7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny"

Transkript

1 7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine Relácia R definovaná na množine sa nazýva reláciou ekvivalencie vtedy a len vtedy, ak R je reflexívna, symetrická a tranzitívna relácia Pripomeňme si, že reláciu R definovanú v množine nazývame: - reflexívnou, ak :[, ] x x x R, - symetrickou, ak, :[, ] [, ] x y x y R y x R, - tranzitívnou, ak,, :[, ] [, ] [, ] x yz xy R yz R xz R Ak máme rozhodnúť, či daná relácia R na množine je reláciou ekvivalencie, musíme najskôr zistiť, či je reflexívna, symetrická a tranzitívna Postup si vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4 {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna 4 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje jednosmernú šípku (z do ), relácia R nie je symetrická Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je symetrická 4 9

2 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4,] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje pri každom vrchole slučku (napr pri vrchole ), relácia R nie je reflexívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je reflexívna 4 Nech množina {,,,4 R a relácia {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ], [ 4, ], [ 4,4] Vrcholový graf relácie R je na obrázku Vrcholový graf relácie R obsahuje šípku z do a aj šípku z do, ale neobsahuje šípku z do Vo vrcholovom grafe relácie R má zmysel prestupovať (napr keď cestujeme z do ), preto relácia R nie je tranzitívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je tranzitívna 4 Zhrňme si, čo platí pre vrcholový graf relácie ekvivalencie: Vrcholový graf relácie ekvivalencie obsahuje pri každom vrchole slučku Vrcholový graf relácie ekvivalencie neobsahuje jednosmerné šípky Vo vrcholovom grafe relácie ekvivalencie nemá zmysel prestupovať Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že: Inverzná relácia k reflexívnej relácii je opäť reflexívna Inverzná relácia k symetrickej relácii je opäť symetrická Inverzná relácia k tranzitívnej relácii je opäť tranzitívna Z týchto troch poznatkov teda vyplýva nasledujúci záver: Inverzná relácia k relácii ekvivalencie na množine je opäť reláciou ekvivalencie na množine 0

3 Nech množina { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra a relácia {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom Praha Brno grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je Ostrava Olomouc reláciou ekvivalencie na množine, Trnava Nitra pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Nech množina { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R Anna Eva neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je arek symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia Janka R je tranzitívna Relácia R je reláciou Peter ilan ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Rozklad množiny Hovoríme, že systém podmnožín,,,, množiny vytvára rozklad, n množiny práve vtedy, ak má nasledujúce vlastnosti: i {,,,, n, : {,, n i j {,,,, n, : i j i { i, nožiny,,,, nazývame triedy rozkladu množiny, n j

4 Teraz si túto definíciu vysvetlíme podrobnejšie Predpokladajme, že je daná neprázdna množina Rozkladom množiny je teda systém konečného alebo nekonečného počtu podmnožín,,,, množiny, ktorý má tieto špeciálne vlastnosti:, n Vlastnosť znie: i {,,,, n, : { To znamená, že žiadna z množín,,,, nie je prázdna i, n Vlastnosť znie: n To znamená, že každý prvok množiny sa nachádza v niektorej z množín,,,, Inými slovami, zjednotením množín,,,, je množina, n Vlastnosť znie: i, j {,,,, n, : i j i { j, n To znamená, že žiadne dve rôzne množiny, nemajú spoločné prvky Inými slovami, i j žiaden prvok množiny sa nenachádza v dvoch rôznych množinách, i j Rozklad množiny má teda tieto vlastnosti: Rozklad množiny je množina, ktorej prvkami sú podmnožiny množiny Tieto podmnožiny nazývame triedy rozkladu Každý prvok množiny sa nachádza práve v jednej triede rozkladu Pojem rozkladu množiny si teraz vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4,5,6,7,8,9,0 a jej podmnožiny {,,,4, { 5,0 { 6,7,8,9 Zistíme, či systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9,, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,,4 { 5,0 { 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0, teda množina Druhá podmienka je teda tiež splnená Žiadne dve z množín,, nemajú spoločný prvok Aj tretia podmienka je splnená Systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0 je rozkladom množiny,

5 Nech množina {,,,4,5,6 a jej podmnožiny {,,4, { 4,5, {,6 Zistíme, či systém {, {,,4,{ 4,5,{,6, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,4 { 4,5 {,6 {,,,4,5,6 podmienka je teda tiež splnená nožiny {,,4 a { 4,5, teda množina Druhá majú spoločný prvok, to znamená, že { 4 Tretia podmienka splnená nie je Systém {, {,,4{, 4,5{,,6 nie je rozkladom množiny {,,,4,5,6, nebola splnená tretia podmienka definície rozkladu množiny) (pretože Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej podmnožiny {,, { 5, { 6 {,7 Zistíme, či systém {,, {,, { 5, { 6, {,7 4, 4, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,,, 4 nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,,, 4 je množina {, { 5 { 6 {,7 {,,,5,6,7 Toto zjednotenie neobsahuje prvok 4 Druhá podmienka preto nie je splnená Pretože nie je splnená druhá podmienka, platnosť tretej už ani netreba zisťovať Systém {,, {,,{ 5,{ 6,{,7 {,,,4,5,6,7 nie je rozkladom množiny, 4 (pretože nebola splnená druhá podmienka definície rozkladu množiny) Teraz sa budeme venovať rozkladom množín s malým počtom prvkov Nech množina {, Pretože množina má dva prvky, rozklad môže obsahovať buď jednu dvojprvkovú množinu, alebo dve jednoprvkové ožné rozklady teda sú: {, {{{, a Nech množina { a, b, c Pretože množina má tri prvky, rozklad môže obsahovať: - jednu trojprvkovú množinu, - jednu dvojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu, - tri jednoprvkové množiny ožné rozklady teda sú: { a, b, c, { a, b,{ c, { a, c,{ b, { b, c,{ a a {{{{ a b, c,

