7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny
|
|
- Věra Horáková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine Relácia R definovaná na množine sa nazýva reláciou ekvivalencie vtedy a len vtedy, ak R je reflexívna, symetrická a tranzitívna relácia Pripomeňme si, že reláciu R definovanú v množine nazývame: - reflexívnou, ak :[, ] x x x R, - symetrickou, ak, :[, ] [, ] x y x y R y x R, - tranzitívnou, ak,, :[, ] [, ] [, ] x yz xy R yz R xz R Ak máme rozhodnúť, či daná relácia R na množine je reláciou ekvivalencie, musíme najskôr zistiť, či je reflexívna, symetrická a tranzitívna Postup si vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4 {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna 4 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4, ][, 4,4] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje jednosmernú šípku (z do ), relácia R nie je symetrická Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je symetrická 4 9
2 Nech množina {,,,4 R {[, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ][, 4,] a relácia Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje pri každom vrchole slučku (napr pri vrchole ), relácia R nie je reflexívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je reflexívna 4 Nech množina {,,,4 R a relácia {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,4 ], [ 4, ], [ 4,4] Vrcholový graf relácie R je na obrázku Vrcholový graf relácie R obsahuje šípku z do a aj šípku z do, ale neobsahuje šípku z do Vo vrcholovom grafe relácie R má zmysel prestupovať (napr keď cestujeme z do ), preto relácia R nie je tranzitívna Relácia R nie je reláciou ekvivalencie na množine, pretože nie je tranzitívna 4 Zhrňme si, čo platí pre vrcholový graf relácie ekvivalencie: Vrcholový graf relácie ekvivalencie obsahuje pri každom vrchole slučku Vrcholový graf relácie ekvivalencie neobsahuje jednosmerné šípky Vo vrcholovom grafe relácie ekvivalencie nemá zmysel prestupovať Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že: Inverzná relácia k reflexívnej relácii je opäť reflexívna Inverzná relácia k symetrickej relácii je opäť symetrická Inverzná relácia k tranzitívnej relácii je opäť tranzitívna Z týchto troch poznatkov teda vyplýva nasledujúci záver: Inverzná relácia k relácii ekvivalencie na množine je opäť reláciou ekvivalencie na množine 0
3 Nech množina { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra a relácia {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je symetrická Pretože vo vrcholovom Praha Brno grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia R je tranzitívna Relácia R je Ostrava Olomouc reláciou ekvivalencie na množine, Trnava Nitra pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Nech množina { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie a relácia R Vrcholový graf relácie R je na obrázku Pretože vrcholový graf relácie R obsahuje pri každom vrchole slučku, relácia R je reflexívna Pretože vrcholový graf relácie R Anna Eva neobsahuje jednosmerné šípky, relácia R je arek symetrická Pretože vo vrcholovom grafe relácie R nemá zmysel prestupovať, relácia Janka R je tranzitívna Relácia R je reláciou Peter ilan ekvivalencie na množine, pretože je reflexívna, symetrická a tranzitívna Rozklad množiny Hovoríme, že systém podmnožín,,,, množiny vytvára rozklad, n množiny práve vtedy, ak má nasledujúce vlastnosti: i {,,,, n, : {,, n i j {,,,, n, : i j i { i, nožiny,,,, nazývame triedy rozkladu množiny, n j
4 Teraz si túto definíciu vysvetlíme podrobnejšie Predpokladajme, že je daná neprázdna množina Rozkladom množiny je teda systém konečného alebo nekonečného počtu podmnožín,,,, množiny, ktorý má tieto špeciálne vlastnosti:, n Vlastnosť znie: i {,,,, n, : { To znamená, že žiadna z množín,,,, nie je prázdna i, n Vlastnosť znie: n To znamená, že každý prvok množiny sa nachádza v niektorej z množín,,,, Inými slovami, zjednotením množín,,,, je množina, n Vlastnosť znie: i, j {,,,, n, : i j i { j, n To znamená, že žiadne dve rôzne množiny, nemajú spoločné prvky Inými slovami, i j žiaden prvok množiny sa nenachádza v dvoch rôznych množinách, i j Rozklad množiny má teda tieto vlastnosti: Rozklad množiny je množina, ktorej prvkami sú podmnožiny množiny Tieto podmnožiny nazývame triedy rozkladu Každý prvok množiny sa nachádza práve v jednej triede rozkladu Pojem rozkladu množiny si teraz vysvetlíme na príkladoch Nech množina {,,,4,5,6,7,8,9,0 a jej podmnožiny {,,,4, { 5,0 { 6,7,8,9 Zistíme, či systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9,, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,,4 { 5,0 { 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0, teda množina Druhá podmienka je teda tiež splnená Žiadne dve z množín,, nemajú spoločný prvok Aj tretia podmienka je splnená Systém {, {,,,4, { 5,0,{ 6,7,8,9 {,,,4,5,6,7,8,9,0 je rozkladom množiny,
