PŘEDPODMÍNĚNÍ ALGORITMU SLEDOVÁNÍ CESTY PRO STOKESOVO PROUDĚNÍ SE SKLUZOVOU PODMÍNKOU
|
|
- Roman Jan Kašpar
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PŘEDPODMÍNĚNÍ ALGORITMU SLEDOVÁNÍ CESTY PRO STOKESOVO PROUDĚNÍ SE SKLUZOVOU PODMÍNKOU Marta JAROŠOVÁ 1, Radek KUČERA 2, Václav ŠÁTEK 1 1 VŠB Technická univerzita Ostrava, IT4Innovations, 2 VŠB Technická univerzita Ostrava 1 ÚVOD Článek pojednává o úloze Stokesova proudění se skluzovou okrajovou podmínkou, která na rozdíl od klasického Navierova zákona [1] umožňuje prokluz tekutiny podél stěně pouze v případě, kdy smykové napětí dosáhne určité dané meze. Matematický model vede na variační nerovnost druhého druhu. Uvažovaná skluzová podmínka má řadu praktických aplikací, jako je modelování průtoků krve, modelování tvářecích procesů, modelování toků polymerů nebo modelování úloh hydrodynamiky [2, 3]. Při řešení úlohy používáme smíšenou metodu konečných prvků s konečně-prvkovou dvojicí P1-bubble/P1 [4]. Matice tuhosti jsou generovány vektorizovaným kódem [5]. Dále používáme TFETI metodou rozložení oblasti [6] umožňující výpočty paralelizovat. Duální algebraická úloha, která vznikne po eliminaci rychlostních i tlakových neznámých, vede na minimalizaci ryze konvexní kvadratické funkce obsahující jako proměnné tři Lagrangeovy multiplikátory. Tyto multiplikátory reprezentují podmínku lepení (včetně Dirichletovy okrajové podmínky), podmínku nepropustnosti stěny a skluzovou podmínku. Třetí z multiplikátorů podléhá jednoduchým oboustranným omezením. Vzhledem k použití TFETI metody musí všechny multiplikátory splňovat také lineární rovnostní vazbu. Řešení duální úlohy je počítáno pomocí metody sledování cesty, což je varianta algoritmu vnitřního bodu [7] upravená pro jednoduchá oboustranná omezení a omezení ve tvaru rovnosti [8]. Slibné výsledky numerických experimentů pro variantu bez dekompozice oblasti byly prezentovány v [9]. Adaptace algoritmu pro TFETI metodu je netriviální. Základem výpočtu je použití tlumené Newtonovy metody, jejíž iterace leží v okolí centrálního cesty směřující k řešení. Vnitřními úlohami jsou soustavy lineárních rovnic s blokovou strukturou, které redukujeme na Schurův doplněk. Redukované soustavy pak řešíme metodou předpodmíněných projektovaných sdružených gradientů (PPCGM). Tato metoda generuje iterace v podprostoru určeném jádrem matice rovnostních vazeb. Vhodným předpodmiňovačem eliminuje špatné podmínění redukované soustavy, které je pro metodu vnitřního bodu typické, jsou-li iterace dostatečně blízko u řešení. Pro předpomínění používáme šikmý projektor. Numerické experimenty jsou počítány na rozložených úlohách převzatých z [9]. První výsledky počítané TFETI metodou pomocí algoritmu aktivních množin a základní popis zjednodušené verze algoritmu sledování cesty pro TFETI