6 Nech množina {,,,4 - jednu štvorprvkovú množinu: {,,,4 Pretože množina má štyri prvky, rozklad môže obsahovať:, - jednu trojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu: {,,{, 4,{,,4{,,{,,4{,,{,,4, {, - dve dvojprvkové množiny: {,{,,4,{,, {,4,{,4, {,, - jednu dvojprvkovú a dve jednoprvkové množiny: {,, {,{ 4,{,{, {, 4 {,4{, {,,{,{{,, 4,{,4{,, {,{,4, {, { - štyri jednoprvkové množiny: {{{,,{,{ 4,, Relácia ekvivalencie a rozklad množiny Na predchádzajúcich stranách sme sa stretli s troma vrcholovými grafmi relácií ekvivalencie Vrcholový graf relácie R {[, ][,, ][,, ], [, ], [, ], [,4 ], [ 4, ], [ 4,4] v množine {,,,4 možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou 4 nožinu {,,,4 sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny {, a {,4 nasledujúci rozklad množiny : {,{,,4 Získali sme tak Aj vrcholový graf relácie {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R v množine { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Praha Pritom opäť platí: Ostrava Každý vrchol má práve jednu farbu Trnava Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Brno Nitra Olomouc 4

7 nožinu sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny { Praha, Brno, Ostrava, Olomouc a { Trnava,Nitra rozklad množiny : { Brno,Ostrava, Olomouc,{ Trnava, Nitra Praha, Získali sme tak nasledujúci Podobne aj vrcholový graf relácie R {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie v množine { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom opäť platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami Anna Eva arek nie sú spojené šípkou Janka nožinu sme týmto spôsobom rozložili Peter ilan na dve podmnožiny { arek, Peter, ilan a { Anna,Janka,Eva Získali sme tak nasledujúci rozklad množiny : { Peter,ilan{, Anna,Janka,Eva arek, Na predchádzajúcich troch príkladoch sme si mohli všimnúť jednu dôležitú vlastnosť vrcholového grafu relácie ekvivalencie, a to fakt, že ho možno zafarbiť tak, že platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Ak potom vytvoríme množiny,,,, tak, že do každej z nich dáme vrcholy s, n tou istou farbou, získame rozklad množiny V nasledujúcich príkladoch využijeme tieto vlastnosti vrcholového grafu relácie ekvivalencie na určenie zodpovedajúceho rozkladu množiny 5

8 Nech množina {,,,4,5,6 R a relácia ekvivalencie {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,6 ][, 4,4 ][, 5,5 ], [ 6, ], [ 6,6] na množine Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,{,,6{, 4{, Nech množina {,,,4,5,6,7 a relácia ekvivalencie [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ][, 4,4 ][, 4,7 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,4 ][, 7,7] R 7 6 Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,,{, 4,7{, 6{, Teraz budeme postupovať opačne Predpokladajme, že je daná množina a triedy jej rozkladu,,,, Najskôr nakreslíme vrcholový graf tak, že všetky vrcholy tej, n istej triedy zafarbíme tou istou farbou Potom dokreslíme slučky a každé dva vrcholy s rovnakou farbou spojíme obojsmernou šípkou Vrcholy s rôznymi farbami nespojíme Dostaneme tak vrcholový graf nejakej relácie na množine Ako ukážeme na nasledujúcich príkladoch, takto určená relácia bude reláciou ekvivalencie na množine 6

9 Nech množina {,,,4,5,6 {,,{, 4,5,6 a jej rozklad Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {,,{, 4,5,6 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 4,6 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 5,6 ][, 6,4 ][, 6,5 ][, 6,6] R Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej rozklad {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,7] R Na záver kapitoly si zhrnieme poznatky o vzťahu relácie ekvivalencie R na množine a rozkladu množiny Každá relácia ekvivalencie R definovaná na množine určuje rozklad množiny Nech R je relácia ekvivalencie na množine Pre každý prvok m utvorme množinu { n :[ m, n] R m Takto utvorené množiny potom určujú rozklad množiny 7

10 Každý rozklad množiny definuje na množine reláciu ekvivalencie Nech je daný rozklad,,,, množiny, n Definujme binárnu reláciu R na množine : {[ x, y] : m, n patria do tejistej triedy rozkladu R Potom R je relácia ekvivalencie na množine Test č 9 V nasledujúcom teste je 0 úloh z oblasti relácie ekvivalencie a rozkladu množiny Na nich si prakticky precvičíme: - určovanie, či daná relácia je reláciou ekvivalencie, - pojem rozkladu množiny, - vzťah medzi reláciou ekvivalencie a rozkladom množiny Test č 9 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 9exe Nech R je binárna relácia v množine Označte vlastnosti, ktoré musí mať relácia R, aby bola reláciou ekvivalencie a) reflexívna b) antireflexívna c) symetrická d) antisymetrická e) tranzitívna f) súvislá Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna Daná je relácia R v množine, 8

11 {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 4 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 5 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9

12 7 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Vyberte tú reláciu v množine prirodzených čísel, ktorá je reláciou ekvivalencie a) rovnosť, teda {[ x, y] N N : x y b) deliteľnosť, teda {[ x, y] N N : x delí y c) ostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x< y d) neostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x y 9 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a majú rovnaké pohlavie R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 0 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sú manželia R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sa narodili v tom istom roku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie 40

13 b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých riek {[, ] : a sa vlievajú do toho istého oceánu R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : sa vlieva do R xy x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 4 Daná je relácia R v množine všetkých áut {[, ] : a majú rovnakú značku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 5 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie 4

14 c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 7 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4, 5, 6 a) {,,,{ 4,5,6 b) {,,, 4,{, 4,5,6 c) {,,{, 4,{ 5, 6 d) {,,, 4,5,6 0 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {,,, 4,5,6,{ 7,8 c) {,,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,,, 4,{, 4,5,6,{ 5,6,7,8 4

