Lineární a Celo íselné Programování
|
|
- Štefan Horák
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární a Celo íselné Programování text k p edná²kám Obsah 1 Lineární a celo íselné programování Obecná formulace Algebraický model P íklad e²ení úlohy lineárního programování Simplexová metoda Model v se²it EXCEL Triky p i práci v EXCELu Úlohy I Optimální produkce Optimální produkce s omezenými zdroji Optimální produkce s výb rem surovin Optimální krmná sm s Optimální ezání ty í Úlohy II Minimální tok náklad v síti P íklad P íklad P i azovací dopravní problém P i azovací dopravní problém (pomocí MCNF) Nejkrat²í cesta grafem (pomocí MCNF) P íklad
2 5 Celo íselné programování 27 6 Formulace úloh celo íselného programování Speciální typy omezení Omezení na výb r Aktivace omezení Výb r z mnoºiny omezení Implikované omezení Omezení na oblasti Aproximace kriteriální funkce Aproximace skokové funkce Aproximace po ástech lineární funkce Aproximace sou inu v kriteriu Realizace minimaxu v kriteriu e²ení úlohy celo íselného programování Metoda v tví a mezí Metoda se ných nadrovin Úlohy III Úloha o batohu Výb r z mnoºiny investic Úlohy IV Problém obchodního cestujícího (TSP) Úlohy V Problém pokrytí oblastí Kuch ka a recepty Obsazování leteckých tras posádkami P íklad P íklad Úlohy VI Problém rozmíst ní sklad Vy²et ení infek ního onemocn ní
3 12 Úlohy VII Problém po²tovních box Zobecn ní TSP Nejkrat²í cesta grafem Nejkrat²í cesta z daného uzlu Nejkrat²í cesta s více náv²t vami m st Nejkrat²í cesta klastry uzl
4 1 Lineární a celo íselné programování 1.1 Obecná formulace Standardní úloha zní: Nalezn te hodnoty vektoru x, které (i) maximalizují lineární kriterium c x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, (ii) spl ují vedlej²í podmínky Ax b, tedy a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n b i, pro i = 1, 2,, m (m podmínek pro n prom nných) a (iii) jsou nezáporné. Zápis standardní úlohy je následující c x max Ax b x 0 Poznámka Omezení vytvá í simplex na kterém se hledá optimum. Lineární kriterium tvo í nadrovinu v prostoru x, J. Extrém je ve vrcholu nebo na hranici nebo ute e do nekone na. 1.2 Algebraický model 1. Denice neznámých (rozhodovacích) veli in x V prvé ad musíme denovat veli iny x, které budeme optimalizovat. Ty mohou být spojité x 0 nap. po et ks vyráb ného produktu, nebo diskrétní x 0, cele nap. po et za ízení s rychlým ob erstvením nebo binární x {0, 1}, které nazýváme rozhodovací (0 ne, 1 ano) nap. ozna ení investic z ur ité mnoºiny, které budou realizovány. 2. Denice kritéria Kritérium v t²inou vyjad uje n co, co chceme maximalizovat (zisk) nebo minimalizovat (náklady, ztráty atd.). Je vyjád en jako funkce optimalizovaných veli in x, v t²inou ve form c x jako sou in vektor nebo matic ( j,j c ijx ij ). Prom nné c se asto nazývají ceny. 3. Denice omezujících podmínek Vyjad ují podmínky, za kterých má optimalizace probíhat. Nejb ºn j²í jsou (a) nezápornost nebo celo íselnost neznámých x 0, x {0, 1} (b) omezení ve tvaru nerovností Ax b, kde matice A má rozm ry po et omezení po et neznámých (c) a p ípadn dal²í, se kterými se postupn setkáme v p íkladech. 4
5 1.3 P íklad Ur ete hodnoty prom nné x = [x 1, x 2 ], která maximalizuje kritérium a vyhovuje podmínkám J = c 1 x 1 + c 2 x 2 3x 1 + 5x x 1 + x 2 8 x 2 2 x 1 0, x 2 0 Váhy v kriteriu volte následovn a) c = [5, 1], b) c = [1, 1], c) c = [1, 3], d) c = [ 1, 1]. a vysv tlete výsledky. e²ení Geometrická interpretace úlohy ne na následujícím obrázku x 2 [0, 8] criterion 3 criterion 3 direction of maximization criterion 2 criterion 1 [0, 3] [0, 2] [5/3, 2] [6/7, 25/7] admissible solutions [4, 0] [5, 0] x 1 K e²ení lze pouºít nap. Excel. 5
6 e²itel lze nalézt v menu Data (pokud tam není, je t eba ho nainstalovat File - Options - Add-ins dole Go a snad tam vleze :-) ) Nastavíme ho takto 6
7 Pozn. V nové verzi lze za²krtnout - prom nné x jsou nezáporné. 2 e²ení úlohy lineárního programování 2.1 Simplexová metoda Pro e²ení základní úlohy lze vyuºít simplexovou metodu, která prochází vrcholy simplexu omezení tak, aby stále nar stala hodnota kriteria. Postup je obsaºen v následujícím p íkladu Demonstrace simplexové metody Příklad x Zadání 3 2 z=2x(1)+3x(2) -> max x(1)+x(2)<=5 c z x(1)+2x(2)<= (-x(1)+x(2)<=-4) A Ax b nové další omezení pro demonstraci nerovnosti <= v omezení (viz další strana) (zatím bez nového omezení) Tabulka x1 x2 s1 s2 RHS pro nebazické=0 je krit.= /1 první omezení /2 druhé omezení x1 x2 s1 s2 RHS x1 x2 s1 s2 RHS výsledek nebazické jsou krit.=13 bazické mají hodnotu x1=2 z pravého sloupce x2=3 (krit. je bazické) pokračuje dále... 7
8 ... pokračování nejsou splněny základní podmínky ulohy ( záp. pravá strana omezení nebo obrácená nerovnost >= ) Když nejsou pravé stany kladné, tak se to nasobí -1 Když není <=, postupujeme následovně odečteme s_slack a přičteme x_art (artificial) - obě veličiny jsou nezáporné řešíme pro koeficienty v kriteriu rovny nule a jedna pro x_art - tj pro krit. = x_art --> max nulujeme koeficient pro x_art v kriteriu - řádek podmínky násobíme -1 a přičteme ke kriteriu normálně vyřešíme a dostaneme tabulku z fáze I. u tabulky vynecháme sloupec pro x_art řádek 0 pro kriterium nahradíme původním řádkem Původní tabulka + nové omez. Nové omezení (pro demonstraci postupu s nerovností >=) x1 x2 s1 s2 s3 xa RHS -2x1+x2<= Řešíme pro c=0 tj. min z=xa x1 x2 s1 s2 s3 xa RHS báze: posl. ř. odečíst od prvního x1 x2 s1 s2 s3 xa RHS / / /2 pokračuje... 8
9 ... pokračování u x1 je záporná cena -- posledním ř. a prvním prvkem nulujeme první sl. x1 x2 s1 s2 s3 xa RHS xx xx xx x1=2 x2=0 s1=3 s2=6 s3=0 xa=0 Fáze II záporná pravá strana nebo omezení >= x1 x2 s1 s2 s3 RHS x1 x2 s1 s2 s3 RHS /3 0 1/3 12 Konec 0 1 2/3 0 1/ /3 1-1/ /3 0-1/3 3 x1=3 x2=2 s1=0 s2=1 s3=0 z=12 Tedy: standardní podmínky jsou: maximalizace kriteria, nezáporné pravé strany omezení, nerovnosti typu, nezáporné prom nné x. sestavíme simplexovou tabulku standardní e²ení najdeme nejmen²í záporný koecient v ádku kriteria klí ový sloupec 9
