ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i.
|
|
- Libor Brož
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VÝZKUMNÁ ZPRÁVA Z-8/8 ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i. ODVOZENÍ DISPERZNÍCH VZTAHŮ PRO ANIZOTROPNÍ TLUSTÉ DESKY V SYSTÉMU MAPLE OLGA ČERVENÁ, PETR HORA Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i. 8
2 Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., Dolejškova 5, 8 Praha 8
3 Obsah Seznam obrázků Disperzní křivky v anizotropních deskách 6. Úvod Metoda parciálních vln Izotropní deska Mindlinova metoda oddělených módů Kubická deska směr šíření φ = směr šíření φ = směr šíření < φ < Ortotropní deska směr šíření φ = směr šíření φ = směr šíření < φ < Interpretace falešných kořenů. Izotropní deska Ortotropní deska Výpisy programů - Maple 6. Christoffel cubic ortho.mw dc cubic ortho.mw Výsledky 7. Izotropní deska Kubická deska Ortotropní deska Literatura
4 Seznam obrázků. Parciální vlny v nekonečné izotropní desce: a) SH, b) SV, c) P Materiálové osy X, Y, Z libovolně orientované k osám anizotropní desky x, y, z.. 8. Modely Mindlinových okrajových podmínek Deska s anizotropií orientací () a směr šíření v rovině desky Disperzní křivky pro symetrické módy izotropní desky Průběh funkce (.9) pro symetrické módy Disperzní křivky pro antismetrické módy izotropní desky Průběh funkce (.) pro antismetrické módy Disperzní křivky pro symetrické módy v ortotropní desce a směr šíření....6 Průběh funkce (.67) pro symetrické módy pro ortotropní desku pro φ =...7 Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = Disperzní křivky pro antisymetrické módy v ortotropní desce a směr šíření. 5. Průběh funkce (.68) pro antisymetrické módy pro ortotropní desku pro φ = 5. Disperzní křivky v izotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce
5 . Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 55 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 6 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 65 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 7 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 75 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 8 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 85 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 89 v ortotropní desce Disperzní křivky pro směr šíření φ = 9 v ortotropní desce
6 Disperzní křivky v anizotropních deskách. Úvod Na začátku uvedeme krátký souhrn rovnic elastodynamiky ([] []), na které budeme navazovat v dalším výkladu. Pohybové rovnice: T = ρü T ij,j = ρü i, Konstitutivní vztahy: T = C S T ij = C ijkl S kl, (.) Vztahy výchylky-deformace: S = { u + ( u) T } S kl = {u k,l + u l,k }, kde T je tenzor napětí druhého řádu, S je tenzor deformací druhého řádu, C je tenzor elastických modulů čtvrtého řádu, u je vektor výchylek a ρ je hustota materiálu. Napětí přes libovolný povrch s normálou n je dáno: T n T ij n j. Obecně, napětí a výchylky musí být na rozhraní spojité. Tenzor napětí T je symetrický, tj. T ij = T ji. Tenzor deformací S je taktéž symetrický, tj. S kl = S lk. Tenzor elastických modulů C má navíc hlavní symetrii, tj. C ijkl = C klij. Důsledkem těchto symetrií je existence maximálně nezávislých elastických konstant pro nejanizotropnější materiál. Se zvětšující se úrovní symetrie materiálu počet nezávislých elastických konstant klesá, např. pro kubické krystaly a pouze pro izotropní materiály. Zkrácený zápis Pro výpočetní účely je často jednodušší uvažovat 6 nezávislých složek tenzoru napětí a deformací uspořádaných do vektorového tvaru: T = [T T T T = T T = T T = T ] T, S = [S S S S = S S = S S = S ] T, kde jsme použili inženýrskou definici příčných deformací (proto ten činitel u některých členů). Dále budeme používat velké dolní indexy k označení zkráceného zápisu. Tedy {ij = I = ; ij = I = ; ij = I = ; ij = I = ; ij = I = 5; ij = I = 6}. Někdy je nutné přecházet tam a zpět mezi reprezentací tenzorovou (matice řádu ) a reprezentací vektorovou (vektor o délce 6). Např. pro získání složek napětí a deformací v jiných souřadných soustavách je jednodušší použít maticovou (tenzorovou) reprezentaci, ale jinak je téměř vždy výhodnější používat zkráceného zápisu. 6
7 () l z l() z l () z l () z l(5) z l z (6) a) b) c) Obrázek.: Parciální vlny v nekonečné izotropní desce: a) SH, b) SV, c) P. Konstitutivní vztahy ve zkráceném zápisu přejdou na T T T T T 5 c c c c c 5 c 6 c c c c c 5 c 6 = c c c c c 5 c 6 c c c c c 5 c 6 c 5 c 5 c 5 c 5 c 55 c 56 S S S S S 5 T I = C IJ S J. T 6 c 6 c 6 c 6 c 6 c 65 c 66 S 6. Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných a novější metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky, viz obr.. (SH-příčná horizontální, SV-příčná vertikální, P-podélná). Tato druhá metoda vede k řešení rychleji a přináší lepší náhled do fyzikální povahy vlnového šíření. Při řešení problému šíření vln v anizotropních deskách máme výběr analytické metody zjednodušen. Lze totiž použít pouze metodu parciálních vln. Pro obecné anizotropní médium jsou parciální vlny odvozeny z Christoffelovy rovnice, viz [] ( kiicij k Jj ρω δ ij ) uj =, (.) která byla odvozena z předpokládaného řešení ve tvaru u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z (.) v pohybové rovnici pro anizotropní prostředí. Ve vztahu (.) se předpokládá sčítání přes opakující se indexy a je užito obvyklé značení indexů i, j = x, y, z a I, J = xx, yy, zz, yz, xz, xy. Matice k ii je k x k z k y k ii = k y k z k x (.) k z k y k x a k Jj je její transpozicí. Materiálové vlastnosti desky jsou popsány hustotou ρ a elastickými konstantami c IJ. 7