15 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8,9 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {, 4,7,{,5,8 c) {,,9,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,, 4,{,5,6,{ 6,7,8,9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny prirodzených čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) {, množina prvočísel, množina zložených čísel c) množina prvočísel, množina zložených čísel d) množina párnych čísel, množina nepárnych čísel Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny celých čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) množina kladných čísel, množina záporných čísel c) množina druhých mocnín prirodzených čísel, množina tretích mocnín prirodzených čísel d) {0, množina kladných čísel, množina záporných čísel 4 Koľko rôznych rozkladov má množina {,,? 5 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,, zodpovedajúci rozklad množiny a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [, ],[, ],[, ],[,],,,,,,,,,, b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d) {[ ] [ ] [ ] {{,,{,,,,,,,,, {{,, { {,,,,,,,,, {{,,,,,,, 4 {{,, { 4

16 6 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,,, 4 zodpovedajúci rozklad množiny a) {[ ] [ ] [ ] [ ] b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) d),,,,,, 4, 4 {{,,, 4,,,,,,,,,, 4, 4 {{,,{, 4 [, ],[, ],[, ],[, 4 ],[, ],[, ], [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4, ],[ 4, ],[ 4, ],[ 4, 4],,,4,,,,,,,,4, [, ],[, ],[, ],[, ], [, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] {{,,,4 { { 4 {{,,,4 { { { 7 Priraďte k rozkladu množiny {,,, 4,5 počet usporiadaných dvojíc, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie na množine a) {{,,,4,5 { { { { 9 b) {{,,,4,5 { { { 5 c) {{,,{, 4,{ 5 d) {{,,,{ 4, Daný je rozklad {{,,,{ 4,5,{ 6,7 množiny {,,, 4,5,6,7 Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,5] d) [,7] 9 Daný je rozklad množiny prirodzených čísel na párne čísla a nepárne čísla Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,] d) [,4] 44

17 0 Daný je rozklad množiny celých čísel na kladné čísla, záporné čísla a nulu Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,0] d) [,-] Test č 9 správne riešenia ace 7 d b 9 acd 5 a,b,c4,d a 8 a 4 a 0 bc 6 a4,b,c,d a 9 a 5 d ac 7 a,b4,c,d 4 a 0 b 6 d bd 8 ab 5 c a 7 a ad 9 ac 6 b a 8 a ab 45

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, Súmernosti 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná Mgr. Zuzana Blašková, "úmernosti" 7.ročník ZŠ 1 úmernosti 7.ročník ZŠ Mgr. Zuzana Blašková 2 ZŠ taničná 13, Košice Osová súmernosť určenie základné rysovanie vlastnosti úlohy s riešeniami osovo súmerné

Více

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 :

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 : GJH-Prima 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Test-13 Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť

Více

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU KOMBINATORIKA MODERNÉ VZDELÁVANIE PRE VEDOMOSTNÚ SPOLOČNOSŤ/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ ZO ZDROJOV EÚ KÓD ITMS PROJEKTU: 26110130645 UČIŤ MODERNE, INOVATÍVNE, KREATÍVNE ZNAMENÁ OTVÁRAŤ BRÁNU DO SVETA

Více

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4 Príklad 1 Naučte korytnačku príkaz čelenka. Porozmýšľajte nad využitím príkazu plnytrojuhol60: viem plnytrojuhol60 opakuj 3 [do 60 vp 120 Riešenie: definujeme ďalšie príkazy na kreslenie trojuholníka líšiace

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

MATEMATIKA v reálnom živote. Soňa Čeretková Katedra matematiky FPV UKF Nitra

MATEMATIKA v reálnom živote. Soňa Čeretková Katedra matematiky FPV UKF Nitra MATEMATIKA v reálnom živote Soňa Čeretková Katedra matematiky FPV UKF Nitra Ciele a obsah predmetu...vyučovanie by malo viesť k budovaniu vzťahu medzi matematikou a realitou, k získavaniu skúseností s

Více

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 01. Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 12 dáva podiel 57 a zvyšok 11. 57x12=684 684+11=695 Skúška: 695:12=57 95 11 01. 6 9 5 02. V sude je 1,5 hektolitra dažďovej

Více

Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut

Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut V této hře se to hemží kozami a ty jich musíš získat co nejvíce. Ale najednou je jejich počet limitován a ty už žádné kozy nechceš! Nebohá zvířata tedy

Více

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3 Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu

Více

8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna.

8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. 8. Implikácia Implikáciu B A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. Implikáciu B' A' nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

1. Pojem výroku. Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť.

1. Pojem výroku. Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť. LOGIKA 1. Pojem výroku Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť. Pravdivosť (správnosť) výroku chápeme aj intuitívne. Príklady výrokov: 1.

Více

SKLADOVÁ INVENTÚRA 1 VYTVORENIE INVENTÚRY. 1.1 Nastavenie skladovej inventúry

SKLADOVÁ INVENTÚRA 1 VYTVORENIE INVENTÚRY. 1.1 Nastavenie skladovej inventúry SKLADOVÁ INVENTÚRA Skladové inventúry umožňujú vyrovnanie evidovaného stavu zásob so skutočným fyzicky zisteným stavom. Pri inventúre vznikajú inventúrne rozdiely medzi fyzickým a evidenčným stavom: kladné

Více

MATEMATICKA OLYMPIADA

MATEMATICKA OLYMPIADA SK MTEMTIK OLYMPI 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Martin má na papieri napísané päťciferné číslo s piatimi rôznymi ciframi a nasledujúcimi vlastnosťami: škrtnutím druhej

Více

Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu

Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu Peter Delinčák, sekcia astronomickej fotografie SAS Úvodom S príchodom digitálnych fotoaparátov sa otvorili nové možnosti pre astronomickú fotografiu.

