodu je geon důležitým útvarem z hlediska unitární teorie pole. Geon je však jen extrémním případem konstruke hmotného objektu z geometrie prostoročasu. Ve skutečnosti je každá gravitační vlna takovouto hmotou bez hmoty složenou z vakua hápaného v obvyklém smyslu. To, jak se i v prázdném prostoru bez obvyklýh hmotnýh zdrojů objevuje jakási efektivní hmota majíí globální gravitační účinky, je podobné situai, z elektrodynamiky, kdy se i ve vakuu bez nábojů a proudů pro nestaionární elektromagnetiké pole objevuje Maxwellův posuvný proud E 4π t (.38 ) majíí magnetiké účinky stejné jako skutečný proud elektrikýh nábojů. Podle analogie s elektrodynamikou lze očekávat, že gravitační vlny se budou vyzařovat při nerovnoměrném pohybu těles, kdy dohází k časovým změnám buzeného gravitačního pole. Nejobvyklejším zdrojem radiae v elektrodynamie je záření elektrikého dipólu, jehož intenzita (.77 ) je dána druhou derivaí dipólového momentu N n d q r (.38 ) n n soustavy N elektrikýh nábojů q n podle času. 47

106 48 V gravitai úlohu elektrikého dipólového momentu hraje dipólový moment N n d m r (.383 ) n n rozložení hmoty v soustavě N části m n. První časová derivae tohoto dipólového momentu N n dɺ q rɺ p (.384 ) n n je rovna elkové hybnosti soustavy, takže jeho druhá derivae bude rovna nule díky zákonu zahování hybnosti. Ukazuje se tedy, že dipólové gravitační záření nemůže existovat. Gravitační záření musí mít nejméně kvadrupólový harakter. Souvisí to s teorémem nauky o spinu záření, podle něhož je multipolarita záření jež se může vyzařovat m s, (.385 ) kde s je spin daného pole. Pro elektromagnetiké pole se spinem s je záření nejméně dipólové, pro gravitační pole se spinem s je nejméně kvadrupólové. Za zdroj gravitačníh vln můžeme tudíž považovat obeně každou fyzikální soustavu s časově proměnnou distribuí hmoty ρ(t, x α ). Je-li pohyb hmoty ve zdroji pomalý, vzhledem k ryhlosti světla, je-li dále zdroj malý ve srovnání s délkou vyzařovanýh vln a pole v něm je slabé, pak elkové množství energie gravitačně vyzářené soustavou za jednotku času bude dáno známou kvadrupólovou formulí de G 5 K ɺɺɺ αβ, (.386 ) dt 45 kde tečky značí derivai podle času t a 48

107 49 γ Kαβ ( t) ρ ( t, x)( 3xα xβ δαβ xγ x ) dv (.387 ) je tenzor kvadrupólového momentu rozložení hmoty ve zdroji. Intenzita záření ve směru jednotkového vektoru n de elementu prostorového úhlu dω je dána vztahem G α β β γ dl 5 ( Kαβ n n ) ( Kαβ Kαβ Kαγ n n ) d 36π ɺɺɺ + ɺɺɺ ɺɺɺ ɺɺɺ Ω 4. (.388 ) Pro vyzařování gravitačníh vln je tedy důležitý pouze kvadrupólový moment zdroje, jenž se musí měnit s časem, zatímo monopólový a dipólový moment k vyzařování nepřispívají. Nejjednodušším laboratorním zdrojem gravitačníh vln je tyč rotujíí kolem kolmé osy úhlovou ryhlostí ω. Dle vztahu (.386 ) bude takováto rotujíí tyč gravitačně vyzařovat energii de dt 3G I 5 6 ω. (.389 ) 5 Takřka polovina všeh hvězd je součástí binárníh nebo víenásobnýh hvězdnýh systémů. Máme-li dvě tělesa o hmotnosteh m a m, která na sebe vzájemně působí gravitačními silami a obíhají po kruhovýh draháh poloměru r okolo společného těžiště úhlovou ryhlostí ω, bude tato soustava dle vztahu (.386 ) monohromatikým gravitačním zářičem o výkonu de 3G m m dt m m r ω 4 6 (.39 ) Při obíhání po eliptiké dráze s hlavní poloosou a a exentriitě e je gravitačně vyzařovaný výkon dán obenějším vztahem 49