8 z Z y X Y d d x Obrázek.: Materiálové osy X, Y, Z libovolně orientované k osám anizotropní desky x, y, z. Základní princip metody parciálních vln spočívá v jejich vazbě na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Vyplývá to ze skutečnosti, že každá parciální vlna na obr.. nebo v anizotropním problému znázorněném na obr.. musí mít stejnou hodnotu k x. To je k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce. Rovnice (.) pak přejde na tvar u j = α j exp [ik(x + l z z)], (.5) s j = x, y, z a l z = k z /k x pro každé parciální vlnové řešení. Substitucí vztahu (.5) do (.) získáme soustavu tří homogenních lineárních rovnic pro α x, α y a α z, kde jsou koeficienty funkcemi ρ, c IJ a ω/k = v. Netriviální řešení existuje, pouze pokud je determinant soustavy nulový. To vede na polynom šestého řádu pro l z, který má šest reálných nebo komplexně sdružených kořenů l z (n), n =, Parciální vlnové řešení definované těmito kořeny odpovídá třem dopadajícím a třem odraženým vlnám, viz obr.. pro izotropní desku. V anizotropní desce se obvykle parciální vlny neseparují na čistě horizontálně a vertikálně polarizované. K tomu dochází pouze při speciální orientaci materiálu a desky. Vztahy pro parciální vlny jsou nyní u j = 6 n= C n α (n) j exp [ ik(x + l (n) z z) ], (j = x, y, z). (.6) V dalším kroku se vyšetřuje vazba mezi parciálními vlnami na okraji desky. Pro volný povrch desky je třeba splnit následující okrajové podmínky T xz = T yz = T zz =, (.7) na každém povrchu desky, z = ±d viz obr... Substitucí vztahů (.6) do okrajových podmínek (.7) dostaneme soustavu šesti homogenních lineárních rovnic, ve kterých jsou koeficienty C n funkcemi ρ, c IJ, ω/k = v a kd. Opět netriviální řešení existuje, pouze pokud determinant soustavy je roven nule, což určuje disperzní vztah mezi ω a k.. Izotropní deska Disperzní vztahy pro izotropní desku lze rozdělit do tří samostatných rovnic, jak je uvedeno v [], [6] a [5]. SH-módy (Nπ) = (dω/c ) (dk), (.8) 8
9 kde N je přirozené číslo včetně nuly a c je fázová rychlost příčných vln. Symetrické (dilatační) módy: kde δ = ( v δ β sinh (kd δ) cosh (kd β) ) sinh (kd β) cosh (kd δ) =, (.9) v c, β = v c rychlost, c rychlost podélných a c rychlost příčných vln. Antisymetrické (ohybové) módy: c, k je vlnové číslo, d je polovina tloušťky desky, v je fázová ( v δ β sinh (kd β) cosh (kd δ) c ) sinh (kd δ) cosh (kd β) =. (.).. Mindlinova metoda oddělených módů Pro snažší pochopení chování symetrických a antisymetrických módů vyvinul Mindlin [7] metodu oddělených módů, která spočívá v zavedení speciálních okrajových podmínek nebo T xz =, u z = (.) T zz =, u x =. (.) Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi, ale lze je simulovat namazanými tuhými poloprostory (viz obr.. vlevo) a mikroskopickým řetízkem (viz obr.. vpravo). Pro tyto speciální okrajové podmínky degenerují symetrické a antisymetrické módy do oddělených SVmódů, popsaných vztahem (.8), a oddělených P-módů, popsaných následujícím vztahem (Mπ) = (dω/v L ) (dk). (.) Obrázek.: Modely Mindlinových okrajových podmínek. Mindlinovy disperzní křivky jsou spolu s disperzními křivkami pro symetrické a antisymetrické módy izotropní desky zakresleny v obr.... Kubická deska Disperzní chování v anizotropních deskách závisí na směru šíření. Uvažujeme desku s anizotropií orientací () a vyšetřujeme šíření v rovině desky. Směr šíření je dán úhlem φ mezi osou x a vlnovým vektorem viz obr... Nejdříve zaměříme na směry šíření v rovinách symetrie krystalu. Pro kubickou desku jsou to směry šíření [] a [], (tj. φ = a φ = 5 ). 9
10 z z d y y d x φ x Obrázek.: Deska s anizotropií orientací () a směr šíření v rovině desky... směr šíření φ = V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) c ( + l z (n) ) ρv (c + c ) l z (n) c + c l z (n) ρv kde α x (n), α y (n) na a a α (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =, (.) jsou složky polarizace n-té parciální vlny. Determinant soustavy se rozdělí (c + c l (n) z c ( + l (n) z ) ρv = (.5) ρv )(c + c l (n) z ρv ) (c + c ) l (n) z =. (.6) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.5), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) = (ρv /c ), α (5) =, SH (.7) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5), kde v = ω/k, jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.8) Jedná se o čistě SH-módy stejně jako v izotropním případě. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.6) l (n) z = B ± B A c c, (.9) kde A = c c (c ρv )(c ρv ) a B = (c ρv ) c + (c ρv ) c (c + c ),
11 vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c ) l z (), α () = c c α y () =, α z () c + c l z () ρv SV (.) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c ) l () z c + c l () z ρv, (.) Vztahy jsou odvozeny pomocí systému pro symbolické výpočty Maple. Rovnice (.) až (.) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí ( ) ( ) ( tan l z () kd c α x () + c α z () l z () ( ) = ( ) ( tan l z () kd c α x () + c α z () l z () α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ) (.) nebo ( tan ( tan l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.) Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí nebo sin ( l () z kd ) = (.) sin ( l () z kd ) =. (.5) Tyto disperzní závislosti (.8) a (.) až (.5) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Disperzní křivky pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy v kubické desce jsou pro směr šíření φ = zakresleny spolu s Mindlinovými disperzními křivkami v obr...
12 .. směr šíření φ = 5 V případě, kdy má deska s kubickou anizotropií orientaci () a vyšetřujeme směr šíření [], tj. φ = 5, se Christoffelova rovnice redukuje na (c + c ) + c ( + l z (n) ) ρv (c + c )l z (n) α x (n) c l z (n) + (c c ) ρv α (n) y =. (c + c )l z (n) c + c l z (n) ρv α z (n) (.6) Determinant soustavy se rozdělí na ( ) ( ) (c + c ) + c ( + l z (n) ) ρv c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) = (.7) a SH-módy Dva kořeny l z (n) (n = 5, 6) rovnice (.8) SH l (5) z = c l (n) z + (c c ) ρv =. (.8) (c c ) + ρv c, α (5) =, l (6) z = l (5) z, α (6) = α (5), (.9) odpovídají parciálním vlnám pro horizontálně polarizované módy. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.) Opět se jedná se o čistě SH-módy stejně jako v předchozím případě. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.7) kde l (n) z = B ± B A C, (.) A A = c c, B = (c + c ) ρv + (c c ) (c + c ) + c C = ( c, ρ v ) ( c, + c, + (c, ρ v ) ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): a
13 SV P l () z = B + B A C, α () = A l () z = l () z, α () = l () z = B B A C, α () = A l () z = l () z, α () = α x () α y () α z () α x () α () z α x () α y () α z () = α x () α () z, =. (c + c )l () z (c + c ) + c ( + l () z ) ρv (c + c )l () z (c + c ) + c ( + l () z ) ρv, (.) (.) Rovnice (.6) až (.) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí ( tg ( tg l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ), ) (.) nebo ( tg ( tg l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.5) Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.5) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí nebo sin ( l () z kd ) = (.6) sin ( l () z kd ) =. (.7) Disperzní závislosti (.) a (.) až (.7) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy oddělené módy jsou spolu s disperzními křivkami pro symetrické, antisymetrické a SH módy desky s kubickou anizotropií a směr šíření φ = 5 zakresleny v obr...