Více

TomTom Referenčná príručka

TomTom Referenčná príručka TomTom Referenčná príručka Obsah Rizikové zóny 3 Rizikové zóny vo Francúzsku... 3 Upozornenia na rizikové zóny... 3 Zmena spôsobu upozornenia... 4 tlačidlo Ohlásiť... 4 Nahlásenie novej rizikovej zóny

Více

Dodanie tovaru a reťazové obchody Miesto dodania tovaru - 13/1

Dodanie tovaru a reťazové obchody Miesto dodania tovaru - 13/1 Dodanie u a reťazové obchody Miesto dodania u - 13/1 ak je dodanie u spojené s odoslaním alebo prepravou u - kde sa nachádza v čase, keď sa odoslanie alebo preprava u osobe, ktorej má byť dodaný, začína

Více

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová Diplomový projekt Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline 1.7.2014 Matilda Drozdová Pojem projekt Projekt je určitá časovo dlhšia práca, ktorej výsledkom je vyriešenie nejakej úlohy Kto rieši projekt?

Více

tipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač.

tipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač. 5 tipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač. 1. Používanie loga Pri každom použití loga v tlačenej podobe,

Více

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 64 1 TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ OBLASŤ PRIJATIA A ZAMIETNUTIA HYPOTÉZY PRI TESTOVANÍ CHYBY I. A II. DRUHU Chyba I. druhu sa vyskytne vtedy, ak je hypotéza správna, ale napriek tomu je zamietnutá,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity.

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity. 1 PRÍKLADY V INFORMATIKE: Skratky 1 : b bit B bajt kb kilobit kb kilobajt Mb megabit MB megabajt Gb gigabit GB gigabajt Tb terabit TB terabajt Tabuľka č. 1 1 B = 8 b 1 kb = 1 024 b = (1 024 : 8) B = 128

Více

Hromadná korešpondencia v programe Word Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych

Hromadná korešpondencia v programe Word Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych Hromadná korešpondencia v programe Word 2010 Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych Obsah Čo je hromadná korešpondencia Spustenie hromadnej korešpondencie Nastavenie menoviek Pripojenie menoviek k zoznamu adries

Více

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh Studentove t-testy Metódy riešenia matematických úloh www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Jednovýberový t-test z prednášky Máme náhodný výber z normálneho rozdelenia s neznámymi parametrami Chceme

Více

Základy algoritmizácie a programovania

Základy algoritmizácie a programovania Základy algoritmizácie a programovania Pojem algoritmu Algoritmus základný elementárny pojem informatiky, je prepis, návod, realizáciou ktorého získame zo zadaných vstupných údajov požadované výsledky.

Více

Operačný systém Úvodná prednáška

Operačný systém Úvodná prednáška Operačný systém Úvodná prednáška Pohľad zvonka (z vyšších úrovní) Pohľad zvnútra Pojmy správy procesov Úlohy jednotlivých častí operačného systému Autor: Peter Tomcsányi, Niektoré práva vyhradené v zmysle

Více

v y d á v a m m e t o d i c k é u s m e r n e n i e:

v y d á v a m m e t o d i c k é u s m e r n e n i e: č. 6226/2013 V Bratislave dňa 7. augusta 2013 Metodické usmernenie k zmenám v povinnosti platiť školné v zmysle zákona č. 131/2002 Z.z. o vysokých školách a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení

Více

Test. Ktorý valec by ste použili? A. Jednočinný valec B. Dvojčinný valec. Odpoveď:

Test. Ktorý valec by ste použili? A. Jednočinný valec B. Dvojčinný valec. Odpoveď: Test Týmto testom môžete zistiť, či sú Vaše základné znalosti o pneumatickom riadení postačujúce pre nadstavbový seminár P121, alebo je pre Vás lepšie absolvovať základný seminár EP111. Test je rýchly,

Více

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy. Opakuj a pomenuj Nakreslime si ovocný sad Príklad 1 Pomocou príkazového riadku skúste s korytnačkou nakresliť ovocný stromček. Vaša postupnosť príkazov sa možno podobá na nasledujúcu:? nechfp "hnedá? nechhp

Více

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ Chcela som urobiť rozumný tútoriál, netuším či to niekomu pomože, pevne verím že aspoň jeden taký sa nájde pretože keď tomu rozumiem ja tak musí aj total magor tomu rozumieť! Začínam so zadaním z 9.11.2010

Více

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 4 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc Prednáška č. 4 OBSAH. Sústavy lineárnych rovníc 2. Priame metódy 3. Gaussova eliminačná metóda 4. Výber hlavného prvku 5.

Více

5.3.3 Vyhlásenie na zdanenie príjmov zo závislej činnosti

5.3.3 Vyhlásenie na zdanenie príjmov zo závislej činnosti časť 5. diel 3. kapitola 3 str. 1 5.3.3 Vyhlásenie na zdanenie príjmov zo závislej činnosti Výška preddavku na daň závisí od toho, či má zamestnanec u zamestnávateľa podpísané vyhlásenie na zdanenie príjmov

Více

Osoba podľa 8 zákona finančné limity, pravidlá a postupy platné od

Osoba podľa 8 zákona finančné limity, pravidlá a postupy platné od A. Právny rámec Osoba podľa 8 zákona finančné limity, pravidlá a postupy platné od 18. 4. 2016 Podľa 8 ods. 1 zákona č. 343/2015 Z. z. o verejnom obstarávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení

Více

CHARAKTERISTIKA JEDNOROZMERNÝCH ŠTATISTICKÝCH SÚBOROV

CHARAKTERISTIKA JEDNOROZMERNÝCH ŠTATISTICKÝCH SÚBOROV CHARAKTERISTIKA JEDNOROZMERNÝCH ŠTATISTICKÝCH SÚBOROV Táto časť sa venuje metódam štatistického výskumu súboru, pri ktorých sa zaoberáme jednotlivými štatistickými znakmi samostatne, bez toho, žeby sme

