Vlnková transformace a její aplikace ve zpracování obrazu

Transkript

1 Vlnková transformace a její aplikace ve zpracování obrazu Jan Švihlík svihlj1@fel.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra radioelektroniky

2 Obsah Proč vlnková transformace? Fourierova versus vlnková transformace Fourierova transformace (FT) Gaborova transformace (STFT) Vlnková transformace (WT) - Požadavky na vlnku a měřm ěřítkovou funkci - Porovnání transformací - Výpočet spojité vlnkové transformace (CWT) - Příklad použit ití CWT, CWT versus FT - Diskrétn tní vlnková transformace (DWT) - WT jako filtrace - Implementace 1D DWT - Implementace D DWT - Dekomposice D signálu

3 Obsah Motivace Obrazová data - Autokorelační funkce Prahování vlnkových koeficientů - Měkké - Tvrdé Model vlnkových koeficientů - Dyadická dekomposice snímk mků - Zobecnělý Laplacián, odhad parametrů modelu Bayesovské estimátory tory - Potlačen ení aditivního šumu v multimediáln lních snímc mcíchch Komprese pomocí diskrétn tní vlnkové transformace

4 Proč vlnková transformace? Fourierova transformace neumožň žňuje postihnout vývoj spektra v čase. Předchůdci dci vlnkové transformace, jako např.. STFT (Short Time Fourier Transform), určuj ují spektrum ve výřezu signálu, kde velikost výřezov ezového okna je konstantní => buď malé rozlišen ení v čase nebo v kmitočtu. tu. Vlnková transformace je schopna díky d smrštění nebo roztažen ení analysující vlnky postihovat rychlé či i pomalé změny v signálu a zároveň tyto změny lokalizovat v čase.

5 FT versus WT Fourierova versus vlnková transformace Fourierova transformace Vlnková transformace

6 Fourierova transformace (FT) Fourierova transformace Amplituda Fourierova transformace Amplituda Čas + jωt ( ω) = ( ) F f t e dt 0 Frek. FT převede p signál l z časové domény do spektra, které představuje míru m korelace s bázovými funkcemi. Pro stacionárn rní signály je FT účinným nástrojem. n Pro nestacionárn rní signály je dobré použít t jinou transformaci.

7 Gaborova transformace (STFT) Gaborova transformace (Dennis Gabor 1946) okno Amplituda Gaborova transformace Frekvence Čas Čas STFT (Short( Time Fourier Transform) ) analysuje vždy v jen úsek signálu, který je vyříznut pomocí okna. Máme M tedy podle šířky okna buď lepší rozlišen ení v čase nebo ve frekvenci. V případp padě Gaborovy transformace využíváme Gaussovské okno.

8 Vlnková transformace (WT) Vlnková transformace (Alfred Haar 1909) Amplituda Vlnková transformace Měř ěřítko Čas Čas + (, τ) = ( ) ψ (, τ, ) C s f t s t dt WT je schopna díky d smrštění nebo roztažen ení analysující vlnky postihovat rychlé či pomalé změny v signálu a zárovez roveň tyto změny lokalizovat v čase.

9 Požadavky na vlnku a měřm ěřítkovou fci Vlnka + ψ () t dt = 0 - Nulová středn ední hodnota, PP + + Ψ ψ ( ω) d ω () t dt ω < + < + - Vhodný frekvenční rozsah - Náleží do L (R) konečná energie Měřítková funkce + ϕ () t dt = 1 - Charakter DP

10 Porovnání transformací Transformace Fourierova Gaborova Vlnková Frekvence Frekvence Měř ěřítko Čas Čas Čas

11 ýpočet spojité vlnkové transformace. Vyberu dekomposiční vlnku a nastavím m ji na začátek analysovaného signálu.. Spočítám m vlnkový koeficient C, který udává míru podobnosti úseku ana- lysovaného signálu a vlnky.. Posunuji vlnku směrem doprava a opakuji bod. dokud se nedostanu na konec signálu.. Smrštím m (roztáhnu) vlnku a opakuji body 1. aža 3.. Zopakuji bod 1. aža 4. pro všechna v měřm ěřítka. + (, ) = ( ) ψ (,, ) C scale position f t scale position t dt

12 Příklad použit ití CWT Detekce singularit (coif5, scale: 1:0.:10) Spojitá vlnková transformace Scale Time Spojitá vlnková transformace Scale Time

13 CWT versus FT Detekce singularit Fourierova transformace Amplituda frekvence [khz] x Fourierova transformace Amplituda frekvence [khz] x 10 4

14 iskrétn tní vlnková transformace (DWT) Motivace Spojitá vlnková transformace CWT vypočten tená pro všechna v možná měřítka vlnky produkuje obrovské množstv ství dat. Je tedy nutné provést výpočet jen pro určitou množinu posic a měřm ěřítek vlnky => = Mallatův v algoritmus, kde změna měřm ěřítka a posuv probíhá na dvojkové (dyadické) ) mřížce. m Dyadická mřížka Vhodnou závislostz vislostí měřítka a posuvu vytvoříme neredundantní dekomposici. Touto závislostz vislostí vytvoříme z vlnky orthonormáln lní basi. Měř ěřítko 4s s s p p s =, τ = k p, k Z 1 t k k p t ψ p Ψ k, p(,, ) = p p Posuv

15 WT jako filtrace Vlnka se chová pásmová propust filtrující signál l kolem centráln lního kmitočtu. tu. V následujícím m měřm ěřítku je filtrována horní polovina pásma p dolnofrekvenční části signálu. Měřítková fce Vlnková spektra BW BW 4BW f 1 ω FT { f ( a t) } = F a a I pro nejmenší hodnoty měřm ěřítka zůstane z vždy v nepokryta část spektra od nuly do určit itého kmitočtu tu => = zavedeme tzv. měřm ěřítkovou funkci (Mallat).

16 Implementace 1D DWT Schéma 1D dyadické dekomposice Filtry Lo a Hi jsou tzv. kvadraturní zrcadlové filtry QMF, které mají komplementárn rní propustná pásma. Hi Detaily 1D signál Lo LL Lo Impulsová odezva DP filtru Hi Impulsová odezva HP filtru Podvzorkování

17 Implementace D DWT Schéma D dyadické dekomposice sloupce řádky řádky sloupce Hi HH1 Hi sloupce řádky Lo HL1 D signál sloupce řádky řádky sloupce Hi LH1 Lo sloupce řádky Lo LL1 Lo Impulsová odezva DP filtru Hi Impulsová odezva HP filtru Podvzorkování

18 Dekomposice D signálu Hi HH1 Hi Lo HL1 Hi LH1 Lo Lo LL1 LL1 - aproximace HL1 - vertikáln lní detaily LH1 - horizontáln lní detaily HH1 diagonáln lní detaily LL1 LH1 HL1 HH1

19 Implementace IDWT Schéma D IDWT řádky sloupce HH1 Hi r sloupce řádky řádky sloupce Σ Hi r HL1 Lo r řádky sloupce Σ Rekonstr. obraz LH1 Hi r sloupce řádky řádky sloupce Σ Lo r LL1 Lo r Lo r Rekonstrukční DP filtr Hi r Rekonstrukční HP filtr Převzorkování

20 Aplikace ve zpracování obrazu

21 Motivace Máme Chceme POTLAČEN ENÍ ŠUMU S využit itím m DWT chceme vytvořit účinný algoritmus pro potlačen ení aditivního šumu.

22 Obrazová data Multimediáln lní snímky Autokorelace Brada Cameraman Boat Woman

23 Obrazová data Astronomické snímky Autokorelace Light image Light image Flat field Dark frame

24 Prahování Obrazová vlnkových data koeficientů Měkké prahování važujeme signál x kontaminovaný šumem n - N(µ,σ ) y= x+ n. dhad x na základé měkkého prahování je dánd ( ) ( δ) sgn y y, y δ xˆ =, 0, y < δ Output wavelet coefficients Input wavelet coefficients de δ představuje hodnotu prahu. Tvrdé prahování y, y δ xˆ =, 0, y < δ Output wavelet coefficients Input wavelet coefficients

25 Model vlnkových koeficientů Dyadická dekomposice multimediáln lního snímku Hi HH1 Hi Lo HL1 Hi LH1 Lo Lo LL1 Histogram Jas Histogram Amplituda waveletových koef.

