FOURIEROVA A LAPLACEOVA TRANSFORMACE,

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "FOURIEROVA A LAPLACEOVA TRANSFORMACE,"

Emilie Sedláková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 FOUIEOVA A LAPLACEOVA ANSFOMACE, OPEÁOOVÉ CHAAKEISIKY DVOJPÓLŮ Fourierovy řady prodlužováí periody Prodloužeí periody při zachováí šířy ipulsu π sižováí záladí frevece ω = frevece, eré jsou u raší periody zůsávají, jsou doplěy ovýi, si x si podle obalové řivy x ω ω (apř. 4ω = 8ω = 3ω pro = 4 s, = 8 s, resp. = 3 s) Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa --

2 Prodloužeí periody π ω =, ω = ω původě disréí frevece se sává spojiou Apliuda frevečího spera (původě jedolivých haroicých) se blíží Uvažujee Fourierovu řadu v oplexí varu j ω () A = f e d (oeficiey) = A (řada) = j () e ω f Koeficiey (haroicé) usíe vyásobi periodou (jia!) jω = f () e d Α ( bude!) ω f () ( A) e ( A) e π = = ω j jω = = = ω ( A) e ω ω ω ( A) e ω π π j jω = = = = = Pa příá Fourierova rasforace: = j jω ω ( ω ) = li = li () = () F j A f e d f e d F jω { ( )} F( ω ) ( ) f = j = f e d Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa --

3 Sčíáí eoečě oha eoečě alých sčíaců přechází a iegraci, diferece a derivace, pa zpěá Fourierova rasforace j jω li π = π ω () = ( Α ) = F ( ) f e ω jω e dω F { F( )} F( ) jω jω = jω e dω π Podíy exisece Fuce je absoluě iegrovaelá f () d < splňuje podíu f ( ) splňuje Dirichleovy podíy Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -3- li = ± Záladí vlasosi Fourierovy rasforace. Superpozice jω f () + f () = F ( jω) + F ( jω) e dω π speru souču průběhů dvou sigálů je rovo souču speer obou sigálů. Posuuí v origiále jω j f e d Je-li F ( ω) () F = ± jω jω = ± ( ω) ( ), pa j e f e d j posuuí v origiále o zaeá ásobeí obrazu e ω v elericých obvodech je o zpožděí, e eréu dojde při průchodu jω jϕ ipedací s e = e

4 3. Posuuí v obraze jω j f e d Je-li F ( ω) () =, pa ( ω ± jω ω) = () jω F j f e e d poud je ω osá frevece při frevečí odulaci a fuce f() její obála, pa bude frevečí speru uísěo syericy po obou sraách osého ioču 4. Derivace podle proěé d f ( ) jω ( jω) F ( jω) = e d d ( ) () F( jω) ( jω) d jω f = e dω π d obraz -é derivace origiálu je ásobe výraze ( 5. Iegrace podle proěé jω F ( jω) = f () d e d jω obraz iegrálu předěu je děle výraze jω Použií v elericých obvodech jω ) Na rozdíl od pracých Fourierových řad (de je uo počía s aždou frevečí složou saosaě) ůžee hleda průběh výsupího apěí při eharoicé buzeí obdobě, jao v HUS. x ( ) X ( jω). X ( jω) = P( jω) X ( jω) 3. X ( jω) x ( ) Přeos je sejý, jao v HUS Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -4-

5 Přílad: ) U ( ω) ) P ( jω ) jω jω e U jω j = U e d = U = e jω = + jω jωc U U jω = U jω P jω = e jω + jω 3) ( ) ( ) ( ) Zpěá rasforace: jωc ) Obraz iegrálu jω jω e = F u() d + jωc ) Superpozice jω e = F u () + u () d + jωc + jωc j 3) Posuuí v origiále e ω C = F u () d = e d + jωc F C jω e ( ) C = F u ( ) d = e d + jωc F C C C 4) u () = e () e ( ) Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -5-

6 LAPLACEOVA ANSFOMACE ozšířeí ožiy absoluě iegrovaelých fucí: vyásobeí fuce f ( ) poocou fucí uá podía: Jsou-li fuce po vyásobeí absoluě iegrovaelá, pa je fuce: ) expoeciálího řádu ) azývá se fuce sadardího ypu Poud Fourierovu rasforaci vyásobeé fuce ozačíe F ( σ, jω) F σ jω ( σ, ω) = () = () ( σ jω) e σ j f e e d f e d + Zavedee σ + jω = p, pa příá Laplaceova rasforace, pa L p f F p f e d { ()} ( ) () = = Zpěá Fourierova rasforace obrazu F σ ω ω j f () e = ( pe ) d π F jω σ p f () = ( pe ) e dω ( pe ) dω π F = π F Po zěě iegračí proěé bude Zpěá Laplaceova rasforace L { ( )} () ( ) p F p = f = F pe dp π j σ + j σ j Poz. sybol, používaý pro Laplaceovu rasforaci se ůže liši, psací L ívá obvyle podobu L, ebo éž aligraficé L. Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -6-

7 Záladí vlasosi Laplaceovy rasforace ) Liearia L a f() = af = = ) Posuuí v origiále: p L f = e F p { ( ) } ( ) 3) Věa o obrazu derivace: je-li f() fucí sadardího ypu, spojiá a hladá s výjiou =, pa d L f () = pf ( p ) f ( + ) d f = li f ( ) ( ) + 4) Věa o obrazu iegrálu: L f τ dτ = F p p + ( ) ( ) 5) Obraz ovoluce: L L { f () g() } = f ( τ) g( τ) dτ = F( pg ) 6) Obrazy fuce v ule a v eoeču li f = li pf p li ( ) ( ) p ( ) = li pf f p Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -7-

