Goniometrie. První definice, à la pravoúhlý trojúhelník. Michael Majkl Bílý
|
|
- Radim Netrval
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Goniometrie Michael Majkl Bílý ØÖ Øº Příspěveksikladezacílukázatjakzákladní,takisložitějšívlastnostigoniometrických funkcí nutné k jejich úplnému porozumění. Představíme některá různá zavedení goniometrických funkcí a některé známé věty, které buď s goniometrií souvisí, nebo ji využívají ke svému důkazu. Goniometrické funkce jste všichni už jistě poznali na středních školách při základním kurzu pravoúhlého trojúhelníka. Toto zavedení je praktické a dají se z něj ihned usuzovat některé jejich vlastnosti. Nelze tak ale spočítat hodnotu funkce v zápornýchhodnotách,nebopokudjeúhelvětšínež90.někteřísepakuždostalii k zavedení jednotkové kružnice a k oné záhadné definici goniometrických funkcí přes ni.navysokéškolesepakužjenněkoliklidídostávákdefinicím,kterýmnejdevůbec rozumět, ale nakonec z nich opravdu vypadne vše potřebné. Goniometrická funkce přiřazuje jistému úhlu číslo. Naskýtá se tedy otázka, co je to úhel. První definice, à la pravoúhlý trojúhelník Definice.(Úhel) Mějmebody A, B AaC A.Úhel BACječíslorovnédélce oblouku na jednotkové kružnici se středem v bodě A, kterou vytne polopřímka AB při otočení na polopřímku AC proti směru hodinových ručiček. Pokud si kružnici rozdělíme na 360 dílků, pak můžeme místo délky oblouků zaznamenávat počet dílků, které musí polopřímka AB urazit. Jednotkám, které vyjdou při prvním způsobu, se říká radiány, v druhém pak stupně. Celá jednotková kružnice měří π, a proto budou všechny úhly měřit méně nežπradiánůa360stupňů.jakalevíme,chcemedefinovatnašefunkceiprojiné úhly.protoseněkteréúhlyztotožňují platí α+k π α,kde α 0,π)ak Z. Obdobně pro stupně. Všimněte si, že teď už může úhel nabývat libovolných reálných hodnot, přičemž číslo k vyjadřuje, kolikrát musí polopřímka AB z naší definice oběhnout navíc kolem celé kružnice(v případě záporných hodnot pak po směru hodinových ručiček). Teď,kdyžužvíme,cojeúhel,semůžemepustitdopráce.
2 GONIOMETRIE Definice. Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C, úhel u vrcholu A označme α. Pak při standardním značení stran trojúhelníka definujeme sinα:= b c, cosα:= a c, tgα:= sinα cosα = b a, cotgα:= 1 tgα =cosα sinα = a b. Protožeúhel αjevětšínež0,alemenšínežpravý,definovalijsmenašegoniometrickéfunkcepouzeproúhlyzintervalu(0, π ),respektive(0,90 ).Tonámzatím bude stačit. Úloha.(Na zamyšlení) Pokud ještě označíme úhel při vrcholu B jako β, co můžeme říctosinβ,cosβ,tgβacotgβ? Úloha. Dokažte Acotakhleněcoobdobnéhoprotg? sin α+cos α=1, sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα, cos(α+β)=cosαcosβ sinβsinα. Hint. Zkuste namalovat obrázek s pravoúhlými trojúhelníky, kde budou vystupovat všechny zmiňované úhly. Úloha. Odvoďte vzorce pro dvojnásobný úhel. Úloha. Z vhodných obrázků pravoúhlých trojúhelníků odvoďte hodnoty goniometrickýchfunkcí π 3, π 4 a π 6.Jakédalšíhodnotyjsmeschopniodvodit? Úloha. Ukažte,žesinα(1+cosα)=sinαcosα. Tojevšechnomocpěkné,aleteďsechcemeosvoboditodtohohroznéhoomezení pravým úhlem. Proto si zavedeme kartézský systém souřadnic a podíváme se na jednotkovou kružnici kolem jeho středu. Druhá definice, à la jednotková kružnice Definice. Mějme standardní systém souřadnic Oxy a sestrojme kružnici jednotkovéhopoloměrusestředemvo.označme Abod[1,0]aXlibovolnýbod[x,y]na naší kružnici. Dále označme α:= AOX. Pak definujeme: sinα:= y, cosα:= x, tgα:= sinα cosα, cotg:=cosα sinα. Díky ztotožnění, které jsme provedli na začátku, máme teď goniometrické funkce definované pro všechna reálná čísla. Jak nám ale pomůže veškeré to dokazování z první definice?
3 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Úloha. Jak souvisí první definice s druhou? Platí všechny vztahy z první definice i pro všechny reálné úhly? Dokažte. Hint. Stačí v kružnici hledat pravoúhlé trojúhelníky a pak vhodně využít toho, že naše kružnice se zachová při různých otočeních a osových symetriích. Úloha. Jaký je definiční obor funkcí tg a cotg? Úloha. Pro α (0, π )dokažte Úloha. Teď už snadno odvodíme sinα < α <tgα. sin(α β)=sinαcosβ sinβcosα, cos(α β)=cosαcosβ+sinβsinα. Dokázali byste odtud odvodit vzorce pro součty a rozdíly goniometrických funkcí? sinα+sinβ=sin α+β sinα sinβ=sin α β cosα+cosβ=cos α+β sinα sinβ= sin α+β Odvoďte podobná tvrzení pro tangens a kotangens. cos α β, cos α+β, cos α β, sin α β. Trochu méně známé vzorce, ale podle mě ty nejužitečnější: Tvrzení. sinαsinβ= 1 [cos(α β) cos(α+β)], cosαcosβ= 1 [cos(α β)+cos(α+β)], sinαcosβ= 1 [sin(α β) sin(α+β)]. Opět odvoďte obdobná tvrzení pro tangens a kotangens. Úloha. Dokažte tyto vlastnosti goniometrických funkcí: (i) Funkce sinus a kotangens jsou liché a periodické. (ii) Funkce kosinus a tangens jsou sudé a periodické. Jaké jsou jejich periody?
4 Pomocí rotací a symetrií ukažte: sin(α±π)= sinα, sin(α+ π )=cosα, sin(α π )= cosα, sin(π α)=sinα, GONIOMETRIE cos(α±π)= cosα, cos(α+ π )= sinα, cos(α π )=sinα, cos(π α)= cosα. Úloha. Nechť a,b R +.Dokažte,žerovnicesinx+acosx=bmářešeníprávě tehdy,když a b Předpokládejme,žesinx+acosx=b.Vyjádřete asinx cosx pouzepomocí a a b. Trocha trigonometrie Následuje několik slíbených tvrzení bez důkazu. Budeme vždy hovořit o trojúhelníku ABCsestranami a, b, c,úhly α, β, γapoloměremkružniceopsané R. Tvrzení.(Obsah trojúhelníka) Obsah trojúhelníka je S= 1 absinγ=1 acsinβ=1 bcsinα. Věta.(Sinová věta) Platí a sinα = b sinβ = c sinγ =R. Tvrzení.(Ooseúhlu) Osaúhluuvrcholu Aprotnestranu avbodě D.Platí AB AC = BD CD. Věta.(Cevova věta) Nechť jsou D, E, F body na přímkách určených postupně stranami a, b, c, různé od vrcholů trojúhelníku. Pak přímky AD, BE, CF procházejí jednímbodemtehdyajentehdy,kdyžplatí BD CD CE AE AF BF =1. Věta.(Kosinová věta) Platí a cyklické záměny. a = b +c bccosα Věta.(Stewartovavěta) Nechť Djebodnastraně a.pak a( AD + BD CD )=c CD +b BD. Tvrzení.(Brahmaguptův vzorec) Mějme čtyřúhelník ABCD se stranami a, b, c, d.označme s= a+b+c+d. Pak obsah čtyřúhelníku je (s a)(s b)(s c)(s d).
5 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Komplexní čísla Definice.(Komplexní číslo a polární souřadnice) Pro každý bod roviny A =[a, b] b existujeprávějednočíslo ϕ 0,π)takové,žesinϕ= acosϕ= a a +b a +b. Toudáváúhel,kterýsvírápolopřímka OAskladnoupoloosou x.každýbodjetedy jednoznačněurčentakovýmtoúhlem ϕavzdálenostíodpočátku a +b.těmto dvěma číslům říkáme polární souřadnice bodu A. Nechť i = 1.Pak z= a+binazvemekomplexnímčíslem.bod[a,b]mápolární souřadnice[r,ϕ].pak r= a +b nazývámevelikostkomplexníhočísla zaϕjeho argument.platí z= r(cosϕ+i sinϕ). Tvrzení. Nechť z 1 = r 1 (cosϕ 1 + i sinϕ 1 )az = r (cosϕ + i sinϕ )jsou komplexní čísla. Pak ( z 1 z = r 1 r cos(ϕ1 +ϕ )+i sin(ϕ 1 +ϕ ) ), z 1 = r 1( cos(ϕ1 ϕ )+i sin(ϕ 1 ϕ ) ). z r Věta.(Moivreovavěta) Prokaždé n Zaϕ 0,π)platí (cosϕ+i sinϕ) n =cosnϕ+i sinnϕ. Tvrzení. Platí ( ) ( ) ( n n n sinnα= cos n 1 αsinα cos n 3 αsin 3 α ( ) ( ) ( n n n cosnα= cos n αsinα cos n αsin α+ 0 4 ) cos n 5 αsin 5 α+, ) cos n 4 αsin 4 α+. Na přednášce se pokusím nastínit, proč vlastně ani poslední zavedení není nejšťastnější. Proto vám ještě poskytnu pohled pod vysokoškolskou pokličku. Třetí definice, ta nejlepší Věta. Existujeprávějednadvojicefunkcí f:r R, g:r Rsplňující: (i) fje lichá, gje sudá, (ii) provšechna x,y Rplatí f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)ag(x+y)= g(x)g(y) f(x)f(y), (iii) existujekladnéreálnéčíslo πtakové,že f jerostoucínaintervalu 0, π, f( π )=0af(0)=0, f(x) (iv) lim x 0 x =1. Definice. Funkci f z předchozí věty nazvu sinus a funkci g kosinus. Tangens a kotangens nadefinuji stejně jako předtím.
6 GONIOMETRIE Tvrzení. Předcházející větu splňuje dvojice funkcí sinx=x x3 3! + x5 5! = n=0 cosx=1 x! + x4 4! = n=0 ( 1) n x n+1, (n+1)! ( 1) n x n. (n)! Následují příklady silně subjektivně srovnané podle obtížnosti. Příkladyanebto,pročjsmetu Lehké Úloha1. Spočtěte (i) sin π 1,cos π 1 atg π 1, (ii) cos 4 π 4 sin4 π 4, (iii) cos36 cos7, (iv) sin10 sin50 sin70. Úloha. Nechť xjereálnéčíslotakové,že 1 cosx tgx=.spočtěte 1 cosx +tgx. Úloha 3. V oboru reálných čísel řešte soustavu sinx+cosy=sin(x+y), siny+cosx=cos(x+y). Úloha4. Dokažte (1 cotg3 )(1 cotg )=. Úloha5. Naintervalu(0, π )řešterovnici Úloha6. Zjednodušte sinx + cosx =4. sin 4 x+4cos x cos 4 x+4sin x.
7 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Úloha 7. V oboru reálných čísel řešte rovnici 1+sin x+π 5 sin x π 11 =0. Úloha 8. V oboru reálných čísel řešte soustavu nerovnic (MO 55-A-s-3) sinx+cosy, siny+cosz, sinz+cosx. Úloha9. Najdětetaková x,y R,abyrovnice ( π ) ( π ) sina=xsin +a +ysin 6 +a (MO 50-A-I-4) byla splněna pro všechna a R. (MKS 9-6-6) Úloha10. Naintervalu(0, π )řešterovnici sinx+cosy=sin(xy). Úloha11. Určeteobsahmnožinydanépodmínkami x +y 100asin(x+y) 0. Úloha 1. Pro všechna x reálná dokažte 3(sin 4 x+cos 4 x) (sin 6 x+cos 6 x)=1. Úloha 13. Pro všechna přípustná x dokažte Úloha14. Dokažte Úloha 15. Pro přípustná x dokažte tg3x tgx tgx=tg3xtgxtgx. (4cos 9 3)(4cos 7 3)=tg9. tg3x ( π ) ( π ) tgx =tg 3 x tg 3 +x.
8 GONIOMETRIE Na substituci Úloha16. Nechť x 0 =003ax n+1 = 1+xn 1 x n pro n 1.Spočtěte x 004. Úloha 17. Dokažte, že mezi každými pěti různými reálnými čísly lze najít dvě(a a b)taková,že ab+1 > a b. Úloha 18. Vyřešte v reálných číslech soustavu y= 4x 1+4x, z= 4y 1+4y, x= 4z 1+4z. (MKS 7-1-7) Úloha19. Dokažte,žemezi101reálnýmičíslyexistujídvěčísla u, v,proněžplatí 100 u v 1 uv (1+u )(1+v ). (MO 61-A-III-3) Úloha 0. Mějme čtyři reálná čísla větší než jedna. Dokažte, že vždy umíme vybrat dvěznich(xay)takové,ževýraz (x 1)(y 1)+1 xy nabýváhodnotyalespoň 3. (MKS7-8-5b) Těžší Úloha1. Označme f(x)=sinx+sinx+ +sin1000x.dokažte,žesoučet kořenůtétofunkcenaintervalu 0, π je001π. (MKS1-3-4) Úloha. Najděte všechna řešení rovnice sin x+sinxsin4x+ +sinnxsinn x=1. (MKS 4-1-4)
9 MICHAEL MAJKL BÍLÝ Úloha 3. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic sin x+cos y=tg z, sin y+cos z=tg x, sin z+cos x=tg y. Úloha 4. V oboru reálných čísel řešte soustavu sinxcos(x+y)+siny=1, sinycos(x+y)+sinx=1. Úloha 5. Určete vnitřní úhly v trojúhelníku α, β, γ, pokud splňují sinβsin(α+β) cosα=1, sinγsin(γ+β) cosβ=0. Úloha 6. V oboru reálných čísel řešte rovnici (sint+cost)=tg 3 t+cotg 3 t. Úloha 7. V oboru reálných čísel řešte soustavu sin x+cos y= y, sin y+cos x=x. (MO 6-A-I-6) (MO 58-A-I-1) (MO 58-A-II-3) (MO 55-A-I-1) (MO 55-A-II-4) Úloha8. Dokažte,žeprolibovolnáreálnáčísla α,β 0, π )platínerovnost 1 cosα + 1 cosβ tgα+tgβ. Úloha 9. Předpokládejme, že reálná čísla a, b splňují sina+sinb=, 6 cosa+cosb=. Spočtěte sin(a + b). Úloha30. Spočtěte kde a= π cosa cosa cos999a, (MO 51-A-II-1)
10 GONIOMETRIE Pár macků Úloha31. Spočtěte (1+tg1 )(1+tg ) (1+tg45 ). Úloha3. Všakužvíte,costím (AMC1P 00) tg x+cotg y=1, tg y+cotg z=1, tg z+cotg x=1. Úloha 33. Najděte nejmenší hodnotu výrazu sinx+cosx+tgx+cotgx+ 1 sinx + 1 cosx pro x R. Úloha34. Předpokládejme,žereálnáčísla a,x,y,z Rsplňují (MO 55-A-III-6) (Putnam003) Dokažte, že pak platí cosx+cosy+cosz cos(x+y+z) = sinx+siny+sinz sin(x+y+z) = a. cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)=a. Ogoniometrickýchfunkcíchbysedalanapsatještěspoustavěcí užjenproto,že souvisí s trigonometrii, které jsem se snažil co možná nejvíce vyhnout. Trigonometrie sepakdávztáhnoutnačástgeometrie,atoužjeopravduvelkétéma.každopádně byseslušeloříci,žejsemvynechaltémata Opohybunakouli a Skalárnísoučin vektorů,kterésimůžečtenářdoplnitzeskvěléknihy[1],zekteréjsemčerpal. Zdroje [1] Titu Andreescu, Zuming Feng, 103 Trigonometry Problems [] Archiv Matematického korespondenčního semináře [3] Stránky české Matematické olympiády
Goniometrie a trigonometrie
Goniometrie a trigonometrie Vzorce pro goniometrické funkce Nyní si řekneme něco o velmi důležitých vlastnostech a odvodíme si také některé velmi důležité vzorce pro výpočty s goniometrickými funkcemi.
VíceZadání. Goniometrie a trigonometrie
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
Více15. Goniometrické funkce
@157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou
VíceGoniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
Více4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:
VíceGONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.
/ 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,
VíceVariace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory
Variace 1 Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory 1. Goniometrie a trigonometrie 2. Orientovaný úhel 2 3 4 3. Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1. 1617 2. 1611 3. 1622 4. 1614 5.
Víceβ 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:
GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového
VíceGONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
Vícec jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.
Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceIvan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006
Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických
VíceRepetitorium z matematiky
Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceRadián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.
Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře
VíceSMART Notebook verze Aug
SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 8.9.2012 Pro ročník: 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova: funkce,
VíceDefinice funkce tangens na jednotkové kružnici :
Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia
- - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce
VíceFunkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá
4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
Vícesin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =
/7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav
VíceFunkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.
4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY
Gymnázium F. X. Šaldy PŘEDMĚTOVÁ KOMISE MATEMATIKY ELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY Učební text pro druhý ročník a sextu gymnázia a pro matematický seminář v těchto třídách Honsoft Liberec
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceM - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceÚloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.
Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 016 PAVLA HOLUBÍKOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Goniometrické
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceFunkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a
4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá
VíceJosef Vojáček. Součtové vzorce pro goniometrické funkce a jejich aplikace. Katedra didaktiky matematiky
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Josef Vojáček Součtové vzorce pro goniometrické funkce a jejich aplikace Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: Mgr. Zdeněk Halas, DiS.,
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ..07/.5.00/34.045 Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9 ŠVP Podnikání RVP 64-4-L/5 Podnikání
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
Více( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
VíceM - Goniometrie a trigonometrie
M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven
VíceImplicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?
Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě
VíceDIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
VíceTéma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie)
Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie) Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Kartézské souřadnicové soustavy Pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava v třírozměrném Euklidovském
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceINTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
Vícec) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice
Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceSlajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Vícenázvy. Všechny uvedené důkazy jsou původní, často však pro svoji jednoduchost jsou jinde uvedeny ve velmi podobném znění.
Kosinová věta pro čtyřúhelník Mgr. Barbora Št astná Přírodovědecká fakulta Masarykovy University e-mail: stastna@mail.muni.cz Abstrakt Při řešení mnoha úloh v euklidovské geometrii se využívá velmi dobře
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více