Pascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky

Transkript

1 Pascalova sázka O náhodě, pravděpodobnosti, poznávání a rozhodování Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Univerzita třetího věku 1. dubna 2016

2 Úvod Základní pojmy Trochu historie Zdroje Teorie pravděpodobnosti Rozhodování za nejistoty Teorie her Úvod Pascalova sázka 2 / 18

3 Základní pojmy Náhoda: Pascalova sázka 3 / 18

4 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Pascalova sázka 3 / 18

5 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Pascalova sázka 3 / 18

6 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Pascalova sázka 3 / 18

7 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Jev, který je unikátní a neopakovatelný. Pascalova sázka 3 / 18

8 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Jev, který je unikátní a neopakovatelný. Pravděpodobnost: Pascalova sázka 3 / 18

9 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Jev, který je unikátní a neopakovatelný. Pravděpodobnost: Jistá jsou tvrzení z Písma svatého, z papežských bul a z usnesení koncilů. Objeví-li se totéž tvrzení v knihách theologů, je pravděpodobné. Pascalova sázka 3 / 18

10 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Jev, který je unikátní a neopakovatelný. Pravděpodobnost: Jistá jsou tvrzení z Písma svatého, z papežských bul a z usnesení koncilů. Objeví-li se totéž tvrzení v knihách theologů, je pravděpodobné. Pravděpodobné je tvrzení, které neodporuje zkušenosti nebo poznání. Pascalova sázka 3 / 18

11 Základní pojmy Náhoda: Svévole bohyně Tyché (Fortuny). Jev, který nemá příčinu. Jev, který má tak komplikované a komplexní příčiny, že je nemůžeme poznat. Jev, který je unikátní a neopakovatelný. Pravděpodobnost: Jistá jsou tvrzení z Písma svatého, z papežských bul a z usnesení koncilů. Objeví-li se totéž tvrzení v knihách theologů, je pravděpodobné. Pravděpodobné je tvrzení, které neodporuje zkušenosti nebo poznání. Pravděpodobnost je kvantita vyjadřující míru (ne)jistoty. Pascalova sázka 3 / 18

12 Trochu historie Pascalova sázka 4 / 18

13 Trochu historie Gerolamo Cardano Pascalova sázka 4 / 18

14 Trochu historie Gerolamo Cardano Blaise Pascal Pierre de Fermat Pascalova sázka 4 / 18

15 Trochu historie Gerolamo Cardano Blaise Pascal Pierre de Fermat Toto nové učení... sjednocuje přesnost matematických důkazů s neurčitostí našich pokusů a smiřuje tím věci zdánlivě nesourodé. Pascalova sázka 4 / 18

16 Trochu historie Christian Huygens Jakob Bernoulli Pierre-Simon Laplace Pascalova sázka 4 / 18

17 Trochu historie Christian Huygens Jakob Bernoulli Pierre-Simon Laplace John von Neumann Pascalova sázka 4 / 18

18 Zdroje 1. B. Pascal, Myšlenky. J.Leichter, Praha A. P locki, O náhodě a pravděpodobnosti. Mladá fronta, Praha A. Rényi, Dialogy o matematice. Mladá fronta, Praha M. Hykšová, Filosofická pojetí pravděpodobnosti v pracích českých myslitelů. MatFyzPress, Praha L. Novák, V. Vohánka, Kapitoly z epistemologie a noetiky. Krystal OP, Olomouc M. Chvoj, Pokročilá teorie her ve světě kolem nás. Grada Publishing, Praha S. Brams, Superior beings. If they exist, how would we know? Springer, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, Pascalova sázka 5 / 18

19 Úvod Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný jev Definice pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost Rozhodování za nejistoty Teorie her Teorie pravděpodobnosti Pascalova sázka 6 / 18

20 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Pascalova sázka 7 / 18

21 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Pascalova sázka 7 / 18

22 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Pascalova sázka 7 / 18

23 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Pascalova sázka 7 / 18

24 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Pascalova sázka 7 / 18

25 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Pascalova sázka 7 / 18

26 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Pascalova sázka 7 / 18

27 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Pascalova sázka 7 / 18

28 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Hod kostkou Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Pascalova sázka 7 / 18