2 metodu jsou uvedeny v práci [1]. Hlavním cílem tohoto článku je provedení experimentálního vyhodnocení kvality různých variant předpodminění [8]. 2 FORMULACE ÚLOHY Nechť Ω je omezená oblast v R 2 s dostatečně hladkou hranicí Ω rozloženou na tři neprázdné disjunktní části: Ω = γ D γ N γ C. Uvažujme model viskózní nestlačitelné Newtonovské kapaliny modelované Stokesovým systémem s Dirichletovou a Neumannovou okrajovou podmínkou na částech hranice γ D, respektive γ N, a s okrajovou podmínkou nepropustnosti stěny a skluzovou podmínkou Trescova typu na γ C : η u + p = f v Ω, u = v Ω, u = u D na γ D, σ = σ N na γ N, σ t (x) < g(x) u t (x) = x γ C, σ t (x) = g(x) κ(x) : σ t (x) = κ(x)u t (x) x γ C, kde σ = η u/ n pn. Zde u = (u 1, u 2 ) je rychlost proudění, p je tlak, f = (f 1, f 2 ) reprezentují síly působící na kapalinu, η > je dynamická viskozita a u D, σ N jsou zadané Dirichletovy a Neumannovy okrajové podmínky. Pro jednotkový vektor vnější normály n = (n 1, n 2 ) k Ω a jednotkový tečný vektor t = ( n 2, n 1 ) definujeme normálovou a tečnou složka u podél Ω jako u n = u n a u t = u t. Smykové napětí podél Ω je definováno předpisem σ t = σ t a g je daná funkce na γ C představující mez skluzu. Dále rozložme Ω na s nepřekrývajících se podoblastí Ω i tak, že Ω = s i=1 Ω i. Duální algebraická úloha má tento tvar: Najdi λ Λ tak, že q(λ) q(µ) µ Λ, (2) kde q : Λ R, q(µ) = 1 2 µt Fµ µ T d, Λ = {µ = (µ T e, µ T n, µ T t ) T : µ t g, Gµ = e}, F = CM + C T, d = CM + f ū D, G = R T C T, e = R T f, a ( ) ( ) A B T B e u D f u M =, f =, C = N, ū D =. B E c T Některé z uvedených objektů mají blokovou strukturu v důsledku použití TFETI metody, kterou lze využít pro paralelní implementaci. Matice tuhosti pro Laplacův operátor je A = diag(a 1,..., A s ) se symetrickými, pozitivně semidefinitními bloky s defektem dvě, f u = (f T u1,..., f T us) T reprezentují uzlové síly, matice tuhosti pro operátor divergence je B = diag(b 1,..., B s ) s bloky s plnou řádkovou hodností. Matice a vektor vznikající eliminací bubble složek jsou E = diag(e 1,..., E s ) se symetrickými, pozitivně semidefinitními bloky a c = (c T 1,..., c T s ) T. Matice B e zajišťuje spojitost řešení a Dirichletovu okrajovou podmínku. Dirichletova data jsou obsažena ve vektoru u D. i-tý řádek N, T je (1)
3 definován normálovým vektorem n(x i ) a tečným vektorem t(x i ), kde x i je uzel ležící na γ C \ γ D. Případné závislé řádky jsou eliminovány, takže matice C má plnou řádkovou hodnost. Vektor g je určen hodnotami meze skluzu uzlech x i γ C \ γ D (vznikající z numerické integrace g). Bázi nulového prostoru matice M lze sestavit takto: ( ) ( ) 1 R A R Ai =, R A = diag(r A1,..., R As ), R =, 1 kde 1 je vektor samých jedniček. Po výpočtu λ z (2) dopočítáme rychlostní a tlakovou složku řešení pomocí w = M + (f C T λ) + Rα, kde α je vedlejší produkt vzniklý při řešení úlohy (2) a w = (u T 1, p T 1,..., u T s, p T s ) T. Akce zobecněné inverze M + se počítá metodou z [11]. 