7. Základní formulace lineární PP

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Základní formulace lineární PP"

Transkript

1 p Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, že všechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární. Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohy nelineární pružnosti. Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam pro řešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatně jednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená. Nutné podmínky pro lineárnost úlohy: materiál těles je lineárně pružný, malé deformační posuvy těles (v porovnání s jejich rozměry), složky tenzoru přetvoření malé ( 1, obvykle nejvýše řádu 10 3 ), Příklad 623 okrajové podmínky lineární. V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsou nepodstatné. OBSAH další

2 p Hookův zákon Zavedli jsme pojem pružné deformace tělesa jako deformaci, která je vratná. To znamená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžování v tomto okamžiku nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatost tělesa určena okamžitými parametry zatěžování. Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε má obecně tvar podle obrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významně řešení úloh PP. U nejběžnějšího strojírenského materiálu oceli je však možné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnou přesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový model pružného materiálu materiál lineárně pružný (hookovský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních (fyzikálních) relací. Tyto vztahy obecně popisují závislosti mezi složkami tenzoru napětí T σ a tenzoru přetvoření T ε ve vyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování lineárně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost. V případě jednoosé napjatosti (realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je jedinou nenulovou složkou tenzoru napětí T σ normálové napětí v podélném směru vzorku (osa x) σ x

3 p07 3 a závislost mezi tímto napětím a přetvořením v podélném směru je dána rovnicí σ x = Eε x, kde E je konstanta úměrnosti nazývaná Youngův modul pružnosti nebo modul pružnosti v tahu (v tlaku má u drtivé většiny materiálů stejnou hodnotu). Protože při tahové nebo tlakové zkoušce dochází i ke změně příčných rozměrů vzorku (stav deformace není jednoosý, nýbrž trojosý), jsou nenulová i ostatní délková přetvoření a lze je určit ze vztahu ε y = ε z = µε x, kde µ je tzv. součinitel příčné kontrakce neboli Poissonovo číslo. Protože u izotropního materiálu (jeho vlastnosti nejsou směrově závislé) nedochází při tahové zkoušce ke zkosům (γ ij = 0 pro všechna i, j), jsou těmito vztahy definovány všechny složky tenzoru přetvoření. K popisu lineárně elastického chování izotropního materiálu tedy postačují uvedené 2 materiálové konstanty, které obě lze určit z jediné zkoušky (tahem). Pro neizotropní materiál jsou elastické vlastnosti směrově závislé a pro popis konstitutivních vztahů nejobecnějšího anizotropního lineárně elastického materiálu je zapotřebí 21 elastických konstant. Výše uvedené jednoduché vztahy však nestačí ani pro popis lineárně elastického chování izotropního materiálu, protože jejich platnost je omezena na případ jednoosé napjatosti. Pro víceosou napjatost jsou délková přetvoření funkcí všech normálových napětí a obráceně. Tyto vztahy popisuje obecný Hookův zákon, z nějž lze odvodit i další zjednodušený tvar Hookova zákona platný pro smykovou napjatost (v rovině): τ = Gγ.

4 p07 4 V něm konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Běžně se u izotropních materiálů neměří, protože z rovnic obecného Hookova zákona vyplývá vztah pro jeho výpočet ve tvaru E G = 2(1 + µ) Obecný Hookův zákon Obecný Hookův zákon popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí (přetvoření) na všech složkách tenzoru přetvoření (napětí). U izotropního materiálu lze tuto závislost vyjádřit pomocí dvou elastických konstant E a µ. Lze jej zapsat maticově ve tvaru σ = D ε nebo ε = D 1 σ, kde σ je sloupcová matice tvořená šesti složkami T σ, ε je taktéž sloupcová matice tvořená šesti složkami T ε a D je čtvercová matice elastických modulů (D 1 matice inverzní), z jejichž 36 prvků je díky symetrii pouze 21 nezávislých (pro anizotropní materiál). Počet vzájemně nezávislých složek je dán vnitřní symetrií materiálu. Nejvyšší symetrii (tj. všechny mechanické vlastnosti nezávislé na směru v prostoru) má materiál označovaný jako izotropní. Pro něj lze všechny prvky matice elastických modulů vyjádřit pomocí 2 nezávislých elastických konstant E a µ.