29 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Pascalova sázka 7 / 18

30 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Pascalova sázka 7 / 18

31 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Pascalova sázka 7 / 18

32 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Pascalova sázka 7 / 18

33 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Ω = {x : 0 x délka časového intervalu} Pascalova sázka 7 / 18

34 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Zjišťování bodu varu vody Ω = {x : 0 x délka časového intervalu} Pascalova sázka 7 / 18

35 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Ω = {x : 0 x délka časového intervalu} Zjišťování bodu varu vody Ω = {x : 65 x 110} Pascalova sázka 7 / 18

36 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Ω = {x : 0 x délka časového intervalu} Zjišťování bodu varu vody Ω = {x : 65 x 110} Střelba do terče Pascalova sázka 7 / 18

37 Náhodný pokus a jeho výsledky Náhodný pokus: jakákoliv akce, která může dát různé rozpoznatelné a nezaměnitelné výsledky; před provedením pokusu není jeho výsledek znám. Základní prostor možných výsledků Ω: souhrn všech možných výsledků náhodného pokusu. Příklady: Hod mincí Ω = {, } Zplození dítěte Ω = {, } Ranní probuzení Ω = {Slunce vyjde, Slunce nevyjde} Hod kostkou Ω = {,,,,, } Čekání na úspěch Ω = {1,01,001,0001,00001,000001,...} Čekání na tramvaj Ω = {x : 0 x délka časového intervalu} Zjišťování bodu varu vody Ω = {x : 65 x 110} Střelba do terče Ω = {(x,y) : 0 < x < 1,0 < y < 1} Pascalova sázka 7 / 18

38 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Pascalova sázka 8 / 18

39 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Pascalova sázka 8 / 18

40 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok Pascalova sázka 8 / 18

41 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Pascalova sázka 8 / 18

42 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok Pascalova sázka 8 / 18

43 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Pascalova sázka 8 / 18

44 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři Pascalova sázka 8 / 18

45 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Pascalova sázka 8 / 18

46 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři Pascalova sázka 8 / 18

47 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Pascalova sázka 8 / 18

48 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok Pascalova sázka 8 / 18

49 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Pascalova sázka 8 / 18

50 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi Pascalova sázka 8 / 18

51 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Pascalova sázka 8 / 18

52 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: E = Ω Pascalova sázka 8 / 18

53 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: Jev nemožný: E = Ω F = Pascalova sázka 8 / 18

54 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: Jev nemožný: Jevy slučitelné: E = Ω F = A a C, B a C, B a D, E a cokoliv s výjimkou F Pascalova sázka 8 / 18

55 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: Jev nemožný: Jevy slučitelné: Jevy neslučitelné: E = Ω F = A a C, B a C, B a D, E a cokoliv s výjimkou F A a B, A a D, C a D, F a cokoliv Pascalova sázka 8 / 18

56 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: E = Ω Jev nemožný: F = Jevy slučitelné: A a C, B a C, B a D, E a cokoliv s výjimkou F Jevy neslučitelné: A a B, A a D, C a D, F a cokoliv Jevy komplementární: A a B, E a F Pascalova sázka 8 / 18

57 Náhodný jev Pozorovatelná část základního prostoru Ω Příklad hod kostkou: Padne sudý počet ok A = {,, } Padne lichý počet ok B = {,, } Padne aspoň tři C = {,,, } Padne lichý počet menší než tři D = { } Padne kladný počet ok E = {,,,,, } = Ω Padne počet dělitelný sedmi F = {} = Jev jistý: E = Ω Jev nemožný: F = Jevy slučitelné: A a C, B a C, B a D, E a cokoliv s výjimkou F Jevy neslučitelné: A a B, A a D, C a D, F a cokoliv Jevy komplementární: A a B, E a F; A B = Ω, B = Ω\A Pascalova sázka 8 / 18

58 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 Pascalova sázka 9 / 18

59 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Pascalova sázka 9 / 18

60 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu kostkou nepadne šestka? Pascalova sázka 9 / 18

61 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu kostkou nepadne šestka? P(A) = {,,,, } {,,,,, } = 5 6 Pascalova sázka 9 / 18

62 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? Pascalova sázka 9 / 18

63 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? P(A) = {, } {,, } = 2 3 Pascalova sázka 9 / 18