26 Model vlnkových koeficientů Dyadická dekomposice astronomického snímku Hi HH1 Hi Lo HL1 Hi LH1 Lo Lo LL Histogram Histogram Jas Amplituda waveletových koef.

27 Model vlnkových koeficientů Zobecnělý Laplacián x ( ) p x e Parametr s řídí šířku distribuce a parametr p řídí tvar distribuce. x s p Odhad parametrů - Metoda nejmenší ších čtverců N (, ;, ) ( ) ( ) x = i x i { s, p} R hist p s p hist x p x i= 1 R = 0 - Momentová metoda M = 3 s Γ p 1 Γ p M 4 = 4 5 s Γ p 1 Γ p

28 Model vlnkových koeficientů Histogramy snímk mků včetně modelované PDF model hist model hist Histogram Histogram Amplituda waveletových koef Amplituda waveletových koef. Cameraman Woman model hist model hist Histogram Histogram Amplituda waveletových koef Amplituda waveletových koef. 3ldn66.01.dat 3m8.01.dat

29 Bayesovské Estimátory tory BLSE estimátor tor važujeme signál x kontaminovaný šumem n - N(µ,σ ) odmíněná středn ední hodnota aposteriorní PDF p(x y) poskytne nejlepší LSE dhad x. + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pyx y x px x x dx pn y x px x x dx + xˆ ( y) = pxy ( x y) x dx= =, + + p y x p x dx p y x p x dx de p n představuje distribuci šumu and p x apriorní PDF signálu. MAP estimátor tor y= x+ n. ( ) ( ) yx x n x ( ) = ( ) ( ) xˆ y arg max p y x p x. x n x Výstupní koeficienty Výstupní koeficienty Vstupní koeficienty Vstupní koeficienty

30 Bayesovské Estimátory tory Potlačen ení aditivního šumu LL1 LL DWT DWT DWT HH1, HL1, LH1 BAYESIAN EST. IDWT Výsledky PARAMETERS EST. {s,p} BLSE MAP Soft THR Hard THR PSNR OUT [db] PSNR IN [db]

31 Literatura [1] < [] KOLZÖW, D. Wavelets. A Tutorial and a Bibliography [online]. Erlangen [cit ]. Dostupné na www: < osndokt-c/kolzow3.pdf> [3] VALENS, C. A Really Friendly Guide to Wavelets [online]. [cit ]. Dostupné na www: < download/arfgtw_60004.pdf> [4] ADAMS, N., et al. Denoising Using Wavelet [online]. [cit ]. Dostupné na www: Wavelet-Project/rep/DN.ps [5] MALLAT, S. G. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation. [Online]. Ecole Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées, [ ]. www:< polytechnique.fr/~mallat/papiers/mallattheory89. pdf> [6] ŠVIHLÍK, J., PÁTA, P.: Dark Frame Correction Via Bayesian Estimator in the Wavelet Domain. In 006 IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology [CD-ROM]. Madison: Omnipress, 006, s ISBN

32 Děkuji za pozornost?

33 GUI FOT_DYADEK Cvičen ení

34 GUI FOT Cvičen ení

35 Odhady parametrů Druhý a čtvrtý moment 3 p x s Γ + + s p m = x px ( x) dx x e dx = = 1 Γ p m 4 = 4 5 s Γ p 1 Γ p Druhý a čtvrtý výběrový moment M 1 N = N i = 1 X i M 4 1 N = N i = 1 X 4 i Laplacián kontaminovaný AWGN m Odhad parametrů 3 s Γ p = σ n + 1 Γ p M m s p ( ) =, m σ n s Γ s 4 p Γ p = 3 σ n Γ Γ p p M m s p ( ) 4 = 4,