108 5 de 3G m m 5 dt 5 m + m kde funke a 5 ( ) f e (.39 ) f e e e e 4 96 ( ) ( ) (.39 ) zahyuje rostouí vliv výstřednosti na intenzitu záření. Při eliptikém pohybu obsahují vyzařované gravitační vlny nejen druhou harmonikou frekvene oběžného pohybu, jak je tomu při kruhovém obíhání, ale i vyšší harmoniké. Přitom intenzita vyzařování je nejvyšší v perihéliu, kde jsou si obě tělesa nejblíže a zryhlení zde dosahuje svého maxima. To vede k postupnému zmenšování exentriity a eliptiký pohyb se postupně mění v pohyb po kružnii. Účinnost gravitačního vyzařování energie si můžeme demonstrovat na příkladu oelové tyče o průměru m a déle m, tj. s elkovou hmotností takřka 5 tun, která rotuje okolo svého těžiště ryhlostí a 4 otáček za sekundu limitovanou pevností materiálu. Takto extrémně silný umělý gravitační zářič, který je na samé hranii tehnikýh možností lidstva, by měl dle vztahu (.389 ) gravitační zářivý výkon pouhýh W -9 W. Existují však astrofyzikální jevy, při nihž dohází k vyzařování daleko mohutnějšíh gravitačníh výkonů. Soustava dvou černýh děr o hmotnosteh řádově srovnatelnýh s hmotností Slune, obíhajííh okolo společného těžiště v těsné blízkosti, by dokone gravitačně vyzařovala výkon téměř 47 W. Kinetiká energie obou objektů by se tímto velmi ryhle vyzářila, ož by vedlo ke kvaziperiodikému pohybu s postupným hrouením objektů do společného těžiště a následným splynutím v jediný elek. Dle prinipu ekvivalene lokální působení gravitačníh vln na jedinou izolovanou bodovou částii neexistuje. Proto opět vezmeme dvě blízké testovaí částie A a B a budeme sledovat periodiké změny vzdálenosti mezi nimi způsobené kmitajíí křivostí prostoročasu. 5

109 5 Částii A budeme považovat za vztažnou a spojíme s ní referenční soustavu, která bude lokálně ineriální podél elé světočáry částie A. Vektor ε i z rovnie derivae deviae geodetik zde bude odpovídat souřadnii x i B částie B, takže D x i k m B i A l A + R dx dx klm xb dτ dτ dτ. (.393 ) Jelikož praujeme v lokálně ineriální kartézské soustavě spojené s částií A budou absolutní derivae přeházet v obyčejné derivae a souřadniový čas t splývá s vlastním časem τ s přesností prvního řádu. Vzhledem k (.354 ) pak rovnie deviae nabývá jednoduhý tvar d x h dt t α α B α β β β + R β xb x B. (.394 ) Jestliže v čase t bylo h αβ a částie byly vůči sobě v klidu, můžeme integraí rovnie dospět ke vztahu x t x h t x ( ) ( ) δ αβ + αβ (, ) α α γ B B A (.395 ) vyjadřujíí osilae polohy částie B vzhledem k částii A působené gravitační vlnou. α x t, jež jsou kolmé Přitom osilae vykazují pouze ty komponenty ( ) k vektoru šíření rovinné vlny k α, ož je očekávaný výsledek vzhledem ke (.347 ). Jestliže však sledované testovaí částie nejsou volné, ale interagují spolu negravitačními silami, je třeba rovnii (.36 ) nahradit rovnií D ε dx dx τ τ τ i k m i i i k + R klm ε F ; k ε d d d m B, (.396 ) kde F i je čtyřsíla popisujíí negravitační (v praxi vždy elektromagnetikou) interaki sledovanýh části. 5