5 p07 5 Pak lze maticovou rovnici rozepsat do šesti algebraických rovnic nazývaných zobecněný Hookův zákon [2]: ε x = 1 E [σ x µ(σ y + σ z )] γ xy = ε y = 1 E [σ y µ(σ x + σ z )] γ yz = ε z = 1 E [σ z µ(σ x + σ y )] γ zx = 2(1 + µ) E τ xy = τ xy G 2(1 + µ) E τ yz = τ yz G 2(1 + µ) E τ zx = τ zx G Explicitním vyjádřením složek napětí lze dostat inverzní tvar Hookova zákona: σ x = E (1 + µ) ε x + σ y = E (1 + µ) ε y + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε x + λ (ε x + ε y + ε z ) Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε y + λ (ε x + ε y + ε z ) σ z = E (1 + µ) ε z + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε z + λ (ε x + ε y + ε z ) τ yz = E 2(1 + µ) γ yz = Gγ yz τ xz = E 2(1 + µ) γ xz = Gγ xz τ xy = E 2(1 + µ) γ xy = Gγ xy kde λ bývá nazýváno Lamého konstanta.

6 p Práce síly při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci. Obecně můžeme tuto práci vyjádřit vztahem A F = u F d u A = F du F, u F kde vektor d u A představuje elementární posuv působiště síly a du F je průmět tohoto vektoru do směru síly. Hodnotu integrálu (a tedy práci) lze vypočítat pouze za předpokladu, že známe závislost velikosti síly na poloze. Předpokládejme, že na lineárně pružné těleso působí jediná osamělá síla F v bodě A. Vlivem jejího působení se těleso deformuje, zatěžující vnější síla je v rovnováze s vnitřním působením v tělese a musí se tedy také lineárně měnit se změnou polohy F (u F ) = c u F v celém intervalu okamžitých hodnot u F 0; u FK, roste tedy z hodnoty 0 na konečnou hodnotu F K = c u FK. Během tohoto děje pak tato proměnná síla vykoná práci A F = u FK 0 F du F = u FK 0 cu F du F = cu2 F K 2 = F 2 K 2c = 1 2 F Ku FK.

7 p07 7 Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (u F ) a při lineární závislosti síly a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka. Budou-li na uvedené těleso působit i další síly, může se poloha síly F změnit i jejich vlivem. Můžeme také určit práci, kterou síla F vykoná vlivem změn jiných sil (a sama se přitom nemění). Tato práce konstantní síly při posunutí u F jejího působiště podél nositelky z bodu 0 do u FK je A F = u FK 0 F K du F = F K u FK. Grafická interpretace tohoto integrálu je obdélník a výsledek skutečně odpovídá jeho obsahu.

8 p Obecné věty lineární pružnosti V lineární pružnosti platí několik vět zásadní důležitosti, z nichž si uvedeme tyto: Věta o superpozici Příklad: na prut působí 2 osamělé síly F 1 a F 2. Prodloužení prutu je rovno součtu prodloužení způsobených jednotlivými silami ( l = l 1 + l 2 ). Pozor! Věta platí pouze pro lineární část diagramu (lineární pružnost), např. pro šedou litinu superpozice neplatí, protože tahový diagram je od počátku nelineární. Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.

9 p Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta) Uvažujme nosník zatížený soustavou dvou osamělých sil danou množinou sil { F1 { F2. V průběhu zatěžování se nosník deformuje, působiště sil se posouvají. Označme posuv působiště síly F i po její nositelce způsobený silou F j symbolem u ij. Analogický význam mají indexy u práce. Uvažujme 2 historie zatěžování: 1. Nejprve zatížíme silou F 1 a pak připojíme sílu F 2 ({ 0 { F1 { F1 { F2 ). Při zatěžování { 0 { F1 vykoná síla F1 deformační práci A 11 danou vztahem A 11 = 1 2 F 1u 11. Analogicky při zatěžování { F1 { F1 { F2 vykoná síla F2 práci A 22 = 1 2 F 2u 22, a současně, protože síla F 2 vyvolá posuvy všech bodů prutu (s výjimkou nepohyblivě vázaných), vykoná síla F 1 práci A 12 = u 11+u 12 u 11 F 1 du 12 = F 1 u 12 a celková práce je A 1 = A 11 + A 22 + A 12 = 1 2 F 1u F 2u 22 + F 1 u 12.

10 p Uvažujme nyní opačný postup. Nejprve zatížíme silou F 2 a pak připojíme sílu F 1 ({ 0 { F2 { F2 { F1 ). Obdobným způsobem dostaneme práci: A 2 = A 22 + A 11 + A 21 = 1 2 F 2u F 1u 11 + F 2 u 21. Protože při zatěžování tělesa v pružném stavu nezávisí napjatost ani deformace na historii zatěžování, nezávisí na historii zatěžování ani deformační práce (silová soustava je konzervativní, tedy zachovávající energii). Proto musí platit Po dosazení dostaneme A 1 = A F 1u F 2u 22 + F 1 u 12 = 1 2 F 2u F 1u 11 + F 2 u 21 a po úpravě F 1 u 12 = F 2 u 21. Tato rovnost vyjadřuje nejjednodušší podobu Bettiho věty. Slovně ji lze vyjádřit takto: Bettiho věta: Při působení F 1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí: Práce síly F 1 na složkách deformace vyvolaných silou F 2 je rovna práci síly F 2 na složkách deformace vyvolaných silou F 1.

11 p07 11 Větu je samozřejmě možné zobecnit i na silové soustavy. Pro nás je však podstatnější její zjednodušení zavedením jednotkových sil. Jsou-li obě síly jednotkové (F 1 = F 2 = 1), lze je v rovnici vykrátit. Příslušné posuvy pak nazýváme příčinkové součinitele a platí pro ně η 12 = η 21. V souladu se zavedeným značením posuvů pak např. součinitel η 12 znamená posuv působiště síly F 1 od jednotkové síly F 2. Tyto příčinkové součinitele jsou již pro dané těleso a jeho zvolené body charakteristickými konstantami. Lze z nich snadno určit posuv působiště síly při zatížení tělesa silovou soustavou. Např. posuv působiště F 1 při zatížení soustavou sil { F1 ; F 2 je dán vztahem u 1 = F 1 η 11 + F 2 η Deformační práce soustavy osamělých sil Na lineárně pružné těleso působí soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2. Protože deformační práce nezávisí na zatěžovací historii, zvolíme zatěžování tak, že nejprve necháme působit sílu F 1, pak přidáme sílu F 2, atd. Pak deformační práce: { 0 { F 1 A 1 = 1 2 F 1u 11. { 0 { F 1 { F 1 { F 2 A 2 = A F 2u 22 + F 1 u 12 = Využitím Bettiho věty dostaneme = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) F 2u F 1u 12.

12 p07 12 F 1 u 12 = F 2 u 21 A 2 = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) F 2(u 21 + u 22 ) Protože platí u i = u i1 + u i2, dostáváme pro práci celé soustavy A = F 1 u 1i F 2 u 2i + = 1 2 F i u i, 2 kde u i je celkový posuv působiště síly F i ve směru její nositelky vlivem všech působících sil. Sumu lze samozřejmě zobecnit na libovolný počet sil. Působí-li na lineárně pružné těleso soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2, F n a označíme-li posuvy jejich působišť A 1, A 2, A n ve směru nositelek u 1, u 2, u n, pak platí A = 1 2 F 1u F 2u F nu n = 1 n F i u i. 2

13 p07 13 Deformační práce při působení silové dvojice Na lineárně pružné těleso působí silová dvojice určená momentem M, jehož velikost je M = 2rF. Posuvy působišť sil silové dvojice můžeme vyjádřit ve tvaru u = r tg ϕ a pro malý úhel (což je předpoklad lineární pružnosti a pevnosti) ( tg ϕ. = ϕ) platí u = rϕ. Práce silové dvojice je: A = 1 2 F 1u F 2u 2 = 1 2 F rϕ 1 2 F ( rϕ) = 1 2 F 2rϕ = 1 2 Mϕ a) Natočení tělesa ϕ v bodě A je určeno změnami směrových úhlů přímky pevně spojené s tělesem v bodě A. b) Deformační práce osamělé silové dvojice je: A = 1 2 Mϕ, kde úhel ϕ udává natočení v rovině silové dvojice mezi výchozím a deformovaným stavem Věta Castiglianova Castiglianovu větu zde odvodíme zjednodušeně pro prutové těleso. Pro zájemce je k dispozici i navazující obecné odvození Castiglianovy věty. Mějme prut zatížený dvěma silami podle kap Deformační práce A vykonaná při jeho zatěžování (pro prut z elastického materiálu je rovna vratné energii napjatosti W ) je lineární funkcí zátěžných sil, která byla odvozena ve tvaru A = W = 1 2 F 1u F 2u 2.