10 pro kladné prvky v klí ovém sloupci najdeme nejmen²í podíl levé strany a prvku v klí ovém sloupci klí ový ádek na pr se íku kl. sl. a kl.. leºí klí ový prvek ten vyd líme kl. prvkem tím vynulujeme ostatní prvky v kl. sloupci to d láme, dokud je v ádku kriteria n jaký záporný prvek Výsledek: bázové veli iny mají hodnoty odpovídající pravým stranám; nebázové veli iny jsou nula. nestandardní e²ení záporné b a podmínka násobíme -1 záporné b a podmínka (násobíme -1) nebo kladné b a podmínka dále uvedený postup postup ode teme slack variable s a p i teme articial variable x A. e²íme celý problém pro kriterium z = x A max a do e²íme aº do konce ve výsledné tabulce nahradíme ádek kriteria p vodním a vynecháme sloupec s arti- cial variable vy e²íme a to je e²ení p vodní nestandardní úlohy. 2.2 Model v se²it EXCEL 1. Nejd íve vymezíme blok bun k pro neznámé x (p ípadn dal²í neznámé) 2. Dále zapí²eme v²echny zadané veli iny - v t²inou to jsou ceny c a koecienty lineárních omezení A a poºadované pravé strany b. 3. Spo teme v²echno, co je pot eba spo ítat (do e²itele se dávají jen odkazy na bu ky nebo bloky bun k). V t²inou to je: (a) kriterium c x = i c ix i (b) vypo tené pravé strany omezení Ax = a ij x j i 4. Zavoláme e²itele a zadáme v²echny odkazy (a) zvolíme Min nebo Max pro kriterium (b) zadáme blok nebo bloky pro neznáme (optimalizované) veli iny (c) p idáme omezení ve tvaru, nebo bin (volí se na stejném míst ) (d) v t²inou necháme zatrºenou volbu neomezené veli iny jsou nezáporné (nemusí se to jiº deklarovat v podmínkách) (e) a v okénku dole vybereme volbu Simplex LP - lineární programování. 10
11 2.3 Triky p i práci v EXCELu Blok bun k - taºení my²í nebo Shift ²ipla P emíst ní bloku (s Ctrl kopie) -uchopení za okraj (bu ky nebo bloku) a taºení. Vkopírování hodnoty do celého bloku - vytvo íme blok, zadáme hodnotu a Ctrl Enter. Maticové vzorce - provád jí operace (nej ast ji násobení) prvek po prvku. Zadávají se pomocí Ctrl Shift Enter. Výsledek m ºe být v jedné bu ce, nebo v bloku bun k. Blok je moºno zadat p edem (pak se objeví výsledky v celém bloku). Vzorec je moºno kopírovat se v²emi pravidly o posunu adres. Fixace adres (absolutní adresy) - zaxované adresy se p i kopírování neposouvají. Adresu xuje dolar p ed písmenem, íslem nebo obojím. Dolar p ed písmenem xuje adresu p i vodorovném pohybu, p ed íslem p i svislém pohybu a p ed obojím i ve vodorovném i svislém sm ru. Zadání dolar - automaticky zadáme dolary klávesou F4 ihned po vloºení adresy (jinak se musí adresa dát do bloku). Opakované stisknutí F4 provede: oba dolary, jen p ed íslem, jen p ed písmenem, ºádný dolar (atd.) Skalární sou in: =suma(a1:a10*b1:b10) + Ctrl Shift Enter ud lá maticový výpo et = i a ib i Sou in matice a vektoru - matice je B1:D10 a vektor A1:A10. Sou in je =suma(b1:d1*$a$1:$a$10) + Ctrl Shift Enter a rozkopírovat svisle. (Druhá adresa je absolutní.) 3 Úlohy I. 3.1 Optimální produkce Máme rozhodnout o mnoºství, ve kterém budou vyráb ny produkty A a B. K jejich výrob jsou zapot ebí dva drahé stroje jejichº vyuºití je omezeno. Úloha je zadána v tabulce Cílem je navrhnout maximální produkci. e²ení x 1 a x 2 - produkce výrobk A a B v tisících. Formulace úlohy je následující ƒas stroj pot ebný ƒas stroj Stroj na 1000 výrobk k vyuºití Produkt A Produkt B x 1 + x 2 max 4x 1 + 6x x 1 + 2x
12 x 1 0, x 2 0 Pokra ování p íkladu Uvaºujme nyní ceny c 1 = 10 pro A a c 2 = 20 pro B. Chceme docílit maximálního zisku. e²ení Nové kriterium bude Dal²í pokra ování 10x x 2 max Firma podepsala dohodu s dodavatelem, ºe minimální produkce výrobk bude 1 tis. Náklady na výrobu jednotlivých výrobk jsou n 1 = 5 a n 2 = 10. Cílem je minimalizovat výdaje. e²ení Nové kritérium a dal²í omezení jsou 5x x 2 min x 1 1, x Optimální produkce s omezenými zdroji Továrna s dv ma provozy produkuje výrobek A, který se prodává samostatn a nebo jako sou ást pro výrobek B. Oba výrobky pot ebují ur itou surovinu (S), jejíº zdroj je omezen. Specikace úlohy je dána v tabulce Surovina + Spot eba K dispozici + A pro B na jednotku produkce celkem Produkt A Produkt B S A 0 1 Cena produktu 5 10 Dále stanovíme podmínku, ºe minimální po et samostatných výrobk musí být 250 ks. Poºadujeme a) maximální produkci, b) maximální zisk. e²ení x 1 je po et kus A a x 2 pro B. Kriterium pro maximální produkci x 1 + x 2 max, 12
13 a pro maximální zisk Podmínky 5x x 2 max. 5x 1 + 2x x 1 x x 1 0, x 2 0 Program: produkce2vyrobky.xlsx 13
14 3.3 Optimální produkce s výb rem surovin Továrna produkuje dva výrobky B 1 a B 2. Na výrobu B 1 pot ebuje látku L 1, na B 2 látku L 2. Tyto látky je moºno získat ze surovin A 1, A 2, A 3 a A 4, které je t eba zakoupit. Kaºdá surovina dá jiné mnoºství látek. Specikace je v tabulce Výrobek Surovina látka Pot ebné mnoºství A 1 A 2 A 3 A 4 látky L 1 (pro B 1 ) L 2 (pro B 2 ) Cena za surovinu Chceme minimalizovat výdaje. e²ení x 1 x 4 jsou navrhovaná mnoºství zakoupených surovin. Platí 20x x 2 + 5x x 4 min 2x x 2 + 5x x x 1 + 5x 2 + x Program: produkcesesurovinou.xlsx 14
15 3.4 Optimální krmná sm s Pro výkrm jednoho kusu dobytka je zapot ebí 2.5 kg krmné sm si a 240 g protein na den. Pro krmení se pouºívá píce a kuku ice. Cena jednoho kg píce je 0.50 K a kuku ice 0.40 K. Dal²í specikace jsou v tabulce Krmivo krmná sm s/kg krmiva proteiny/kg krmiva cena K /kg Píce (x 1 kg) Kuku ice (x 2 kg) Pot ebné mnoºství Poºadujeme minimální výdaje. 15
16 e²ení x 1 zna í mnoºství píce, x 2 mnoºství kuku ice. Platí 0.5x x 2 min x x x x nebo = v omezení (nechceme zbytky). Program: KrmnaSmes.xlsx 3.5 Optimální ezání ty í Máme ty e dlouhé 7.4 m a chceme z nich na ezat kusy dlouhé 150, 210 a 290 cm. Jednotlivé délky pot ebujeme v mnoºství 1000 ks. Jak máme postupovat, kdyº chceme mít minimální odpad? e²ení Nejprve stanovíme tzv. ezné plány 16
17 Délka Plán ezání Odpad Ozna íme x 1 x 6 jsou mnoºství ezání podle jednotlivých plán. Úloha je: 10x x x x x 6 min x 1 + 2x 2 + x 4 + x 6 = x 2 + 2x 4 + x 5 + x 6 = x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 = Program: RezaniTyci.xlsx 4 Úlohy II. 4.1 Minimální tok náklad v síti Minimum Cost Network Flow Problem (MCNF) 17
18 Je dána sí (souvislý, orientovaný, acyklický graf s jedním vstupem a jedním výstupem) s m uzly a n hranami. Písmenem b i ozna íme zásobu v uzlu i, tj. výstupní tok - vstupní tok. Jestliºe je b i > 0 jedná se o zásobovací uzel (zdroj), pro b i < 0 jde o uzel s poºadavkem (cíl) a pro b i = 0 máme uzel pr jezdní. S kaºdou hranou je spojena dolní mez L ij a horní mez U ij toku touto hranou. Cílem je ur it velikosti tok x ij v jednotlivých hranách grafu tak, aby náklady na p epravu byly minimální, jestliºe jednotková cena transportu po hran ij je c ij. P edpokládáme, ºe platí i b i = 0 (vyrovnané zdroje a poºadavky). e²ení Pomocí LP c ij x ij min ij x kj x ik = b k, k j i x ij U ij, x ij L ij, 0 L ij U ij, i, j Poznámka c a x jsou tvercové matice kde ádky i sloupce jsou indexovány uzly. Prvky t chto matic odpovídají hranám grafu. V t²inou ne v²echny hrany existují. Neexistující hrany vyplníme nulami. Jako m nící se bu ky v Excelu zadáme jen existující hrany - nejlépe vytaºené mimo do vektoru. Pro kriterium i podmínky pr toku m ºeme pouºít cele matice (i prvky odpovídajícími neexistujícím hranám - jsou to nuly). Podmínky pr toku konstruujeme jakoby pro diagonálu matice x a d láme sum( ádek)-sum(sloupec), kde v ádcích xujeme (F4) písmenka a ve sloupcích ísla adres. Pak lze kopírovat. V²e je vid t v Excelu. P íklad 1 Máme následující graf (vlevo), který doplníme zp tnou hranou s nulovým ohodnocením (vpravo) zdroj cíl zdroj cíl