110 5 Obr..3 a) Světočáry dvou volně padajííh části A a B se vlivem gravitačníh vln periodiky vzdalují a přibližují. b) Působení (lineárně polarizované) rovinné elektromagnetiké vlny dopadajíí kolmo k nákresně na soustavu testovaíh nabitýh části umístěnýh na kružnii vede k periodikým posunům elého kruhu testovaíh části ve směru závislém na polarizai vlny. ) Působení rovinné gravitační vlny dopadajíí kolmo na kruhově uspořádanou soustavu hmotnýh testovaíh části způsobuje periodiké deformae tohoto uspořádání do elipsy střídavě ve dvou kolmýh směreh danýh polarizaí vlny. Rozdíl v hování rovni (.36 ) a (.396 ) je oním faktorem, jenž umožňuje získávat z gravitačníh vln energii a tím je detekovat. Nebýt tohoto rozdílu, pak by otázka existene gravitačníh vln samotnýh, byla otázkou spíše filozofikou, než fyzikální. O existeni gravitační energie tedy není pohyb. Snahy, o nalezení vyhovujííh vztahů pro lokalizai gravitační energie nevedly zprvu ke kýženým výsledkům, neboť v jakkoli silném gravitačním poli lze v každém bodě použitím lokálně ineriální vztažné i soustavy, kde Γ kl, anulovat všehny složky pseudotenzoru energiehybnosti gravitačního pole t ik. Je tudíž prinipiálně nemožné, zavést hustotu energie gravitačního pole, nezávislou na volbě souřadniové soustavy, a to i v případě, kdy je elková energie definována jednoznačně. Jestliže jeden hmotný systém působí rozruh v gravitačním poli, který se šíří k druhému systému a předá mu jistou energii, vynoří se otázka, kde 5

111 53 se nalézá energie a hybnost v časovém intervalu mezi jejím vysláním jedním systémem a jejím přijetím systémem druhým. Zobeněním lokálního difereniálního zákona zahování energie a hybnosti, známého ze STR, na přítomnost gravitačního pole, dostaneme dle prinipu ekvivalene tenzorový vztah T ik ( g T ) + Γ T, (.397 ) g x ik i mk ; k k mk který však již žádný lokální zákon zahování nevyjadřuje, neboť vlivem přítomnosti druhého členu není možný přehod mezi plošnými integrálními toky a objemovými integrály s použití Gaussovy věty, jako je tomu ve STR. Tam totiž stačí obklopit sledovanou soustavu myšlenou uzavřenou plohou S a přehodem od objemovýh integrálů k integrálům plošným s použitím Gaussovy věty a difereniálního zákona zahování, dostaneme zákony zahování energie a hybnosti v integrálním tvaru: dp dt i T, (.398 ) S iα d Sα kde d S α jsou složky normálového vektoru elementu plohy. Pro izolovanou soustavu je na pravé straně (.398 ) nula, takže p i onst. V zakřiveném prostoročase OTR však, jak vidno, žádné takovéto zákony zahování energie a hybnosti izolovanýh hmotnýh soustav neplatí. Je to dáno tím, že se musí zahovávat nejen energie a hybnost zdrojů gravitačního pole, ale též energie a hybnost samotného gravitačního pole, které však nejsou zahrnuty do T ik. Křivost prostoročasu je totiž jistým speifikým příspěvkem k energii a hybnosti elé hmotné soustavy. Je zřejmé, že přenáší-li gravitační pole energii, hybnost a moment hybnosti, musí mít tytéž harakteristiky hmoty (integrály pohybu) jejihž přenos zprostředkovává, stejně jako je tomu u běžnýh látkovýh prostředí. 53