Více

MAIS. Verejný portál - kalendárny rozvrh. Používateľská minipríručka pre používateľov systému MAIS. APZ Bratislava

MAIS. Verejný portál - kalendárny rozvrh. Používateľská minipríručka pre používateľov systému MAIS. APZ Bratislava MAIS Verejný portál - kalendárny rozvrh Používateľská minipríručka pre používateľov systému MAIS APZ Bratislava Rozvrhy nájdete pod URL: https://89.173.153.100/maisportal/ Na úvodnej obrazovke kliknite

Více

Riešenie nelineárnych rovníc I

Riešenie nelineárnych rovníc I Riešenie nelineárnych rovníc I Ako je už zo samotného názvu hodiny parné budeme sa venovať spôsobom výpočtu nelineárnych rovníc. Prečo je riešenie takýchto rovníc nevyhnutné? Nielen v samotnom chemickom

Více

1.5 Spoločné a rozdielne vlastnosti kvapalín a plynov PL KEGA 130UK/2013

1.5 Spoločné a rozdielne vlastnosti kvapalín a plynov PL KEGA 130UK/2013 Pokus (Lapitková et al., 2010, s. 30) Úloha: Zisti a porovnaj správanie vzduchu a vody v injekčných striekačkách, ak v nich zväčšíme priestor. Pomôcky: 2 injekčné striekačky s objemom 200 ml, hadička na

Více

Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica

Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica Návod 2. Prevod tlačeného textu na písané písmo fontu Abeceda.ttf. 24 9. 2016 Prevod textu s obrázkami. Príklad. Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického

Více

Súbor úloh z matematiky

Súbor úloh z matematiky Súbor úloh z matematiky 01. Vyber číslo, ktoré má na mieste stoviek nulu. Zapíš ho do rámčeka. 4 278 3 560 9 078 1 409 02. Ktoré číslo má byť na číselnej osi na obrázku pod machuľou? 558 566 574 03. Doplň

Více

Postup pri aktivácii elektronickej schránky na doručovanie pre právnické osoby, ktoré nie sú zapísané do obchodného registra

Postup pri aktivácii elektronickej schránky na doručovanie pre právnické osoby, ktoré nie sú zapísané do obchodného registra Postup pri aktivácii elektronickej schránky na doručovanie pre právnické osoby, ktoré nie sú zapísané do obchodného registra Dátum platnosti: 1. 2. 2014 Verzia dokumentu: 9 Dátum zverejnenia: 19. 1. 2017

Více

Verifikácia a falzifikácia

Verifikácia a falzifikácia Hypotézy Hypotézy - výskumný predpoklad Prečo musí mať výskum hypotézu? Hypotéza obsahuje vlastnosti, ktoré výskumná otázka nemá. Je operatívnejšia, núti výskumníka odpovedať priamo: áno, alebo nie. V

Více

Manuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin.

Manuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin. Manuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin. Cieľom databázy zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin je zverejnenie uvedených záznamov v zmysle ustanovení zákona č. 211/2000 Z.z.

Více

Pangea predpis postupu

Pangea predpis postupu Pangea matematická súťaž 2012 Pangea predpis postupu Hárok odpovedí Kontrola prihlasovacích údajov Dodržiavať označovanie (príklad)! Skúška Na vyriešenie 25 otázok máš 60 minút. Dôležitá je presnosť a

Více

Užívateľská príručka k funkcii Zastavenie a pretočenie obrazu

Užívateľská príručka k funkcii Zastavenie a pretočenie obrazu Užívateľská príručka k funkcii Zastavenie a pretočenie obrazu obsah Funkcia Zastavenie a pretočenie obrazu Skôr než začnete Ako používať funkciu Zastavenie a pretočenie obrazu 1. Zastavenie a spustenie

Více

Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok

Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok UPOZORNENIE: Návod na zápis predmetov do AiSu je vypracovaný pre akademický rok 2015/2016. Študent si ale musí zvoliť vždy aktuálny akademický rok, do

Více

Smernica k poskytovaniu stravných lístkov. č. 04/01/2013

Smernica k poskytovaniu stravných lístkov. č. 04/01/2013 ZÁKLADNÁ ŠKOLA S MATERSKOU ŠKOLOU, ANDREJA KUBINU 34, TRNAVA Smernica k poskytovaniu stravných lístkov č. 04/01/2013 Dátum zavedenia: 01.01.2013 Schválené: Mgr. Jozef Jankovič riaditeľ školy OBSAH 1. Právne

Více

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu 7.1 Návrhové zobrazenie dotazu Ovládanie návrhového zobrazenia, ktoré je jedným z možností zobrazenia dotazu, je nevyhnutné pri tvorbe zložitejších dotazov, pretože v ňom môžeme definovať akýkoľvek dotaz

Více

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok. Hľadanie riešenia: ak poznáme očakávaný výsledok jednoduchého vzorca, ale vstupná hodnota, ktorú potrebujeme k určeniu výsledku je neznáma. Aplikácia Excel hľadá varianty hodnoty v určitej bunke, kým vzorec,

Více

MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová

MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová . Mocniny s prirodzeným exponentom Zápis a n (čítame a na n-tú ), kde a R, n N a platí : a n = a.a...a n činiteľov sa nazýva n-tá mocnina čísla a. Číslo a sa nazýva základ

Více

Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI

Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI Martina Bestrová Abstrakt: Ako hovorí už samotný názov, článok sa zaoberá použitím grafického kalkulátora

Více

užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou

užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou ponuka mobilných služieb bez viazanosti od 25. 10. 2013 užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou ušetrite so Šikovnou voľbou ne Vďaka jasným pravidlám programu Šikovná voľba nikdy neminiete

