Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)

Transkript

1 aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: :4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála aplaceova ransformace 2 Důvody použií 3 Definice 3 Vlasnosi 3 Tabulky aplaceovy ransformace 6 Příklady použií aplaceovy ransformace 9 Teno ex je do jisé míry experimenálním pískovišěm na odladění převodu exu prezenace vyvořené v ATEXové řídě beamer do exu vysázeného pomocí ufe-handou. Obsah je oproi prezenaci mírně rozšířen o poznámky. Bude se ješě v průběhu semesru měni, konroluje si prosím čas sesavení v záhlaví ohoo souboru. Fourierova ransformace Maemaické násroje pro reprezenaci a analýzu TI sysémů, keré jsme si doposud ukazovali, jsou založeny na reprezenaci vzahu vsup-výsup pomocí konvoluce a na reprezenaci signálů jako lineární kombinace vzájemně posunuých a škálovaných impulsů. Ukážeme si nyní, že podobným způsobem, jako v předcházejících přednáškách, lze signály reprezenova jako lineární kombinaci komplexních exponenciál. Výsledkem akovéo reprezenace je poom ak zvaná Fourierova ransformace, jež převádí signál z časové do frekvenční roviny. Komplexní exponenciála Důležios komplexních exopnenciálních funkcí při sudiu TI sysémů plyne z faku, že odezva TI sysému na akovýo signál je

2 2 a samá komplexní exponenciála, pouze se změněnou ampliudou. Plaí edy spojiý sysém: e s H(s) e s diskréní sysém: z n H(z) z n Jak jsme si říkali, TI sysém nedokáže změni frekvenci vsupního signálu. kde H(s) respekive H(z) je komplexní škálovací fakor, jež obecně může závise na komplexní proměnné s nebo z. Signál, pro nějž je výsup sysému roven vsupu až na násobení konsanou, nazýváme vlasní funkce sysému a odpovídající škálovací fakor pak nazýváme vlasní číslo sysému. Ukažme si nyní, že komplexní exponenciála je opravdu vlasní funkcí TI sysému: Uvažujme spojiý TI sysém s impulsní odezvou h() a vsupním signálem u() = e s, kde s C. Výsup je dán konvolučním inegrálem y() = h(τ) u( τ)dτ = h(τ) e s( τ) dτ. Plaí e s( τ) = e s e sτ a člen e s nezávisí na inegrandu, je edy y() = e s h(τ) e sτ dτ. Předpokládejme nyní bez další hlubší analýzy (kerá je ovšem zcela na mísě), že inegrál na pravé sraně rovnice (??) konverguje k nějaké hodnoě, závislé v obecném případě na s. V akovém případě je odezva sysému na vsupní signál u() = e s rovna y() = H(s) e s, kde H(s) je komplexní konsana závisející jednak na s a jednak na impulsní odezvě sysému vzahem H(s) = h(τ) e sτ dτ. Ukázali jsme si edy, že komplexní exponenciála e s je opravdu vlasní funkcí spojiých TI sysémů. Konsana H(s) pro nějakou konkréní hodnou s je poom vlasním číslem sysému spojeným s vlasní funkcí e s. Jak uvidíme později, o samé lze ukáza i pro diskréní sysémy. Pro imaginární hodnoy s, edy pro s = iω, odpovídá H(s) Fourierově ransformaci signálu impulsní odezvy h(). Maemaické nářadí - aplaceova ransformace V minulém odsavci jsme si ukázali, že pro imaginární s odpovídá H(s) Fourierově ransformaci signálu impulsní odezvy h(). Pokud budeme uvažova namíso ryze imaginárních komplexních hodno obecná komplexní čísla p, bude výsledkem generalizace Fourierovy ransformace ak zvaná aplaceova ransformace.

3 3 Důvody použií aplaceova ransformace významně zjednodušuje někeré operace v oblasi analýzy spojiých TI sysémů, například derivace násobení proměnnou p inegrace dělení proměnnou p diferenciální rovnice n-ého řádu s konsanními koeficieny algebraické rovnice n-ého řádu konvoluce f () g() součin F(p) G(p) Definice Definice (aplaceova ransformace). aplaceova ransformace funkce f (), kerá je nanejvýš polynomiálního růsu je definována inegrálem f () = a + a + a a n n F(p) = f ()e p d { f ()}. () Funkci f () nazýváme vzorem a funkci F(p) aplaceovým obrazem. Zpěná aplaceova ransformace má var inegrálu podél křivky v komplexní rovině p f () = c+i F(p) e p dp {F(p)}. (2) 2πi c i Prakické počíání zpěné aplaceovy ransformace vychází z residuové věy, kerá pro racionálně lomené funkce v proměnné p vede v operáorovém poču na Heavisideovu věu. Vlasnosi Věa 2 (inearia). aplaceova ransformace je lineární: { } a k f k () k } { b m F m (p) m = k = m a k { f k ()} = a k F k (p) k b m {F m (p)} = b m f m () m Obrázek : Oliver Heaviside, Věa 3 (O změně měříka). Pro F(p) = { f ()} je { f (a)} = a F ( p a )