5 Nech množina {,,,4,5,6 a jej podmnožiny {,,4, { 4,5, {,6 Zistíme, či systém {, {,,4,{ 4,5,{,6, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,, nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,, je množina {,,4 { 4,5 {,6 {,,,4,5,6 podmienka je teda tiež splnená nožiny {,,4 a { 4,5, teda množina Druhá majú spoločný prvok, to znamená, že { 4 Tretia podmienka splnená nie je Systém {, {,,4{, 4,5{,,6 nie je rozkladom množiny {,,,4,5,6, nebola splnená tretia podmienka definície rozkladu množiny) (pretože Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej podmnožiny {,, { 5, { 6 {,7 Zistíme, či systém {,, {,, { 5, { 6, {,7 4, 4, je rozkladom množiny Vidíme, že ani jedna z množín,,, 4 nie je prázdna Prvá podmienka je teda splnená Zjednotením množín,,, 4 je množina {, { 5 { 6 {,7 {,,,5,6,7 Toto zjednotenie neobsahuje prvok 4 Druhá podmienka preto nie je splnená Pretože nie je splnená druhá podmienka, platnosť tretej už ani netreba zisťovať Systém {,, {,,{ 5,{ 6,{,7 {,,,4,5,6,7 nie je rozkladom množiny, 4 (pretože nebola splnená druhá podmienka definície rozkladu množiny) Teraz sa budeme venovať rozkladom množín s malým počtom prvkov Nech množina {, Pretože množina má dva prvky, rozklad môže obsahovať buď jednu dvojprvkovú množinu, alebo dve jednoprvkové ožné rozklady teda sú: {, {{{, a Nech množina { a, b, c Pretože množina má tri prvky, rozklad môže obsahovať: - jednu trojprvkovú množinu, - jednu dvojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu, - tri jednoprvkové množiny ožné rozklady teda sú: { a, b, c, { a, b,{ c, { a, c,{ b, { b, c,{ a a {{{{ a b, c,
6 Nech množina {,,,4 - jednu štvorprvkovú množinu: {,,,4 Pretože množina má štyri prvky, rozklad môže obsahovať:, - jednu trojprvkovú a jednu jednoprvkovú množinu: {,,{, 4,{,,4{,,{,,4{,,{,,4, {, - dve dvojprvkové množiny: {,{,,4,{,, {,4,{,4, {,, - jednu dvojprvkovú a dve jednoprvkové množiny: {,, {,{ 4,{,{, {, 4 {,4{, {,,{,{{,, 4,{,4{,, {,{,4, {, { - štyri jednoprvkové množiny: {{{,,{,{ 4,, Relácia ekvivalencie a rozklad množiny Na predchádzajúcich stranách sme sa stretli s troma vrcholovými grafmi relácií ekvivalencie Vrcholový graf relácie R {[, ][,, ][,, ], [, ], [, ], [,4 ], [ 4, ], [ 4,4] v množine {,,,4 možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou 4 nožinu {,,,4 sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny {, a {,4 nasledujúci rozklad množiny : {,{,,4 Získali sme tak Aj vrcholový graf relácie {[ x, y] : x a y sú v tom istom štáte R v množine { Praha,Brno,Ostrava,Olomouc, Trnava, Nitra možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Praha Pritom opäť platí: Ostrava Každý vrchol má práve jednu farbu Trnava Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Brno Nitra Olomouc 4
7 nožinu sme týmto spôsobom rozložili na dve podmnožiny { Praha, Brno, Ostrava, Olomouc a { Trnava,Nitra rozklad množiny : { Brno,Ostrava, Olomouc,{ Trnava, Nitra Praha, Získali sme tak nasledujúci Podobne aj vrcholový graf relácie R {[ x, y] : x a y majú rovnaké pohlavie v množine { Anna,arek, Janka, Eva,Peter,ilan možno rozdeliť na dve časti (modrú a červenú) Pritom opäť platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami Anna Eva arek nie sú spojené šípkou Janka nožinu sme týmto spôsobom rozložili Peter ilan na dve podmnožiny { arek, Peter, ilan a { Anna,Janka,Eva Získali sme tak nasledujúci rozklad množiny : { Peter,ilan{, Anna,Janka,Eva arek, Na predchádzajúcich troch príkladoch sme si mohli všimnúť jednu dôležitú vlastnosť vrcholového grafu relácie ekvivalencie, a to fakt, že ho možno zafarbiť tak, že platí: Každý vrchol má práve jednu farbu Každé dva vrcholy s rovnakou farbou sú spojené obojsmernou šípkou Žiadne dva vrcholy s rôznymi farbami nie sú spojené šípkou Ak potom vytvoríme množiny,,,, tak, že do každej z nich dáme vrcholy s, n tou istou farbou, získame rozklad množiny V nasledujúcich príkladoch využijeme tieto vlastnosti vrcholového grafu relácie ekvivalencie na určenie zodpovedajúceho rozkladu množiny 5
8 Nech množina {,,,4,5,6 R a relácia ekvivalencie {[, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,,6 ][, 4,4 ][, 5,5 ], [ 6, ], [ 6,6] na množine Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,{,,6{, 4{, Nech množina {,,,4,5,6,7 a relácia ekvivalencie [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ][, 4,4 ][, 4,7 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,4 ][, 7,7] R 7 6 Vrcholový graf relácie R so zafarbenými vrcholmi vidíme na obrázku Rozklad množiny, ktorý je určený reláciou ekvivalencie R je {,,{, 4,7{, 6{, Teraz budeme postupovať opačne Predpokladajme, že je daná množina a triedy jej rozkladu,,,, Najskôr nakreslíme vrcholový graf tak, že všetky vrcholy tej, n istej triedy zafarbíme tou istou farbou Potom dokreslíme slučky a každé dva vrcholy s rovnakou farbou spojíme obojsmernou šípkou Vrcholy s rôznymi farbami nespojíme Dostaneme tak vrcholový graf nejakej relácie na množine Ako ukážeme na nasledujúcich príkladoch, takto určená relácia bude reláciou ekvivalencie na množine 6
