Miroslav Hanzelka, Václav Rozhoň června 2013

Transkript

1 Matematický popis systémů interagujících částic Miroslav Hanzelka, Václav Rozhoň Gymnázium Česká Lípa, Žitavská 2969; Gymnázium J. V. Jirsíka, Fráni Šrámka 23, České Budějovice; června 2013 Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

2 ÚVOD Definujeme jednoduchý model pro pohyb chodců Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

3 ÚVOD Definujeme jednoduchý model pro pohyb chodců. Nalezneme průměrné hodnoty obsazenosti jednotlivých buněk Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

4 IPS Systémy interagujících částic Částice se pohybují pomocí přeskoků mezi buňkami mřížky L. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

5 IPS Systémy interagujících částic Částice se pohybují pomocí přeskoků mezi buňkami mřížky L. Pravděpodobnost přeskoku w(x y) = Pr[x y S (x) ]. L x S (x) Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

6 IPS Systémy interagujících částic Částice se pohybují pomocí přeskoků mezi buňkami mřížky L. Pravděpodobnost přeskoku w(x y) = Pr[x y S (x) ]. Stav systému η t = (η t (x)) x L. L x S (x) Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

7 IPS Systémy interagujících částic Částice se pohybují pomocí přeskoků mezi buňkami mřížky L. Pravděpodobnost přeskoku w(x y) = Pr[x y S (x) ]. Stav systému η t = (η t (x)) x L. η t (x) označuje počet částic v buňce x a čase t. L x S (x) Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

8 Markovovy procesy Definice Bud {η n, n N 0 } náhodný proces. Potom ho nazýváme markovským, pokud Pr[η n+1 = j η n = i; η n 1 = i n 1 ;... ; η 0 = i 0 ] = Pr[η n+1 = j η n = i]. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

9 Markovovy procesy Definice Bud {η n, n N 0 } náhodný proces. Potom ho nazýváme markovským, pokud Pr[η n+1 = j η n = i; η n 1 = i n 1 ;... ; η 0 = i 0 ] = Pr[η n+1 = j η n = i]. Definice Markovský proces je homogenní právě tehdy, když n N 0 : Pr[η n+1 = j η n = i] = Pr[η 1 = j η 0 = i] =: p ij. Matici P = (p ij ) nazýváme matice přechodu. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

10 Stacionární řešení a hustotní profil Definice Vektor π je stacionárním řešením markovského procesu právě tehdy, když π = P T π. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

11 Stacionární řešení a hustotní profil Definice Vektor π je stacionárním řešením markovského procesu právě tehdy, když π = P T π. Definice Hustotní profil definujeme jako vektor ρ, jehož složky jsou určeny vztahem ρ(i) = η(i)π(η). η X Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

12 Popis modelu 5 0 Pohyb částic se vyhodnocuje paralelně Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

13 Popis modelu 5 0 Pohyb částic se vyhodnocuje paralelně. Pokud je částice na pozici i a pozice i + 1 je volná, přeskočí do ní s pravděpodobností p i Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

14 Popis modelu 5 0 Pohyb částic se vyhodnocuje paralelně. Pokud je částice na pozici i a pozice i + 1 je volná, přeskočí do ní s pravděpodobností p i Pokud je pozice i + 1 obsazená a i + 2 volná, přeskočí do druhé jmenované s pravděpodobností αp i, kde α 0; Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

15 Popis modelu 5 0 Pohyb částic se vyhodnocuje paralelně. Pokud je částice na pozici i a pozice i + 1 je volná, přeskočí do ní s pravděpodobností p i Pokud je pozice i + 1 obsazená a i + 2 volná, přeskočí do druhé jmenované s pravděpodobností αp i, kde α 0; Pokud by měly dvě částice skočit na stejnou pozici, vybere se náhodně jedna z nich. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

16 Matice přechodu c a b c a b c a b c a b c5 0 0 b a c b a b0*q c0*q3 c0*p3 b0*p3 0 0 a0*q a0*p c0*p4 0 c0*q4 b0*q4 b0*p a0*p4 0 a0*q b1*q c1*q4 c1*p4 b1*p4 0 0 a1*q a1*p c1*p a1*p5 0 0 c1*q5 b1*q5 b1*p a1*q b2*q c2*q5 c2*p5 b2*p5 0 0 a2*q5 0 0 a2*p c2*p a2*p0 0 0 c2*q0 b2*q0 b2*p a2*q b3*q c3*q0 c3*p0 b3*p0 0 0 a3*q0 0 a3*p c3*p a3*p1 0 0 c3*q1 b3*q1 b3*p a3*q b4*q1 0 a4*q c4*q1 c4*p1 b4*p1 0 a4*p c4*p a4*p2 0 0 c4*q2 b4*q2 b4*p2 a4*q b5*q b5*p2 0 0 a5*q c5*q2 c5*p2 0 a5*p c5*p3 0 b5*q3 b5*p a5*p3 0 0 c5*q3 0 a5*q p0*q2*q4 p0*q2*p4 0 0 q0*p2*q4 p0*p2*q4 0 0 q0*q2*p4 q0*p2*p4 q0*q2*q4 p0*p2*p q1*q3*p5 q1*p3*p5 0 0 p1*q3*q5 p1*q3*p5 0 0 q1*p3*q5 p1*p3*q5 0 0 p1*p3*p5 q1*q3*q5 ( w( ) = a i = p i+1 1 αp i ) 2. w( ) = b i = αp i ( 1 p i+1 2 ). q i = 1 p i. c i = 1 a i b i. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

17 Zúžení závislost na agresivitě Graf: p i = 0, 5 pro i 0, 1, 2, 3, 4 a p 5 = 0, 05. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

18 Zúžení 2 Graf: p i = 0, 5 pro i 0, 1, 2, 3, 4 a proměnným p 5. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

19 Postupné zužování Graf: p i = 0, 6 0, 1i. Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11

20 Děkujeme za pozornost Hanzelka, Rozhoň (GCL, GJVJ) Matematický popis systémů interagujících částic 20. června / 11