4 4 Důkaz. Subsiucí a = τ { f (a)} = f (a)e p d = f (τ)e p a τ a dτ = a F ( p a ) Věa o změně měříka plaí samozřejmě i obráceně pro b = /a: ( ) b f = {F(bp)} b Všechny inegrální ransformace (aplace, Fourier, Waveles) podléhají Hesienbergově principu neurčiosi v časovém a kmiočovém rozlišení. Obrázek 2: Časově-kmiočové rozlišení Věa 4 (O posunuí). Je-li F() = { f ()}, pak {( τ) f ( τ)} = e pτ { f ()} = e pτ F(p). Důkaz. Subsiucí τ = ϑ obdržíme { f ( τ)} = f ( τ)e p d = f (ϑ)e p(τ+ϑ) dϑ τ = e pτ f (ϑ)e pϑ dϑ + e pτ f (ϑ)e pϑ dϑ τ = e pτ f (ϑ)e pϑ dϑ e pτ F(p) Velice časo se můžeme seka se zápisem věy o posunuí ve varu { f ( τ)} = e pτ F(p). (3) Teno zápis je zcela korekní za předpokladu, že dodržíme následující podmínku definice jednosranné aplaceovy ransformace: definiční obor ransformované funkce f () je, pro < volíme f () =. Jednosranná ransformace neposuné funkce funguje i bez éo podmínky, nebo definiční inegrál zahrnuje pouze nezáporné hodnoy, v případě posunu parameru funkce o výše uvedené τ se ale dosáváme do problémů, způsobených nejednoznačnosí výše uvedeného zápisu. Demonsrujme si yo problémy na následujícím příkladu. Příklad 5 (Blíže o věě o posunuí). aplaceův obraz funkce f () = 2 2 je { } { f ()} = 2 2 = p 3.

5 5 Jak o ale bude v případě, že budeme počía obraz é samé funkce, posunué o τ =, edy f ( ) = 2 ( )2? Řešení: Pokud zvolíme podle (3) { } { } { f ( )} = ( )2 = 2 2 (2 2 + ) = p 3 p 2 + p odpovídá průběh naší ransformované f ( ) obrázku f () f () f () = 2 2 f () = 2 ( )2 a o není o, co pořebujeme: z pravého grafu vidíme, že ako vyjádřená funkce f ( ) nabývá nenulových hodno i pro záporné hodnoy argumenu, kokréně pro < <. Korekní způsob naznačuje následující obrázek: f () f () f () = 2 2 ( ) f ( ) Tomu odpovídá zápis ransformace posunué funkce, obsahující posunuý jednokový skok { } {( ) f ( )} = e p { f ()} = e p 2 2 = e p p 3. Ukazuje se edy, že je vhodnější a názornější zapisova věu o posuní argumenu ve varu Věa 6 (O konvoluci). { { f () g()} = {( τ) f ( τ)} = e pτ F(p). (4) Důkaz se snáze provádí v diskréním čase. Důsledek { y() = } f ( τ) g(τ)dτ = F(p) G(p) } h(τ) u( τ)dτ Y(p) = H(p) U(p)

6 6 Věa 7 (O obrazu derivace funkce). { f ()} = F(p) { } d d f () = pf(p) f () { } d 2 d 2 f () = p 2 F(p) p f () d d f (). { d n } d n f () = p n F(p) p n f () p n 2 d d f ()... f (n ) () Důkaz. Inegrováním per pares, b a u v = [uv] b a b a uv : { } d d f () d = d f ()e p d [ ] = f ()e p ( p) f ()e p d = f () + pf(p). Opakováním ohoo procesu získáme posupně { } d 2 d 2 f () = p 2 F(p) p f (+) d d f (+) Věa 8 (O obrazu inegrálu funkce). { } f (τ)dτ = p F(p) Důkaz. Inegrováním per pares { } ( ) f (τ)dτ = f (τ)dτ e p d = [ ] f (τ)dτe p f ()e p d p p = p F(p). V důkazu jsme využili oho, že f () má polynomiální o bý i nejvýše exponenciální, ne? růs a proo ale mohl by lim f (τ)dτe p =. Tabulky aplaceovy ransformace Tabulky aplaceových obrazů základních funkcí lze odvodi z definičních vzorců posupnými aplikacemi definičního vzorce či využiím kombinací již známých obrazů. Uved me si několik příkladů:

7 7 Pro Diracův impuls plaí f () = δ( τ) f (τ)dτ a proo je aplaceova ransformace Diracova impulsu δ() rovna {δ()} = Obdobně pro jednokový skok je {()} = ()e p d = δ()e p d = e p =. e p = [ p e p ] ( = ) = p p. Zde jsme si pomohli fakem, že pro > je () = a z hlediska výše uvedeného inegrálu se chová jako konsana. f () = {F(p)} F(p) = { f ()} f () = 2πi c+i c i F(p) e p dp F(p) = f () e p d δ() () p Pro exponenciální funkci s paramerem α R, α > máme obdobně, jako pro jednokový skok je { e α} [ = e α e p d = e (p+α) = ] ( p + α e (p+α) = ) = p + α p + α. Pro základní rigonomerické funkce plaí v komplexním oboru Eulerův vzah e iω = cos ω + i sin ω a proo aké a odsud pro sinus sin ω = (e iω e iω) 2i cos ω = (e iω + e iω) 2 {sin ω} = 2i { e iω} 2i {e iω} = = 2i p iω 2 p + iω = = p + iω p + iω) 2i p 2 + ω 2 = ω = p 2 + ω 2.

8 8 a analogicky {cos ω} = 2 { e iω} + 2i {e iω} = = 2 p iω + 2 p + iω = = p + iω + p iω 2 p 2 + ω 2 = p = p 2 + ω 2. f () = {F(p)} F(p) = { f ()} e α p + α sin ω ω p 2 + ω 2 cos ω p p 2 + ω 2 Pro x() = lze aplaceův obraz urči aké relaivně jednoduše, pokud si uvědomíme, že argumen inegrálu lze vyjádři jako Můžeme proo psá {} = e p d = e p = d dp e p. d dp e p d = d dp e p d = d dp p = d dp p = p 2 = p 2. f () = {F(p)} F(p) = { f ()} e α sin ω ω (p + α) 2 + ω 2 e α cos ω p + α (p + α) 2 + ω 2 n n! p n+

9 9 abulky jako bookabs? f () = {F(p)} F(p) = { f ()} n e α n! (p + α) n+ cos ω p 2 ω 2 (p 2 + ω 2 ) 2 sin ω 2ωp (p 2 + ω 2 ) 2 Příklady použií aplaceovy ransformace R Příklad 9 (Inegrační RC článek). Hledejme odezvu inegračního RC článku znázorněného na obrázku 3 na vsupní signál. u () C u C () Diferenciální rovnici jsme si již odvodili v první přednášce: RC d d u C() + u C () = u (). Obrázek 3: RC článek, viz první přednáška Pro α = RC a vsupní u () = U () je d d y() + αy() = αu (). Proože je o diferenciální rovnice s konsanními koeficieny, můžeme použí aplaceovu ransformaci a její vlasnosi { } d d y() + αy() = αu (), což upravíme posupně na { } d d y() + {αy()} = {αu ()}, a dále na { } d d y() + α {y()} = αu {()}, a obdržíme algebraickou rovnici pro neznámou Y(p) py(p) y() + αy(p) = αu p. Rovnici upravíme ak, že neznámá bude na levé sraně a všechny známé konsany na sraně pravé (p + α)y(p) = αu p + y().

10 a nalezneme řešení v rovině p Y(p) = αu p(p + α) + y() p + α = U p U p + α + y() p + α S pomocí abulek pak můžeme naléz pro > řešení y() = U ( e α ) + y()e α u C () Příklad (Impulsní odezva TI sysému). Uvažuje TI sysém, kerý je pro > popsán naměřenými hodnoami vsupu a výsupu u() = e + e 3 y() = e 3. Obrázek 4: Průběh napěí na výsupu RC článku v závislosi na hodnoě počáečního savu, edy zbykového napěí y() = V (modře) a y() = 4 V (červeně) Jak nalezneme impulsní odezvu? Proože plaí U(p) = p + + p + 3 = 2 p + 2 (p + )(p + 3) Y(p) = (p + 3) 2 a proože Y(p) = H(p) U(p), je H(p) = Y(p) U(p) = p + 2 (p + 2)(p + 3) = [ 2 2 p + 3 ]. p + 2 S pomocí abulek pak můžeme naléz pro > řešení h() = e 3 2 e 2. jehož graf je znázorněn na obrázku 5. h() Obrázek 5: Impulsní odezva sysému z příkladu