9 Nech množina {,,,4,5,6 {,,{, 4,5,6 a jej rozklad Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {,,{, 4,5,6 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 4,6 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 5,6 ][, 6,4 ][, 6,5 ][, 6,6] R Nech množina {,,,4,5,6,7 a jej rozklad {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 Určíme zodpovedajúcu reláciu ekvivalencie R na množine Najskôr zafarbíme vrcholy tak, že vrcholy v tej istej množine budú mať tú istú farbu Potom dokreslíme slučky a vrcholy s rovnakou farbou pospájame obojsmernými šípkami Relácia ekvivalencie určená rozkladom {{{,,{, 4,5{, 6{, 7 je [, ][,, ][,, ][,, ][,, ], [ 4,4 ][, 4,5 ][, 5,4 ][, 5,5 ][, 6,6 ][, 7,7] R Na záver kapitoly si zhrnieme poznatky o vzťahu relácie ekvivalencie R na množine a rozkladu množiny Každá relácia ekvivalencie R definovaná na množine určuje rozklad množiny Nech R je relácia ekvivalencie na množine Pre každý prvok m utvorme množinu { n :[ m, n] R m Takto utvorené množiny potom určujú rozklad množiny 7
10 Každý rozklad množiny definuje na množine reláciu ekvivalencie Nech je daný rozklad,,,, množiny, n Definujme binárnu reláciu R na množine : {[ x, y] : m, n patria do tejistej triedy rozkladu R Potom R je relácia ekvivalencie na množine Test č 9 V nasledujúcom teste je 0 úloh z oblasti relácie ekvivalencie a rozkladu množiny Na nich si prakticky precvičíme: - určovanie, či daná relácia je reláciou ekvivalencie, - pojem rozkladu množiny, - vzťah medzi reláciou ekvivalencie a rozkladom množiny Test č 9 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 9exe Nech R je binárna relácia v množine Označte vlastnosti, ktoré musí mať relácia R, aby bola reláciou ekvivalencie a) reflexívna b) antireflexívna c) symetrická d) antisymetrická e) tranzitívna f) súvislá Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna Daná je relácia R v množine, 8
11 {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 4 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 5 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9
12 7 Daná je relácia R v množine, {,,, 4, R {[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[, ],[ 4, 4] Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Vyberte tú reláciu v množine prirodzených čísel, ktorá je reláciou ekvivalencie a) rovnosť, teda {[ x, y] N N : x y b) deliteľnosť, teda {[ x, y] N N : x delí y c) ostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x< y d) neostrá nerovnosť, teda {[ x, y] N N : x y 9 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a majú rovnaké pohlavie R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 0 Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sú manželia R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : a sa narodili v tom istom roku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie 40
13 b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých riek {[, ] : a sa vlievajú do toho istého oceánu R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie Daná je relácia R v množine všetkých ľudí {[, ] : sa vlieva do R xy x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 4 Daná je relácia R v množine všetkých áut {[, ] : a majú rovnakú značku R x y x y Rozhodnite, či R je reláciou ekvivalencie a) R je reláciou ekvivalencie b) R nie je reláciou ekvivalencie 5 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 6 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie 4
14 c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 7 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 8 Na obrázku je vrcholový graf relácie R v množine {,,, 4 Vyberte správne tvrdenie a) Relácia R je reláciou ekvivalencie c) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je symetrická d) Relácia R nie je reláciou ekvivalencie, pretože nie je tranzitívna 9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4, 5, 6 a) {,,,{ 4,5,6 b) {,,, 4,{, 4,5,6 c) {,,{, 4,{ 5, 6 d) {,,, 4,5,6 0 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {,,, 4,5,6,{ 7,8 c) {,,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,,, 4,{, 4,5,6,{ 5,6,7,8 4
15 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny {,,, 4,5,6,7,8,9 a) {,,,{ 4,5,6,{ 7,8,9 b) {, 4,7,{,5,8 c) {,,9,,4,5,6,7,8 { { { { d) {,, 4,{,5,6,{ 6,7,8,9 Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny prirodzených čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) {, množina prvočísel, množina zložených čísel c) množina prvočísel, množina zložených čísel d) množina párnych čísel, množina nepárnych čísel Vyberte množiny, ktoré tvoria rozklad množiny celých čísel a) množina čísel deliteľných tromi, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok, množina čísel, ktoré po delení tromi dávajú zvyšok b) množina kladných čísel, množina záporných čísel c) množina druhých mocnín prirodzených čísel, množina tretích mocnín prirodzených čísel d) {0, množina kladných čísel, množina záporných čísel 4 Koľko rôznych rozkladov má množina {,,? 5 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,, zodpovedajúci rozklad množiny a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [, ],[, ],[, ],[,],,,,,,,,,, b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d) {[ ] [ ] [ ] {{,,{,,,,,,,,, {{,, { {,,,,,,,,, {{,,,,,,, 4 {{,, { 4