19 Uzel 1 je zdrojový se zásobou 150 jednotek toku, uzel 7 je cílový, tj. poºadující 150 jednotek toku. Ostatní uzly jsou p epravní. Ceny za p epravu jednotky toku jsou dány v tabulce (matici) , hrana (7, 1) je zp tná s cenou 0. Jednotlivé toky budou 0 x 12 x x 24 x 25 x x 34 x 35 x x x x 67 x kde nepouºitým hranám jsme p i adili 0. Stejn tak doplníme 0 do matice ohodnocení. Minimální kapacitu hran zadáme jako 0, maximální 80. Potom úloha má tvar: Kritérium 7 i=1 j=1 7 c ij x ij min Podmínky konstruujeme pro kaºdý uzel. Jdeme po diagonále - to je k, a se teme k-tý sloupec a ode teme k-tý ádek. To se rovná b k, k = 1, 2,, 7. Protoºe jsme doplnili 0, m ºeme d lat sou ty vºdy od 1 do 7., x ki i j x jk = b k coº se týká uzlu k a íká, ºe to co p iteklo minus to co odteklo je to, co z stalo (ve skladu). V Excelu: jsme na k-tém prvku diagonály matice x a d láme: sou et prvk v k-tém ádku minus sou et prvku v k-tém sloupci rovná se b k. Dal²í podmínky jsou x ij L, x ij U, p ípadn x ij 0, x ij U. Pozor Bude-li zadána p íli² malá maximální kapacita hran, bude problém ne e²itelný. Program: mincostflow1.xlsx 19
20 P íklad 2 Je dáno 9 uzl podle obrázku zdroj cíl zdroj zdroj umely uzel cíl zdroj zpetna hrana se ty mi zdroji a dv ma poºadavky. Silnými ²ipkami je vyzna en výsledek. Detaily zadání jsou v programu. 20
21 Poznámka Graf sám nemá jeden výstupní uzel. Aby se mohla zavést zp tná hrana, je t eba denovat pomocný uzel s b = 0 do n hoº vedou pomocné hrany s nulovým ohodnocením. Ten se pak propojí se vstupem 1 (protoºe ten vede dále do ostatních vstup ). Program: mincostflow2.xlsx 4.2 P i azovací dopravní problém Je dáno m zdrojových uzl, kaºdý s s i, i {1 m} = M jednotkami zboºí, a n cílových uzl, kaºdý s d j, j {1 n} = N jednotkami poºadavk. c ij, i M, j N je jednotková cena za p evoz zboºí po hran i, j a x ij je mnoºství zboºí p epravené po této hran. Chceme dosáhnout minima náklad za p evoz. Úloha c ij x ij min ij x ij = s i, i j x ij = d j, j i x ij 0, ij 21
22 Lze e²it p ímo pomocí LP. Program: assignmenprobl.xlsx 4.3 P i azovací dopravní problém (pomocí MCNF) Jedná se jiné e²ení úlohy dopravního problému. s i jsou zdroje, d i poºadavky. e²ení Lze e²it jako MCNF vhodnou úpravou grafu: 1. P i adíme b i = s i, i M a b m+j = d j, j N. 2. Vytvo íme pomocné uzly 0 a m + n + 1 s nulovými cenami, zdroji i poºadavky (tohle je v textu ale nechodí to: zdroji b 0 = i b i, i M a poºadavky b m+n+1 = j b j, j N). 3. Uzel 0 spojíme hranami s uzly 1 aº m a uzly m + 1 aº m + n spojíme s uzlem m + n + 1. Tyto hrany mají nulová ohodnocení. 22
23 4. Zavedeme zp tnou hranu (m + n + 1, 0) rovn º s nulovým ohodnocením. 5. Ignorujeme horní meze tok (horní meze m ºeme a nemusíme zadat). Na takto modikovaný graf aplikujeme MCNF. Modikovaný graf je na obrázku. b > 0 b < 0 1 m m + n + 1 i b i j b j m m + n Program: assignmenproblasmcnf.xlsx (velké - prohlédnout v Excelu) 4.4 Nejkrat²í cesta grafem (pomocí MCNF) Je dána ohodnocená sí, kde ohodnocení c ij interpretujeme jako délky jednotlivých hran (i, j). Úkol je najít nejkrat²í cestu ze zdrojového uzlu 1 do cílového uzlu m. e²ení Pomocí MCNF, kde uvaºujeme o p eprav jednotky toku z uzlu 1 do uzlu m. Poloºíme U ij = 1, ij a b i = 0, i. P íklad Uvaºujeme graf z obrázku 23
24 Hledáme nejkrat²í cestu z uzlu 1 do uzlu 7 (nebo z uzlu s b i = 1 do uzlu s b j = 1) a vyuºíváme k tomu metodu MCNF. Údaje a e²ení jsou v programu. Program: assignmenproblminpath.xlsx 24
25 25
26 26
27 5 Celo íselné programování Úloha IP je vlastn úloha LP, roz²í ená o celo íselné prom nné. Tedy c x min Ax 0 x R 0 x I I, x B {0, 1} kde x R je mnoºina reálných prom nných, x I jsou celo íselné prom nné a x B jsou celo íselné prom nné pouze s dv ma hodnotami 0 a 1. P íklad Chceme investovat $ Na²li jsme ty i investi ní p íleºitosti. Akce 1 vyºaduje investici ve vý²i $5000 a má o ekávaný výnos $8000; Akce 2 vyºaduje $7000 a má hodnotu $11000; Akce 3 vyºaduje $4000 má hodnotu $6000; Akce 4 poºaduje $3000 má hodnotu $4000. Do kterých akcí bychom m li vloºit své peníze tak, aby se dosáhlo maximálního zisku? e²ení Denujeme vektor prom nných x = [x 1, x 2, x 3, x 4 ], x i {0, 1}. Jednotlivé prom nné mají význam rozhodnutí: x i = 1 znamená akci i realizovat; x i = 0 nerealizovat. Úloha má tvar 8x x 2 + 6x 3 + 4x 4 max 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 3x 4 14 x binární e²ení je x 1 = 0, x 2 = x 3 = x 4 = 1 s kriteriem 21. Úloha v Excelu je následující 27
28 Poznámka P itom je ale z ejmé, ºe nejvýnosn j²í akce je akce 1. Pom ry výnos / investice je 1.6, 1.57, 1.5, 1.33 M li bychom tedy sázet p edev²ím na akci 1. Kdyº zru²íme podmínku na binární veli iny, dostaneme jako e²ení x 1 = 2.8 a ostatní nula s kriteriem e²ení pro x celo íselné (ale neomezené) je x 1 = 2, x 3 = 1, ostatní nula s kriteriem 22. Z uvedeného je patrné, ºe za e²ení IP není vhodné vzít zaokrouhlené e²ení LP. e²ení 2, 0, 0, 0 dá kriterium 16. Tento fakt, který je velmi významný, budeme demonstrovat na 2D p ípadu, který lze pozorovat gracky. Uvaºujme úlohu x 1 + 9x 2 max x x x 1 + 5x 2 25 kterou e²íme pro spojité x, zaokrouhlené x a celo íselné x. Výsledky jsou 28
29 Spojité: x = [4, 2.6] s kriteriem 27.4 Zaokrouhlené: x = [4, 2] s kriteriem 22 Celo íselné: x = [0, 3] s kriteriem 27 Odtud je z ejmé, ºe IP e²ení je daleko blíºe LP e²ení neº zaokrouhlené. Situace je na obrázku kde plné áry jsou hranice omezení, árkované áry ukazují vrstevnice kriteria které nar stá sm rem nahoru. Programy: IP_rounding.xlsx a IP_rounding.sce. Poznámka Krom uvedeného je moºno uvaºovat je²t dal²í podmínky: 1. Lze ud lat nejvý²e 2 investice xi 2 2. Jestliºe chceme realizovat akci 2, musíme rovn º realizovat akci 4 x 2 x Jestliºe budeme realizovat akci 1, potom akci realizovat 3 nelze x 1 + x 3 1 Takovými omezeními se budeme zabývat dále. 29
30 6 Formulace úloh celo íselného programování 6.1 Speciální typy omezení Pomocí celo íselných, zejména binárních, veli in je moºno modelovat daleko ²ir²í okruh omezení neº v klasickém LP. Omezení na výb r Pro binární x modelujeme: bude spln no alespo k, práv k, nejvý²e k xi k, xi = k, xi k kde x i = [1, 1,, 1] [x 1, x 2,, x n ]. Aktivace omezení Uvaºujme binární prom nnou y {0, 1} a podmínku a x b. Víme dále, ºe maximální hodnota levé strany a x této podmínky je B. Zkonstruujeme dal²í podmínku Tato podmínka íká a x By b. 30
31 je-li y = 1, pak p vodní podmínka je vºdy spln na (podmínka je vy azena) je-li y = 0, pak p vodní podmínka z stává v platnosti. Hodnota binární prom nné y tedy aktivuje nebo deaktivuje p vodní podmínku a x b. Výb r z mnoºiny omezení Uvaºujme dv podmínky a 1x b 1 a a 2x b 2 s maximálními hodnotami levých stran B 1 a B 2. Poºadujeme, aby alespo jedna podmínka byla vºdy platná. Modelujeme takto nebo zavedeme y 1 = y y 2 = 1 y a a 1x B 1 y 1 b 1 a 2x B 2 y 2 b 2 y 1 + y 2 1 a 1x B 1 y b 1 a 2x B 2 (1 y) b 2 31
