Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček

Transkript

1 Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček

2 Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála koho zajímala náhoda al-farábí ( )

3 Gerolamo Cardano ( ) Mezi prvními, kdo se zabýval pravděpodobností Údajně velmi rád hrál kostky, karty a šachy A údajně často vyhrával Viděl zákonitosti hraní uvnitř hlavy Asi jeden z prvních koho napadlo popsat vágní jev matematicky

4 Liber de Ludo Alea O hře v kostky Pro zájemce anglický překlad zahrnut v knize Cardano, The gambling scholar

5 Klasická definice pravděpodobnosti

6 Pascal a Fermat Cardanova kniha byla vydána až 1663 Velký vliv na ubírání pravděpodobnosti měla korespondence dvou velkých matematiků Keith Devlin, The Unfinished Game

7 Blaise Pascal ( ) Nadaný matematik, fyzik, filosof Mechanický kalkulátor Pascalina Pacalův zákon Byl odpůrce přehlížení pravdy ze slušnosti k autoritám tehdejší církev

8 Pierre de Fermat ( ) Povoláním právník Amatérský matematik Velká Fermatova věta Fermatův princip

9 Korespondence V roce 1653 řešil Pascal dvě úlohy z oblasti her A korespondoval o nich s Fermatem korespondence je považována jako jeden z pramenů teorie pravděpodobnosti, přestože se v nich termín pravděpodobnost vlastně nevyskytuje Úkol byl následující: Dva hráči hrají sérii her o určitou částku s tím, že tuto sumu získá ten, kdo jako první dosáhne předem domluveného počtu vítězství. Otázka je jak si mají sumu spravedlivě rozdělit, pokud hra skončí předčasně.

10 Dopis Pascala Fermatovi

11 Výhody a nevýhody Pokaždé když jí spočítáme vyjde nám stejně Při složitém pokusu je teoretický rozbor příliš náročný

12 Frekvencionismus Existuje definice pravděpodobnosti, kterou Cardano též intuitivně znal a při gamblení využíval Velmi ji podporuje výsledek Jacoba Bernoulliho ( ) Zlatá věta dává do souvislosti klasickou a frekvencionistickou definici

13 Zlatá věta Bernoulli ji nazýval Zlatá věta Označení Zákon velkých čísel přidal Poisson Toto je tzv. Slabý zákon velkých čísel

14 Zákon velkých čísel

15 Nevýhody Mějme necinknutou minci Jaká je pravděpodobnost, že hodíme pannu? Výsledek frekvencionistického přístupu cca ½ Mějme napínáček Jaká je pravděpodobnost, že spadne špičkou dolu?

16 Nevýhody + Definice kruhem

17 Výhody Užitečná demonstrace neurčitosti Jeden z deseti výrobků je vadný Každý desátý výrobek je vadný

18 Je to celé o tahání míčků z uren Motivace doc. Hedrlín Mějme urnu se 100 míčky 30 červených a 70 zelených P=3/10, že vytáhneme červený (Cardano) Jak to bude s počasím? Nový model neurčitosti míčky v urnách

19 Míčky a urna Konvexita pravděpodobnosti Doplňková událost Pravidlo součtu Pravidlo součinu Rozšíření konverzace

20 Bayesovská pravděpodobnost Thomas Bayes ( ) Anglický duchovní Ve volném čase se věnoval matematice Bayesův vzorec Essays towards solving the problem in the doctrine of chances.

21 Bayesův vzorec Již víme, že A tedy Pokud je P(E) nenulová

22 Použití v učení Princip správného učení Mějme nějakou bázi znalostí B O nějaké události F nám z této báze vyplývá, že jev nastává s pravděpodobností P(F B) Teď ale rozšíříme bázi znalostí o nový poznatek E Musíme nějak přejít k pravděpodobnosti P(F B, E)

23 Nevýhody

24 Výhody Bayesovská pravděpodobnost je subjektivní Pravděpodobnost bere jako stupeň přesvědčení (degree of belief) jedince Umožňuje použití i tam, kde klasická pravděpodobnost selhává V medicíně, v soudnictví, ve strojovém učení

25 Dnešní Bayesovci Na počátku Bayesiánství poměrně řídké Dnes zažívá obrodu 20-tá léta Neobayesiánství Dennis Lindley ( ) Profesor statistiky na University College of London

26 Geometrická pravděpodobnost Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon ( ) přírodovědec, matematik, kosmolog Řešil následující problém

27 Šíp a terč Pravděpodobnost, že zasáhneme terč je podle geometrické pravděpodobnosti

28 Dva známí Umíme řešit i složitější úlohy

29 Řešení dvou známých Po rozepsání absolutní hodnoty dostaneme

30 Výhody a nevýhody Dá se použít tam, kde klasické pravděpodobnosti nestačí Nedá se ale použít obecně (Bertrandův paradox) S jakou pravděpodobností bude délka náhodně vybrané tětivy v kružnici delší než délka strany vepsaného rovnostranného trojúhelníka?

31 Andrej Nikolajevič Kolmogorov ( ) Velmi brzo objevil kouzlo matematiky V 5 letech dokázal Jeho primární zájem byla biologie a historie Ruska Extrémní matematický záběr

32 Andrej Nikolajevič Kolmogorov Nejenže položil základy axiomatické teorii pravděpodobnosti Aplikoval ji na genetiku, biologii, fyziku, geologii Dovedl velmi dobře přednášet, a to jak odborné veřejnosti tak dětem na základní škole Byl velmi sportovní typ a se svými studenty podnikal četné letní cesty po sibiřských řekách U studentů usiloval o šíři záběru, nejen v matematice ale i v umění, hudbě,

33 Andrej Nikolajevič Kolmogorov

34 Axiomatická definice p. Základy teorie pravděpodobnosti (1933) Teorie pravděpodobnosti jako matematická disciplína může a měla by být vybudována na axiomech stejným způsobem jako geometrie a algebra.

35 Axiomatická definice p. Nechť E je soubor nějakých elementů α,β,... Budeme je nazývat elementární jevy. Množina PE bude množina všech podmnožin E. Prvky této množiny budou nazývány náhodné jevy.

36 Nevýhody Axiomatická struktura pravděpodobnosti bez interpretace Neříká jak pravděpodobnosti přiřadit, kromě triviálních případů

37 Shrnutí Vědci rokují o tom, která definice pravděpodobnosti je ta správná