Více

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok JKTc02-T List 1 Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok Mgr. Jana Králiková U: V tejto téme sa budeme zaoberať pojmami násobok a deliteľ v obore prirodzených čísel. Ž: Viem, že obor prirodzených

Více

NEINTERAKTÍVNA KOMUNIKÁCIA

NEINTERAKTÍVNA KOMUNIKÁCIA NEINTERAKTÍVNA KOMUNIKÁCIA ICSED3 informatika Gymnázium Kráľovnej pokoja, Žilina Mgr. Miroslav Malacha Komunikácia prostredníctvom IKT Komunikácia: vyvinulo sa z lat. communicare= deliť sa, zverovať, všeobecnosti

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Kajot Casino Ltd. Popis hry Classic 7

Kajot Casino Ltd. Popis hry Classic 7 Classic 7 CLASSIC 7 Popis a pravidlá Classic 7 je hra s troma kotúčmi. Výsledky hry tvoria 3 3 výsledky, pričom každý kotúč zobrazuje časť s troma symbolmi. Snímky obrazovky Nasledujúci obrázok zobrazuje

Více

Microsoft Project CVIČENIE 6 1

Microsoft Project CVIČENIE 6 1 Microsoft Project CVIČENIE 6 1 Príprava na realizáciu samostatného projektu Študenti sa rozdelia do 4-členných skupín (a menej členov). Jedna skupina = jedno zadanie = jedna téma. V zápočtovom týždni (alebo

Více

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia B

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia B Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ Verzia B Meno: Problém U1 U2 Súčet 1 Nehody 2 Zákazka 3 Nákup kozmetiky 4 Štvormiestne kupé 5 Kúpa auta 6 Čokoládové kocky Súčet bodov za test Nehody V minulom

Více

Spotreba, úspory, investície. Ing. Zuzana Staníková, PhD.

Spotreba, úspory, investície. Ing. Zuzana Staníková, PhD. Spotreba, úspory, investície Spotreba Úspory Investície HDP AD Spotreba (C) celkové výdavky domácnosti vynaložené na spotrebu tovarov a služieb za určité časové obdobie. Spotrebná funkcia C = C A + MPC.

Více

Predaj cez PC pokladňu

Predaj cez PC pokladňu Predaj cez PC pokladňu PC pokladňa je určená na predaj v hotovosti cez fiškálny modul, ale pracuje so skladom offline, t.j. pri predaji nie je možné zistiť aktuálny stav tovaru na sklade. Pri predaji cez

Více

Pracovnoprávny vzťah závislá práca

Pracovnoprávny vzťah závislá práca časť 9. diel 4. kapitola 1.1 str. 1 9.4.1.1 Pracovnoprávny vzťah závislá práca Definovanie pojmu závislá práca, tak ako vyplýva z ustanovenia 1 ods. 2 a 3 ZP, ako aj všeobecne upravený pojem zamestnanca,

Více

nastavenie a realizácia vzájomných zápočtov v Money S4 / Money S5

nastavenie a realizácia vzájomných zápočtov v Money S4 / Money S5 VZÁJOMNE ZÁPOČTY nastavenie a realizácia vzájomných zápočtov v Money S4 / Money S5 Aparát vzájomných zápočtov v Money S4/S5 slúži k návrhu vzájomných zápočtov pohľadávok a záväzkov a následne k automatickej

Více

Kajot Casino Ltd. Popis hry Turbo 27

Kajot Casino Ltd. Popis hry Turbo 27 Turbo 27 TURBO 27 Popis a pravidlá Turbo 27 je hra s troma kotúčmi. Výsledky hry tvoria 3 3 výsledky, pričom každý kotúč zobrazuje časť s troma symbolmi. Snímky obrazovky Nasledujúci obrázok zobrazuje

Více

Sledovanie nadčasov, vyšetrenia zamestnanca a sprievodu

Sledovanie nadčasov, vyšetrenia zamestnanca a sprievodu Sledovanie nadčasov, vyšetrenia zamestnanca a sprievodu a) sledovanie nadčasov všeobecne za celú firmu alebo osobitne u každého zamestnanca V menu Firma Nastavenia na karte Upozornenia je možné hromadne

Více

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:

Více

PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA DISKRÉTNE LINEÁRNE RIADENIE

PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA DISKRÉTNE LINEÁRNE RIADENIE e(k 1) e(k) e(k) e(k 1) PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA 5.5. Číslicové regulátory Od číslicového regulátora budeme očakávať rovnakú funkciu ako od spojitého regulátora a tou je vstupujúcu regulačnú odchýlku zosilňovať,

Více

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc. MATICE MATLAB poskytuje obrovskú podporu práce s maticami. Táto hodina sa bude zaoberať základmi práce s maticami. Cieľom prvej časti hodiny je objasnenie základných princípov tvorby matíc, ich editáciu

Více

SPRIEVODCA PRE POUŽÍVANIE EPAYMENTS

SPRIEVODCA PRE POUŽÍVANIE EPAYMENTS SPRIEVODCA PRE POUŽÍVANIE EPAYMENTS Najdôležitejšie funkcie Čo je epayments ewallet? Ako používať zostatok na vašej karte? 1 SPRIEVODCA PRE POUŽÍVANIE EPAYMENTS Po úspešnej registrácii na epayments vám

Více

MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE

MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Organizáciu MS upravuje zákon č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní (školský zákon) a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení neskorších predpisov a vyhláška

Více

FYZIKA - 6. ročník. šk. r / Časovo tematický plán vyučovania. Základná škola, Holubyho 15, Piešťany, / ISCED2 /