32 Poznámka Podmínka y 1 + y 2 1 íká, ºe p ipou²tíme následující moºnosti: y 1 = 1 a y 2 = 0 nebo y 1 = 0 a y 2 = 1 nebo y 1 = 1 a y 2 = 1. Tedy alespo jedna podmínka je vºdy spln na. Stejn lze modelovat práv 1 nebo nejvý²e jedno. Jednodu²e lze roz²í it na k podmínek. Implikované omezení Máme dv omezení a 1x > b 1 a a 2x b 2. Chceme aby platilo: kdyº platí první omezení, pak platí i druhé (kdyº první neplatí, tak nic). Jde o implikaci. Pro tu platí a b a b a a b Odtud vidíme, ºe (a b) je stejné jako (a b), p i emº alternativu umíme - viz p edchozí odstavec. 32
33 Poznámka V implikaci a b je v²echno pravda, jen 1 0 je ²patné a nesmíme to p ipustit. Jestliºe modelujeme jako a b a chceme se vyhnout kombinaci 1, 0, tedy a = 1 a b = 0 nesmí nastat a = 0 a b = 0. Viz záv ry dále. (i) Modelujeme: a 1x b 1 Mz 1 a pro z = 0 se podmínka vyºaduje (pro z = 1 je vy azena). Opa ná podmínka, tedy ( a 1x b 1 ) (negace) bude a 1x b Mz 1 a op t, pro z 1 = 0 platí, pro z 1 = 1 je vy azena. (ii) Alternativa dvou podmínek a 1x > b 1 a a 2x b 2 se modeluje a 1x b 1 Mz 1 a 2x b 2 Mz 2 z 1 + z 2 1 (iii) Implikace ale je a b - první podmínka se bere opa ná. Bude tedy a 1x b 1 Mz 1 Program a 2x b 2 Mz 2 z 1 + z
34 Nebo je²t jednou 1 nebo (jednodu²eji) Implikaci 0 x 10 0 y 10 e²íme takto x 4 + 6z y 10 4z z {0, 1} Je-li x > 4 pak pak z první podmínky plyne, ºe z = 1 a tedy podmínka y 6 je aktivována. Pro x 4 m ºe být z 0 nebo 1 a tedy druhá podmínka m ºe a nemusí nastat. Program 1 Implikovaná podmínka (je²t jednou) (i) náhrada implikace A B je totéº jako A B A A B A B A B (ii) model alternativy Pro A : x l 1 a B : x l 2 bude x l 1 Mz 1 x l 2 + Mz 2 z 1 + z 2 1 protoºe: z = 0,0 - první platí a druhá platí; 0,1 nebo 1,0 jedna platí druhá neplatí; a vyhýbáme se moºnosti z =1,1 - neplatí ani jedna. Pozn.: V obou p ípadech platí, ºe z = 0 aktivuje podmínku a tedy z = 1 ji deaktivuje - d lá neplatnou. (iii) model implikace Jako (ii), ale první podmínku bereme negovanou, tedy odtud bude (x l 1 ) (x l 2 ) x l 1 + Mz 1 coº je snad kone n v souladu s programem. Program: Podm43_impl_omez_V.xlsx x l 2 + Mz 2 z 1 + z
35 Poznámka Místo 6 a -4 u prom nné z m ºeme zvolit libovolné (v absolutní hodnot ) v t²í ísla. Tato zvolená ísla jsou p esn na hranici tak, abychom dosáhli poºadovaného efektu. P íli² velká ísla se ale nedoporu ují, mohou zp sobit potíºe p i e²ení. Omezení na oblasti Nech omezení tvo í k r zných oblastí (disjunktních nebo i p ekrývajících se). Jednotlivé oblasti jsou popsány pomocí lineárních omezení první oblast a 1x b 1, a 2x b 2, a 3x b 3 druhá oblast a 4x b 4, a 5x b 5 Chceme zaru it, ºe optimální bod e²ení bude leºet alespo v jedné z oblastí. Modelujeme takto první oblast a 1x B 1 y 1 b 1, a 2x B 2 y 1 b 2, a 3x B 3 y 1 b 3 35
36 druhá oblast a 4x B 4 y 2 b 4, a 5x B 5 y 2 b 5 atd., a k y j 1 j=1 kde napravo v poslední podmínce je po et oblastí z výroku aspo v jedné oblasti a y j {0, 1}. Kaºdá rovnice má svoje B i (maximální hodnota levé strany) ale spole nou veli inu y j, j = 1, 2,, k, kde k je celkový po et oblastí. 6.2 Aproximace kriteriální funkce Aproximace skokové funkce V n kterých p ípadech pot ebujeme modelovat nelineární funkci (nap. skok v po átku). Nap íklad náklady na výrobu ur itého výrobku, pokud výrobu budeme realizovat, se sestává z po áte ní investice a dále z investice do kaºdého výrobku. Pokud se výroba nerealizuje, jsou v²echny náklady nula. Jde tedy o následující funkci { 0 pro x = 0 K + c x pro x 0. 36
37 Modelujeme ji takto Ky + c x min x By x 0 y {0, 1} Pro y = 0 dostáváme x = 0 a kriterium je také 0; pro y = 1 je x B a kriterium je K + c x. Tedy to, co jsme namodelovali je binárn lineární a kopíruje na²i formulaci úlohy (nelineární funkci náklad ). Aproximace po ástech lineární funkce M jme po ástech lineární funkce - nap. tu, co je na obrázku f(x) x První úse ka je na intervalu (0, 4) a má sklon 4, druhá na (4, 10) se sklonem 1 a t etí na (10, 15) se sklonem 3. Prom nnou x vyjád íme jako sou et t í len x = δ 1 + δ 2 + δ 3 tak, ºe platí 0 δ 1 4 délka prvního úseku 0 δ 2 6 délka druhého úseku 0 δ 3 5 délka t etího úseku 37
38 Funkci f (x) vyjád íme takto f (x) = 5δ 1 + δ 2 + 3δ 3. Musíme ale zajistit, aby se δ i zapínala postupn a aby niº²í δ i drºely svou maximální hodnotu. Tedy, aby p i pr chodu hodnot x od 0 do 15 bylo δ 1 δ 2 δ 3 x 4 x x (4, 10) 4 x 4 0 x > x 10 To zaru í následující podmínky s dv ma novými binárními prom nnými w 1 a w 2 4w 1 δ 1 4 Skute n, pro w 1 = w 2 = 0 dostaneme pro w 1 = 1 a w 2 = 0 je a nakonec pro w 1 = w 2 = 1 máme 6w 2 δ 2 6w 1 0 δ 3 5w 2 w 1, w 2 {0, 1} 0 δ 1 4, δ 2 = 0, δ 3 = 0 δ 1 = 4, 0 δ 2 6, δ 3 = 0 δ 1 = 4, δ 2 = 6, 0 δ 3 5. Poslední varianta w 1 = 0 a w 2 = 1 je nep ípustná a podmínka 6w 2 δ 2 6w ji vylu uje. Stejnou konstrukci lze provést i pro více interval, pomocí podmínek kde L j je délka j-tého segmentu. L j w j δ j L j w j 1, Poznámka Aproximaci nelineární funkce lze provést jejím nahrazením po ástech lineární funkcí a postupovat podle p edchozího. 38
39 Aproximace sou inu v kriteriu Máme x 1, x 3, x 3 - binární veli iny, y (0, u) spojitá nebo diskrétní veli ina. Kriterium: x 1 x 2 x 3 y. Zavedeme w = x 1 x 2 x 3 y a podmínky w 0 w ux j w ux j 0 w y w y 0 ( ) ( ) w u xi 3 + y u xi 3 + y w 0 39
40 Poznámka 1. Obecn m ºe být v sou inu k binárních prom nných. Potom poslední podmínka bude ( ) u xi k + y w 0 2. Pokud by n která binární prom nná byla umocn ná, lze mocninu vynechat, protoºe platí x k = x pro x {0, 1}. Analýza úlohy Uvaºujme nejd íve jen dv binární veli iny x 1 a x 2 a kriterium J = x 1 x 2. Odpovídající podmínky pro w = x 1 x 2, w {0, 2} jsou P 1 : 2w x 1 + x 2 Skute n : pro x 1 + x 2 = 0 je a tedy w ( 1, 0) a pro w {0, 1} je w = 0. Pro x 1 + x 2 = 1 je P 2 : w + 1 x 1 + x 2 2w 0 w 0 w w 1 2w 1 w 0.5 w w 0 40
41 odkud w (0, 0.5) a tedy w = 0 Pro x 1 + x 2 = 2 je a tedy w = 1. To p esn kopíruje sou in x 1 x 2. 2w 2 w 1 w w 1 Dále budeme uvaºovat sou in binární veli iny x {0, 1} a reálné veli iny y (0, u). Kriterium bude J = xy. Op t zavedeme w = xy a podmínky Pro x = 0 bude w ux w 0 w y w u (x 1) + y w 0, w 0, w y, w u + y kde první dv podmínky denují w = 0 a druhé dv jsou automatiky spln ny. Pro x = 1 bude w u, w 0, w y, w y kde t etí a tvrtá podmínka dává w = 1 a první dv jsou spln ny. Nebo Pro y binární bude w 0, w x, w y, w x + y 1 po prozkoumání zjistíme, ºe skute n je w = xy. Realizace minimaxu v kriteriu Máme k pracovních tým pracujících na r zných úkolech. Chceme navrhnout podmínky práce tak, aby práce v²ech tým byla skon ena co nejd íve, p i emº kaºdý tým musí ukon it v²echny své úkoly. Hledáme tedy minimum pro nejdel²í dobu pln ní úkol - coº je úloha minimaxu. Modelujeme takto: p 1 (x), p 2 (x),, p k (x) jsou doby trvání práce jednotlivých tým (v závislosti na optimalizované veli in x). Denujeme novou prom nnou q (trvání nejdel²í práce) a zavedeme podmínky p 1 q p 2 q p k q a jako kriterium vezmeme q min 41