16 6 Priraďte k relácii ekvivalencie na množine {,,, 4 zodpovedajúci rozklad množiny a) {[ ] [ ] [ ] [ ] b) {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) d),,,,,, 4, 4 {{,,, 4,,,,,,,,,, 4, 4 {{,,{, 4 [, ],[, ],[, ],[, 4 ],[, ],[, ], [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4, ],[ 4, ],[ 4, ],[ 4, 4],,,4,,,,,,,,4, [, ],[, ],[, ],[, ], [, ],[, 4 ],[ 4, ],[ 4, 4] {{,,,4 { { 4 {{,,,4 { { { 7 Priraďte k rozkladu množiny {,,, 4,5 počet usporiadaných dvojíc, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie na množine a) {{,,,4,5 { { { { 9 b) {{,,,4,5 { { { 5 c) {{,,{, 4,{ 5 d) {{,,,{ 4, Daný je rozklad {{,,,{ 4,5,{ 6,7 množiny {,,, 4,5,6,7 Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,5] d) [,7] 9 Daný je rozklad množiny prirodzených čísel na párne čísla a nepárne čísla Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,] d) [,4] 44
17 0 Daný je rozklad množiny celých čísel na kladné čísla, záporné čísla a nulu Označte tie usporiadané dvojice, ktoré obsahuje príslušná relácia ekvivalencie určená týmto rozkladom a) [,] b) [,] c) [,0] d) [,-] Test č 9 správne riešenia ace 7 d b 9 acd 5 a,b,c4,d a 8 a 4 a 0 bc 6 a4,b,c,d a 9 a 5 d ac 7 a,b4,c,d 4 a 0 b 6 d bd 8 ab 5 c a 7 a ad 9 ac 6 b a 8 a ab 45
8. Relácia usporiadania
8. Relácia usporiadania V tejto časti sa budeme venovať ďalšiemu špeciálnemu typu binárnych relácií v množine M - reláciám Najskôr si uvedieme nasledujúce štyri definície. Relácia R definovaná v množine
VíceZvyškové triedy podľa modulu
Zvyškové triedy podľa modulu Tomáš Madaras 2011 Pre dané prirodzené číslo m 2 je relácia kongruencie podľa modulu m na množine Z reláciou ekvivalencie, teda jej prislúcha rozklad Z na systém navzájom disjunktných
VíceMnožiny, relácie, zobrazenia
Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,
VíceM úlohy (vyriešené) pre rok 2017
M úlohy (vyriešené) pre rok 2017 Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého ciferný súčet je 2017 Ak má byť prirodzené číslo s daným ciferným súčtom čo najmenšie, musí mať čo najviac číslic 9 Pretože
VíceFunkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.
FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme
VíceKvadratické funkcie, rovnice, 1
Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly,
Více3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc
3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2
VíceKombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)
Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Cvičenie 1 Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody
VíceSúmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná
Mgr. Zuzana Blašková, "úmernosti" 7.ročník ZŠ 1 úmernosti 7.ročník ZŠ Mgr. Zuzana Blašková 2 ZŠ taničná 13, Košice Osová súmernosť určenie základné rysovanie vlastnosti úlohy s riešeniami osovo súmerné
VíceKombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)
Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody kariet
VíceRiešenie cvičení z 3. kapitoly
Riešenie cvičení z 3. kapitoly Cvičenie 3.1. Prepíšte z prirodzeného jazyka do jazyka výrokovej logiky: (a) Jano pôjde na výlet a Fero pôjde na výlet; (1) vyjadrite túto vetu pomocou implikácie a negácie
VíceMnožina a jej určenie, konečná a nekonečná množina
Množina a jej určenie, konečná a nekonečná množina Pojem množina je jeden zo základných pojmov modernej matematiky. Pojem množiny nemožno definovať klasickým spôsobom. Približne možno povedať, že množina
VíceMatematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 :
GJH-Prima 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Test-13 Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť
VíceLineárne nerovnice, lineárna optimalizácia
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav
VíceČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1
ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad.
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
VíceStarogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov
STAVBA ATÓMU Starogrécky filozof Demokritos (450-420 pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov Starogrécky filozof Aristoteles (384-322 pred n.l) Látky možno neobmedzene
VíceVECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4
Príklad 1 Naučte korytnačku príkaz čelenka. Porozmýšľajte nad využitím príkazu plnytrojuhol60: viem plnytrojuhol60 opakuj 3 [do 60 vp 120 Riešenie: definujeme ďalšie príkazy na kreslenie trojuholníka líšiace
VíceKOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU
KOMBINATORIKA MODERNÉ VZDELÁVANIE PRE VEDOMOSTNÚ SPOLOČNOSŤ/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ ZO ZDROJOV EÚ KÓD ITMS PROJEKTU: 26110130645 UČIŤ MODERNE, INOVATÍVNE, KREATÍVNE ZNAMENÁ OTVÁRAŤ BRÁNU DO SVETA
VíceZáklady optických systémov
Základy optických systémov Norbert Tarjányi, Katedra fyziky, EF ŽU tarjanyi@fyzika.uniza.sk 1 Vlastnosti svetla - koherencia Koherencia časová, priestorová Časová koherencia: charakterizuje koreláciu optického
VíceObrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu
Cvičenie:.. Pre každú zo sietí uvedených dole určite minimálny celkový čas, ktorý zaberie dokončenie projektu, minimálne časové ohodnotenie E(v) u jednotlivých vrcholov a kritickú cestu. (a) Obrázok..
VíceMatematika test. Cesta trvala hodín a minút.