64 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 1. Klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. P(A) = A Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? P(A) = {, } {,, } = 2 3 nebo P(A) = {(, ),(, )} {(, ),(, ),(, ),(, )} = 1 2? Pascalova sázka 9 / 18

65 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 2. Zobecněná klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. Každý elementární jev ω z Ω má váhu w(ω) (nezáporné číslo). w(ω) ω A P(A) = w(ω) ω Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Pascalova sázka 9 / 18

66 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 2. Zobecněná klasická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je konečný. Každý elementární jev ω z Ω má váhu w(ω) (nezáporné číslo). w(ω) ω A P(A) = w(ω) ω Ω Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost jevu A při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? w( ) = 1, w( ) = 2, w( ) = 1, A = w( )+w( ) w( )+w( )+w( ) = = 1 2 Pascalova sázka 9 / 18

67 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 3. Geometrická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je geometrický útvar, který má míru µ (úsečka má délku, obrazec má obsah, těleso má objem). Jev je takový útvar v základním prostoru, že také má míru µ. P(A) = µ(a) µ(ω) Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Pascalova sázka 9 / 18

68 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 3. Geometrická pravděpodobnost: Základní prostor Ω je geometrický útvar, který má míru µ (úsečka má délku, obrazec má obsah, těleso má objem). Jev je takový útvar v základním prostoru, že také má míru µ. P(A) = µ(a) µ(ω) Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při střelbě do terče tvaru čtverce o straně 1m zasáhneme střed, což je kruh o poloměru 1cm? Ω = {(x,y) : 0 x 100,0 y 100}, µ(ω) = A = {(x,y) : (x 50) 2 +(y 50) 2 1}, µ(a) = π. = 3, P(A). = 0, Pascalova sázka 9 / 18

69 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 4. Empirická pravděpodobnost: Náhodný pokus zopakujeme n-krát. Počet výskytů jevu A (četnost, frekvenci jevu A) označíme f A. P(A) = f A n Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Pascalova sázka 9 / 18

70 Definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu A, P(A) číslo z intervalu 0, 1 4. Empirická pravděpodobnost: Náhodný pokus zopakujeme n-krát. Počet výskytů jevu A (četnost, frekvenci jevu A) označíme f A. P(A) = f A n Vlastnosti: P(Ω) = 1 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Příklad: V roce 1970 se v ČSSR narodilo dětí, z toho bylo děvčat a chlapců. Jaká je pravděpodobnost narození děvčete, chlapce? P( ) = = 0,4874 P( ) = = 0,5126 Pascalova sázka 9 / 18

71 Podmíněná pravděpodobnost Buď víme, že nastal jev H, nebo předpokládáme, že platí hypotéza H. Základní prostor Ω zúžíme na H, H se stane základním prostorem. Pascalova sázka 10 / 18

72 Podmíněná pravděpodobnost Buď víme, že nastal jev H, nebo předpokládáme, že platí hypotéza H. Základní prostor Ω zúžíme na H, H se stane základním prostorem. Pravděpodobnost jevu A za podmínky H: P(A H) = P(A H) P(H) Pascalova sázka 10 / 18

73 Podmíněná pravděpodobnost Buď víme, že nastal jev H, nebo předpokládáme, že platí hypotéza H. Základní prostor Ω zúžíme na H, H se stane základním prostorem. Pravděpodobnost jevu A za podmínky H: P(A H) = P(A H) P(H) Závislost a nezávislost jevů: Jevy A a B jsou deterministicky závislé: A B, nebo A Ω\B, nebo B A, nebo B Ω\A Jevy A a B jsou stochasticky nezávislé: P(A B) = P(A) nebo P(B) = 0. Pascalova sázka 10 / 18

74 Podmíněná pravděpodobnost Buď víme, že nastal jev H, nebo předpokládáme, že platí hypotéza H. Základní prostor Ω zúžíme na H, H se stane základním prostorem. Pravděpodobnost jevu A za podmínky H: P(A H) = P(A H) P(H) Závislost a nezávislost jevů: Jevy A a B jsou deterministicky závislé: A B, nebo A Ω\B, nebo B A, nebo B Ω\A Jevy A a B jsou stochasticky nezávislé: P(A B) = P(A) nebo P(B) = 0. Induktivní úsudek: P(H A) > P(Ω\ H A) A H Pascalova sázka 10 / 18