3 ALGORITMUS SLEDOVÁNÍ CESTY Popis algoritmu začneme formulací úlohy která je ekvivalentní s Karush-Kuhn- Tuckerovými podmínkami optimality k (2) [8]: kde H(v) =, ν, z, (3) Fλ d + G T µ + Gλ e H(v) = ( ) λ t g + z λ t g NZ1 ( ν 1 + ν 2 pro v = (λ T, µ T, ν T, z T ) T, ν = (ν T 1, ν T 2 ) T, N = diag(ν), Z = diag(z) a 1 je vektor samých jedniček. Úloha (3) je řešena pomocí newtonovských iterací, takže přitom potřebujeme regulární Jacobiho ( matici ) J = J(v) k H. Jedná se o matici lineárního soustavy (5), kde J 13 = J T I I 31 =. Jelikož z je vždy kladné, J(v) je regulární pro každé ν. Algoritmus sledování cesty využívá tlumící proceduru, která udržuje Newtonovy iterace blízko centrální cesty směřující k řešení úlohy, což umožňuje vytvářet dlouhé kroky [8]. Výpočetní efektivita závisí také na řešení vnitřních lineárních soustav. 4 PŘEDPODMÍNĚNÍ VNITŘNÍCH LINEÁRNÍCH SOUSTAV Vnitřní lineární soustavy mají tvar: F G T J 13 x r 1 G µ J 31 I ν = r 2 r 3, (5) Z N z r 4 ) (4)
4 kde r 1, r 2 =, r 3, r 4 jsou složky vektoru pravé strany. Při řešení (5) používáme redukci na Schurův doplněk. Ze třetí a čtvrté blokové rovnice v (5) dostaneme z = r 3 J 31 x a ν = Z 1 (r 4 Nr 3 ) + Z 1 NJ 31 x. Redukovaný systém pro neznámé x a µ má tvar ( ) ( ) ( ) F G T G x µ = r 1, (6) kde F = F+D, D = diag(z 1 1 N 1 +Z 1 2 N 2, ) je diagonální s N i = diag(ν i ), Z i = diag(z i ), i = 1, 2, z = (z T 1, z T 2 ) T, a r 1 = r 1 + J 13 Z 1 (Nr 3 r 4 ). Matice F a D jsou symetrické, pozitivně semidefinitní, ale mohou být singulární. Druhá rovnice v (6) dává x Ker G. Zaveďme ortogonální projektor na Ker G definovaný předpisem P = I G T (GG T ) 1 G. Přenásobením první rovnice v (6) P, získáme projektovanou rovnici P F x = P r 1, x Ker G. (7) Z invertovatelnosti P F na Ker G [8] vyplývá, že rovnice (7) má jediné řešení, které počítáme projektovanou metodou sdružených gradientů. Neznámou µ z (6) vypočítáme pomocí µ = (GG T ) 1 G( r 1 F x). Diagonální prvky matice D odpovídající složkám vektoru z, které jsou pro řešení úlohy (3) splněny jako rovnosti, rostou nade všechny meze. Rovnice (7) proto vyžaduje efektivní předpodmínění, které provedeme pomocí předpodmiňovače P D, kde D = D F + D a D F je vhodná symetrická pozitivně definitní matice. Předpodmíněnou variantou (7) je projektovaná rovnice [P D] 1 P F x = [P D] 1 P r 1, x Ker G, (8) kde [P D] 1 označuje inverzi k P D na Ker G. Tuto inverzi můžeme počítat podle [P D] 1 = P D 1 D 1, kde P D 1 = I D 1 G T (G D 1 G T ) 1 G je šikmý projektor na Ker G. Rovnice (8) může být řešena algoritmem PPCGM. Rychlost konvergence je určena spektrem opearátoru [P D] 1 P F na Ker G. Nechť f min, f max je nejmenší, respektive největší vlastní číslo F na Ker G a nechť d min, d max je nejmenší, respektive největší vlastní číslo D F na Ker G. Platí následující tvrzení [8]. Věta 4.1 Vlastní čísla λ operátoru [P D] 1 P F na Ker G splňují: (i) jestliže f min < d max a d min < f max, pak λ [f min d 1 max, f max d 1 min]; (ii) jestliže d max f min, pak λ [1, f max d 1 min]; (iii) jestliže f max d min, pak λ [f min d 1 max, 1]. Jako důsledek dostáváme odhad pro spektrální číslo podmíněnosti κ.