8 Operáorové charaerisiy dvojpólů Kirchhofovy záoy plaí i pro Laplaceovy obrazy: = = I U = = Obrazy záladích obvodových prvů v časové oblasi: ( ) = ( ) U = I u i ( ) = ( ) I = GU i Gi dil ( ) () = UL = plil Li L( + ) ul L d i u d i () = ( τ) τ + ( + ) IL UL L L L L u i d u i = + pl L () = ( τ) τ + ( + ) UC IC C C C C u = + pc C ( ) p + ( ) duc ( ) () = IC = pcuc Cu C( + ) ic C d p + Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -8-

9 Náhradí obvody pro operáorové charaerisiy dvojpólů I(p) I(p) U(p) u(+)/p C U(p) Cu(+) C I(p) I(p) U(p) i(+)/p L U(p) Li(+) L Operáorové iiace obecého dvojpólu pro ulové počáečí podíy ( ) = Z I I = Y( pu ) U p Z =, ZL = pl, Z C =, Y pc = G, Y L =, YC = pc pl Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -9-

10 Záladí sloví Laplaceovy rasforace Časová oblas f ( ) Operáorová oblas F( p ) Jedoový (Diracův) ipulz δ ( ) Jedoový so (sejosěré apěí, připojeé v čase = ) ( ) Expoeciálí ipulz a e ( ) p p+ a ω ω p + ω si ( ) p ω p + ω cos ( ) expoeciálě lueý si a U e ω si ( ) ( ) p+ a +ω expoeciálě lueý cos a U e ω cos ( ) ( ) p+ a + ω ( ) ω ( ) p p +! Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa --

11 Další záladí průběhy dosaee superpozicí (obiací) obrazů uvedeých v záladí slovíu, apř.: U si ω+ ϕ = ( ) ( ) ( Acosω Bsiω) () = + U = A + B A ϕ = arcg B U si ω+ ϕ = ( ) ( ) B = Acosω+ siω ω B = A + U ω Aω ϕ = arcg B () Ap+ Bω p + ω Ap+ B p + ω Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa --

12 ozlad a parciálí zloy Uvažuje fuci F( p ), erou ůžee vyjádři jao podíl dvou polyoů ( ) F p ( ) ( ) P p = Q p Je-li fuce Q( p ) polyoe -ého řádu, pa polyo ( ) P p usí bý alespoň - řádu. Poud je vyššího řádu, pa fuci upravíe do varu ( ) ( ) ( ) ( ) F p = p + F p = p + P ( ) Q p pa ůžee ahradi čásečýi (parciálíi) zloy: Fuci F poud á fuce F( p ) pouze jedoduché reálé ořey P Ai F = = i= p pi K ( p p ) i= poud á fuce ( ) i F p ořey s ásobosí α, β, γ, P F = = α β γ K p p p p p p L ( ) ( ) ( ) A a b c α β γ i j = i j i= ( p pa) j= ( p pb) = ( p pc) poud á fuce ( ),( )( ) B C L F p dvojice oplexě sdružeých ořeů p = α ± jβ p p p p = p α p+ α + β = p + ap+ b i i i i i i i i i i (s ásobosí α, β, ) F P = = β α ( a a) ( b b) K p + ap+ b p + ap+ b L α β Ap+ B Cp+ D = + + L i i j j i i= ( p + ap ) j a + b = a ( p + ap b + bb) j Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa --

13 obiace jedoduchých a dvojic oplexě sdružeých ořeů P F = = αi β j K p p p + ap+ b ( i) ( j j) i= j= α A = + B p+ C i j ir jr jr r i= r= ( p pi) j= r= ( p + ap j + bj) α r ) Meoda eurčiých oeficieů (porováí oeficieů u sejých oci) F p (dolí řáde, po rozladu a parciálí zloy) vyásobíe Fuci ( ) αi j ( p pi) ( p + ap j + bj) β (původí jeovaele, horí řáde) i= j= a porováe oeficiey u sejých oci p ve fuci P ) Zarývací pravidlo eí uiverzálí, u ásobých ořeů lze použí pouze pro ejvyšší ociu, osaí oeficiey je ué dopočía Ve fuci F subsiuujee za proěou p hodou ořee p i. Závoru, obsahující oře p i.usíe vylouči (je ulová). Maeaicy: α P i α lif ( p pi) = li ( p pi) p pi p pi αi β j K p p p + ap+ b K ( i) ( j j) i= j=. i Přílad: Meoda eurčiých oeficieů p 99p+ 75 p p+ 75+ ( p+ ) F = = = p 4p+ 5 p p+ 75 ( ) 5p+ 5 5p+ 5 = + = + = p p p p ( )( ) A B = + + p 5 p 5 Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -3-

14 5p+ 5 A B = + p 5 p 5 p 5 p 5 ( )( ) ( p 5)( p 5) ( ) ( ) ( ) 5p+ 5= A p 5 + B p 5 = A+ B p 5A 5B A+ B= 5 5A 5B= 5 B= 5 A 5A 5+ 5A= 5 A= 3 B = 8 Zarývací pravidlo 5p+ 5 A B = + p 5 p 5 p 5 p 5 ( )( ) A= 5p = = = ( p 5) ( p ) p= 5 B = 5p + 5 ( p 5)( p 5) p= = = = Pavel Máša, X3EO, předáša č. sraa -4-

Podobné dokumenty

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia