Hamiltonovské prizmy. Autor:Mária Klimová Vedúci:RNDr. Edita Má ajová, PhD. Úvod. Prizma v kubických grafoch. Prizma v kubických

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Hamiltonovské prizmy. Autor:Mária Klimová Vedúci:RNDr. Edita Má ajová, PhD. Úvod. Prizma v kubických grafoch. Prizma v kubických"

Vlasta Havlová
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Hamiltonovské Autor:Mária Klimová Vedúci:RNDr. Edita Má ajová, PhD.

2 Obsah

3 Cie práce Preh ad známych výsledkov. Skúma nejaké triedy a zis ova, ktoré majú hamiltonovskú prizmu, prípadne h ada nutné a posta ujúce podmienky nato, aby graf mal hamiltonovskú prizmu.

4 Hamiltonovská kruºnica C grafu G je taká kruºnica, ktorá prechádza v²etkými vrcholmi G. Prizma grafu G je graf G K 2. Slovne povedané: Prizma je graf, ktorý dostaneme vytvorením 2 kópií grafu a spojením kore²pondujúcich vrcholov. Na obrázku je príklad kompletného grafu K 4

5 Príklad

6 Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Prizma nad ubovo ným 3-súvislým kubickým grafom G je hamiltonovská.

7 Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Prizma nad ubovo ným 3-súvislým kubickým grafom G je hamiltonovská. Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Existuje 2-súvislý kubický graf, ktorého prizma nie je hamiltonovská.

8 Denícia uzáveru Denícia uzáveru Uzáver grafu - k-uzáver grafu G, ozna ujeme C k (G), je jednoduchý graf vytvorený z G postupným pridávaním hrán medzi nesusedné vrcholy, ktorých sú et stup ov je najmenej k dovtedy, pokým takéto dvojice existujú.

9 Denícia uzáveru Denícia uzáveru Uzáver grafu - k-uzáver grafu G, ozna ujeme C k (G), je jednoduchý graf vytvorený z G postupným pridávaním hrán medzi nesusedné vrcholy, ktorých sú et stup ov je najmenej k dovtedy, pokým takéto dvojice existujú. Veta (J. A. Bondy, V. Chvátal, 1976) Graf G rádu n má hamiltonovskú prizmu práve vtedy, ke má hamiltonovskú prizmu graf C 4n/3 1 (G).

10 Denícia uzáveru Denícia uzáveru Uzáver grafu - k-uzáver grafu G, ozna ujeme C k (G), je jednoduchý graf vytvorený z G postupným pridávaním hrán medzi nesusedné vrcholy, ktorých sú et stup ov je najmenej k dovtedy, pokým takéto dvojice existujú. Veta (J. A. Bondy, V. Chvátal, 1976) Graf G rádu n má hamiltonovskú prizmu práve vtedy, ke má hamiltonovskú prizmu graf C 4n/3 1 (G). Veta (J. A. Bondy, V. Chvátal, 1976) Graf G rádu n má hamiltonovskú prizmu práve vtedy, ke má hamiltonovskú prizmu graf C 4n/3 4/3 (G).

11 Hypotéza Alspacha a Rosenfelda Hypotéza Prizma nad ubovo ným 3-súvislým kubickým grafom G má hamiltonovský.

12 Princíp rie²enia Nech G je kubický graf a F je 2-faktor G K 2. F indukuje ofarbenie hrán grafu G ²tyrmi farbami pod a nasledovných pravidiel: 1 hranu ofarbíme modrou, ak e E(F ) a e / E(F ) 2 ºltou, ak e / E(F ) a e E(F ) 3 zelenou, ak e E(F ) a e E(F ) 4 ervenou inak

13 Princíp rie²enia v v (a) (b) (c) (d)

14 Princíp rie²enia (a) (b) Obr.: (a) Ofarbenie grafu K4, (b) Ofarbenie pre trianguláciu vrchola

15 Princíp rie²enia

16 Niektoré výsledky Denícia kletopa Kletop je planárny graf, ktorý vznikne z planárneho grafu K 4 opakovaným pridávaním vrchola do niektorej oblasti a jeho pripojením k trom vrcholom vytvárajúcim túto oblas.

17 Niektoré výsledky Denícia kletopa Kletop je planárny graf, ktorý vznikne z planárneho grafu K 4 opakovaným pridávaním vrchola do niektorej oblasti a jeho pripojením k trom vrcholom vytvárajúcim túto oblas. Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Prizma nad duálnym grafom ubovo ného kletopa má hamiltonovský.

18 Niektoré výsledky Denícia kletopa Kletop je planárny graf, ktorý vznikne z planárneho grafu K 4 opakovaným pridávaním vrchola do niektorej oblasti a jeho pripojením k trom vrcholom vytvárajúcim túto oblas. Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Prizma nad duálnym grafom ubovo ného kletopa má hamiltonovský. Veta (R. ƒada, T. Kaiser, M.Rosenfeld, Z. Ryjá ek, 2004) Prizma nad 3-súvislými kubickými bipartitnými planárnymi grafmi má hamiltonovský.

19 Niektoré výsledky Denícia perfektnej 1-faktorizácie 1-faktorizácia je grafu na disjuktné 1-faktory. 1-faktorizáciu nazveme perfektnou, ak zloºením dvoch ubovo ných 1-faktorov vznikne hamiltonovská kruºnica.

20 Niektoré výsledky Denícia perfektnej 1-faktorizácie 1-faktorizácia je grafu na disjuktné 1-faktory. 1-faktorizáciu nazveme perfektnou, ak zloºením dvoch ubovo ných 1-faktorov vznikne hamiltonovská kruºnica. Veta (B. Alspach, M. Rosenfeld, 1986) Ak G je kubický graf s perfektnou 1-faktorizáciou, potom G K 2 má hamiltonovský.

21 Niektoré výsledky Denícia perfektnej 1-faktorizácie 1-faktorizácia je grafu na disjuktné 1-faktory. 1-faktorizáciu nazveme perfektnou, ak zloºením dvoch ubovo ných 1-faktorov vznikne hamiltonovská kruºnica. Veta (B. Alspach, M. Rosenfeld, 1986) Ak G je kubický graf s perfektnou 1-faktorizáciou, potom G K 2 má hamiltonovský. Veta (B. Alspach, M. Rosenfeld, 1986) Dvojnásobná prizma grafu C n K 2 K 2 C n C 4, kde C n je kruºnica na n vrcholoch, má hamiltonovský.

22 Zov²eobecnené Petersenove grafy Denícia Zov²eobecnený Petersenov graf GPG(n, k) pre n 3 a 1 k (n 1) je graf s mnoºinou vrcholov 2 {u 0, u 1,..., u n 1, v 0, v 1,..., v n 1 } a hranovou mnoºinou {u i u i+1, u i v i, v i v i+k : i = 0..., n 1}, kde indexy sú brané modulo n. Petersonov graf samotný je GPG(5, 2). ƒíslo k budeme nazýva skok.

23 Výsledky z bakalárskej práce Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersonovými grafmi GPG(n, k), kde n je párne a k ubovo né, má hamiltonovský.

24 Výsledky z bakalárskej práce Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersonovými grafmi GPG(n, k), kde n je párne a k ubovo né, má hamiltonovský. Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(n, 2) má hamiltonovský pre ubovo né n.

25 Výsledky z diplomovej práce Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(n, 3) má hamiltonovský pre ubovo né n.

26 Výsledky z diplomovej práce Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(n, 3) má hamiltonovský pre ubovo né n. Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(2k k i, k) má hamiltonovský pre nepárne k 1.

27 Výsledky z diplomovej práce Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(n, 3) má hamiltonovský pre ubovo né n. Veta Prizma nad zov²eobecnenými Petersenovými grafmi GPG(2k k i, k) má hamiltonovský pre nepárne k 1. Veta Prizma grafu GPG(3k + 2k i, k), kde k je nepárne, má hamiltonovský.

28 akujem za pozornos. u 0 u 4 v 4 v 0 v 1 u 1 (a) u 3 v 3 v 2 u 2

Podobné dokumenty

Dvojmaticové hry. tefan Pe²ko. 18. april Katedra matematických metód, FRI šu

Dvojmaticové hry. tefan Pe²ko. 18. april Katedra matematických metód, FRI šu Katedra matematických metód, FRI šu 18. april 2012 ƒastej²ie neº s antagonistickými koniktami sa stretávame s koniktami, v ktorých kaºdý z inteligentných ú astníkov sleduje svoje záujmy, ktoré sú iasto