14 .. směr šíření < φ < 5 Uvažujeme opět desku s kubickou anizotropií a orientací () a vyšetřujeme obecný směr šíření v rovině desky jak je znázorněno na obr... Christoffelova rovnice má v tomto případě tvar kde K A + c + c l z (n) ρv K B (c + c )l z (n) ( ) K B l z (n) + c K A ρv (c + c )l z (n) c + c l z (n) ρv K A = sin φ cos φ (c c c ), K B = ( cos φ ) (c c c ) sin φ cos φ. α x (n) α y (n) α (n) z =, (.8) V tomto případě se už nevyskytují SH-módy, ale pouze symetrické a antisymetrické módy. Determinant soustavy vede následující bikubickou rovnici: kde A =c c, A l 6 z + B l z + C l z + D =, (.9) B = (c c ) c + ( c c (c + c ) ρv ) c, ( ( ) ( ) C = ( c + c ) ρ v c K A + KB) + c c KA + ρ v c + (c + c ) ( K A ρ v ) ( c + c c KA + ρ v ) + c (c c ), D = ρ v 6 + ρ v ( c + c ) + ( ) ( ) ρ v c KA (K A + c c ) + KB ρ v c ( c + c ) + c c. Tvary rovnic (.8) a (.9) jsou odvozeny v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Tato rovnice je dále řešena numericky v Matlabu, [5]. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí C A cotg ( l () z kd ) + C B cotg ( l () z kd ) + C C cotg ( l (5) z kd ) = (.) nebo kde C A tg ( l () z kd ) + C B tg ( l () z kd ) + C C tg ( l (5) z kd ) = (.) C A = ( ) [ c α z () l z () + c α (5) y l z (5) ( ) ( )] α () z + l z () α () y l z () l (5) z + α z (5), C B = ( ) [ c α z () l z () + c α () y l z () C C = ( ) [ c α z (5) l z (5) + c α () y l z () α y (n) = K A + ρv K B ( α (5) z + l z (5) ( α () z + l z () ) α (5) y l z (5) ) α () y l z () ( l () z + α z () ( l () z + α z () ( ), α l z (n) z (n) = (c + c )l z (n) + c ρv c c l z (n) )], )] a pro n =,,5.
15 Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola. a tvary polarizací parciálních vln α y a α z v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy okrajové podmínky T xz =, u z = nebo T zz =, u x = lze pro kubickou desku použít při φ = a φ = 5. Tedy pouze v případě, kdy sagitální rovina tvoří rovinu symetrie krystalu a lze tedy oddělit SH-módy. Pro obecný úhel šíření, kdy nelze oddělit SHmódy, jsme k získání oddělených módů museli doplnit první dvojici výše uvedených okrajových podmínek o podmínku T yz = a druhou dvojici o podmínku u y =. Takto doplněné podmínky jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =,, 5 a N =,,,... (.) Tyto disperzní závislosti jsou odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Zobecněné Mindlinovy oddělené módy spolu s disperzními křivkami pro symetrické a antisymetrické módy desky s kubickou anizotropií a směry šíření φ =, 5,, 5,, 5,, 5,, jsou zakresleny v obr Ortotropní deska Nyní budeme vyšetřovat desku ortotropní anizotropií. Opět se nejdříve zaměříme na směry šíření v rovinách symetrie krystalu, tj. pro ortotropní desku směry šíření [] a [], (tj. φ = a φ = 9 )..5. směr šíření φ = V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c 55 l z (n) ρv (c + c 55 ) l z (n) c l z (n) + c 66 ρv (c + c 55 ) l z (n) c 55 + c l z (n) ρv Determinant soustavy se rozdělí na a (c + c 55 l (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =. (.) c l (n) z + c 66 ρv = (.) ρv )(c 55 + c l (n) z ρv ) (c + c 55 ) l (n) z =. (.5) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) ρv = c 66, α (5) =, SH c (.6) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5) 5
16 jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby Jedná se o čistě SH-módy. sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.7) Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.5) kde l (n) z = B ± B A c c 55, (.8) A = c c 55 (c ρv )(c 55 ρv ) a B = (c ρv )c + (c 55 ρv )c 55 (c + c 55 ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c 55 )l z (), α () = c c 55 α y () =, α z () c + c 55 l z () ρv SV (.9) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c 55, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c 55 )l () z c + c 55 l () z ρv, (.5) Rovnice (.) až (.5) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí ( tan ( tan l () z l () z ) ( kd ) = kd c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( ) ( α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ) (.5) nebo ( tan ( tan l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.5) 6
17 Rovnice (.5) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.5) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =, a N =,,,... (.5) Rovnice (.5) pro n = představuje disperzní závislost pro oddělené SV-módy a pro n = závislost pro oddělené P-módy. V souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola., jsou odvozeny disperzní závislosti (.7) a (.5) až (.5). Mindlinovy disperzní křivky jsou spolu s disperzními křivkami pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy desky s ortotropní anizotropií zakresleny v obr směr šíření φ = 9 V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) c 55 l z (n) + c 66 ρv (c + c ) l z (n) c + c l z (n) ρv Determinant soustavy se rozdělí na a (c + c l (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =. (.5) c 55 l (n) z + c 66 ρv = (.55) ρv )(c + c l (n) z ρv ) (c + c ) l (n) z =. (.56) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.55), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) ρv = c 66, α (5) =, SH c 55 (.57) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5), jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.58) Jedná se opět o čistě SH-módy. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.56) l (n) z = B ± B A c c, (.59) 7
18 kde A = c c (c ρv )(c ρv ) a B = (c ρv )c + (c ρv )c (c + c ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c )l z (), α () = c c α y () =, α z () c + c l z () ρv SV (.6) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c )l () z c + c l () z ρv, (.6) Rovnice (.5) až (.6) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí nebo ( tan ( tan ( tan ( tan l () z l () z l () z l () z ) ( kd ) = kd ) kd ) = kd c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( ) ( ) ( α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ) (.6) ) ). (.6) Rovnice (.6) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.6) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti pro oddělené módy jsou následující: sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =, a N =,,,... (.6) Rovnice (.6) pro n = představuje disperzní závislost pro oddělené SV-módy a pro n = závislost pro oddělené P-módy. Disperzní závislosti (.58) a (.6) až (.6) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy disperzní křivky spolu s disperzními křivkami pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy desky s ortotropní anizotropií pro směr šíření φ = 9 jsou zakresleny v obr... 8
19 .5. směr šíření < φ < 9 Uvažujeme opět desku s ortotropní anizotropií a orientací () a vyšetřujeme obecný směr šíření v rovině desky, jak je znázorněno na obr... Christoffelova rovnice má v tomto případě tvar kde g = sin φ c 55 + cos φ c, g = sin φ c + cos φ c 55 ρ v, g 9 lz + g g 5 lz + g 7 g 6 l z g 5 lz + g 7 g lz + g g l z g 6 l z g l z g 8 lz + g g = sin φ cos φ (c c + c c 66 ) + c 66 ρ v, g = sin φ cos φ (c c + c c 55 ), g 5 = sin φ cos φ (c c 55 ), g 6 = sin φ (c + c ) + cos φ (c + c 55 ), α x (n) α y (n) α (n) z g 7 = sin φ cos φ ( sin φ (c c c 66 ) cos φ (c c c 66 ) ), g 8 =c, g 9 = sin φ c + cos φ c 55, g = sin φ c + cos φ c + (c + c 66 ) sin φ cos φ ρ v. =, (.65) V tomto případě se už nevyskytují SH-módy, ale pouze symetrické a antisymetrické módy. Determinant soustavy vede následující bikubickou rovnici: kde A =p p 5, A l 6 z + B l z + C l z + D =, (.66) B = (p p 5 + p p 6 p 5 q, ) sin φ + (p p + p 5 p 6 p q ) cos φ (p + p p 5 + p 5 ) χ C =p p 5 r + p 6 r + sin φ cos φ (q p q p q + p q ) + χ r, D =r + ( r 5 + ( S + S 5 χ + p 6 ) χ ) χ, r = (p + p 6 ) sin φ cos φ + S χ, r =S q sin φ + (q p ) sin φ cos φ q cos φ (S 5 + ) χ, r = (q p p 5 ) sin φ + (q p p ) cos φ S + (p + p 5 + ) χ, r = ( p 6 S ( p p 6 q ) sin φ cos φ ) S 5, r 5 = ( p p 6 q ) sin φ cos φ S S 5 p 6 (S + S 5 ), 9
20 p = c /c, p 5 =c 55 /c, q = ( p + p 8 ) p 8, S =p sin φ + p cos φ, p = c /c, p 6 =c 66 /c, q = ( p 5 + p 7 ) p 7, S =p sin φ + p cos φ, p = c /c, p 7 =c /c, q =p p p S 5 =p sin φ + p 5 cos φ, p = c /c, p 8 =c /c, q =p p 7 + p 5 p 8 + p 7 p 8, χ =ρ ω /c. Tvary rovnic (.65) a (.66) jsou odvozeny v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Rovnice (.66) je pak dále řešena numericky v Matlabu, [5]. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí nebo kde ( C A = ( C B = C C = D x (n) D y (n) D z (n) E x (n) E y (n) α x (n) α y (n) α (n) z = D x () D () C A cotg ( l () z kd ) + C B cotg ( l () z kd ) + C C cotg ( l (5) z kd ) = (.67) y D () C A tg ( l () z kd ) + C B tg ( l () z kd ) + C C tg ( l (5) z kd ) = (.68) x D y () D x (5) D y () D x () D y (5) ( D x () D y (5) D x (5) D y () = α x (n) l z (n) + α z (n), = α y (n) l z (n), = α (n) z = α (n) x cos φ, = α (n) y sin φ, = g g 8 l (n) z ) [ ) [ l z (n) c + α x (n) c, D z (5) + D z () + ) [ D () z + + (g g + g g 8 g ) l (n) z + g g, ( ) ] E x (5) E y (5) cos φ (c c ) c c 55, ( ) ] E x () E y () cos φ (c c ) c c 55, ( ) ] E x () E y () cos φ (c c ) c c 55, = g 5 g 8 l z (n) + (g g 6 g 7 g 8 g g 5 ) l z (n) ) g g 7, ((g g 5 g g 6 ) l z (n) (g g 6 g g 7 ) l z (n), pro n =,, 5, a hodnoty g až g 8 jsou stejné jako v rovnici (.65). Rovnice (.67) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.68) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola. a tvary polarizací parciálních vln α y a α z v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy okrajové podmínky T xz =, u z = nebo T zz =, u x = lze pro ortotropní desku použít při φ = a φ = 9. Pro obecný úhel šíření, kdy nelze oddělit SH-módy, jsme k získání oddělených módů museli doplnit první dvojici výše uvedených okrajových podmínek o podmínku T yz = a druhou dvojici o podmínku u y =. Takto doplněné podmínky jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =,, 5 a N =,,,... (.69) Tyto disperzní závislosti jsou odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola..
21 Interpretace falešných kořenů Při numerických výpočtech disperzních závislostí tlustých desek pro ortotropní materiály jsme narazili na problém s výskytem falešných disperzních křivek. V následujících kapitolách provedeme interpretaci tohoto jevu a ukážeme si, proč se nejedná o skutečné disperzní křivky. Jelikož se podobné chování vyskytuje i u disperzních křivek pro izotropní tlustou desku, začneme analýzou disperze v izotropních deskách.. Izotropní deska Disperzní závislosti v izotropní desce jsou dány vztahy (.9) a (.). Průběh disperzních větví pro symetrické resp. antisymetrické módy je znázorněn na obr.. resp. obr.., Poissonovo číslo je.. 5 falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] 5 c 5 5 Obrázek.: Disperzní křivky pro symetrické módy izotropní desky Po dosazení za δ a β do vztahu (.9) je zřejmé, že kořenem by pro symetrické módy měla být i rychlost c. Na obr.. je vynesena levá strana rovnice (.9) v závislosti na fázové rychlosti v v řezu zobrazeném na obr... Že se nejedná o skutečný kořen disperzní závislosti, se lze přesvědčit výpočtem odpovídajících výchylek. Výchylky ve směru osy x pro symetrické módy jsou dány vztahy: u x = i [( ) ] c v sinh(kd β) cosh(kz δ) + β δ sinh(kd δ) cosh(kz β), (.) k v c výchylky ve směru osy z u z = δ [( c v k v c ) ] sinh(kd β) sinh(kz δ) + sinh(kd δ) sinh(kz β). (.)
22 - c c - Re(f ) Im(f ) v [m/s] Obrázek.: Průběh funkce (.9) pro symetrické módy. 5 falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] 5 c 5 5 Obrázek.: Disperzní křivky pro antismetrické módy izotropní desky Dosadíme-li do těchto vztahů v = c, vyjdou nám výchylky nulové a nejedná se tudíž o skutečnou disperzní křivku. Obdobně pro antisymetrické módy po dosazení za δ a β do vztahu (.) je zřejmé, že kořenem by měla být tentokrát rychlost c. Na obr.. je vynesena levá strana rovnice (.) v závislosti na fázové rychlosti v v řezu zobrazeném na obr... Že se nejedná o skutečný kořen disperzní závislosti, se lze opět přesvědčit výpočtem odpovídajících výchylek: u x = i [( ) ] c v cosh(kd β) sinh(kz δ) + β δ cosh(kd δ) sinh(kz β), (.) kv c u z = δ [( ) ] c v cosh(kd β) cosh(kz δ) + cosh(kd δ) cosh(kz β). (.) kv c Dosadíme-li do těchto vztahů v = c, vyjdou nám výchylky nulové a nejedná se tudíž o skutečnou disperzní křivku. Při numerickém hledání kořenů nám tyto falešné křivky nedělají problémy, neboť neprotínají nulu.
23 - c c - Re(f ) Im(f ) v [m/s]. Ortotropní deska Obrázek.: Průběh funkce (.) pro antismetrické módy Disperzní vztahy pro obecný úhel šíření φ v ortotropní desce jsou dány vztahy (.67) a (.68). 8 falešné křivky řez pro dané kd v [m/s] kd [-] Obrázek.5: Disperzní křivky pro symetrické módy v ortotropní desce a směr šíření Průběh vypočtených disperzních větví pro směr šíření φ = pro symetrické módy ortotropní desky je znázorněn na obr..5. Materiál použitý pro výpočty (uhlíkový kompozit) měl následující parametry: c = 8. GPa, c = c =.95 GPa, c =.8 GPa, c 55 = c 66 = 6.7 GPa, c = c = 6.9 GPa, c = 7. GPa a ρ = 58 kg/m, []. Na tomto obrázku je zajímavý především výskyt dvou bezdisperzních křivek (vykresleny čárkovaně). Tyto křivky se kříží s ostatními, což je v rozporu s teorií. Jelikož nás zajímala příčina jejich vzniku, vykreslili jsme si do obr..6 levou stranu rovnice (.67); šipkami je zvýrazněna poloha falešných kořenů. Z obrázku je vidět, že na rozdíl od případu izotropní desky, kde se funkce nuly dotkla, zde ji protíná. Proto numerický program bez problémů průsečík s nulou detekoval jako platný kořen disperzní křivky. Museli jsme proto hledat nějakou jinou metodu jak odstranit tyto falešné kořeny. Vykreslili jsme si tedy v jejich okolí průběhy proměnných C A, C B a C C z rovnice (.67),
24 x Re(f ) Im(f ) f v [m/s] Obrázek.6: Průběh funkce (.67) pro symetrické módy pro ortotropní desku pro φ = viz obr..7 a.8 (reálná část je vykreslena černě, imaginární šedě). Z obrázků je patrné, že v místech falešných kořenů jsou všechny tři proměnné C A, C B i C C rovny nule a proto je splněna rovnice (.67). Z těchto důvodů byl program doplněn o zachytávání falešných kořenů, které je založeno na detekci nulovosti proměnných C A, C B a C C. Následnou analýzou jsme zjistili, že výchylky pro symetrické módy v těchto falešných kořenech jsou nulové. Průběh vypočtených disperzních větví pro antisymetrické módy ortotropní desky pro směr šíření φ = je znázorněn na obr..9. Na tomto obrázku se vyskytuje pouze jedna bezdisperzní křivka. Tato křivka se opět kříží s ostatními. Na obr.. je vykreslena levá strana rovnice (.68). Z obrázku je opět vidět, že zde funkce nulovou hodnotu protíná. Stejně jako v případě symetrických módů je tento falešný kořen způsoben nulovostí všech tří proměnných C A, C B a C C, viz obr..8. Následnou analýzou jsme zjistili, že i výchylky pro antisymetrické módy v tomto falešném kořenu jsou nulové. 5 C A C B v [m/s] Obrázek.7: Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = C C
25 5 C A C B v [m/s] Obrázek.8: Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = 8 C C falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] kd [-] Obrázek.9: Disperzní křivky pro antisymetrické módy v ortotropní desce a směr šíření 5 x f x Re(f ) Im(f ) v [m/s] Obrázek.: Průběh funkce (.68) pro antisymetrické módy pro ortotropní desku pro φ = 5
26 Výpisy programů - Maple. Christoffel cubic ortho.mw V tomto souboru je odvozen tvar Christoffely rovnice, tvary jejích kořenů a polarizací parciálních vln pro kubickou a ortotropní desku. Tento soubor je vytvořen systémem pro symbolické výpočty Maple, [] Pro kubickou desku a směr šíření φ = jsou to rovnice (.) až (.), směr šíření φ = 5 rovnice (.6) až (.) a pro obecný směr šíření rovnice (.8) a (.9). V případě ortotropní desky jsou zde odvozeny pro směr šíření φ = rovnice (.) až (.5), směr šíření φ = 9 rovnice (.5) až (.6) a pro obecný směr šíření rovnice (.65) a (.66). 6
27 Determinant charakteristické rovnice vede na bikubickou rovnici pro lz. Nalezení koeficientů této bikubické rovnice. Ty budou dále použity ve funkcích Fortho fi.m > restart; > #material:= cubic; material:= ortotropic; smer:=phi; #smer:=; # () #smer:=pi/; # () - cubic #smer:=pi/; # () - ortotropic * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material := cubic material := cubic smer := φ smer := material := cubic smer := π material := ortotropic material := ortotropic smer := φ smer := Vytvoření Christoffelovy matice ve shodě s článkem []: material := ortotropic smer := π > with(linearalgebra): > Kmat := <<kx,, > <, ky, > <,, kz> <, kz, ky> <kz,, kx> <ky, kx, >>: > ky :=: kz := kx*lz: kx := : Tenzor elastických modulů > if material = cubic then dd := <<c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <,,, c[,],, > <,,,, c[,], > <,,,,, c[,]>>: else dd := <<c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <,,, c[,],, > <,,,, c[5,5], > <,,,,, c[6,6]>>: end if: Matice transformace soustavy souřadnic dle [] (str. 9 - šestirozměrný prostor). 7