FYZIKA - 6. ročník. šk. r / Časovo tematický plán vyučovania. Základná škola, Holubyho 15, Piešťany, / ISCED2 / Základná škola, Holubyho 15, Piešťany, 921 01 šk. r. 2010 / 2011 Časovo tematický plán vyučovania FYZIKA - 6. ročník / ISCED2 / Časová dotácia: 1 týždenne / 33 hodín ročne Vyučujúci: Schválil: Mgr. Jana

Více

Ružové obrázkové slová skladanie slov z písmen

Ružové obrázkové slová skladanie slov z písmen Ružové obrázkové slová skladanie slov z písmen Obrázkové slová slúžia na skladanie slov podľa začiatočných písmeniek z obrázkov. Montessori postupuje od skladania slov k ich čítaniu. Keď sa dieťa naučí

Více

Multihosting Užívateľská príručka

Multihosting Užívateľská príručka Multihosting Užívateľská príručka EXO TECHNOLOGIES spol. s.r.o. Garbiarska 3 Stará Ľubovňa 064 01 IČO: 36 485 161 IČ DPH: SK2020004503 support@exohosting.sk www.exohosting.sk 1 Obsah Úvod...3 1 Objednávka...4

Více

IP Adresa. Marián Opiela 1.E

IP Adresa. Marián Opiela 1.E IP Adresa Marián Opiela 1.E Obsah IPv6... 3 IPv6 adresácia... 3 Zápis IPv6 adries... 3 Špeciálne adresy... 5 IPv6 paket... 5 Prečo práve IPv6... 6 Použité zdroje:... 6 Súčasný najpoužívanejší protokol

Více

Externé zariadenia Používateľská príručka

Externé zariadenia Používateľská príručka Externé zariadenia Používateľská príručka Copyright 2009 Hewlett-Packard Development Company, L.P. Informácie obsiahnuté v tomto dokumente sa môžu zmeniť bez predchádzajúceho upozornenia. Jediné záruky

Více

VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK

VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK Funkcia Vysporiadanie pohľadávok a záväzkov umožňuje riešiť preplatky pohľadávok a záväzkov, prípady, kedy je úhrada vyššia ako hodnota uvedená na doklade.

Více

Zápisnica o vyhodnotení ponúk. LS Hronec na roky

Zápisnica o vyhodnotení ponúk. LS Hronec na roky Lesy Slovenskej republiky, štátny podnik Odštepný závod Čierny Balog Hlavná 245/72, 976 52 Čierny Balog Zápisnica o vyhodnotení ponúk v zmysle 42 ods. 8 zákona č. 25/2006 Z. z. o verejnom obstarávaní a

Více

1.2 Triedenie podľa kvantitatívnych znakov

1.2 Triedenie podľa kvantitatívnych znakov 1.2 Triedenie podľa kvantitatívnych znakov TRIEDENIE ŠTATISTICKÝCH ZNAKOV POJMY Kvantitatívny štatistický znak Diskrétny znak Spojitý znak Štatistické triedenie Triediaci znak Trieda Triedna početnosť

Více

MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU:

MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU: MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 Program na precvičovanie učiva z matematiky na nájdeme na stránke http://www.slunecnice.cz/sw/4321-matematika/. STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU: Po kliknutí na Stáhnout

Více

Podlimitná zákazka Verejný obstarávateľ

Podlimitná zákazka Verejný obstarávateľ Finančné limity platné a účinné po 1. marci 2015 Podlimitná zákazka Verejný obstarávateľ BEŽNE DOSTUPNÉ NA TRHU 1 000 eur < 134 000 eur b) bod 3. alebo c)] Stavebné práce 1 000 eur < 5 186 000 eur b) bod.

Více

Postup inštalácie ovládača JA-80T pre systém Windows XP

Postup inštalácie ovládača JA-80T pre systém Windows XP Postup inštalácie ovládača JA-80T pre systém Windows XP Riešenie problému s načítaním nastavení GSM komunikátora (JA-60GSM) v ComLinku vo Windowse XP. Prejav poruchy: Po kliknutí na Nastavovanie - GSM

Více

Pred samotnou prácou s objednávkami odporúčame vykonať súvisiace nastavenia cez menu Firma - Nastavenie

Pred samotnou prácou s objednávkami odporúčame vykonať súvisiace nastavenia cez menu Firma - Nastavenie Objednávkový systém v programe Omega Objednávkový systém je v programe Omega priamo prepojený so skladovým hospodárstvom. Pomocou neho možno sledovať stav vybavenosti objednávky, a tiež zabezpečiť rezerváciu

Více

Pat a Mat na výletě 3.4 Na hracím plánu jsou dvě takové dopravní

Pat a Mat na výletě 3.4 Na hracím plánu jsou dvě takové dopravní Hra obsahuje: Hrací plán, hrací kostka. Hra je určena pro dva až čtyři hráče, ve hře tak mohou být dvě postavičky Pata a dvě Mata, které jsou odlišeny barvou podstavce. Příprava hry 1.1 Hráči si vyberou

Více

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát!

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát! Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát! O súťaži Internetové kníhkupectvo abcknihy.sk v spolupráci s partnermi Bratislavským samosprávnym krajom a vydavateľstvami Ikar, Raabe a vydavateľskou značkou

Více

Príloha č. 2 Návrhy vzorov vizualizácií pútačov, tabúľ a plagátov

Príloha č. 2 Návrhy vzorov vizualizácií pútačov, tabúľ a plagátov Príloha č. 2 Návrhy vzorov vizualizácií pútačov, tabúľ a plagátov Úvod Informácie o Operačnom programe Kvalita životného prostredia (ďalej len OP KŽP ) musia byť odovzdávané všetkým zainteresovaným stranám,

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Vysoké školy na Slovensku Prieskum verejnej mienky

Vysoké školy na Slovensku Prieskum verejnej mienky Vysoké školy na Slovensku 201 Prieskum verejnej mienky PRIESKUM VÁCLAV FORST Marketing Research Consultant Metodológia Zber dát bol realizovaný formou internetového dotazníka (CAWI) prostredníctvom internetového

Více

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary.