42 Program pro 3 týmy a 5 úkol je 7 e²ení úlohy celo íselného programování 7.1 Metoda v tví a mezí Je to metoda pro e²ení celo íselného programování, zaloºená na opakovaném e²ení pomocí simplexové metody s postupným p idáváním omezení. Metoda konverguje v kone ném po tu krok. i kdyº doba konvergence m ºe být dlouhá. Poznámka Jestliºe úlohu e²íme tak, ºe jednou simplexovou tabulkou dostaneme e²ení a to zaokrouhlíme, nemusíme dostat optimální e²ení. Lze ukázat, ºe optimální e²ení m ºe leºet libovoln daleko. Viz p íklad. omezení vrstevnice kritéria optimální IP?e?ení optimální LP?e?ení zaokrouhlené LP?e?ení 42
43 Z obrázku je vid t, ºe zaokrouhlené e²ení leºí od optimální vrstevnice kriteria dále, neº optimální IP e²ení. Je to úloha x + 5y max x + 5y 50 x y 5 x + y 30 a bu LP nebo IP (di_lp_ip.lpx). LP dá [12.5, 7.5] a IP [10, 8] coº není zaokrouhlení. Metoda v tví a mezí (Branch and Bound - B&B) postupuje takto: 1. Vezme optimální LP e²ení - nap. [12.5, 7.5] a tento bod vyjme z p ípustné oblasti bu na ose x nebo y (p jdeme p es x). Tj. p idá dv nová omezení x 12 a x 13. Tím vzniknou dv nové p ípustné oblasti - podoblasti p vodní, kde jiº optimální bod LP neleºí, ale ºádné celo íselné e²ení není vyjmuto. 2. Znovu e²íme LP úlohu (simplex) pro p vodní úlohu + dv nová omezení. 3. Dostaneme optimální e²ení. Pokud je celo íselné, je konec. Pokud není, pokra ujeme stejn jako p ed tím (s necelo íselnou sloºkou optimálního e²ení). 4. Takhle stále p idáváme nová omezení, dokud nedostaneme celo íselné e²ení. e²ení budeme demonstrovat na dvou následujících p íkladech. 43
44 P íklad 1 2x 1 + 1x 2 max 2x 1 + x 2 11 Lp e²ení dá [1.57, 3.14], J = 33 V tvíme nejd íve podle podle x 1, potom podle x 2 x 2 1 [1, 2] J = 21 x 1 1 [1, 4.5] x 2 5 [2, 1] J = 12 44
45 P íklad 2 x x 2 max 4x 1 + x x 1 + x 2 10 LP e²ení [1.36, 5.93] J = x 2 4 [1, 4] J = 41 x 1 1 [1, 4.5] x 2 5 XXX x 1 2 [2, 4] J = Metoda se ných nadrovin Tato metoda vychází z optimální simplexové tabulky pro LP. Tuto tabulku p epí²eme do rovnic. V nich eliminujeme zlomkové koecienty na pravou stranu a vzniklé rovnice se zlomkovými koecienty znovu e²íme simplexovou tabulkou. Kon íme, kdyº jako výsledek obdrºíme celá ísla. Poznámka (geometrická interpretace) K soustav omezení p idáváme dal²í lineární omezení, která vylou í optimální (zlomkové) LP e²ení ale zachovají v²echna p ípustná celo íselná e²ení. 45
46 Postup budeme ilustrovat na p íklad. J = 5x + 8y max x + y + s 1 = 6 5x + 9y + s 2 =45 x, y, s 1, s 2 0 LP e²ení tohoto problému dá simplexovou tabulku Tu p epí²eme následujícím zp sobem ( z) 5 4 s s 2 = x s s 9 2 = 4 y 5 4 s s 15 2 = 4 a to tak, ºe Platí: ( z) 2s 1 s = s s 2 x +2s 1 s 2 2 = s s 2 y 2s 1 3 = s s 2 vlevo jsou jen celo íselné koecienty, vpravo jdou zlomky, a to tak, ºe absolutní hodnoty jsou kladné, koecienty u prom nných jsou záporné. 1. Pro celo íselné e²ení je jsou levé strany celá ísla. 2. Pro s 1, s 2 0 jsou pravé strany men²í nebo rovny konstantám. 3. Protoºe konstanty jsou kladné zlomky, musí platit ºe pravé strany jsou 0 (a tedy i levé). M ºeme proto psát s s s s 2 + s 3 = s s s s 2 + s 4 = 0 poslední je stejná jako první 46
47 To jsou podmínky, které p idáme k p vodní úloze a op t e²íme pomocí simplexové tabulky. Celo íselné e²ení kon í výpo et, pro necelo íselné vyjdeme z nové simplexové tabulky a pokra- ujeme stejn. Program: cuts.lpx První e²ení z tabulky sestavíme nová omezení pro s 1 a s 2 a p epo ítáme na xa y. Ta jsou 2x + 3y 15 4x + 7y 35. První omezení dá rovnou výsledek [0, 5] 47
48 Kdyº zkusíme druhé omezení, dostaneme [ 7 3, ] 11 3 a museli bychom v hledání dál pokra ovat. 48
49 8 Úlohy III. 8.1 Úloha o batohu Jedná se o jednu ze základních úloh z t ídy investi ního rozhodování, viz úvod do IP. Formulace základní úlohy o batohu je následující: Jedeme na výlet stopem a balíme si s sebou v ci do batohu. Objem (nosnost) batohu je omezený hodnotou M. Jednotlivé v ci mají sv j objem (váhu) m i a d leºitost d i a celkem jich je n, tedy i = 1, 2,, n. Chceme s sebou vzít co nejvíce d leºitých v cí tak, aby nebyla p ekro ena kapacita batohu. Matematická formulace je následující: n d i x i max i=1 n m i x i M i=1 x i {0, 1}, i Základní úloha: C:\_Skola\LinearProgramming_II\Kapsack0.lpx Více v cí najednou: C:\_Skola\LinearProgramming_II\Kapsack1.lpx 49
50 8.2 Výb r z mnoºiny investic Máme moºnost investovat do n kolika z ²esti akcí. Kaºdá akce má n jaké nan ní nároky (investice) a p inese ur itý zisk. Máme omezené nan ní moºnosti. Specikace je dána v tabulce. akce nance k dispozici nároky výnosy X Jak akce vybrat, aby celkový zisk byl maximální a abychom nep ekro ili nance, které máme k dispozici. e²ení Ze zadání máme c = [15, 24, 25, 10, 25, 20] A = [6, 9, 8, 4, 9, 5] Zavedeme binární vektor x - x i {0, 1} p i emº 0 znamená i-tou akci nerealizujeme, 1 znamená realizujeme. Úloha potom je c x max Ax 30 x {0, 1} Excel: VyberAkci.xlsx 50
51 9 Úlohy IV. 9.1 Problém obchodního cestujícího (TSP) Asymetrický TSP Uvaºujeme n m st spojených navzájem cestami. Kaºdou cestu uvaºujeme jako jednosm rnou, obousm rné jsou dv jednosm rky tam a zp t. Kaºdá z jednosm rek má svou délku (obecn se délka cesty tam nerovná délce zp t). Cílem je najít cestu, kterou má projít obchodní cestující tak, aby kaºdé m sto nav²tívil práv jednou a vrátil se do stejného m sta, ze kterého vy²el. Celá cesta má být nejkrat²í moºná. Úlohu budeme demonstrovat pro 5 m st. 51
52 2 d 12 d x 13 x d ij 0 zna í délky cest, x ij {0, 1} znamená x ij = 1 cestující p jde z m sta i do m sta j ; x ij = 0 nep jde. Pro nejkrat²í cestu musí platit J = d ij x ij min ij Omezení 1: m sta se nesmí opakovat kaºdé m sto má jen jednu vstupní cestu a jednu výstupní, tj. x ij = 1, j výstupní i x ij = 1, i j vstupní Omezení 2: cesta se nesmí skládat z odd lených cykl - to je problematický a e²í se r zn. My budeme postupovat následovn : Sestavíme v²echny k-krokové cykly, k = 2, 3, 4,, n 2 2 a sou et x ij v nich musí být k 1. Pro n = 5 bude k = 2, 3 a tedy 2-krokové: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 (a vºdy návrat do prvního, tedy 121, 131, ) 3-krokové: (dohromady jich bude 2 ( 5 3) = 2 10 = 20) z uzlu 1: 123, 124, 125, 134, 135, 145, z uzlu 2: 234, 235, 245, z uzlu 3: 345 (a návrat do po. uzlu - na konci bude je²t íslo z po átku); A odzadu: 2 Ve skute nosti sta í kontrolovat cykly od 2 do [ ] n 2, kde [ ] zna í celou ást ísla. Je to proto, ºe kdyº se v grafu vytvo í cyklus, musí být zbylé uzly také v cyklu - pro kaºdý uzel poºadujeme jednu vstupní a jednu výstupní hranu. Pro cyklus s k kroky, kde k > [ ] [ n 2 tedy bude v grafu je²t jeden cyklus s délkou l n ] 2, který jsme jiº kontrolovali mezi cykly 2,3, [ ] [ n 2. Vedle cyklu s délkou v t²í neº n ] 2 m ºe být také více dal²ích cykl, ty ale budou také pat it mezi jiº kontrolované. 52