112 54 Jak jsme však viděli, nemá smysl hovořit o lokalizai energie gravitačního pole v prostoru, tj. o tom, zda v daném bodě je nebo není jisté množství gravitační energie. Lokalizae gravitační energie není možná. Energie gravitačního pole je jevem globálním a nikoli lokálním, ož je plně v souladu s prinipem ekvivalene, podle něhož lze v libovolném místě prostoru zavést lokálně ineriální soustavu, tj. lokálně odstranit gravitační pole a s ním i lokální gravitační energii. Lokální gravitační energie nefiguruje jako zdroj na pravé straně Einsteinovýh rovni. Nezakřivuje tedy prostoročas, nemá váhu a není nijak měřitelná. Rozumné fyzikální vlastnosti má gravitační energie pouze v nelokálním smyslu. Zákony zahování energie, hybnosti a momentu hybnosti jsou důsledkem homogenity času a homogenity a izotropie prostoru. V tomto smyslu pojmy energie, hybnost a moment hybnosti souvisejí se symetrikou strukturou prostoročasu. Za přítomnosti gravitačního pole však prostoročas obeně žádné symetrie nemá, takže lze očekávat vážné potíže se zákony zahování. Zákon zahování energie a hybnosti si ponehává platnost pouze v lokálně ineriální vztažné soustavě, nelokalizovatelnost gravitační energie pak odpovídá nelokálnímu harakteru gravitae jako takové. Každou úlohu v OTR lze však v prinipu řešit pomoí Einsteinovýh rovni bez nutnosti použití zákonů zahování. Konepe gravitační síly a gravitační energie jsou jen způsobem interpretae křivosti prostoročasu prostřednitvím pojmů, na něž jsme zvyklí v rovinném prostoročase negravitační fyziky. S lokálními symetriemi, a tím i s lokalizaí gravitační energie se v OTR musíme rozloučit. Energie a hybnost jsou však natolik zásadní a pro praxi důležité pojmy, že by jejih úplná ztráta byla dosti nepříjemná. Naštěstí se vyskytují i případy, kdy existují určité globální symetrie prostoročasu (např. sfériká, axiální, rovinná, apod.), jež nám umožňují zahovat alespoň pojem elkové energie. Má-li prostoročas některé z těhto symetrií, vyjádřenýh příslušnými Killingovými vektory ξ k, pak lze sestrojit vektor 54

113 55 i ik p T ξ k, (.399 ) pro který díky Killingovým rovniím platí vztah i ik ik p ; i T ξk ; i T ( ξk ; i + ξi ; k ) (.4 ) vyjadřujíí zákon zahování p i. Wilhelm Karl Joseph Killing (847 93) V závislosti na tom, je-li Killingův vektor ξ k časového, resp. prostorového typu, vyjadřuje vztah (.4 ) zákon zahování energie, resp. hybnosti. Zásadní význam však mají i situae, kdy vyšetřovaná soustava je prostorově omezená a v dostatečně veliké vzdálenosti od ní se prostoročas stává rovinným. Jedná se o tzv. asymptotiké symetrie kdy je možno elkovou energii a hybnost soustavy dát do souvislosti s invarianí vůči časovým a prostorovým posuvům vzhledem k pozorovateli v nekonečnu. V asymptotiky plohém prostoru můžeme kolem ostrovní zdrojové soustavy vymezit natolik velkou prostorovou oblast, aby vně ní bylo gravitační pole zanedbatelné. 55

114 56 Obr..4 Prostoročas (a) a prostor (b) kolem ostrovní fyzikální soustavy si můžeme rozdělit na tři části: l. Oblast vlastního zdroje (tečkovaně), kde kromě silnýh gravitačníh polí je T ik.. Blízká (ale vakuová) "vnitřní" oblast, kde gravitační pole a zakřivení prostoročasu může být ještě silné. 3. Vzdálená asymptotiky rovinná vnější oblast, kde gravitační pole je velmi slabé (prostoročas téměř plohý) a kde lze zavést asymptotiky ineriální vztažnou soustavu. Použijeme-li v ostrovní soustavě asymptotiky Galileovské vztažné soustavy, dostaneme jednoznačný výraz pro elkovou energii-hybnost P i soustavy, který se zahovává, je nezávislý na volbě souřadniové soustavy ve vnitřní oblasti a hová se jako čtyřvektor vzhledem k asymptotiky Lorentzovým transformaím. Pro výpočet energie a hybnosti pole je pak třeba vzít souřadnou soustavu s počátkem v blízkosti zdroje, která by ve vnější asymptotiky rovinné oblasti prostoročasu přeházela v galileiovskou soustavu, v níž lim g r tj. g ik ik ( r) ηik + lim r r, (.4 ) ( ) η. (.4 ) ik Ve vnitřní oblasti může být souřadná soustava zvolena libovolně, aniž to ovlivní p i. 56