14 p07 14 Oba posuvy působišť sil u 1 a u 2 jsou rovněž lineárními funkcemi obou zátěžných sil. Tyto posuvy lze vyjádřit pomocí příčinkových součinitelů η ve tvaru u 1 = F 1 η 11 + F 2 η 12 u 2 = F 2 η 22 + F 1 η 21 Význam příčinkových součinitelů byl vysvětlen v kap Bettiho věta. Po dosazení do uvedené rovnice pro výpočet deformační práce dostaneme pro energii napjatosti vztah W = 1 2 ( F 2 1 η 11 + F 1 F 2 η 12 + F 2 2 η 22 + F 1 F 2 η 21 ), který lze již snadno derivovat podle kterékoli síly (příčinkové součinitele η ij jsou pro dané těleso a dané body konstanty). Např. derivací podle F 1 dostaneme: W F 1 = 1 2 (2F 1η 11 + F 2 η 12 + F 2 η 21 ). Přitom vycházíme ze vzájemné nezávislosti sil (tzn. F 1 F = 0 = F 2 2 F. ) 1 Protože pro příčinkové součinitele platí nezávislost na pořadí indexů (η 12 = η 21 jako důsledek Bettiho věty), lze vztah upravit do tvaru W F 1 = 1 2 (2F 1η F 2 η 12 ) = u 1. Zobecněním pro J-tou sílu soustavy osamělých sil dostáváme 1. část Castiglianovy věty: u J = W.

15 p07 15 Působí-li na prut navíc silová dvojice M J, vykoná při zatěžování tělesa práci A = W = 1 2 M Jϕ J, kde ϕ J je úhel natočení přímky spojené s tělesem v působišti momentum J. Pak za podmínek vzájemné nezávislosti vnějších momentů a sil lze dojít stejným postupem k analogickému vztahu pro 2. část Castiglianovy věty: ϕ J = W M J. Slovně lze pak obě části vyjádřit následovně: Posuv působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly. Úhel natočení v místě působení silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této silové dvojice. Castiglianova věta je nejdůležitější větou lineární pružnosti z hlediska praktického použití, protože umožňuje počítat deformační charakteristiky jakéhokoli lineárně pružného tělesa, pokud umíme matematicky formulovat vztah pro jeho energii napjatosti. Celou soustavu těles musíme do energie napjatosti zahrnout tehdy, jestliže deformace okolních těles (resp. základního tělesa) nejsou zanedbatelné v porovnání s deformacemi vyšetřovaného tělesa. Příklad 422

16 p07 16 Poznámka: Záporné znaménko posuvu (úhlu natočení) znamená, že tento posuv (toto natočení) nastává proti smyslu působení příslušné síly (silové dvojice). Castiglianova věta je proto nezávislá na znaménkových konvencích, protože kladná práce znamená vždy posuv ve smyslu působící síly. Obecné odvození Castiglianovy věty Uvažujme izotropní těleso, na které působí obecná silová soustava Π (jednu sílu z této silové soustavy s působištěm v bodě J označíme F J ). Tato silová soustava vykonala deformační práci A. Je-li těleso v lineárně pružném stavu, nezávisí deformační práce na historii zatěžování: A = n A i, kde A i je práce vykonaná i-tým prvkem silové soustavy. Vykonaná práce se projeví zvýšením energie napjatosti (viz 7.3.3) W = n A i = n 1 2 F iu i. Zderivujeme energii napjatosti (parciálně) podle velikosti síly F J : W = A 1 + A A J + + A n. Každý člen tohoto součtu se dá s ohledem na jeho definici zapsat A i = 1 2 F u i i + 1 F i u i 2

17 p07 17 a protože z definice práce plyne F i = W u i a dále F i je jen 1 nebo 0, tak W = n A i = 1 2 n F i u i u J = 1 2 n W u i u i u J. Suma v posledním výrazu představuje zápis parciální derivace složené funkce, dá se tedy rovnice napsat ve tvaru W = 1 W u J = W = u J. Když budeme místo osamělé síly F uvažovat silovou dvojici M, dostaneme druhou část Castiglianovy věty. Jiným postupem jsme dospěli k téže matematické formulaci Castiglianovy věty, kterou lze rozšířeně vyslovit takto: Castiglianova věta: Působí-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv u J působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly u J = W. Úhel natočení ϕ J přímky spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této dvojice ϕ J = W M J. Příklad 422 předchozí OBSAH následující kapitola