75 Podmíněná pravděpodobnost Buď víme, že nastal jev H, nebo předpokládáme, že platí hypotéza H. Základní prostor Ω zúžíme na H, H se stane základním prostorem. Pravděpodobnost jevu A za podmínky H: P(A H) = P(A H) P(H) Závislost a nezávislost jevů: Jevy A a B jsou deterministicky závislé: A B, nebo A Ω\B, nebo B A, nebo B Ω\A Jevy A a B jsou stochasticky nezávislé: P(A B) = P(A) nebo P(B) = 0. Induktivní úsudek: P(H A) > P(Ω\ H A) A H Inversní pravděpodobnost: P(H A) = P(H) P(A) P(A H) Pascalova sázka 10 / 18

76 Úvod Teorie pravděpodobnosti Rozhodování za nejistoty Úlohy rytíře de Méré Očekávaná výhra Pascalova sázka Teorie her Rozhodování za nejistoty Pascalova sázka 11 / 18

77 Úlohy rytíře de Méré Pascalova sázka 12 / 18

78 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. Pascalova sázka 12 / 18

79 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. n počet kostek, jev A aspoň jedna šestka padne, jev B šestka na jedné kostce nepadne P(A) = 1 ( P(B) ) n = 1 ( 5 6 ) n Pascalova sázka 12 / 18

80 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. n počet kostek, jev A aspoň jedna šestka padne, jev B šestka na jedné kostce nepadne P(A) = 1 ( P(B) ) n = 1 ( 5 6 ) n P(A) > 1 2 pro n > 4, P(A). = 0,598. Pascalova sázka 12 / 18

81 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. 2. Několikrát se hází dvojicí kostek. Při jakém počtu hodů je vhodné vsadit na to, že součet ok na obou kostkách bude 12. Pascalova sázka 12 / 18

82 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. 2. Několikrát se hází dvojicí kostek. Při jakém počtu hodů je vhodné vsadit na to, že součet ok na obou kostkách bude 12. n počet hodů, jev A součet dvanáct aspoň jednou padne, jev B součet dvanáct při jednom hodu nepadne P(A) = 1 ( P(B) ) n = 1 ( ) n = 1 ( ) n Pascalova sázka 12 / 18

83 Úlohy rytíře de Méré 1. Hází se několika kostkami. Při jakém počtu kostek je vhodné vsadit na to, že padne šestka. 2. Několikrát se hází dvojicí kostek. Při jakém počtu hodů je vhodné vsadit na to, že součet ok na obou kostkách bude 12. n počet hodů, jev A součet dvanáct aspoň jednou padne, jev B součet dvanáct při jednom hodu nepadne P(A) = 1 ( P(B) ) n = 1 ( ) n = 1 ( ) n P(A) > 1 2 pro n > 24, P(A). = 0,506. Pascalova sázka 12 / 18

84 Očekávaná výhra Modelová situace: Hráči se dohodnou na náhodném pokusu a jevu A, který může nastat. První hráč vsadí do banku částku c 1, druhý hráč částku c 2. Pokud jev A nastane, bank dostane první hráč, pokud nenastane, bank dostane druhý hráč. Pascalova sázka 13 / 18

85 Očekávaná výhra Modelová situace: Hráči se dohodnou na náhodném pokusu a jevu A, který může nastat. První hráč vsadí do banku částku c 1, druhý hráč částku c 2. Pokud jev A nastane, bank dostane první hráč, pokud nenastane, bank dostane druhý hráč. Označení: p = P(A), V výhra prvního hráče. V je náhodná veličina, závisí na náhodě: { c 2, jev A nastal, V = c 1, jinak. Pascalova sázka 13 / 18

86 Očekávaná výhra Modelová situace: Hráči se dohodnou na náhodném pokusu a jevu A, který může nastat. První hráč vsadí do banku částku c 1, druhý hráč částku c 2. Pokud jev A nastane, bank dostane první hráč, pokud nenastane, bank dostane druhý hráč. Označení: p = P(A), V výhra prvního hráče. V je náhodná veličina, závisí na náhodě: { c 2, jev A nastal, V = c 1, jinak. Očekávaná výhra prvního hráče: EV = pc 2 +(1 p)( c 1 ) Pascalova sázka 13 / 18

87 Pascalova sázka Pascalova sázka 14 / 18

88 Pascalova sázka Bůh jest, nebo není. Ale kam se nakloníme? Rozum tu nedovede nic rozhodnouti: je nekonečný chaos, který nás rozdvojuje. Hra se hraje v nejzazší krajnosti této nekonečné vzdálenosti, kde vyjde hlava nebo orel. Oč se sadíte? Rozumně nemůžete učiniti jedno ani druhé; rozumně nemůžete hájiti z obojího nic. Pascal, Myšlenky, 233 Pascalova sázka 14 / 18

89 Pascalova sázka Bůh jest, nebo není. Ale kam se nakloníme? Rozum tu nedovede nic rozhodnouti: je nekonečný chaos, který nás rozdvojuje. Hra se hraje v nejzazší krajnosti této nekonečné vzdálenosti, kde vyjde hlava nebo orel. Oč se sadíte? Rozumně nemůžete učiniti jedno ani druhé; rozumně nemůžete hájiti z obojího nic. Pascal, Myšlenky, 233 p = P(Bůh existuje) > 0, Pascalova sázka 14 / 18

90 Pascalova sázka Bůh jest, nebo není. Ale kam se nakloníme? Rozum tu nedovede nic rozhodnouti: je nekonečný chaos, který nás rozdvojuje. Hra se hraje v nejzazší krajnosti této nekonečné vzdálenosti, kde vyjde hlava nebo orel. Oč se sadíte? Rozumně nemůžete učiniti jedno ani druhé; rozumně nemůžete hájiti z obojího nic. Pascal, Myšlenky, 233 p = P(Bůh existuje) > 0, c 1 = praktikovaná víra, mravný život, Pascalova sázka 14 / 18

91 Pascalova sázka Bůh jest, nebo není. Ale kam se nakloníme? Rozum tu nedovede nic rozhodnouti: je nekonečný chaos, který nás rozdvojuje. Hra se hraje v nejzazší krajnosti této nekonečné vzdálenosti, kde vyjde hlava nebo orel. Oč se sadíte? Rozumně nemůžete učiniti jedno ani druhé; rozumně nemůžete hájiti z obojího nic. Pascal, Myšlenky, 233 p = P(Bůh existuje) > 0, c 1 = praktikovaná víra, mravný život, c 2 = věčný život Pascalova sázka 14 / 18

92 Pascalova sázka Bůh jest, nebo není. Ale kam se nakloníme? Rozum tu nedovede nic rozhodnouti: je nekonečný chaos, který nás rozdvojuje. Hra se hraje v nejzazší krajnosti této nekonečné vzdálenosti, kde vyjde hlava nebo orel. Oč se sadíte? Rozumně nemůžete učiniti jedno ani druhé; rozumně nemůžete hájiti z obojího nic. Pascal, Myšlenky, 233 p = P(Bůh existuje) > 0, c 1 = praktikovaná víra, mravný život, c 2 = věčný život EV = p +(1 p)( c 1 ) Pascalova sázka 14 / 18

93 Úvod Teorie pravděpodobnosti Rozhodování za nejistoty Teorie her Bimaticová hra Hra víra a zjevení Diskuse Teorie her Pascalova sázka 15 / 18

94 Bimaticová hra Hra dvou hráčů v normálním tvaru: čtveřice G = (X,Y,u,v), kde X, Y jsou konečné množiny a u, v jsou funkce X Y R. Množina X,resp. Y... množina strategíı prvního, resp druhého, hráče. Funkce u, resp. v... výplatní funkce prvního, resp. druhého, hráče. Pascalova sázka 16 / 18

95 Bimaticová hra Nechť A = X = {1,2,...,n} Y = {1,2,...,m} a ij = u(i,j) b ji = v(i,j) a 11 a a 1m b 11 b b 1n a 21 a a 2m......, B = b 21 b b 2n a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mn Pascalova sázka 16 / 18

96 Bimaticová hra Nechť A = X = {1,2,...,n} Y = {1,2,...,m} a ij = u(i,j) b ji = v(i,j) a 11 a a 1m b 11 b b 1n a 21 a a 2m......, B = b 21 b b 2n a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mn S tímto označením dostaneme Matice A, B...výplatní matice. u(i,j) = a ij = e T i Ae j, v(i,j) = b ji = e T jbe i. G = (X,Y,u,v) = (A,B) Pascalova sázka 16 / 18

97 Bimaticová hra Hru lze vyjádřit tabulkou hráč n hráč m b 11 b a 11 a 12 b 12 a 1m b a 21 a 22 a 2m b 1n b 2n... a n2 a n1 a nm b m1 b m2 b mn Pascalova sázka 16 / 18

98 Hra víra a zjevení John Craig THEOLOGIÆ CHRISTIANÆ PRINCIPIA MATHEMATICA 1699 Pascalova sázka 17 / 18

99 Hra víra a zjevení Bernard Bolzano Lehrbuch der Religionswißenschaft, ein Abdruck der Vorlesungshefte eines ehemaligen Religionslehrers an einer katholischen Universität, von einigen sener Schüler gesammelt und herausgegeben Sulzbach 1834 Pascalova sázka 17 / 18

100 Hra víra a zjevení Pascalova sázka 17 / 18

101 Hra víra a zjevení Bůh zjevuje se je skrytý člověk věří nevěří Pascalova sázka 17 / 18

102 Hra víra a zjevení Bůh zjevuje se je skrytý člověk věří nevěří Preference: Pascalova sázka 17 / 18

103 Hra víra a zjevení Bůh zjevuje se je skrytý člověk věří nevěří Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

104 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý 4 Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

105 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý 3 4 Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

106 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

107 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

108 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

109 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

110 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

111 Hra víra a zjevení člověk věří nevěří Bůh zjevuje se je skrytý Preference: Bůh člověk 1 aby člověk věřil vědět 2 zůstat skrytý věřit Pascalova sázka 17 / 18

112 Diskuse Z předpokladu, že se Bůh chová racionálně, plyne, že člověk udělá nejlépe, když v tohoto Boha nebude věřit. Pascalova sázka 18 / 18

113 Diskuse Z předpokladu, že se Bůh chová racionálně, plyne, že člověk udělá nejlépe, když v tohoto Boha nebude věřit. Bůh se nechová racionálně:,,nejsouť zajisté myšlení má jako myšlení vaše, praví Hospodin., Iz 55,8. Pascalova sázka 18 / 18

114 Diskuse Z předpokladu, že se Bůh chová racionálně, plyne, že člověk udělá nejlépe, když v tohoto Boha nebude věřit. Bůh se nechová racionálně:,,nejsouť zajisté myšlení má jako myšlení vaše, praví Hospodin., Iz 55,8. Jde o popis skutečnosti: Bůh se nezjevuje, člověk v něho nevěří. Pascalova sázka 18 / 18

115 Diskuse Z předpokladu, že se Bůh chová racionálně, plyne, že člověk udělá nejlépe, když v tohoto Boha nebude věřit. Bůh se nechová racionálně:,,nejsouť zajisté myšlení má jako myšlení vaše, praví Hospodin., Iz 55,8. Jde o popis skutečnosti: Bůh se nezjevuje, člověk v něho nevěří. Pascal: Vědy mají dvě krajnosti, které se dotýkají; první je čistá nevědomost přirozená, v níž se nacházejí všichni lidé při narození, druhá krajnost je ta, ke které přicházejí veliké duše, které prošly všechno, co lidé věděti mohou, shledávají, že nevědí nic, a ocitají se v téže nevědomosti, ze které vyšly; ale to je nevědomost učená, která se zná. Ti mezi oběma, kteří vyšli z nevědomosti přirozené a nemohli dojíti druhé, mají jakýsi nátěr této vědy dostatečné a tváří se moudrými; ti bouří svět a posuzují všechno špatně. Soudí o všem špatně a svět soudí o nich dobře. Pascalova sázka 18 / 18

116 Diskuse Z předpokladu, že se Bůh chová racionálně, plyne, že člověk udělá nejlépe, když v tohoto Boha nebude věřit. Bůh se nechová racionálně:,,nejsouť zajisté myšlení má jako myšlení vaše, praví Hospodin., Iz 55,8. Jde o popis skutečnosti: Bůh se nezjevuje, člověk v něho nevěří. Pascal: Každé náboženství, které neřekne, že Bůh je skryt, je nepravé; a náboženství, které toho nezdůvodňuje, nepoučuje. Naše činí to vše: Vere tu es Deus absconditus. Pascalova sázka 18 / 18

117 Diskuse Pascalova sázka 18 / 18