115 57 Celková energie a hybnost je invariantní vůči takovým transformaím souřadni ( ) +, (.43 ) i i i i x x x ε x jež jsou asymptotiky identiké, tj. ( x) i limε, (.44 ) x ož přímo plyne ze zákona zahování pro p i. Vezměme nyní dvě souřadné soustavy Σ a Σ rozdílné ve vnitřní oblasti, avšak přeházejíí asymptotiky v tutéž Galileiho soustavu Σ. Pro porovnání hodnot p i a p i v těhto dvou soustaváh v časovýh okamžiíh t a t je nutno zavést další pomonou souřadniovou soustavu Σ, která ve vnitřní oblasti v okamžiku t splývá se souřadnou soustavou S a v okamžiku t splývá se soustavou Σ. Ve vnější oblasti se Σ nemění a splývá stále s toutéž soustavou Σ. Díky zákonu zahování (.4 ) jsou veličiny p i v každé vztažné soustavě konstantní a časově nezávislé, bude p i (t) p i (t) p i (t ) p i (t ), ož přímo plyne i ze známého Einsteinova integrálu pro elkovou energii soustavy uvnitř uzavřené plohy S, aplikovaného na uzavřenou plohu ležíí v asymptotiké oblasti (neboť žádné transformae měníí souřadnie pouze uvnitř ohraničené prostorové oblasti nemohou ovlivnit globální hodnoty těhto integrálů přes vzdálené plohy): (,, ), (.45 ) 6πG 4 E p hαβ α hαα β dsβ ož vyjádřeno pomoí g ik η ik ik + hs dává (,, ). (.46 ) 6πG 4 p gαβ α gαα β dsβ 57

116 58 Pro stanovení elkové energie, hybnosti a momentu hybnosti každé konečné soustavy tedy stačí znát asymptotiké hování metriky ve velkýh vzdálenosteh. Celková energie a hybnost ostrovní soustavy se tak nejen zahovává, ale je též nezávislá na volbě souřadné soustavy, pakliže tato asymptotiky přehází v danou galileiovskou soustavu. Protože se t ik hová vzhledem k lineárním transformaím jako tenzor tvoří složky p i čtyřvektor vzhledem k lineárním transformaím převádějíím jednu asymptotiky galileiovskou vztažnou soustavu v druhou. V dostatečně velikýh vzdálenosteh od statiké ostrovní soustavy se vliv detailů v rozložení hmoty na gravitační pole postupně stírá a pole tam lze považovat za sfériky symetriké s přibližně Shwarzshildovskou metrikou, kterou lze pro r psát v tzv. asymptotikém tvaru ϕ ϕ ds + dt + dx + dy + dz ( ). (.47 ) Karl Shwarzshild (873 96) Pro statiké pole lze naví zanedbat retardai a řešení (446) má tvar 4ϕ ψ, ψ 4 α ψ β, (.48 ) 58

117 59 kde α ( t x ) T, α ϕ ( t, x ) G dx dy dz R (.49 ) je obyčejný Newtonův poteniál. Metriký tenzor tak nabývá jednoduhého tvaru g ik ϕ + ϕ. (.4 ) ϕ ϕ Ve vzdálenosteh r podstatně většíh, než rozměry zdroje lze přibližně položit R r a metriku (.47 ) lze vyjádřit pomoí elkové hmotnosti 3 M T d x, (.4 ) zdrojové soustavy GM GM ds + dt + dx + dy + dz r r ( ). (.4 ) Dosazením příslušnýh komponent metrikého tenzoru (.4 ) do vztahu (.46 ) a integraí přes sféru poloměru r dostaneme výsledek p M. (.43 ) 59