53 z uzlu 1: 1321, 1421, 1521, 1431, 1531, 1541 z uzlu 2: 2432, 2532, 2542 z uzlu 3: 3543 Návod Za ínáme od 1 a postupn zvy²ujeme 123 Pak zv t²ujeme poslední aº do n 123, 124, 125 Pak zvý²íme p edposlední, následuje o jedna v t²í 134 A zase zvy²ujeme poslední. A tak dál Program: TSP_asym5.xlsx Obchodní cestující - 5 měst podmínka na "každé město jednou" kritérium x J = pro sestavení kritéria tady je možno zadat apriorní hodnoty x (i když to prakticky nemá význam) x d Tady se zadávají podmínka na cykly délky cest 2 II III nemusí se hlídat vůbec protože mohou být jen v kombinacích s dvoukrokovými - a ty už se hlídají dvou-krokové Hlídáme 2 a 3-krokové cykly. 2-krokové jsou OK ihned. 3-krokové bychom museli hlídat tam i zpět, ale v kombinaci s 3-krokovým by musel být 2-krokový a ty se hlídají. Takže zpět nemusíme! Dokonce 3-krokové nemusíme vůbec!!! Poznámka V podmínkách na cykly musíme hlídat, aby nenastala situace, ºe se v grafu utvo í dva odd lené cykly. 1-krokové cykly nemohou nastat nikdy, protoºe smy ky v grafu jsou vylou eny (prvky na diagonále inciden ní matice se neuvaºují). 2-krokové cykly jsou tam a zp t - obsahují tedy oba 53
54 cykly (po sm ru i proti sm ru). 3-krokové cykly bychom museli hlídat v obou sm rech - tedy po sm ru i proti sm ru - tj. to, co jsme vý²e uvedli nap a je²t zp t Protoºe ale 3-krokový cyklus muºe být v kombinaci jedin s 2-krokovým (a ty jsou jiº hlídány) nemusíme je jiº v na²em p ípad (5 m st) v bec hlídat! Obecn : sta í kontrolovat cykly od 2 do [ ] n 2, kde [ ] zna í celou ást ísla. Je to proto, ºe kdyº se v grafu vytvo í cyklus, musí být zbylé uzly také v cyklu - pro kaºdý uzel poºadujeme jednu vstupní a jednu výstupní hranu. Pro cyklus s k kroky, kde k > [ ] n 2 tedy bude v grafu je²t jeden cyklus s délkou l [ ] [ n 2, který jsme jiº kontrolovali mezi cykly 2,3, n ] 2. Vedle cyklu s délkou v t²í neº [ ] n 2 m ºe být také více dal²ích cykl, ty ale budou také pat it mezi jiº kontrolované. Symetrický TSP Na rozdíl od p edchozího jsou v²echny cesty obousm rné. Inciden ní matice je horní trojúhelník. Kontrola na kaºdé m sto jednou se provádí takto: Pro kaºdý prvek inciden ní matice na diagonále (to je to m sto) se se tou prvky nad ním a vpravo od n ho. Tento sou et (po et cest ve trase, které jím prochází) musí být 2. Kontrola cykl : 2-krokové cykly se nemusí kontrolovat, protoºe x je zadáno jako binární (cyklus by dal 2, protoºe jdeme tam a zp t po stejné cest ), k-krokové cykly sta í kontrolovat jen po sm ru - proti sm ru jsou stejné. Program: TSP_sym5.xlsx 54
55 x J na diag. a pod nejsou přípustné stavy (hrany nejsou orientované - trojúhelníky) c Podmínka 1: každý uzel 2 hrany každý uzel má právě dvě hrany (vezmu pole (i,i) a sčítám nad ním a vpravo od něj) Podmínka 2: cykly - je dána tím, že x je binární Tady se zadávají délky cest Úlohy V. Následující p íklady pat í do skupiny úloh o mnoºinách: Set covering, Set partitioning a Set packing. Jejich obecné formulace jsou následující: Set covering c x min Ax 1 x (0, 1) 55
56 Set partitioning c x min Ax = 1 x (0, 1) Set packing c x max Dále uvedem p íklady na jednotlivé typy úloh. Ax 1 x (0, 1) 10.1 Problém pokrytí oblastí (Set covering) Uvaºujme m sto, které se skládá z n kolika oblastí. Ty jsou zachyceny na obrázku Kaºdé oblasti je p i azeno íslo. Ve m st chceme vybudovat poºární stanice. Jedna stanice je schopna pokrýt oblast, ve které je postavena a v²echny sousední oblasti (tj. takové, co sousedí hranou). Jak postavit stanice, aby jich bylo co nejmén? e²ení Oblastem p i adíme binární prom nné x 1, x 2,, x 7. Tyto prom nné budou mít hodnotu 1, kdyº stanice bude, jinak 0. Kriterium: minimální sou et x Podmínky: oblast 1 a její sousedi musí mít alespo jednu stanici; a dále pro 2,, 7. Sousední oblasti jsou 56
57 1,2,3 2,1,3,4,6,7 3,1,2,4 4,2,3,5 5,4,6 6,2,5,7 7,2,6 Úloha tedy bude x i min i x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 6 + x 7 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 1 x 4 + x 5 + x 6 1 x 2 + x 5 + x 6 + x 7 1 x 2 + x 6 + x 7 1 x 1 x 7 {0, 1} Program: pozarnistanice.xlsx 57
58 10.2 Kuch ka a recepty (Set packing) ƒekáme neohlá²enou náv²t vu a chceme ji pohostit. Ve spíºi máme 7 ingrediencí do jídla a dal²í uº nesta íme po ídit. Nevíme ale, jaké chut náv²t va má, a proto chceme p ipravit co nejv t²í po et jídel. Máme kucha ku a z ní jsme vybrali jídla, která obsahují ty ingredience, které máme k dispozici. Ingredience ale nelze d lit; kaºdou lze pouºít jen jednou. O íslujeme-li ingredience 1,2,,7, pak vybraná jídla podle kucha ky pot ebují jídlo ingredience A 1,2 B 1 C 2,5,6 D 3,7 E 2,7 F 3,5 G 4,5,6 Která z jídel m ºeme p ipravit, aby jich bylo co nejvíce? 58
59 Program: recepty.xlsx e²ení: A, C, D Obsazování leteckých tras posádkami (Set partitioning) Letecká doprava zaji² uje spojení mezi vybranými m sty. Tyto spoje nazveme etapy letu. Jeden let (s jednou posádkou letadla) letí po ur itá trase a na ní m ºe realizovat n kolik etap (pokud se mezi n vejde povinný odpo inek posádky a údrºba letadla). Tak nap íklad let z New Yorku do Chicaga a let z Chicaga do Los Angeles je p íkladem takových etap, které mohou tvo it jednu trasu s jednou posádkou. Máme n etap a m posádek. Nejd íve sestavíme matici a, která bude svými sloupci odpovídat jednotlivým etapám. V ádcích bude obsahovat v²echny moºné trasy, sestavené z etap, které lze realizovat v jedné trase - etapy budou vyzna eny jedni kou ve sloupci p íslu²né etapy. Cílem je ze v²ech moºných tras vybrat ty, které obsadíme posádkou (budou realizovány) tak, aby 59
60 1. ºádná etapa nez staly neobsazena, 2. náklady na realizaci tras byly minimální. Ozna íme x j {0, 1} indikuje, zda trasa j bude realizována (tj. obsazena posádkou), c j je cena za pronajatí posádky na trase j (realizaci trasy j), a i,j {0, 1} ozna uje (jedni kou), ºe etapa i je za azena do trasy j Úloha je formulována takto n c j x j min j=1 n a i,j x j = 1, i = 1, 2,, m j=1 x j {0, 1}, j = 1, 2,, n kde kriterium vyjad uje minimalizaci náklad, a první podmínka vyjad uje skute nost, ºe kaºdá etapa má práv jednu posádku. Poznámka Jestliºe p ipustíme, ºe lenové n které posádky mohou ur itou trasu let t jako pasaºé i (p eváºí se na místo svého letu na dal²í etap ), bude mít tato podmínka tvar n a i,j x j 1, i j=1 P íklad 1 Uvaºujeme 4 m sta: A, B, C, D a lety mezi t mito m sty podle následujícího obrázku B A 2 D C 60