28 > alu := Transpose(<<a[,]^, a[,]^, a[,]^> <a[,]^, a[,]^, a[,]^> <a[,]^, a[,]^, a[,]^>>): aru := *Transpose(<<a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]>>): alb := Transpose(<<a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]>>): arb := Transpose( <<a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]> <a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]> <a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]>>): aa := <<alu, alb> <aru, arb>>: Rotace okolo osy z. > a := <<cos(f), -sin(f), > <sin(f), cos(f), > <,, >>: Rotovaná matice > d_rot := Multiply(Multiply(aa,dd),Transpose(aa)): d_rot := Map(simplify,d_rot): f:=smer: Charakteristická rovnice : Christoffelova matice - rho v > ChM := Multiply(Multiply(Kmat,d_rot),Transpose(Kmat)) -Multiply(rho*v^,IdentityMatrix()): ChM. Pro směr φ předpokládáme ChM v následujícím tvaru: (pořadí g je takové, aby odpovídalo publikacím [7], [8] a []) > material:=material; smer:=smer; if smer = phi then if material = cubic then K_a:=factor(select(has,ChM[,],cos)); ChM := algsubs(k_a=k_a,chm): K_b:=(ChM[,]); ChM := subs(k_b=k_b,chm); print( ChM =ChM); print(k_a=simplify(k_a)); print(k_b=simplify(k_b)); else N:=<<lz^*g[9]+g[] lz^*g[5]+g[7] lz*g[6] >, <lz^*g[5]+g[7] lz^*g[]+g[] lz*g[] >, 8
29 <lz*g[6] lz*g[] lz^*g[8]+g[]>>; print( N =N); end if; else ChM:=ChM; end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: ChM := material := cubic smer := φ K A + c, + lz c, ρ v K B lz c, + lz c, K B K A ρ v + ( lz + ) c, lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v K A = ( c, c, + c, ) sin(φ) cos(φ) K B = ( cos(φ) ) cos(φ) ( c, c, + c, ) sin(φ) * nebo: material := cubic ChM := smer := c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v * nebo: material := cubic ChM := smer := π c, + c, + c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v 9
30 * nebo: N := material := ortotropic smer := φ lz g 9 + g lz g 5 + g 7 lz g 6 lz g 5 + g 7 lz g + g lz g lz g 6 lz g lz g 8 + g * nebo: ChM := material := ortotropic smer := c, + lz c 5,5 ρ v lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 6,6 ρ v lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 5,5 ρ v * nebo: material := ortotropic ChM := Součin Christofellovy matice s vektorem α smer := π c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c 5,5 + c 6,6 ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v > Alpha:=Vector(,symbol=alpha): if material = ortotropic and smer = phi then ChM_alpha:=(Multiply(N,Alpha)): else ChM_alpha:=(Multiply(ChM,Alpha)): end if: Řešení Christoffelovy rovnice - nalezení tvaru pro α. > material:=material; smer:=smer; eq:=equate(chm_alpha,vector()): if material = cubic then if smer = phi then alpha[]:=: alpha[]:=solve( eq[],alpha[]): alpha[]:=solve( eq[],alpha[]): for i in [,,5] do alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]);
31 alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); end do: else alpha[]:=-denom(solve( eq[],alpha[])); alpha[]:=solve( eq[],alpha[]); alpha[]:=solve( eq[],alpha[]); if smer = Pi/ then alpha[]:=factor(alpha[]/); alpha[]:=expand(alpha[]/); end if; for i in [,] do alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); end do: alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; end if: elif smer = phi then # material=ortotropic alpha[]:=: alpha[]:=solve(eq[],alpha[]): alpha[]:=solve(eq[],alpha[]): alpha[]:=simplify(alpha[]): Alpha:=Map(sort,Alpha*denom(alpha[]),lz): for i in [,,5] do alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); end do: else alpha[]:=-denom(solve(eq[],alpha[])); alpha[]:=solve(eq[],alpha[]); alpha[]:=solve(eq[],alpha[]); for i in [,] do alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); end do: alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; end if: if smer = phi then for i from to do for j in [,,5] do print(alpha[i,j]=alpha[i,j]); end do: end do: else for j in [,,5] do
32 for i from to do print(alpha[i,j]=alpha[i,j]); end do: end do: end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material := cubic smer := φ α, = α, = α,5 = α, = α, = α,5 = K B lz c, c, + K A + ρ v K B lz c, c, + K A + ρ v K B lz 5 c, c, + K A + ρ v α, = α, = α,5 = lz (c, + c, ) lz c, c, + ρ v lz (c, + c, ) lz c, c, + ρ v lz 5 (c, + c, ) lz 5 c, c, + ρ v * nebo: material := cubic smer := α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + lz c, ρ v α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 =
33 * nebo: material := cubic smer := π α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + c, + c, + lz c, ρ v α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + c, + c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 = * nebo: material := ortotropic smer := φ α, = g 8 g lz + ( g + g 8 g + g g ) lz + g g α, = g 8 g lz + ( g + g 8 g + g g ) lz + g g α,5 = g 8 g lz 5 + ( g + g 8 g + g g ) lz 5 + g g α, = g 8 g 5 lz + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz g g 7 α, = g 8 g 5 lz + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz g g 7 α,5 = g 8 g 5 lz 5 + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz 5 g g 7 α, = (g 5 g g g 6 ) lz + (g 7 g g g 6 ) lz α, = (g 5 g g g 6 ) lz + (g 7 g g g 6 ) lz α,5 = (g 5 g g g 6 ) lz 5 + (g 7 g g g 6 ) lz 5 * nebo: material := ortotropic smer := α, = ( c, c 5,5 ) lz α, = α, = c, + lz c 5,5 ρ v α, = ( c, c 5,5 ) lz α, =
34 α, = c, + lz c 5,5 ρ v α,5 = α,5 = α,5 = * nebo: material := ortotropic smer := π α, = ( c, c, ) lz α, = α, = c, + lz c, ρ v α, = ( c, c, ) lz α, = α, = c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 = Pro i ={,,6} platí lz[i]=-lz[i-] pro směr φ: α[,i]= α[,i-], α[,i]= α[,i-], α[,i]= -α[,i-], a pro směry, π/ a π/: α[,i]= -α[,i-], α[,i]= α[,i-], α[,i]= α[,i-]. Tyto substituce jsou použity v dc cubic ortho.mw při odvozování disperzních vztahů. Koeficienty α budou použity v Matlabu v cubic fi.m a ortho fi.m Pro směry, π/ a π/ rozklad ChM na dvě submatice M, M (anti-)symetrické módy a SH módy; poslední člen součinu ChM alpha je roven determinantu submatice M a ten musí být nulový. Pro směr φ je čitatel prvního členu součinu ChM alpha je roven determinantu matice (ChM nebo N) a ten musí být nulový. > if smer <> phi then M := SubMatrix(ChM,[,],[,]): M := SubMatrix(ChM,[],[]): sd:= Determinant(M): sd:= Determinant(M): if material = cubic then ChM_alpha[]:=simplify(ChM_alpha[]-sd): else ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-sd): end if: else if material = cubic then