5 Důsledek 4.1 Věta 4.1 implikuje: (i) jestliže f min < d max a d min < f max, pak κ([p D] 1 P F) κ(f)κ(d F ); (ii) jestliže d max f min, pak κ([p D] 1 P F) f max /d min ; (iii) jestliže f max d min, pak κ([p D] 1 P F) d max /f min. Efektivita předpodmínění bude testována experimentálně. 5 NUMERICKÉ EXPERIMENTY Nechť Ω = (, 1) (, 1), γ D = (, 1) {1}, γ Nleft = {} (, 1), γ Nright = {1} (, 1), γ N = γ Nleft γ Nright, a γ C = {(x,.8(x x 2 )) : x (, 1)}. Vstupní data úlohy (1) jsou definována takto: f = ν u exp + p exp, ν = 1, u D =, σ N = σ exp γn a g = 1, kde u exp (x, y) = ( cos(2πx) sin(2πy) + sin(2πy), sin(2πx) cos(2πy) sin(2πx)) a p exp (x, y) = 2π(cos(2πy) cos(2πx)). Poznamenejme, že u exp a p exp neřeší (1). Konečně-prvková síť, rychlostní a tlakové pole jsou znázorněny na obrázku 1. Na γ C předepisujeme různé hodnoty g, abychom ilustrovali třecí efekt, viz obrázek 2. Všechny výpočty jsou počítány s ukončovací přesností tol = 1 5 pro algoritmus sledování cesty. Zdrojové kódy jsou implementovány v Matlabu 213b. Výpočty byly provedeny na superpočítači ANSELM, IT4I VŠB-TU Ostrava. Obr. 1 g = 1: sít (vlevo), rychlostní pole (uprostřed), isobary (vpravo).5.4 g = σ t 1 8 g 4 3 g σ t σ t g 8 1 g 3 4 g Obr. 2 g =.5 (vlevo), g = 1 (uprostřed), g = 4 (vpravo)
6 V tabulkách uvedených níže ukazujeme výpočetní nároky vyjádřené počtem maticových násobení maticí F pro různé počty subdomén (s). Primal značí primární neznámé (3n, kde n je počet konečně-prvkových uzlů přes všechny subdomény) a dual duální neznámé (3n e + 2n d + 2n c, kde n e je počet lepících uzlů, n d je počet uzlů s předepsanou Dirichletovou okrajovou podmínkou a n c je počet trojúhelníků na skluzové části hranice). Symboly h a H označují normu (průměr) konečně-prvkového dělení, respektive průměr subdomén. Příklad 1. Testujeme efektivitu předpodmínění s fixním poměrem H/h = 8. V tabulkách 1 4 používáme D F = I, D F = d I s d = (f max + f + min)/2 (kde f + min je nejmenší kladné vlastní číslo F), D F = abs(diag(f)) a D F = diag(f). Nejlepší výsledky byly dosaženy pro poslední případ. Tab. 1 D F = I s primal/dual g =.5 g = 1 g = 4 4(2 2) 972/ (4 4) 3888/ (6 6) 8748/ (8 8) 15552/ (1 1) 243/ Tab. 2 D F = d I, kde d = (f max + f + min )/2 s primal/dual g =.5 g = 1 g = 4 4(2 2) 972/ (4 4) 3888/ (6 6) 8748/ (8 8) 15552/ (1 1) 243/
7 Tab. 3 D F = abs(diag(f)) s primal/dual g =.5 g = 1 g = 4 4(2 2) 972/ (4 4) 3888/ (6 6) 8748/ (8 8) 15552/ (1 1) 243/ Tab. 4 D F = diag(f) s primal/dual g =.5 g = 1 g = 4 4(2 2) 972/ (4 4) 3888/ (6 6) 8748/ (8 8) 15552/ (1 1) 243/ Příklad 2. V tabulkách 5 8 testujeme efektivitu stejných předpodmiňovačů jako v Příkladě 1 pro pevný počet subdomén s = 16(4 4) a měnící se H/h. Závěr je analogický. Tab. 5 D F = I H/h primal/dual g =.5 g = 1 g = / / / / Tab. 6 D F = d I, kde d = (f max + f + min )/2 H/h primal/dual g =.5 g = 1 g = / / / /
8 Tab. 7 D F = abs(diag(f)) H/h primal/dual g =.5 g = 1 g = / / / / Tab. 8 D F = diag(f) H/h primal/dual g =.5 g = 1 g = / / / / Příklad 3. V tabulce 9 uvádíme informace o diagonálních vstupech D F = diag(f) = (d ii ). Symboly n, n + označují počet záporných, respektive kladných diagonálních prvků. Jejich extrémní hodnoty jsou označeny takto: d min = min{d ii }, d max = max{d ii }, d max = max{d ii : d ii } a d + min = min{d ii : d ii }. Tab. 9 D F = diag(f) s primal/dual n d min d max n + d + min d max 4(2 2) 972/ (4 4) 3888/ (6 6) 8748/ (8 8) 15552/ (1 1) 243/ ZÁVĚR Pro řešení úlohy Stokesova proudění se skluzovou okrajovou podmínkou jsme použili algoritmus sledování cesty. Vnitřní lineární soustavy jsou řešeny metodou projektovaných sdružených gradientů předpodmíněných šikmým projektorem. Experimentálně jsme ukázali, že vytvoření šikmého projektoru pomocí diagonály duálního Hessiánu vede k nejlepším výsledkům. Jedná se o poměrně překvapivé zjištění, protože diagonála obsahuje záporné prvky.