GJH-Prima Test-16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Súčet Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 18 úloh a má 4 strany. Úlohy
VíceMATEMATIKA v reálnom živote. Soňa Čeretková Katedra matematiky FPV UKF Nitra
MATEMATIKA v reálnom živote Soňa Čeretková Katedra matematiky FPV UKF Nitra Ciele a obsah predmetu...vyučovanie by malo viesť k budovaniu vzťahu medzi matematikou a realitou, k získavaniu skúseností s
VícePočet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut
Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut V této hře se to hemží kozami a ty jich musíš získat co nejvíce. Ale najednou je jejich počet limitován a ty už žádné kozy nechceš! Nebohá zvířata tedy
VíceAR, MA a ARMA procesy
Beáta Stehlíková FMFI UK Bratislava Overovanie stacionarity a invertovateľnosti Opakovanie - stacionarita AR procesu Zistite, či je proces x t = 1.2x t 1 + 0.5x t 2 + 0.3x t 3 + u t stacionárny. Napíšte
VíceAko započítať daňovú licenciu
Ako započítať daňovú licenciu 1. Zápočet daňovej licencie a jej evidencia... 1 2. Započítanie DL v plnej sume... 1 3. Nárok na čiastočný zápočet DL... 2 4. Bez nároku na zápočet, daň < DL... 3 5. Bez nároku
VíceNEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P
NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P 1. VLASTNÉ POLOVODIČE Vlastnými polovodičmi nazývame polovodiče chemicky čisté, bez prímesí iných prvkov. V súčasnosti je najpoužívanejším polovodičovým
Vícei j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:
0 Interpolácia 0 Úvod Hlavnou myšlienkou interpolácie je nájs t funkciu polynóm) P n x) ktorá sa bude zhodova t s funkciou fx) v n rôznych uzlových bodoch x i tj P n x) = fx i ) = f i = y i i = 0 n Niekedy
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VíceMatematika test. Mesačne zaplatí. Obvod obdĺžnikovej záhrady je. Jedna kniha stojí Súčet
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť v ľubovoľnom poradí.
VíceRiešené úlohy Testovania 9/ 2011
Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 01. Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 12 dáva podiel 57 a zvyšok 11. 57x12=684 684+11=695 Skúška: 695:12=57 95 11 01. 6 9 5 02. V sude je 1,5 hektolitra dažďovej
VíceLimita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3
Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu
VíceNázov: Osmóza. Vek žiakov: Témy a kľúčové slová: osmóza, koncentrácia, zber dát a grafické znázornenie. Čas na realizáciu: 120 minút.
Názov: Osmóza Témy a kľúčové slová: osmóza, koncentrácia, zber dát a grafické znázornenie. Čas na realizáciu: 120 minút Vek žiakov: 14 16 rokov Úrovne práce s materiálom: Úlohy majú rôznu úroveň náročnosti.
VícePrevody z pointfree tvaru na pointwise tvar
Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Tomáš Szaniszlo 2010-03-24 (v.2) 1 Príklad (.(,)). (.). (,) Prevedenie z pointfree do pointwise tvaru výrazu (.(,)). (.). (,). (.(,)). (.). (,) Teraz je funkcia
VíceMatematika Postupnosti
Matematika 1-06 Postupnosti Definícia: Nekonečnou postupnosťou reálnych čísel nazývame zobrazenie f: N R množiny prirodzených čísel N do množiny reálnych čísel R. Označenie: a n n=1 = a 1, a 2,, a n, Matematika
VíceTeória grafov. Stromy a kostry 1. časť
Teória grafov Stromy a kostry 1. časť Definícia: Graf G=(V, E) nazývame strom, ak neobsahuje kružnicu ako podgraf Definícia Strom T=(V, E T ) nazývame koreňový strom ak máme v ňom pevne vybraný vybraný
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceSkákalka. Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto.
Skákalka Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto. Vyberieme si z ponuky tvarov kruh a nakreslíme ho (veľkosť podľa vlastného uváženia). Otvoríme si ponuku
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
Více8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna.
8. Implikácia Implikáciu B A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. Implikáciu B' A' nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia
VíceSKLADOVÁ INVENTÚRA 1 VYTVORENIE INVENTÚRY. 1.1 Nastavenie skladovej inventúry
SKLADOVÁ INVENTÚRA Skladové inventúry umožňujú vyrovnanie evidovaného stavu zásob so skutočným fyzicky zisteným stavom. Pri inventúre vznikajú inventúrne rozdiely medzi fyzickým a evidenčným stavom: kladné
VíceIracionálne rovnice = 14 = ±
Iracionálne rovnice D. Rovnica je iracionálna, ak obsahuje neznámu pod odmocninou. P. Ak ide o odmocninu s párnym odmocniteľom, potom musíme stanoviť definičný obor pod odmocninou nesmie byť záporná hodnota
VícePODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.
PODPROGRAMY Podprogram je relatívne samostatný čiastočný algoritmus (čiže časť programu, ktorý má vlastnosti malého programu a hlavný program ho môže volať) Spravidla ide o postup, ktorý bude v programe
VíceDiplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová
Diplomový projekt Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline 1.7.2014 Matilda Drozdová Pojem projekt Projekt je určitá časovo dlhšia práca, ktorej výsledkom je vyriešenie nejakej úlohy Kto rieši projekt?
VíceMATEMATICKA OLYMPIADA
SK MTEMTIK OLYMPI 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Martin má na papieri napísané päťciferné číslo s piatimi rôznymi ciframi a nasledujúcimi vlastnosťami: škrtnutím druhej
VíceDodanie tovaru a reťazové obchody Miesto dodania tovaru - 13/1
Dodanie u a reťazové obchody Miesto dodania u - 13/1 ak je dodanie u spojené s odoslaním alebo prepravou u - kde sa nachádza v čase, keď sa odoslanie alebo preprava u osobe, ktorej má byť dodaný, začína
VíceCVIČENIE 1 : ZÁKLADNÉ VÝPOČTY PRAVDEPODOBNOSTI
CVIČENIE : ZÁKLDNÉ VÝOČTY RVDEODOBNOSTI. KLSICKÁ DEFINÍCI RVDEODOBNOSTI ríklad : ká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne číslo resp. padne nepárne číslo? jav, kedy padne číslo B jav, že padne nepárne
VíceTomTom Referenčná príručka
TomTom Referenčná príručka Obsah Rizikové zóny 3 Rizikové zóny vo Francúzsku... 3 Upozornenia na rizikové zóny... 3 Zmena spôsobu upozornenia... 4 tlačidlo Ohlásiť... 4 Nahlásenie novej rizikovej zóny
VíceMetóda vetiev a hraníc (Branch and Bound Method)
Metóda vetiev a hraníc (Branch and Bound Method) na riešenie úloh celočíselného lineárneho programovania Úloha plánovania výroby s nedeliteľnosťami Podnikateľ vyrába a predáva zemiakové lupienky a hranolčeky
VíceFinančný manažment, finančná matematika a účtovníctvo
MAAG maag.euba.sk Finančný manažment, finančná matematika a účtovníctvo Finančný ný manažment ment znamená maag.euba.sk riadenie finančných ných procesov v podnikoch a inštitúciách najrôznejšieho typu.
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceMatematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp
Matematika pre tretiakov Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp INFOSERVIS Prezentácia je dostupná na www.aitec.sk Otázky dávajte aj priebežne. Stíšte si, prosím,
Vícetipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač.
5 tipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač. 1. Používanie loga Pri každom použití loga v tlačenej podobe,
VíceKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ
64 1 TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ OBLASŤ PRIJATIA A ZAMIETNUTIA HYPOTÉZY PRI TESTOVANÍ CHYBY I. A II. DRUHU Chyba I. druhu sa vyskytne vtedy, ak je hypotéza správna, ale napriek tomu je zamietnutá,
VíceMatematika (platný od )
Matematika (platný od 01.09.2016) 1. ročník A variant Obsah vzdelávania: 4 hodiny/týždenne 132 hodín Triedenie predmetov podľa vlastností (množstvo, veľkosť, farba, tvar) Dvojica. Vzťahy rovnako nie rovnako,
VíceAstronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu
Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu Peter Delinčák, sekcia astronomickej fotografie SAS Úvodom S príchodom digitálnych fotoaparátov sa otvorili nové možnosti pre astronomickú fotografiu.
Více1. Pojem výroku. Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť.
LOGIKA 1. Pojem výroku Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť. Pravdivosť (správnosť) výroku chápeme aj intuitívne. Príklady výrokov: 1.
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceHromadná korešpondencia v programe Word Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych
Hromadná korešpondencia v programe Word 2010 Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych Obsah Čo je hromadná korešpondencia Spustenie hromadnej korešpondencie Nastavenie menoviek Pripojenie menoviek k zoznamu adries
Více1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity.
1 PRÍKLADY V INFORMATIKE: Skratky 1 : b bit B bajt kb kilobit kb kilobajt Mb megabit MB megabajt Gb gigabit GB gigabajt Tb terabit TB terabajt Tabuľka č. 1 1 B = 8 b 1 kb = 1 024 b = (1 024 : 8) B = 128
VíceRelace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace
Relace 1. Nechť A = {n N; n < 10}, B = {m N; m 12}, R = {[m, n] A B; m + 1 = n}, S = {[m, n] A B; m 2 = n}. Zapište relace R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace R R, S S,
VíceTo bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.
Opakuj a pomenuj Nakreslime si ovocný sad Príklad 1 Pomocou príkazového riadku skúste s korytnačkou nakresliť ovocný stromček. Vaša postupnosť príkazov sa možno podobá na nasledujúcu:? nechfp "hnedá? nechhp
Více1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69
Typové úlohy z matematiky - PS EGJT LM - 8-ročné bilingválne štúdium Bez použitia kalkulačky 1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69 2.
VíceStudentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh
Studentove t-testy Metódy riešenia matematických úloh www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Jednovýberový t-test z prednášky Máme náhodný výber z normálneho rozdelenia s neznámymi parametrami Chceme
VíceZáklady algoritmizácie a programovania
Základy algoritmizácie a programovania Pojem algoritmu Algoritmus základný elementárny pojem informatiky, je prepis, návod, realizáciou ktorého získame zo zadaných vstupných údajov požadované výsledky.
VíceMANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM
MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM Cvičenia na úlohy s porozumením si vieme pre žiakov vytvoriť v programe, ktorý stiahneme zo stránky http://www.education.vic.gov.au/languagesonline/games/comprehension/index.htm.
VíceMatice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku
Matice Matice Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n............ am1 am2... amn a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku i- čísluje riadky J- čísluje stĺpce
VíceINTERNET BANKING. Platby cez Internet banking VŠETKO, ČO JE MOŽNÉ. with.vub.sk, Bank of
INTERNET BANKING Platby cez Internet banking VŠETKO, ČO JE MOŽNÉ www.vub.sk, with.vub.sk, 0850 123 000 Bank of VYNOVENÝ INTERNET BANKING Nový, moderný dizajn Dostupnosť zo všetkých zariadení Prehľad o
VíceImagine. Popis prostredia:
Priemerný človek si zapamätá približne: - 10 % z toho, čo číta, - 20 % z toho, čo počuje, - 30 % z toho, čo vidí v podobe obrazu, - 50 % z toho, čo vidí a súčasne počuje, - 70 % z toho čo súčasne vidí,
VíceOperačný systém Úvodná prednáška
Operačný systém Úvodná prednáška Pohľad zvonka (z vyšších úrovní) Pohľad zvnútra Pojmy správy procesov Úlohy jednotlivých častí operačného systému Autor: Peter Tomcsányi, Niektoré práva vyhradené v zmysle
VíceImport Excel Univerzál
Import Excel Univerzál PRÍKLAD Ako jednoducho postupova pri importe akéhoko vek súboru z MS Excel do programu CENKROS plus, ktorý má podobu rozpo tu (napr. rozpo et vytvorený v inom programe)? RIEŠENIE
VíceZačínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ
Chcela som urobiť rozumný tútoriál, netuším či to niekomu pomože, pevne verím že aspoň jeden taký sa nájde pretože keď tomu rozumiem ja tak musí aj total magor tomu rozumieť! Začínam so zadaním z 9.11.2010
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceKontrola väzieb výkazu Súvaha a Výkaz ziskov a strát Príručka používateľa
Kontrola Príručka používateľa úroveň: Klient Štátnej pokladnice Verzia 1.0 Január 2013 Autor: Michal Pikus FocusPM Page 1 of 5 Obsah Obsah... 2 1. Úvod... 3 2. Logika porovnania... 3 3. Vykonanie kontroly...
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceÚvodná strana IS ZASIELKY Prvky úvodnej stránky:
IS ZASIELKY 2.0 Obsah Úvodná strana IS ZASIELKY... 3 Prvky úvodnej stránky:... 3 IMPORT Údajov... 4 Zápis zásielky... 5 Miesto určenia... 5 Poznámka... 5 1. Miesto určenia Zápis zásielky... 6 2. Skupina
Vícev y d á v a m m e t o d i c k é u s m e r n e n i e:
č. 6226/2013 V Bratislave dňa 7. augusta 2013 Metodické usmernenie k zmenám v povinnosti platiť školné v zmysle zákona č. 131/2002 Z.z. o vysokých školách a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení
VíceTest. Ktorý valec by ste použili? A. Jednočinný valec B. Dvojčinný valec. Odpoveď:
Test Týmto testom môžete zistiť, či sú Vaše základné znalosti o pneumatickom riadení postačujúce pre nadstavbový seminár P121, alebo je pre Vás lepšie absolvovať základný seminár EP111. Test je rýchly,
VíceGymnázium Pierra de Coubertina, Námestie SNP 9, Piešťany IŠkVP 2017/18 Rámcový učebný plán pre 8 -ročné štúdium
IŠkVP 2017/18 Rámcový učebný plán pre 8 -ročné štúdium 1. ročník 3. ročník 4. ročník 5. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník Slovenský jazyk a literatúra 4 5 5 5 3 1 3 3 1 3 33 Anglický jazyk 4 4 4 4 4
VíceObsah. Reprezentácia údajov v počítači. Digitalizácia číselnej informácie. Digitalizácia znakov a textovej informácie.
Obsah Reprezentácia údajov v počítači. Digitalizácia číselnej informácie. Digitalizácia znakov a textovej informácie. Reprezentácia údajov v počítači. Počítač je stroj, ktorý na kódovanie údajov (čísla,
VíceCHARAKTERISTIKA JEDNOROZMERNÝCH ŠTATISTICKÝCH SÚBOROV
CHARAKTERISTIKA JEDNOROZMERNÝCH ŠTATISTICKÝCH SÚBOROV Táto časť sa venuje metódam štatistického výskumu súboru, pri ktorých sa zaoberáme jednotlivými štatistickými znakmi samostatne, bez toho, žeby sme
VíceŠkolská sieť EDU. Rozdelenie škôl. Obsah: Deleba škôl podľa času zaradenia do projektu: Delba škôl podľa rýchlosti pripojenia:
Obsah: Rozdelenie škôl Zariadenia dodané v rámci projektu Typy zapojenia zariadení Služby poskytovane na ASA Školská sieť EDU Rozdelenie škôl Deleba škôl podľa času zaradenia do projektu: 1. 2. školy ktoré
VíceModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Grafy
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Grafy Graf efektívne vizuálne nástroje dáta lepšie pochopiteľné graf môže odhaliť trend alebo porovnanie zobrazujú
VíceFinančné riaditeľstvo Slovenskej republiky
Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky Informácia k odpočtu daňovej straty v tabuľke D tlačiva daňového priznania k dani z príjmov právnickej osoby Daňovník - právnická osoba so zdaňovacím obdobím
VíceRiešenie nelineárnych rovníc I
Riešenie nelineárnych rovníc I Ako je už zo samotného názvu hodiny parné budeme sa venovať spôsobom výpočtu nelineárnych rovníc. Prečo je riešenie takýchto rovníc nevyhnutné? Nielen v samotnom chemickom
VíceElektronická značka je k dispozícii na stránke etax v záložke Úvod, položka menu Správa Certifikátov.