35 det:=factor(determinant(chm)); ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-det): else ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-Determinant(N)): end if: end if: simplify(chm_alpha); Určení hodnot g až g pro ortotropní materiál a směr φ > if material = ortotropic and smer = phi then c :=ChM[,]: g[9]:=coeff(c,lz,): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g[9]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g9a :=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): g[9] :=g9a: g[]:=coeff(c,lz,): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(g[]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,rho) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: ga:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])) +simplify(add(i,i=[a[]]))+a[]: g[]:=ga: #************************************************************ c :=ChM[,]: g[5]:=coeff(c,lz,): g[7]:=coeff(c,lz,): g7a :=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=pom,g[7]): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g7a)do if has(i,pom) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g7b:=a[]: g7c:=simplify(mul(i,i=[a[]])): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g7b) do if has(i,pom) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do: 5
36 g7d :=factor(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): pom :=c[,]+*c[6,6]-c[,]: g7e :=g7d*g7c: g[7]:=g7e: #************************************************************* c :=ChM[,]: g[6]:=coeff(c,lz,): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(g[6]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,c[,]) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do: g6a:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g6a) do if has(i,sin) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g6b:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): g[6]:=g6b: #************************************************************* c :=ChM[,]: g[]:=coeff(c,lz,):a[]:=null: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,c[5,5]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): g[]:=coeff(c,lz,): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,cos) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): #************************************************************* c :=ChM[,]: g[]:=coeff(c,lz,): g[]:=factor(g[]): #************************************************************* c :=ChM[,]: g[8]:=coeff(c,lz,): g[]:=coeff(c,lz,):a[]:=null: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[], i; end if end do: 6
37 g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): print(simplify(n-chm)); end if: * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: V [7], [8] a [] je uveden tvar g[7] následovně: > if smer = phi then g_7:= sin(phi)*cos(phi)* (c[,]-c[,]+*c[6,6]+cos(phi)^*(c[,]-*c[,]+c[,]-*c[6,6])); simplify(g_7+g[7]); end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g 7 := sin(φ) cos(φ) (c, c, + c 6,6 + (c, c, c 6,6 + c, ) cos(φ) ) Tedy g 7 = -g[7] α[,n] a α[,n] pro n=,,5 se v [7], [8] a [] od zdejšího vyjádření liší znaménkem u g 7. > printlevel:=: if material = ortotropic and smer = phi then for i from to do g[i]:=g[i] end do; end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g := cos(φ) c, + sin(φ) c 5,5 g := sin(φ) c, + cos(φ) c 5,5 ρ v g := sin(φ) cos(φ) (c, c, c 6,6 + c, ) + c 6,6 ρ v g := cos(φ) sin(φ) (c, c, + c, c 5,5 ) g 5 := cos(φ) sin(φ) (c, c 5,5 ) g 6 := sin(φ) (c, + c, ) + cos(φ) (c, c 5,5 ) g 7 := ( cos(φ) ( c, + c, + c 6,6 ) + sin(φ) (c, + c 6,6 c, ) ) cos(φ) sin(φ) g 8 := c, g 9 := sin(φ) c, + cos(φ) c 5,5 g := cos(φ) c, + c, sin(φ) + (c, + c 6,6 ) cos(φ) sin(φ) ρ v Po úpravách dostáváme následující tvary, ty jsou použity v Matlabu v ortho fi.m 7
38 > if material = ortotropic and smer = phi then g[]:=algsubs(c[,]-*c[,]+c[,]-*c[6,6]=lambda[5],g[]); g[]:=algsubs(c[,]-c[5,5]=lambda[],g[]): g[]:=factor(algsubs(c[,]-c[,]=lambda[],g[])); g[5]:=algsubs(c[,]-c[5,5]=lambda[],g[5]); g[7]:=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=lambda[],g[7]): g[7]:=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=lambda[],g[7]); end if: if material = ortotropic and smer = phi then for i in {,,5,7} do g[i]:=g[i] end do; Lambda[]:=c[,]-c[5,5]; Lambda[]:=c[,]-c[,]; Lambda[5]:= -(Lambda[]+Lambda[]); Lambda[]:=c[,]+*c[6,6]-c[,]; Lambda[]:=c[,]+*c[6,6]-c[,]; end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g := sin(φ) cos(φ) Λ 5 + c 6,6 ρ v g := cos(φ) sin(φ) ( Λ + Λ ) g 5 := cos(φ) sin(φ) Λ g 7 := cos(φ) sin(φ) (sin(φ) Λ cos(φ) Λ ) Λ := c, c 5,5 Λ := c, c, Λ 5 := Λ Λ Λ := c, + c, + c 6,6 Λ := c, c, + c 6,6 Řešení charakteristické rovnice výpočet determinantu Pro směry, π/ a π/ rozklad ChM na dvě submatice (anti-)symetrické módy a SH módy. subdeterminant = symetrické a antisymetrické módy > if smer <> phi then d:=coeff(sd,lz,); d:=coeff(sd,lz,); d:=coeff(sd,lz,); print( material =material); print( smer =smer); print(m=); if material = cubic then if smer = then B[]:=select(has,d,{c[,],rho}); B[]:=remove(has,d,{c[,],rho}); B[]:=factor(select(has,B[],c[,])) +factor(remove(has,b[],c[,])+c[,]^); 8
39 B[]:=factor(B[]-c[,]^); print(lz^=(-b+sqrt(b^-a))//d); print(lz^=(-b-sqrt(b^-a))//d); a:=factor(*d*d); b:=b[]+b[]; print(a=a); print(b=b); else d:=*d; d:=*d; d:=*d; B[]:=select(has,d,rho); B[]:=remove(has,d,{c[,]^,rho}); B[]:=select(has,d,c[,]^); print(lz^=(-b+sqrt(b^-*a*c))//a); print(lz^=(-b-sqrt(b^-*a*c))//a); a:=d; b:=factor(b[])+factor(b[])+b[]; c_print:=factor(d)); print(a=a); print(b=b); print(c=c_print); end if; print(simplify(d-b)); else #ortotropic for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(d) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,v) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if: end do: B[]:=factor(add(i,i=[A[]])); if smer= then B[]:=factor(add(i,i=[A[]])+c[5,5]^); B[]:=factor(add(i,i=[A[]])-c[5,5]^); else B[]:=factor(add(i,i=[A[]])+c[,]^); B[]:=factor(add(i,i=[A[]])-c[,]^); end if; print(lz^=(-b+sqrt(b^-a))//d); print(lz^=(-b-sqrt(b^-a))//d); a:=*d*factor(d); b:=b[]+b[]+b[]; print(a=a); print(b=b); end if: else det := factor(determinant(chm)): end if: 9