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů

Kap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Petr Konečný LPH 407/3 tel. 59 732 1384 petr.konecny@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/konecny Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená literatura

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Zapojení odporových tenzometrů

Zapojení odporových tenzometrů Zapojení odporových tenzometrů Zadání 1) Seznamte se s konstrukcí a použitím lineárních fóliových tenzometrů. 2) Proveďte měření na fóliových tenzometrech zapojených do můstku. 3) Zjistěte rovnici regresní

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er Obsah Úvod Eulerova teorie namáhání prutů na vzpěr První případ vzpěru zde Druhý případ vzpěru zde Třetí případ vzpěru zde Čtvrtý případ vzpěru zde Shrnutí vzorců potřebných pro výpočet Eulerovy teorie

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Pružnost a plasticita II DD6

Pružnost a plasticita II DD6 Pružnost a plasticita II DD6 Lud ě k Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti

b) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti 1. Podmínka max τ a MOS v Mohrově rovině a) Plasticity ϭ K = ϭ 1 + ϭ 3 b) Křehké pevnosti (ϭ 1 κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt Ϭ red = max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) MOS : max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt a) Plasticita

Více

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček:

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček: Molekulová fyzika zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného působení částic, ze kterých se látky skládají. Termodynamika se zabývá zákony přeměny různých forem energie

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková

ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace

Více

DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ

DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ Úvod PLASTICITA DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ I. Návrh konstrukce z "mezního stavu Zahrnuje relativně malá plastická přetvoření často stejného řádu jako jsou souběžná elastická přetvoření. Analýza

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

12. Struktura a vlastnosti pevných látek

12. Struktura a vlastnosti pevných látek 12. Struktura a vlastnosti pevných látek Osnova: 1. Látky krystalické a amorfní 2. Krystalová mřížka, příklady krystalových mřížek 3. Poruchy krystalových mřížek 4. Druhy vazeb mezi atomy 5. Deformace

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Petr Frantík Obsah 1 Vytvoření modelu 2 2 Styčníkové vektory modelu

Více

Pružnost a plasticita Martin Krejsa, Lenka Lausová a Vladimíra Michalcová

Pružnost a plasticita Martin Krejsa, Lenka Lausová a Vladimíra Michalcová Pružnost a plasticita Martin Krejsa, Lenka Lausová a Vladimíra Michalcová Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.7/2.2./28.9 Metoda konečných prvků Základy konstitutivního modelování (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc.

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu.

5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu. 5. Únava Zatížení při únavě, Wöhlerův přístup a lomová mechanika, únosnost, vliv vrubů, kumulace poškození, přístup podle Eurokódu. K poškození únavou dochází při zatížení výrazně proměnném s časem. spolehlivost

Více

PRUŽNOST A PEVNOST I

PRUŽNOST A PEVNOST I PRUŽNOST A PEVNOST I Učební text Prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc. Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Fakulta strojního inženýrsví VUT v Brně Brno, 2011 Tato publikace vznikla jako součást

Více

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná.

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. Test A 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. 2. Co je to µ? - Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných

Více

Nejpoužívanější podmínky plasticity

Nejpoužívanější podmínky plasticity Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): Trescova Misesova Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy): Mohrova-Coulombova, Rankinova Druckerova-Pragerova

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

( r ) 2. Měření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku

( r ) 2. Měření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku ěření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku 1 ěření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku Úkol č.1: Získejte mechanickou hysterezní křivku pro dráty různé tloušťky

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK

STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK Ing.Jiřina Strnadová Předmět:Fyzika Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti 1 Obsah Teoretický úvod... 3 Rozdělení pevných látek... 3 Mechanické vlastnosti pevných

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Optimalizace vláknového kompozitu

Optimalizace vláknového kompozitu Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Dovolené napětí, bezpečnost Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková

Dovolené napětí, bezpečnost Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK

STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK STRUKTURA A VLASTNOSTI PEVNÝCH LÁTEK 1. Druhy pevných látek AMORFNÍ nepravidelné uspořádání molekul KRYSTALICKÉ pravidelné uspořádání molekul krystalická mřížka polykrystaly více jader (krystalových zrn),

Více