118 6 Abyhom si ukázali reálnou existeni energie gravitačního pole a zároveň hlouběji pronikli do speifiké povahy gravitační energie, vraťme se ještě k otáze vyzařování a přenosu energie gravitačními vlnami. V gravitační vlně nelze lokalizovat energii a hybnost do oblasti menší než délka vlny. Nelze tedy určit, jak velká energie je obsažena v různýh oblasteh gravitační vlny. Jak ovšem plyne z Isaasonova formalismu, v oblasti několika vlnovýh délek lze již velmi přesně určit množství přenášené energie hybnosti. Zakřivování prostoročasu účinkem energie nesené gravitačními vlnami popisují rovnie (.374 ). Pokud se nenaházíme ve vakuu, a kromě gravitačníh vln jsou přítomna hmotná tělesa a negravitační pole popsaná sumárním tenzorem energie ik hybnosti T H, budou mít rovnie (.374 ) tvar ik ik ik 8π G ik ik Gglob Rglob Rglob gglob 4 ( TH + Tvln ). (.44 ) Pro stanovení energie gravitačníh vln lze též poněkud oslabit základní požadavek asymptotiké eukleidovosti metriky, neboť stačí vyšetřovat konečný objem podstatně převyšujíí délku vln. Zdroj gravitačního záření pohopitelně ztráí kinetikou energii přesně s toutéž ryhlostí, s jakou je energie odnášena vyzařovanou gravitaí. Analýza zpětné reake vyzařovanýh gravitačníh vln na zdrojovou soustavu ukázala, že uvnitř a v blízkosti zdroje se vytváří určitá malá proměnná složka prostoročasové křivosti s fází odlišnou od hlavní proměnné složky. Tento přídavný člen způsobuje ve zdroji brzdíí síly. Výpočty ukazují, že hlavní část této přídavné složky lze při vhodné kalibrai vyjádřit ve tvaru h 5 re G d Kαβ α β x x 5 5. (.45 ) 5 dt 6

119 6 Příslušné brždění zpětnou reakí vyzařovanýh gravitačníh vln lze tedy v hlavníh ryseh popsat pomoí vhodné modifikae Newtonova poteniálu ϕ new +, (.46 ) new re ϕ ϕ ϕ kde 5 re re G d Kαβ α β ϕ h x x (.47 ) dt je poteniál brzdné síly způsobené reakí záření. Zryhlení každé částie v poteniálu ϕ bude a d xα new re α ϕ, α ϕ, α ϕ, α (.48 ) dt a brzdná síla působíí na částii hmotnosti m bude F α ϕ m. (.49 ) new, α Tato brzdná síla povede uvnitř zdroje ke ztrátě energie de dt re ρ aα vα dv ρ ϕ, αvα dv, (.4 ) kde v α je ryhlost příslušného elementu ρ dv. Průměrná ryhlost, se kterou se vlivem brždění zpětnou reakí záření bude zmenšovat energie zdrojové soustavy pak bude 3 d K re αβ, v dv K de G G ρ ϕ α α ɺɺɺ αβ. dt 45 dt 45 (.4 ) 6

120 6 Zdroj tedy ztráí kinetikou energii skutečně stejnou ryhlostí, s jakou je energie odnášena gravitačními vlnami. Dalším aspektem studia vlastností gravitační energie je zkoumání podmínek, za nihž mohou gravitační síly konat prái a přeměňovat tak gravitační energii v jiné druhy energie. Jedním z takovýh gravitačníh motorů je např. soustava rotujíí Země + obíhajíí Měsí, která každou sekundu předá prostřednitvím svého gravitačního pole světovému oeánu řádově J své kinetiké energie, jež se projevuje mořským přílivem. Gravitační energie se zde přeměňuje na mehanikou a tepelnou energii oeánskýh vod, která může být posléze člověkem přeměněna na další druhy energie např. elektrikou. Celý proes však probíhá hluboko uvnitř induktivní zóny, soustavy, takže veškeré efekty retardae a konečné ryhlosti gravitačního působení se vzhledem k poměrně malé periodě nikterak neprojeví přenos energie lze popsat i v rámi Newtonovy teorie. Co se týče gravitačníh vln, navrhl již v 5. leteh minulého století H. Bondi velmi jednoduhý a názorný myšlenkový experiment, jehož uspořádání vidíme na obr..5. Obr..5: Jednoduhé uspořádání pro přeměnu energie gravitačníh vln na teplo. 6

121 63 Na hladké tyči se mohou s minimálním třením pohybovat dva hmotné prstene. Gyroskopy na koníh tyče zamezují její lokální rotai. Celý systém se pohybuje volně v prostoru a gravitační vlny v důsledku deviae geodetik posunují prstene po tyči střídavě k sobě a od sebe. Vlivem tření prstenů o tyč se takto část energie gravitačníh vln přeměňuje na teplo, jež lze z tyče odebírat. Sir Hermann Bondi (99 5) První reálně zkonstruované detektory gravitačníh vln využívaly namísto třeíh prstenů piezoelektrikýh snímačů. Nejmodernější zařízení současnosti LIGO, používá k deteki gravitačníh vln soustavu dvou na sebe kolmýh obříh laserovýh interferometrů, každý v déle 4 kilometrů. 63