9 PODĚKOVÁNÍ Tato práce byla podpořena Ministerstvem školství mládeže a tělovýchovy z Národního programu udržitelnosti II (NPU II) v rámci projektu IT4Innovations excellence in science - LQ162 a z podpory Velkých infrastruktur pro výzkum, experimentální vývoj a inovace v rámci projektu IT4Innovations národní superpočítačové centrum - LM2157 a projektem GAČR S Grantové agentury České republiky. LITERATURA 1. C. L. M. H. Navier. Mémoire sur les lois du movement des fluides, Mém. de l Acad. R. Sci. Paris, 1823, 6: I. J. Rao, K. Rajagopal. The effect of the slip boundary condition on the flow of fluids in a channel, Acta Mechanica, Vol. 135(3), 1999, p M. Ayadi, L. Baffico, M. K. Gdoura, T. Sassi. Error estimates for Stokes problem with Tresca friction conditions, ESAIM: Math. Model. Numer. Anal., Vol. 48(5), 214, p D. Arnold, F. Brezzi, M. Fortin. A stable finite element for the stokes equations, Calcolo, 21(4), 1984, p J. Koko. Vectorized Matlab codes for the Stokes problem with P1-bubble/P1 finite element, 212, jkoko/codes/stokesp1bubblep1.pdf [online]. 6. Z. Dostál, D. Horák, R. Kučera. Total FETI - an easier implementable variant of the FETI method for numerical solution of elliptic PDE, Commun. Numer. Methods Eng., Vol. 22(12), 26, p R. Kučera, J. Machalová, H. Netuka, P. Ženčák. An interior point algorithm for the minimization arising from 3D contact problems with friction, Optim. Methods Softw., 6(28), 213, p R. Kučera, V. Šátek, M. Jarošová. Path-following interior point method for QPP with box and equality constraints: theory and applications, in preparation R. Kučera, J. Haslinger, V. Šátek, M. Jarošová. Efficient methods for solving the Stokes problem with slip boundary conditions, Math. Comput. Simul., 1. M. Jarošová, R. Kučera, V. Šátek. A new variant of the path-following algorithm for the parallel solving of the Stokes problem with friction, in P. Iványi, B. H. V. Topping (Editors), Proceedings of the Fourth International Conference on Parallel, Distributed, Grid and Cloud Computing for Engineering. Civil-Comp Press, Paper 11, Stirlingshire, UK, R. Kučera, T. Kozubek, A. Markopoulos. On large-scale generalized inverses in solving two-by-two block linear systems, Linear Algebra Appl., 438(7), 213, p
10 PŘEDPODMÍNĚNÍ ALGORITMU SLEDOVÁNÍ CESTY PRO STOKESOVO PROUDĚNÍ SE SKLUZOVOU PODMÍNKOU Abstrakt: Stokesova úloha se skluzovou podmínkou je řešena smíšenou metodou konečných prvků kombinovanou s TFETI metodou. Výpočet řešení se provádí metodou vnitřních bodů určenou k minimalizaci s oboustraným omezením a rovnostní vazbou. Předpodmíněná projektovaná metoda sdružených gradientů se používá pro řešení vnitřních lineárních soustav. Účinost předpodmiňovačů se testuje experimentálně. Cílem výzkumu je vyvinout efektivní řešiče pro modelování proudění po hydrofobních stěnách, což nachází uplatnění v inženýrských oblastech zahrnujících modelování v biomedicíně nebo při přenosu tekutin. Klíčová slova: Stokesova úloha; skluzová podmínka; metoda vnitřních bodů; TFETI metoda. PRECONDITIONING IN THE PATH-FOLLOWING ALGORITHM FOR THE STOKES FLOW WITH STICK-SLIP CONDITIONS Abstract: The Stokes problem with the stick-slip boundary condition is solved by the mixed finite element method combined with the TFETI method. An interior point method for the minimization subject to box and equality constraints is used. The preconditioned projected conjugate gradient method solves the inner linear systems. The preconditioners are tested experimentally. The aim of our research is to develop efficient solvers for modelling of a flow over hydrophobic walls that exhibits applications in areas including biomedical modelling or transport of fluid. Keywords: Stokes problem; stick-slip condition; interior point method; TFETI method. Datum odeslání článku do redakce: Datum přijetí článku redakcí: Ing. Marta JAROŠOVÁ, Ph.D. VŠB Technická univerzita Ostrava, IT4Innovations 17. listopadu 15/2172, 78 33, Ostrava, Česká republika tel.: , marta.jarosova@vsb.cz doc. RNDr. Radek KUČERA, Ph.D. VŠB Technická univerzita Ostrava Katedra matematiky a deskriptivní geometrie 17. listopadu 15/2172, 78 33, Ostrava, Česká republika tel.: , radek.kucera@vsb.cz
11 Ing. Václav ŠÁTEK, Ph.D. VŠB Technická univerzita Ostrava, IT4Innovations 17. listopadu 15/2172, 78 33, Ostrava, Česká republika tel.: ,
Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením
Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením J. Machalová, P. Ženčák, R. Kučera Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky PřF UP Olomouc Katedra matematiky a deskriptivní
Vícedomain decomposition
Srovnání některých metod domain decomposition Bedřich Sousedík obor: Matematika ve stavebním inženýrství školitel: Prof. RNDr. Ivo Marek, DrSc. školitel specialista: Professor Jan Mandel Katedra matematiky
VíceFaster Gradient Descent Methods
Faster Gradient Descent Methods Rychlejší gradientní spádové metody Ing. Lukáš Pospíšil, Ing. Martin Menšík Katedra aplikované matematiky, VŠB - Technická univerzita Ostrava 24.1.2012 Ing. Lukáš Pospíšil,
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceStabilizace Galerkin Least Squares pro
Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav
VíceAplikace metody BDDC
Aplikace metody BDDC v problémech pružnosti P. Burda, M. Čertíková, E. Neumanová, J. Šístek A. Damašek, J. Novotný FS ČVUT, ÚT AVČR 14.9.2006 / SAMO 06 (FS ČVUT, ÚT AVČR) 14.9.2006 / SAMO 06 1 / 46 Osnova
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceCFD simulace vícefázového proudění na nakloněné desce: porovnání smáčivosti různých kapalin. Martin Šourek
CFD simulace vícefázového proudění na nakloněné desce: porovnání smáčivosti různých kapalin Martin Šourek VŠCHT Praha Ústav matematiky Praha 13. Prosince 2016 Úvod Model Výsledky Závěr Úvod 13.12.2016
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceOPTIMALIZAČNÍ ALGORITMY V KONTAKTNÍCH ÚLOHÁCH
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství doc. RNDr. Radek Kučera, Ph.D. OPTIMALIZAČNÍ ALGORITMY V KONTAKTNÍCH ÚLOHÁCH OPTIMIZATION ALGORITHMS IN CONTACT PROBLEMS TEZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceProgram SNA
Pondělí 30. ledna 2017 10:00 12:00 registrace v budově Nové auly VŠB-TU u posluchárny NA4 (možnost odložení zavazadel u registrace, ubytování na kolejích VŠB-TU od 13:00) 12:30 13:30 oběd v bufetu Nové
VíceSingulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceIII. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceTéma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav
Téma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Volné kmitání konzervativních(netlumených) soustav je popsáno maticovou pohybovou
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceStatic Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems
Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceKarta předmětu prezenční studium
Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 714-0513 Garantující institut: Garant předmětu: Vybrané kapitoly z matematiky (VKM) Katedra matematiky a deskriptivní geometrie doc. RNDr.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více5. Singulární rozklad
5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2012 1 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
VíceNumerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu
Numerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu Vedoucí práce: doc. Ing. Petr Šidlof, Ph.D. Bc. Petra Tisovská 22. května 2018 Studentská 2 461 17 Liberec 2 petra.tisovska@tul.cz
VícePřevedení okrajové úlohy na sled
Převedení okrajové úlohy na sled úloh počátečních 1 Jiří Taufer Abstrakt Tento příspěvek je věnován řešení okrajových problémů pro soustavu okrajových obyčejných diferenciálních lineárních rovnic metodami,
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceÚvod do přesnosti MKP, generace sítí a metod řešení soustav lineárních rovnic
ENumerická analýza transportních procesů - NTP2 Přednáška č. 8 Úvod do přesnosti MKP, generace sítí a metod řešení soustav lineárních rovnic Úvod do přesnosti metody konečných prvků Úvod do přesnosti metody
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceModelování proudění ve vysokém rozlišení
Modelování proudění ve vysokém rozlišení Vladimír Fuka vedoucí práce: doc. RNDr. Josef Brechler, CSc. Cíle práce Vytvořit základ počítačového modelu proudění. Vyzkoušet některé nové postupy. Ověřit funkčnost
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMatematika, supercomputing a řesení reálných úloh
Matematika, supercomputing a řesení reálných úloh Název prezentace Zdeněk Dostál Národní superpočítačové Centrum IT4I a Katedra aplikované Matematiky FEI VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM 2014 Osnovamodelování 1.
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceFLUENT přednášky. Turbulentní proudění
FLUENT přednášky Turbulentní proudění Pavel Zácha zdroj: [Kozubková, 2008], [Fluent, 2011] Proudění skutečných kapalin - klasifikujeme 2 základní druhy proudění: - laminární - turbulentní - turbulentní
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více1 Přesnost metody konečných prvků
1 PŘESNOST METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1 1 Přesnost metody konečných prvků Metoda konečných prvků je založena na diskretizaci původní spojité konstrukce soustavou prvků (nebo obecněji na diskretizaci slabé
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceNUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ
NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ VĚTREM V REÁLNÉ ATMOSFÉŘE NUMERICAL MODELING WIND ACTION ON STRUCTURES IN REAL ATMOSPHERE Vladimíra Michalcová 1, Zdeněk Michalec 2, Lenka Lausová 3, Abstract
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více