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary. Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary. V roletke klikneme na ikonku Čiara. Ukazovateľom myši, keď nim prejdeme

Více

DOBROPISY. Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské

DOBROPISY. Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské DOBROPISY Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské 1. DODAVATEĽSKÉ to znamená, že dostanem dobropis od dodávateľa na reklamovaný, alebo nedodaný tovar.

Více

Cenový výmer č. 14/2015

Cenový výmer č. 14/2015 Cenový výmer č. 14/2015 Slovanet, a.s. Bratislava (ďalej len Slovanet alebo poskytovateľ ), v zmysle zákona č. 18/1996 Z.z. o cenách v znení neskorších právnych predpisov a vyhlášky č. 87/1996 Z.z., ktorou

Více

Evidencia hrobov. Inštalácia programu

Evidencia hrobov. Inštalácia programu Inštalácia programu copyright (c) 2012 KEO s.r.o. Ing. Tibor Čáky Aktualizované dňa 23.02.2012 Obsah Na úvod... 3 Charakteristika inštalovaného programu... 3 Základné podmienky pre úspešnú inštaláciu...

Více

Diamantové šperky na zákazku

Diamantové šperky na zákazku Diamantové šperky na zákazku Šperkárske kamene Kúzlo diamantových šperkov je neprekonateľné. Hra svetla, ktorá sa odráža v drahých kameňoch umocňuje ich krásu a jedinečnosť. Možno ste to nevedeli, ale

Více

Uvoľnené úlohy v medzinárodných testovaniach a ich využitie vo vyučovaní

Uvoľnené úlohy v medzinárodných testovaniach a ich využitie vo vyučovaní Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Uvoľnené úlohy v medzinárodných testovaniach a ich využitie vo vyučovaní Finančná a štatistická gramotnosť žiakov

Více

Koryo sa odohráva vo vymyslenom politicko-steampunkovom svete, ktorý pôvodne inšpirovaný historickou Kóreou v období okolo 10. storočia.

Koryo sa odohráva vo vymyslenom politicko-steampunkovom svete, ktorý pôvodne inšpirovaný historickou Kóreou v období okolo 10. storočia. Koryo je hra pre 2 4 hráčov. Hra je vhodná pre hráčov vo veku 14 a viac. Jedna hra trvá približne 15 minút. Koryo sa odohráva vo vymyslenom politicko-steampunkovom svete, ktorý pôvodne inšpirovaný historickou

Více

Počasie na Slovensku v roku 2008

Počasie na Slovensku v roku 2008 Počasie na Slovensku v roku 2008 Rok 2008 patril, podľa výsledkov merania teploty vzduchu na meteorologickej stanici v Hurbanove, spolu s rokmi 2000 a 2007, k trom najtepleším v histórii merania tejto

Více

Ako podporiť SaS zo zahraničia vo voľbách do NR SR 5. marca 2016

Ako podporiť SaS zo zahraničia vo voľbách do NR SR 5. marca 2016 ... aby sa doma oplatilo pracovať, podnikať a žiť Ako podporiť SaS zo zahraničia vo voľbách do NR SR 5. marca 2016 VOĽTE 23 Strana Sloboda a Solidarita dlhodobo zastáva názor, že právo rozhodovať o smerovaní

Více

REVÍZIA NORMY ISO 9001: JÚNA 2016 HOTEL ELIZABETH TRENČÍN NORMA ISO 9001 AKO SA PRIPRAVIŤ NA BEZPROBLÉMOVÝ PRECHOD NA NOVÚ NORMU

REVÍZIA NORMY ISO 9001: JÚNA 2016 HOTEL ELIZABETH TRENČÍN NORMA ISO 9001 AKO SA PRIPRAVIŤ NA BEZPROBLÉMOVÝ PRECHOD NA NOVÚ NORMU Teraz originál normy STN EN ISO 9001:201 pre účastníkov ZDARMA! REVÍZIA NORMY ISO 9001:2015 AKO SA PRIPRAVIŤ NA BEZPROBLÉMOVÝ PRECHOD NA NOVÚ NORMU STN EN ISO 9001:201 9. JÚNA 201 HOTEL ELIZABETH TRENČÍN

Více

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ Pedagogická fakulta Binární relace text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium Doc. Paed

Více

Ako postupovať pri vyplňovaní formulára.

Ako postupovať pri vyplňovaní formulára. Ako postupovať pri vyplňovaní formulára. Formulár je dostupný v dvoch verziách a to pre kancelárske balíky Microsoft Office a Open Office. Spôsob vypĺňania formulára sa príliš neodlišuje od bežného písania

Více

Tlač do PDF a odosielanie dokladov cez . OBSAH

Tlač do PDF a odosielanie dokladov cez  . OBSAH Tlač do PDF a odosielanie dokladov cez e-mail. OBSAH Úvod... 2 Základné podmienky:... 2 Kde nájdem inštalačný program pre PDF tlačiarne?... 2 Pre aký operačný systém ho môžem použiť?... 2 Inštalácia PDF

Více

Rozpočítavanie príjmov

Rozpočítavanie príjmov Rozpočítavanie príjmov Od 1.1.2011 je potrebné v zmysle novely Zákona 461/2003 o sociálnom poistení rozpočítavať príjem: a) vyplatený po skončení pracovného pomeru b) u zamestnancov s nepravidelným príjmom

Více

Import cenových akcií FRESH

Import cenových akcií FRESH Návod obsahuje podrobný popis nastavenia a použitia importu cenových akcií reťazca FRESH, druhá časť popisuje ako využiť elektronické faktúry firmy Labaš pre automatické vytvorenie príjemky. Import cenových

Více