61 Jednotlivé ²ipky na obrázku zna í etapy. Jde o to, jak z nich sestavit trasy (obsazené posádkou) tak, aby pronájem posádek by minimální a v²echny etapy byly obslouºeny. Trasy jsou p edem denovány bu jako samostatné lety nebo jsou sestaveny z navazujících etap a jsou denovány maticí a. Zde vybereme trasy takto a = Nejd íve uvaºujeme v²echny etapy jako samostatné lety, potom n které trasy sestavené z vhodných etap. Ceny posádek vezmeme p ibliºn rovny po tu etap v p íslu²né trase a trochu p ihodíme na samostatné lety, protoºe tam musí posádka dojet z domova. Ceny tedy budou c = [15, 12, 16, 14, 18, 12, 16, 22, 25, 24, 27, 26] Stavový vektor bude mít 12 prvk, které budou bu 0 nebo 1. Úloha má tvar n c j x j min j=1 n a j x j = 1 j=1 x j {0, 1} e²ení úlohy je x = [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0] tedy budou realizovány lety (podle matice a) trasa 1 etapa 2 trasa 2 etapa 1, etapa 4, etapa 7 trasa 3 etapa 3, etapa 5, etapa 6 Tedy, v²echny etapy jsou obsazeny, poletí 3 posádky a doufejme, ºe cena za posádky je minimální. 61
62 P íklad 2 Jiný p íklad je realizován v programu: planovaniletu.xlsx 11 Úlohy VI. V n kterých úlohách je kombinace spojité optimalizace s výb rem. Ukáºeme dva takové p íklady. 62
63 11.1 Problém rozmíst ní sklad Máme m sklad a n zákazník. Máme obstarat a dovézt zboºí, které poºadují zákazníci. Jde o to, rozhodnout, ze kterého skladu a kolik daného zboºí nakoupit a p evézt jednotlivým zákazník m tak, aby cena za nákup a p evoz byla minimální. Ty sklady, pro které se rozhodneme, musíme pronajmout, a to n co stojí. y i ozna uje, zda sklad i je pronajatý (y i = 1) nebo není (y i = 0). f i je cena pronájmu i-tého skladu. x i,j je mnoºství zboºí, zakoupeného ve skladu i a p evezeného zákazníkovi j. c i,j je cena za nákup jednotky zboºí x i,j. d j poºadavek j-tého zákazníka. Úlohu formulujeme takto m n m c i,j x i,j + f i y i min i=1 j=1 i=1 m x i,j = d j, j = 1 n i=1 n n x i,j y i j=1 j=1 d j 0, i = 1 m x i,j 0, i, j y i {0, 1}, i Vysv tlení: kriterium: celková cena za zboºí a dovoz + poplatky za pronájem sklad ; spln ní poºadavk zákazník ; odb r jen z pronajatých sklad - podmínka je n n x i,j y i j=1 j=1 tedy, pro i takové, ºe y i = 0 dostaneme n x i,j 0 j=1 d j, i a protoºe x i,j jsou nezáporné, znamená to, ºe k ºádnému odb ru z t chto sklad nedo²lo, pro y i = 1 máme n x i,j n j=1 j=1 63 d j
64 tedy celkové mnoºství zboºí, odebrané ze skladu i je men²í nebo rovno celkovému poºadavku v²ech zákazník (rovno, kdyby se bralo v²echno z jednoho skladu). 3 (Vy²et ení infek ního onemocn ní) V n místech se vyskytlo infek ní onemocn ní. K dispozici je m léka ských tým, které mohou onemocn ní pro²et it. Tým i {1, 2,, m} bude místo j {1, 2,, n} vy²et ovat t ij hodin. Kaºdý tým m ºe obslouºit 0, 1 nebo 2 místa. Jestliºe má tým obslouºit je²t druhé místo (z místa k do místa l), musí se po ítat s dobou p ejezdu d kl. Jakmile jsou v²echna místa pro²et ena, m ºe se s infekcí za ít bojovat. Cílem je navrhnout plán vy²et ování tak, aby cela akce byla co nejkrat²í. e²ení Denujeme veli inu x ij {0, 1} s hodnotou 1 jestliºe tým i bude vy²et ovat místo j a 0, kdyº nebude. Omezení - kaºdé místo bude nav²tíveno práv jednou x ij = 1, j - ºádný tým nenav²tíví více neº dv místa x ij 2, i i j - x je binární x ij {0, 1}, i, j Kriterium - vy²et ení v²ech míst t ij x ij, i - cestování d kl x ik x il, i j k,l; k l { Optimalizace: min max i j t ijx ij + } k,l; k l d klx ik x il JE TAM SUMA? Pro kaºdou konstelaci je jeden tým nejdel²í a tohle maximum chceme minimalizovat. Tohle ale neumíme (i) nelinearita v sou inu, (ii) minimax. (i) nelinearita 3 d j je z ejm to nejmen²í velké íslo, aby se podmínka vºdy splnila. 64
65 Zavedeme novou prom nnou w ikl = x ik x il s podmínkami w ikl x ik, w ikl 0, w ikl x il, w ikl x ik + x il 1. P íklad 2 týmy (i=1,2), 3 místa (j=1,2,3) stav x = [ ] x11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 binární asy t = [ ] t11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 veli ina w (cesta tam a zp t je stejn dlouhá) [ ] w1;12 w w = 1;13 w 1;21 w 1;23 w 1;31 w 1;32 w 2;12 w 2;13 w 2;21 w 2;23 w 2;31 w 2;32 délky p ejezdu d = [ 8, 12, 8, 14, 12, 14 ] Podmínky 1. w i;kl 0, i, k, l 2. w i;kl x ik 0, w i;kl x il 0, i, k, l 3. w i;kl x ik x il j t ijx ij + kl; k l d klw i;kl q 0, i kde q je nová veli ina s významem doba trvání nejdel²í akce. Úloha q min Program: infection_small.xlsx, infection_bigger.xlsx 65
66 66
67 11.2 Vy²et ení infek ního onemocn ní V n místech se vyskytlo infek ní onemocn ní. K dispozici je m léka ských tým, které mohou onemocn ní pro²et it. Tým i {1, 2,, m} bude místo j {1, 2,, n} vy²et ovat t ij hodin. Kaºdý tým m ºe obslouºit 0, 1 nebo 2 místa. Jestliºe má tým obslouºit je²t druhé místo (z místa k do místa l), musí se po ítat s dobou p ejezdu d kl. Jakmile jsou v²echna místa pro²et ena, m ºe se s infekcí za ít bojovat. Cílem je navrhnout plán vy²et ování tak, aby cela akce byla co nejkrat²í. e²ení Denujeme veli inu x ij {0, 1} s hodnotou 1 jestliºe tým i bude vy²et ovat místo j a 0, kdyº nebude. Omezení - kaºdé místo bude nav²tíveno práv jednou x ij = 1, j - ºádný tým nenav²tíví více neº dv místa x ij 2, i i j - x je binární x ij {0, 1}, i, j Kriterium - vy²et ení v²ech míst t ij x ij, i - cestování d kl x ik x il, i j k,l; k l { Optimalizace: min max i j t ijx ij + } k,l; k l d klx ik x il JE TAM SUMA? Pro kaºdou konstelaci je jeden tým nejdel²í a tohle maximum chceme minimalizovat. Tohle ale neumíme (i) nelinearita v sou inu, (ii) minimax. (i) nelinearita Zavedeme novou prom nnou w ikl = x ik x il s podmínkami w ikl x ik, w ikl 0, w ikl x il, w ikl x ik + x il 1. 67
68 P íklad 2 týmy (i=1,2), 3 místa (j=1,2,3) stav [ x11 x x = 12 x 13 x 21 x 22 x 23 ] binární asy t = [ ] t11 t 12 t 13 t 21 t 22 t 23 veli ina w (cesta tam a zp t je stejn dlouhá) [ ] w1;12 w w = 1;13 w 1;21 w 1;23 w 1;31 w 1;32 w 2;12 w 2;13 w 2;21 w 2;23 w 2;31 w 2;32 délky p ejezdu d = [ 8, 12, 8, 14, 12, 14 ] Podmínky 1. w i;kl 0, i, k, l 2. w i;kl x ik 0, w i;kl x il 0, i, k, l 3. w i;kl x ik x il j t ijx ij + kl; k l d klw i;kl q 0, i kde q je nová veli ina s významem doba trvání nejdel²í akce. Úloha q min Program: infection_small.xlsx, infection_bigger.xlsx 68
Lineární a Celo íselné Programování
Lineární a Celo íselné Programování text k p edná²kám Obsah 1 Lineární a celo íselné programování 4 1.1 Obecná formulace.................................... 4 1.2 Algebraický model...................................
VíceLineární programování II. Ivan Nagy, Pavla Pecherková
Lineární programování II Ivan Nagy, Pavla Pecherková Obsah 1 Lineární programování 4 1.1 Formulace úlohy.................................... 4 1.2 Algebraický model................................... 4