122 64 Obr..6:: LIGO - dosud největší gravitační anténa světa Ligo detailní pohled na entrální budovu 64

123 65 Ligo detail entrální části interferometru Ligo vnitřní optika interferometru Ligo detail detekční aparatury interferometru Projekt vznikl ve spoluprái univerzit Calteh (California Institute of Tehnology) a MIT (Massahusetts Institute of Tehnology). Jde o dvojii zařízení vzdálenýh 3 km. První z nih se nahází v Hanfordu ve státě Washington a za jeho provoz je zodpovědná univerzita Calteh. Druhá stavba je v Livingstonu ve státě Luisiana a provoz řídí MIT. Dva interferometry existují proto, aby mohla být deteke gravitačníh vln potvrzena koinidení ze dvou nezávislýh zdrojů. 65

124 66 Zvětšovat dále rozměry ramen je však neshůdné, zejména s ohledem na enu vakuového systému. Zela prinipiální omezení klade také všudypřítomná seismiká aktivita, která naprosto znemožňuje deteki gravitačníh vln frekvení menšíh než Hz pozemskými detektory. Nezbývá, než začít uvažovat o stavbě interferometru v kosmikém prostoru. Právě to je ílem velmi ambiiózního projektu LISA (Laser Interferometer Spae Antenna), jenž se rodí ve spoluprái evropské a ameriké kosmiké agentury ESA a NASA. Projekt předpokládá vytvoření detektoru ve tvaru pomyslného rovnostranného trojúhelníku o stranáh kolem 5 milionů kilometrů tvořeného družiemi umístěnými v jeho vrholeh. Vzájemná vzdálenost druži by se neustále interferometriky proměřovala. Celá soustava by obíhala kolem Slune ve vzdálenosti AU, tj. sledovala by dráhu Země, ale tak, aby úhel Země-Slune-detektor byl zhruba. Christian Andreas Doppler (83 85) Každá z druži bude obíhat po své speifiké dráze s vhodně zvolenou exentriitou, sklonem k ekliptie a uzlovou přímkou, takže trojúhelníková konfigurae zůstane s velkou přesností konstantní a bude svírat s rovinou ekliptiky úhel 6. Rovina detektoru se přitom bude stáčet (s periodou jednoho roku). S využitím Dopplerova efektu proto bude možné dosti přesně stanovit polohy případnýh zdrojů na obloze, úhlové rozlišení pro nejsilnější zdroje by mohlo být dokone lepší než úhlová minuta. Aby se vyloučily negravitační vlivy, bude použita tehnika aktivního udržování na "bezsilové trajektorii" známá z geodetikýh druži. 66

125 67 Uvnitř každé družie se bude naházet naprosto volně se pohybujíí testovaí těleso, pravděpodobně kryhle o stranáh 4 m vyrobená ze speiální slitiny platiny a zlata s nulovou magnetikou suseptibilitou. Vlastní družie bude korigovat svůj pohyb tak, aby poloha kryhle vznášejíí se ve vakuové titanové dutině uvnitř sondy zůstávala konstantní. Zmíněná kryhle bude tvořit vlastní srde družie. Paprsek emitovaný laserem se bude odrážet od zradlové stěny testovaí kryhle a poté bude prostřednitvím Cassegrainova teleskopu (Laurent Cassegrain (69 693)) o průměru 3 m vyslán do příslušného ramene. Na jeho koni se odrazí od testovaí kryhle druhé družie, zesílí jejím laserem beze změny fáze a odešle zpět. Po dalším odrazu na první kryhli se smíhá s částí vyslaného světla a interferene bude zaznamenána detektorem. Signál bude porovnán s analogikými signály z dalšíh dvou ramen a předán na Zemi prostřednitvím telemetrie. Hlavní předností LISA budou především obrovské rozměry interferometru a naprostá nepřítomnost seismikého rušení. Díky tomu se LISA stane opravdu robustním detektorem gravitačníh vln, který narozdíl od svýh pozemskýh kolegů bude praovat v režimu, kdy signál bude až o mnoho řádů převyšovat šum. Především se však otevře naprosto nové, nízkofrekvenční gravitační okno do vesmíru. Právě v oblasti Hz až -4 Hz vydává gravitační záření elá řada extrémně zajímavýh astrofyzikálníh zdrojů, především kompaktníh binárníh systémů v naší Galaxii a velmi hmotnýh černýh děr v galaxiíh vzdálenýh. LISA, vybraná jako jedna z budouíh klíčovýh vědekýh misí Evropské kosmiké agentury ESA s plánovanou realizaí po roe, nám poodhalí roušku jejih tajemství. 67