OBSAH: 1. ÚVOD 2. Inštalácia klientskej elektronickej značky EP DR SR 3. Inštalácia serverovskej elektronickej značky EP DR SR 4. Kontrola výsledkov inštalácie 5. Používanie elektronickej značky pri podávaní
Více1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33
V úlohách s výberom odpovede je vždy len jedna správna možnosť. Vyber a zakrúžkuj ju. 1. Vypočítaj: 24 :4 8 A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 2. Vypočítaj: 3 5 1 2 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33 3. Súčet dvoch za sebou idúcich
VíceModré obrázkové slová skladanie slov z písmen
Modré obrázkové slová skladanie slov z písmen Obrázkové slová slúžia na skladanie slov podľa začiatočných písmeniek z obrázkov. Montessori postupuje od skladania slov k ich čítaniu. Keď sa dieťa naučí
VíceOsoba podľa 8 zákona finančné limity, pravidlá a postupy platné od
A. Právny rámec Osoba podľa 8 zákona finančné limity, pravidlá a postupy platné od 18. 4. 2016 Podľa 8 ods. 1 zákona č. 343/2015 Z. z. o verejnom obstarávaní a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení
VíceMinisterstvo financií Slovenskej republiky Vznik daňovej povinnosti pri nadobudnutí tovaru v tuzemsku z iného členského štátu EÚ
www.finance.gov.sk Vznik daňovej povinnosti pri nadobudnutí tovaru v tuzemsku z iného členského štátu EÚ vznik daňovej povinnosti pri nadobudnutí tovaru v tuzemsku z iného členského štátu EÚ upravuje 20
VíceRozvoj matematických predstáv o číslach
KATEDRA MATEMATIKY UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Rozvoj matematických predstáv o číslach Dagmar Markechová - Anna Tirpáková ISBN 978-80-8094-900-6 9 788080 948849 NITRA
Více5.3.3 Vyhlásenie na zdanenie príjmov zo závislej činnosti
časť 5. diel 3. kapitola 3 str. 1 5.3.3 Vyhlásenie na zdanenie príjmov zo závislej činnosti Výška preddavku na daň závisí od toho, či má zamestnanec u zamestnávateľa podpísané vyhlásenie na zdanenie príjmov
VíceNávod na viacnásobné podpisovanie dokumentov prostredníctvom aplikácie D.Signer/XAdES v prostredí elektronickej schránky
Návod na viacnásobné podpisovanie dokumentov prostredníctvom aplikácie D.Signer/XAdES v prostredí elektronickej schránky Dátum platnosti: 9. 9. 2014 Verzia: 4 Dátum aktualizácie: 21. 8. 2017 Popis: Tento
VíceHamiltonovské prizmy. Autor:Mária Klimová Vedúci:RNDr. Edita Má ajová, PhD. Úvod. Prizma v kubických grafoch. Prizma v kubických
Hamiltonovské Autor:Mária Klimová Vedúci:RNDr. Edita Má ajová, PhD. Obsah 1 1 1 1 2 Cie práce Preh ad známych výsledkov. Skúma nejaké triedy a zis ova, ktoré majú hamiltonovskú prizmu, prípadne h ada nutné
Více3D origami - tučniak. Postup na prípravu jednotlivých kúskov: A) nastrihanie, alebo natrhanie malých papierikov (tie budeme neskôr skladať)
3D origami - tučniak Na výrobu 3D tučniaka potrebujeme: 27 bielych kúskov = 2 biele A4 kancelárske papiere, 85 čiernych (resp. inej farby) kúskov = 6 kancelárskych A4 papierov rovnakej farby, 3 oranžové
VíceFormuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ,
Formuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ, 30.11.2016 Formuláre https://docs.google.com/forms/u/0/ Online formulár Správa výsledkov Google vám sám vytvorí tabuľku s odpoveďami, alebo dokonca aj grafy Možnosť
VíceVážení používatelia programu WISP.
Vážení používatelia programu WISP. V súvislosti s Kontrolným výkazom DPH (ďalej iba KV) sme doplnili od verzie IS WISP 165.3633 a DB 165.1414 údaje potrebné pre ďalšie spracovanie a vyhotovenie súboru
VíceAktivizujúce úlohy k téme sacharidy
Aktivizujúce úlohy k téme sacharidy Poznámky pre učiteľa Téma: Sacharidy Ciele: - charakterizovať vlastnosti, štruktúru, zloženie, využitie a výskyt sacharidov - popísať základné vlastnosti D-glukózy a
VíceNávod na použitie zápisníka jedál
Návod na použitie zápisníka jedál Sme nesmierne radi, že si sa rozhodla používať tento zápisník jedál. Práve zapisovaním svojho jedálnička ľudia chudnú oveľa rýchlejšie, majú prehľad nad tým, čo zjedia
VíceDvojmaticové hry. tefan Pe²ko. 18. april Katedra matematických metód, FRI šu
Katedra matematických metód, FRI šu 18. april 2012 ƒastej²ie neº s antagonistickými koniktami sa stretávame s koniktami, v ktorých kaºdý z inteligentných ú astníkov sleduje svoje záujmy, ktoré sú iasto
Více