Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy

Transkript

1 Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných vln (Fourierova transformace Pokud jediná rovinná vlna, tak: A( x,t = A(k,ωe i k x i ω t Výhodné pro počítání derivací: A i ω A t A i k A A i k A

2 Fázová vs. grupová rychlost Fázová rychlost: v f = ω k k vždy ve směru vlnového vektoru může být > c Grupová rychlost: v g = ω k nemusí být ve směru vlnového vektoru musí být vždy < c tok energie vlny Index lomu: n = k c ω = c k v f k

3 Obecná disperzní relace Maxwellovy rovnice: E (1 B = ϵ μ t +μ j ( E = B t t B (1 a dosazení za z (: t E E ( E ϵ μ t = μ j t vztahy pro derivace rovinné vlny + vztah mezi j a E: j = σ(ω, k E + c =1/(ϵ μ (obecná vlnová rce [( k ω c 1 kk i ωμ σ(ω,k] E (ω,k =

4 [( k ω c 1 kk i ωμ σ(ω,k] E (ω,k = Aby mělo netriviální řešení ( E(ω, k, musí být determinant roven : Det [( k ω c 1 kk i ωμ σ (ω, k] = Přepis s využitím dielektrického tenzoru: B = ϵ μ E t + μ j = μ D t = μ ϵ ϵ E t Vede na: ϵ(ω, k = 1 + Det [ k c ω i ω ϵ σ(ω, k ( kk k 1 + ϵ(ω, k ] =

5 Det [ k c ω ( kk k 1 + ϵ(ω, k ] = V izotropním prostředí (nezávisí na směru, tj. bez mag. pole: [ ϵ] k c [( 1 ( 1 Det ω 1 + = [ k c ( Det 1 + ω 1 ( ϵ ] ϵ = ϵ 1] n = k c ω = ϵ => vymizí rovnice pro. a 3. složku E => E je kolmé na k (a z B= přímo plyne k B= => B je kolmé na k => pro vakuum ( ϵ=1 dostáváme n=1

6 Izotropní prostředí v přiblížení studeného plazmatu: zanedbáme tepelný pohyb (tj. bereme T=, částice se zcela řídí polem vlny; lze použít když v th v f, odpovídá zanedbání tlaku (v MHD pohybová rovnice (pohyblivost: m s d v s dt Ohmův zákon (vodivost: = q E v s = i q s m s ω E pohyblivost μ j = s n s q s v s = i 1 ω s n s q s m s E měrná vodivost σ Dielektrický tenzor přechází v izotropním prostředí na skalár: ϵ = 1 + i σ = 1 ω kde n p = n ω p = s q s ω ϵ ω s ϵ m s je plazmová frekvence

7 n = k c ω = 1 ω p ω vlna se může šířit jen pro ω>ω p když ω ω p, tak n : cut-off, dochází k odrazu vlny pokud by bylo n : rezonance, vlna je pohlcena plazmatem v f = ω k = c 1 ( ω p ω ω = ω p +k c v g = ω k = c 1 ( ω p ω

8 Anizotropní prostředí v přiblížení studeného plazmatu: vnější ( ambient magnetické pole B aproximace: magnetické pole vlny zanedbáváme v porovnání s B pohybová rovnice (pohyblivost: Ohmův zákon (vodivost: Dielektrický tenzor: S = 1 (R+L ϵ = 1 + R = 1 s j = s m s d v s dt = q s ( E+v s B v s = μ s E n s q s v s j = s ω i ( S id ϵ σ = id S P ω ps ω(ω+ω cs ω ps L = 1 s D = 1 ( R L P = 1 s ω ω ps = n s q s (plazmová frekvence ω cs = B q s ϵ m s m s n s q s μ s E = σ E ω ps ω(ω ω cs Stixovy parametry (gyrofrekvence (se znaménkem q

9 ( Det [ k c ω ( kk k 1 + ϵ(ω, k ] = ϵ = 1 + i ( S id ω ϵ σ = id S P Bez újmy na obecnosti: B=(,, B k=(k sinθ,, k cosθ Det S n cos θ id n cosθsinθ id S n = n cosθsin θ P n sin θ A n 4 Bn +C= kvadratická rovnice pro n max. vlnové módy pro danou frekvenci, θ a parametry plazmatu kde: A=S sin θ+p cos θ B=RLsin θ+ps (1+cos θ C=PRL tan θ= P (n R(n L (Sn RL(n P

10 Vsuvka: rychlost zvuku ( ρ u t + u u = p x x (pohybová rovnice ρ t + x ρ (ρ u = t + u ρ x + ρ u x = (rovnice kontinuity Řešíme pomocí perturbací (prvního řádu, vyšší zanedbáváme: ρ ρ +ρ 1 p p + p 1 u u 1 (bereme u = u 1 t Zavedeme: ( 1 + ρ 1 p 1 x = u 1 t i ω u ρ ( ρ ( c s = ω k dp d ρ c s c s ρ ( + 1 ρ ( dp d ρ ρ 1 x = ρ 1 t + ρ u 1 x = dp i k ρ d ρ 1 = i ω ρ 1 + ρ i k u 1 = ρ 1 u 1 = ( Det = c ( s = dp d ρ

11 c s = ( dp d ρ d dt ( pρ γ = dp d ρ = γ ρ p c s = γ p ρ d dt ( pρ γ = ρ γ p p γ ρ γ 1 ρ = p = γ p ρ ρ p = c s ρ

12 Vlny v MHD přiblížení intuitivně 1 Alfvénovy vlny: magnetické siločáry se chovají jako struny, částice svázány se siločárami ( tenze v hustota 1/ ( 1/ μ B ρ

13 Pohyb částic podél mag. pole: magnetické pole nehraje roli => zvukové vlny

14 3 Kolmo na magnetické pole: síly vracející do rovnováhy: magnetické pole + tlak plazmatu

15 S pomocí rovnic... ρ t + (ρv = rovnice kontinuity ρ v t + ρ(v v = c s ρ + μ 1 ( B B pohybová rovnice B t = (v B indukční rovnice B = Maxwell

16 Řešíme pomocí perturbací (prvního řádu, vyšší zanedbáváme: ρ ρ +ρ 1 v v 1 (bereme v = B B +B 1 B a ρ jsou konstantní ( t =, x =, y =, z = Vede na: ρ 1 t + ρ v 1 = ρ v 1 t + c s ρ 1 1 μ ( B 1 B = B 1 t + ( B v 1 = B 1 =

17 S využitím vztahů pro derivace: i ω ρ 1 + i ρ k v 1 = i ω ρ v 1 + c s i k ρ 1 i μ (k B 1 B = i ω B 1 + i k (B v 1 = i k B 1 = i k t i ω Po vydělení -i a roznásobení vektorových součinů: ωρ 1 ρ (k v 1 = ωρ v 1 c s ρ 1 k 1 μ [(B B 1 k (B k B 1 ] = ω B 1 (k v 1 B + (k B v 1 = k B 1 = B 1 je kolmé na k Poslední rce navíc, plyne z předposlední když vezmeme skalárně s k => 7 rovnic pro 7 neznámých

18 Definujeme: Po vydělení k : v f = ω k n = k k velikost fázové rychlosti směr vlnového vektoru (fázové rychlosti v f ρ 1 ρ (v 1 n = ρ v f v 1 c s ρ 1 n 1 (B μ B 1 n + 1 (B μ n B 1 = v f B 1 (v 1 n B + ( B nv 1 = B 1 n = Cílem je najít takové hodnoty v f, které odpovídají těmto rovnicím. Mohli bychom použít přímo podmínku Det=, ale elegantnější je vzít skalární součiny vektorových rovnic (tj.. a 3. s: n, B, m=n B

19 Vede (s využitím B 1 n= a po drobných úpravách na: ( c s ( B n ρ v f 1 ( B n v f B ρ v n f μ B n v f v f ρ c s ρ v f 1 μ ( B Determinant rozdělíme na součin tří subdeterminantů: Δ = Δ Δ 4 1 = ρ 1 v 1 n v 1 B B 1 B v 1 m B 1 m B 1 n = ( Δ = ρ v f ( B n μ Δ 4 = ρ v f [ v f B ] μ ρ c ρ s c ( B n s μ

20 Δ = ρ v f ( B n μ Δ 4 = ρ v f ( v f B μ ρ c ρ s c (B n s μ Zavedeme Alfvénovu rychlost : v A = B μ ρ ( B n μ ρ = B μ ρ cos θ = v A cos θ ( θ je úhel mezi směrem šíření n a B Alfvénovy vlny: Δ = v f = v A cos θ Magnetozvukové (magnetoakustické/magnetosonické vlny: Δ 4 = v f (v f v A c s + c s v A cos θ = v f = (v A+c s ± (v A +c s 4 c s v A cos θ + rychlé pomalé

21 Vlastnosti Alfvénových vln: ( c s B v f ρ ρ v f 1 μ c s ( B n ρ v f ( ( B n v f B ρ v n f μ 1 B n v f Δ = v 1 m = v 1 (n B B 1 m = B 1 (n B ρ 1 v 1 n v 1 B B 1 B v 1 m B 1 m B 1 n = ( Ale: ρ 1 = v 1 n = v 1 B = B 1 B = B 1 n = v 1 a B 1 jsou kolmé na směr šíření a na vnější magnetické pole ( příčná Alfvénova vlna. Nedochází ke kompresi ( ρ 1 =.

22 Grupová rychlost Alfvénových vln: v f = ω k = v A cos θ = v A ( k B k B Bez újmy na obecnosti: B = (,, B k = (k x,, k z Vede na: ω = v A k z ω k = (,, v A Velikost grupové rychlosti je magnetického pole. v A, grupová rychlost má směr vnějšího

23 Vlastnosti magnetozvukových vln: ( c s B v f ρ ρ v f 1 μ c s ( B n ρ v f ( ( B n v f B ρ v n f μ 1 B n v f ρ 1 v 1 n v 1 B B 1 B v 1 m B 1 m B 1 n = ( Komponenty odpovídající Alfvénovým vlnám jsou nulové, tedy: v 1 m = B 1 m = ( m=n B v 1 a B 1 jsou v rovině vlnového vektoru a vnějšího magnetického pole.

24 v f = (v A+c s ± (v A +c s 4 c s v A cos θ Nulové magnetické pole: v A = v f k podél magnetického pole: θ= v f = v A nebo v f = c s k kolmo na magnetického pole: = c s nebo v f = (která je pomalá a která rychlá záleží na tom, jestli je větší Alfvénova rychlost nebo rychlost zvuku θ= π v f = v A + c s nebo v f = V přiblížení studeného plazmatu: c s v f = v A rychlá vlna (hustotní

25 Rychlá vs. pomalá magnetozvuková vlna:

26