40 * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material = cubic smer = [ c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, ] lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v = lz = lz = B + B A c, c, B B A c, c, A = ( c, + ρ v ) ( c, + ρ v ) c, c, B = c, ( c, + ρ v ) c, ( c, + ρ v ) (c, + c, ) * nebo: material = cubic smer = π [ c, + c, + c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, ] lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v = lz = B + B A C A lz = B B A C A A = c, c, B = v ρ (c, + c, ) + (c, + c, ) (c, c, ) + c, C = ( c, + ρ v ) ( ρ v c, c, c, ) * nebo: material = ortotropic smer = [ c, + lz c 5,5 ρ v lz c, + lz c 5,5 ] lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 5,5 ρ v = lz = lz = B + B A c 5,5 c, B B A c 5,5 c,
41 * nebo: A = c 5,5 c, ( c, + ρ v ) ( c 5,5 + ρ v ) B = c, ( c, + ρ v ) c 5,5 ( c5,5 + ρ v ) (c, + c 5,5 ) material = ortotropic smer = π [ c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v lz = B + B A c, c, lz = B B A c, c, ( A = c, c, c, + ρ v ) ( c, + ρ v ) ] = B = c, ( c, + ρ v ) c, ( c, + ρ v ) (c, + c, ). subdeterminant = SH módy > if smer <> phi then print( material =material); print( smer =smer); print(m=); if material = cubic and smer = then print(expand(isolate(determinant(m)=,lz^))); else print(isolate(determinant(m)=,lz^)); end if; end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material = cubic smer = [ lz c, + c, ρ v ] = lz = + ρ v c, * nebo: material = cubic smer = π
42 [lz c, + c, c, ρ v ] = * nebo: lz = c, + c, + ρ v c, material = ortotropic smer = [ lz c, + c 6,6 ρ v ] = lz = c 6,6 + ρ v c, * nebo: material = ortotropic smer = π [ lz c 5,5 + c 6,6 ρ v ] = lz = c 6,6 + ρ v c 5,5 Řešení pro směr φ: determinant = symetrické a antisymetrické módy Ze vzniklé bikubické rovnice získáme členy u koeficientu 6.,.,. a -tého řádu. V následujícím použijeme tyto substituce (pro ortotropní materiál): p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[5]:=c[5,5]/c[,]: p[6]:=c[6,6]/c[,]: p[7]:=c[,]/c[,]: p[8]:=c[,]/c[,]: > if smer = phi then print( material =material); print( smer =smer); print(a*lz^6+b*lz^+c*lz^+d=); if material = cubic then unprotect(d); K_6 := coeff(det,lz,6): K_ := factor(coeff(det,lz,)); K_ := coeff(det,lz,): K_ := coeff(det,lz,): #********************************************************* A[]:=select(has,K_,rho); A[]:=remove(has,K_,rho); A[]:=factor(select(has,remove(has,A[],rho),c[,])); A[]:=factor(select(has,A[],rho)); A[5]:=remove(has,A[],{rho,c[,]}); B:=add(-A[i],i =..5)*(-A[]); #********************************************************* A[]:=factor(select(has,K_,rho^)); A[]:=factor(select(has,K_,{K_A^,K_B^}));
43 A[]:=factor(select(has,K_,{c[,]^,c[,]^})): A[]:=simplify(remove(has,A[],K_A))*select(has,A[],K_A); A[]:=remove(has,K_,{rho^,K_A^,K_B^,c[,]^,c[,]^}): A[5]:=select(has,A[],{K_A,rho}): A[5]:=factor(remove(has,A[5],c[,]))+factor(select(has,A[5],c[,])); A[6]:=factor(remove(has,A[],{K_A,rho})); C:=add(A[i],i in {,5,,,6}); #********************************************************* A[]:=select(has,K_,v^6): A[]:=factor(select(has,K_,v^)): A[]:=factor(select(has,K_,{K_A,K_B})): A[]:=(factor(select(has,(select(has,A[],K_A),K_A))) +remove(has,(select(has,a[],k_a),k_a)))*remove(has,a[],k_a): A[]:=remove(has,K_,{v^6,v^,K_A,K_B}): A[]:=factor(select(has,A[],rho))+factor(remove(has,A[],rho)): D:=add(A[i], i=..); print( A =K_6); print( B =B); print( C =C); print( D =D); else # material = ortotropic ac_6:= simplify(coeff(det,lz,6)/c[,]^): C_6 := algsubs(c[,]/c[,]=p[],ac_6): C_6 := algsubs(c[5,5]/c[,]=p[5],c_6); print( A =C_6); #************************************************************** C_:= expand(simplify(coeff(det,lz,)/c[,]^)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[5,5]/c[,]=p[5],C_)): C_:=expand(algsubs(c[6,6]/c[,]=p[6],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[7],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[8],C_)): C_:=expand(algsubs(rho*v^/c[,]=chi^,C_)): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(c_) do if has(i,chi) then A[]:=A[],i ; elif has(i,cos) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: for j from to do B[j]:=simplify(add(i,i=[A[j]])) end do: r_chi:=factor(b[]): r_c:=b[]/cos(phi)^+b[]: r_s:=b[]: for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(r_c) do if has(i,{p[],p[6]}) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do:
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceRovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceKap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů
Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceModelování blízkého pole soustavy dipólů
1 Úvod Modelování blízkého pole soustavy dipólů J. Puskely, Z. Nováček Ústav radioelektroniky, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT v Brně Purkyňova 118, 612 00 Brno Abstrakt Tento
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VícePostupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice
VíceKinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceVlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy
Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných
VíceKritéria porušení laminy
Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Více1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VícePřednáška 08. Obecná trojosá napjatost
Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceCvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka
Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklad 01 Spočtěte odrazivost prostého rozhraní dvou izotropních homogenních materiálů s indexy lomu n 0 = 1 a n 1 = 1,52 v závislosti na úhlu dopadu pro
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple
3.4. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 115 1 1 1 1 3 1 Obrázek 3.8: Část výsledné kuželové plochy 3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple Zadání: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7x +6y +5z 4xy 4yz x +4y +z +3=. (3.1)
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Vícey 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceR β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceMomenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více