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceLineární a Celo íselné Programování
Lineární a Celo íselné Programování text k p edná²kám Ivan Nagy, Pavla Pecherková Obsah 1 Lineární a celo íselné programování 4 1.1 Úvod........................................... 4 1.2 Formulace LP......................................
Víceízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Vícena za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
VíceÚvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
VíceTesty pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
Více10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceDaniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ
PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.
VíceNávrh realizace transformátoru Thane C. Heinse III.
1 Návrh realizace transformátoru Thane C. Heinse III. Ing. Ladislav Kopecký, ervenec 2016 Ve t etí ásti lánku se vrátíme k variant TH transformátoru s jádrem EE a provedeme návrh s konkrétním typem jádra.
Více2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201
.. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY
1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci,
VíceMezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.
Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceProgramový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642
Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55 modul Sklad 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Obsah 1 Programový komplet pro evidenci provozu jídelny modul SKLAD...3 1.1
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceModelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
VíceP íklady k prvnímu testu - Scilab
P íklady k prvnímu testu - Scilab 24. b ezna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceP ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceKRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno
KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno Č. j.: JMK 46925/2013 S. zn.: S - JMK 46925/2013/OD Brno dne 20.06.2013 OP ATŘENÍ OB EC NÉ P OV AH Y Krajský úřad Jihomoravského
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceČíslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -
Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,
VíceAndroid Elizabeth. Verze: 1.3
Android Elizabeth Program pro měření mezičasů na zařízeních s OS Android Verze: 1.3 Naposledy upraveno: 12. března 2014 alesrazym.cz Aleš Razým fb.com/androidelizabeth Historie verzí Verze Datum Popis
VíceVyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích
Změny 1 vyhláška č. 294/2015 Sb. Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a která s účinností od 1. ledna 2016 nahradí vyhlášku č. 30/2001 Sb. Umístění svislých
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VíceFAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor:
FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Modely operačního výzkumu 1 Vypracoval: Studijní obor: Emailová adresa: Datum vypracování: Jana Pospíšilová IM2-KF Jana.Pospisilova@uhk.cz
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
VíceSpecifikace systému ESHOP
Nabídka: Specifikace systému ESHOP březen 2009 Obsah 1 Strana zákazníka 1 1.1 Nabídka produkt, strom kategorií..................... 1 1.2 Objednávka a ko²ík.............................. 1 1.3 Registrace
Více1.1.11 Poměry a úměrnosti I
1.1.11 Poměry a úměrnosti I Předpoklady: základní početní operace, 010110 Poznámka: Následující látka bohužel patří mezi ty, kde je nejvíce rozšířené používání samospasitelných postupů, které umožňují
VíceVzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
VíceTIP: Pro vložení konce stránky můžete použít klávesovou zkratku CTRL + Enter.
Dialogové okno Sloupce Vložení nového oddílu Pokud chcete mít oddělené jednotlivé části dokumentu (například kapitoly), musíte roz dělit dokument na více oddílů. To mimo jiné umožňuje jinak formátovat
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceINTERNETOVÝ TRH S POHLEDÁVKAMI. Uživatelská příručka
INTERNETOVÝ TRH S POHLEDÁVKAMI Uživatelská příručka 1. března 2013 Obsah Registrace... 3 Registrace fyzické osoby... 3 Registrace právnické osoby... 6 Uživatelské role v systému... 8 Přihlášení do systému...
VícePRAKTIKUM... Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Odevzdal dne: Seznam použité literatury 0 1. Celkem max.
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM... Úloha č. Název: Pracoval: stud. skup. dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická
Více2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I
Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceNovinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25
Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní
VíceZadání. Založení projektu
Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout symetrický dřevěný střešní vazník délky 13 m, sklon střechy 25. Materiálem je dřevo třídy C24, fošny tloušťky 40 mm. Zatížení krytinou a podhledem 0,2 kn/m, druhá
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Vypracoval: Michal Drašnar Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
Více4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů
4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
VíceOblastní stavební bytové družstvo, Jeronýmova 425/15, Děčín IV
Oblastní stavební bytové družstvo, Jeronýmova 425/15, Děčín IV Směrnice pro vyúčtování služeb spojených s bydlením Platnost směrnice: - tato směrnice je platná pro městské byty ve správě OSBD, Děčín IV
VíceAplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení 28.4.2016 Obsah 1 Kurzové sázení Tenis Kurz jako odhad pravd podobnosti Hodnocení kvality odhadu pravd podobnosti 2 Predikce pr b hu utkání Základní
Více269/2015 Sb. VYHLÁŠKA
269/2015 Sb. - rozúčtování nákladů na vytápění a příprava teplé vody pro dům - poslední stav textu 269/2015 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. září 2015 o rozúčtování nákladů na vytápění a společnou přípravu teplé
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
VíceAlgoritmizace a programování
Pátek 14. října Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů.
VíceUsnesení. Č. j. 099 EX 7626/13-68
Usnesení Č. j. 099 EX 7626/13-68 Soudní exekutor JUDr. Ivo Luhan, Exekutorský úřad Praha 1, se sídlem Karlovo nám. 17, 120 00 Praha 2, pověřený opatřením Okresního soudu v Olomouci ze dne 6. 11. 2013,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDOPRAVNÍ ZNAČENÍ do 30/2001: změna / doplnění nový název
"Stezka pro chodce" (č. C 7a), která přikazuje chodcům užít v daném směru takto označeného pruhu nebo stezky; jiným účastníkům provozu na pozemních komunikacích, než pro které je tento pruh nebo stezka
Více