126 68 Obr..7:: Kosmiká gravitační anténa LISA plánovaná na příští desetiletí Obr..8:: Detail detekční aparatury interferometru LISA 68

127 69 Speifiké vlastnosti gravitační energie Integrální zákon zahování energie a hybnosti (.398 ) přejde po zahrnutí gravitačního záření na tvar dp dt i iα iα ( TH Tvln ) d Sα, (.4 ) + S kde S leží v asymptotiky rovinném prostoročase a tedy ve vlnové zóně soustavy. Rovnie (.4 ) říkají, že ryhlost změny energie a hybnosti soustavy je rovna proudu, kterým je přes uzavřenou plohu obklopujíí zdrojovou soustavu přenášena energie a hybnost látkovým prostředím, negravitačními poli a gravitačním vlněním. Při analýze hování každé fyzikální soustavy v asymptotiky rovinném prostoročase tedy můžeme s výhodou použít běžnýh zákonů zahování energie a hybnosti, přičemž ovšem musíme započítat i energii odnášenou, popř. přinášenou gravitačními vlnami. V průběhu vývoje zůstávala dlouhou dobu otevřená otázka o znaménku gravitační energie a elkové energie fyzikální soustavy vůbe. O číselné hodnotě a znaménku elkové energie bylo rozhodnuto až na základě analýzy rovni pole provedené na přelomu sedmdesátýh a osmdesátýh let minulého století Shoenem, Yauem a Wittenem, kteří dokázali, že elková energie gravitačního pole a zdrojové soustavy s kladným tenzorem energie hybnosti je kladná, jak to odpovídá základním fyzikálním požadavkům. Ve srovnání s klasikou fyzikou dohází v OTR k jisté degradai pojmu energie. 69

128 7 Rihard Melvin Shoen (95) Shing-Tung Yau (949) Edward Witten (95) Byli jsme svědky toho, že hustota energie ztráí lokální význam, takže klasiká představa energie jako určité substane spojitě a jednoznačně rozložené v prostoru, zde ztráí opodstatnění. Naví i elková energie může být definována pouze při splnění speiálníh geometrikýh a topologikýh předpokladů. Pouze v asymptotiky rovinném prostoročase s eukleidovskou topologií mají veličiny globální energie a hybnosti ostrovní fyzikální soustavy jasně definovaný význam. Neexistuje-li asymptotiky plohá oblast prostoročasu, neexistuje ani invariane vzhledem k prostoročasovým translaím, k níž by bylo možno vztáhnout energii a hybnost. Energie, jež je v klasiké fyzie fundamentálním pojmem a základním atributem hmoty, se v OTR stává řadovou veličinou obeně bez názorného fyzikálního významu, která za jistýh speiálníh podmínek popisuje díky svému zákonu zahování, některé vlastnosti hmoty. Degradae pojmu energie, jak víme, úze souvisí s revizí pojmů prostoru a času, které OTR svrhla z trůnu absolutnosti a neměnnosti a učinila z nih dynamiké prvky těsně souvisejíí s rozložením a pohybem hmoty. Existují v zásadě dvě protihůdná stanoviska ke vztahu lokálníh a globálníh fyzikálníh zákonů. První přístup, kterého jsme se až dosud přidržovali, spočívá v tom, že se snažíme globální vlastnosti prostoročasu odvozovat na základě znalosti lokálníh fyzikálníh zákonů jejih extrapolaí a syntézou. Druhý přístup naopak vyhází z představy, že lokální fyzikální zákony mají svůj původ v globální struktuře okolního vesmíru, nebo jsou 7