1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
|
|
- Ján Matoušek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi v oblasti obecého popisu diskrétích sigálů a systémů. V kapitolách íže alezete základí defiičí vztahy, ejdůležitější vlastosti a základí slovík korespodecí, se kterými budeme v oblasti diskrétích systémů a sigálů ejčastěji pracovat. Uvedeý text eí úplým a vyčerpávajícím popisem zahrujícím problematiku Z- trasformace. Toto lze alézt v dalších prameech, zejméa pak v [2], [3], [], aj.. Defiičí vztahy Z-trasformace defiuje korespodeci mezi diskrétí posloupostí x[], představující v ašem případě diskrétí sigál, a komplexí fukcí komplexí proměé X(z), kterou azýváme z-obrazem daé poslouposti. Symbolicky budeme začit obvykle ásledujícími způsoby. Defiičí vztah Z-trasformace je potom Z x[] } () x[] Z X(z) } (2) x[] X(z) (3) Z x[] } x[]z, (4) kde v tomto případě mluvíme o tzv. uilaterálí formě, kdy suma se počítá v mezích od do. Daá ekoečá suma obecě koverguje v oblasti, která představuje vější oblast v z-roviě, která je vymezea kružicí, viz obr. Problematika zcela obecé formulace iverzí Z-trasformace přesahuje rámec tohoto textu. Detaily lze alézt v odkazovaých prameech. V ašich aplikacích budeme pracovat především s dále defiovaým základím slovíkem Z-trasformace. Existuje také bilaterálí tvar, kde daá defiičí suma se počítá v mezích od do, aplikacích pro číslicové zpracováí sigálů se však setkáváme většiou pouze s tvarem uilaterálím.
2 Obrázek : Obecá oblast kovergece z-trasformace.2 Souvislost Z-trasformace a Fourierovy trasformace Jestliže x[] představuje diskrétí sigál (posloupost vzorků), Fourierova trasformace diskrétího sigálu (spektrum) je defiováa jako X(e jθ ) Jestliže defiice Z-trasformace je daá jako x[]e jθ ( X(f) ). (5) x[]z (6) je zřejmé, že spektrálí reprezetaci sigálu dostaeme substitucí z e jθ za podmíky kovergece Fourierovy trasformace pro daý sigál. Jelikož hodoty z pro z e jθ leží a jedotkové kružici, je zřejmé, že toto bude splěo v případě, že oblast kovergece Z-trasformace obsahuje jedotkovou kružici, viz obr. 2. spektrum X(e jθ ) existuje spektrum X(e jθ ) eexistuje Obrázek 2: Závislost existece spektra a oblasti kovergece Z-trasformace daého sigálu..3 Příklady trasformace základích sigálů.3. Jedotkový impuls x[] δ[] 5 2
3 x[] δ[], if,, if Výpočet Z-obrazu: δ[]z z (8) Oblast kovergece je v tomto případě rova celé komplexí roviě, viz obr. 3, eboť výše spočítaá suma je rova pro libovolou hodotu proměé z. (7) ROC Obrázek 3: Oblast kovergece jedotkového impulsu.3.2 Jedotkový skok x[] u[] 5, if, x[] u[], if < (9) ( z z. z () Výpočet výše uvedeé ekoečé sumy, představuje součet ekoečé geometrické řady s kvocietem q z, tj. x[], pokud q <. () q Z uvedeé podmíky je také zřejmé, že daá řada koverguje pouze pokud q z <. Pro proměou z tedy musí platit z >. Oblast kovergece je tedy vymezeá jedotkovou kružicí, která do oblasti kovergece epatří, viz obr. 4. To je v souladu s eexistecí Fourierovy reprezetace jedotkového skoku, eboť pro daou posloupost ekoverguje součet absolutích hodot. Z-obraz daé poslouposti je také možé vyjadřit dvěma způsoby, a to v pricipu jako racioálí lomeou fukci proměé z, či jako racioálí lomeou fukci proměé. Uvedeý druhý tvar abývá výzamu především při výpočtu ulových bodů a pólů fukce X(z), eboť tato fukce je samozřejmě v pricipu fukcí proměé z. z z z z 3 z z. (2)
4 ROC Obrázek 4: Regio kovergece jedotkového skoku.3.3 Expoeciálí posloupost (expoeciálí impuls) a 5 x[] a, if,, if < (3) ( a z ) az ( ) az az Z-trasformace je v tomto případě dáa součtem geometrické řady s kvocietem q az. Podmíka kovergece je v tomto případě rova az < resp. z > a, viz obr. 5, kde je zobrazea oblast kovergece pro expoecálí impuls (.75). Na obr. 6 si můžeme všimout situace pro posloupost (.5), která představuje sigál rostoucí ade všechy meze, pro ějž elze alézt spektrum. S podobými sigály se můžeme setkat především a výstupech estabilích diskrétích systémů. (4) ROC Obrázek 5: Oblast kovergece expoeciálího pulsu pro a.75 2 Základí vlastosti Z-trasformace V této části jsou připomeuty ejzákladější vlastosti Z-trasformace, a základě kterých můžeme alézt další korespodece pro obecější poslouposti, odvozeé z výše uvedeých základích. 4
5 a 5 ROC Obrázek 6: Diskrétí posloupost a oblast kovergece expoeciálího pulsu pro a Liearita A x [] + B x 2 [] A X (z) + B X 2 (z) (5) Na základě této vlastosti alezeme obraz obecé koečé poslouposti, obraz harmoických posloupostí, apod. Větu o liearitě uplatíme také při zpěté trasformaci racioálí lomeé fukce. 2.2 Věta o posuutí x[ o ] X(z) z o (6) Větu o posuutí uplatíme hledáí obrazu koečé poslouposti a zejméa pak při převodu diferečí rovice do Z-oblasti, tj. apř. máme-li diferečí rovici y[] x[] + 3x[ ] + x[ 2], 5y[ ], 4y[ 2], (7) její reprezetace v z-oblasti je Y (z) X(z) + 3X(z)z + X(z)z 2, 5Y (z)z, 4Y (z)z 2. (8) 2.3 Násobeí expoeciálou v časové oblasti a x[] X(z/a) (9) Aplikaci této věty alezeme především při hledáí reprezetace pro expoeciálě tlumeé sigály (apř. tlumeou siusovku). Její ejjedodušší aplikaci si lze představit i v souvislosti korespodece jedotkového skoku a expoeciálího pulzu, tj. u[] a a u[] z (2) ( ) z az a (2) 5
6 2.4 Obraz kovoluce x [] x 2 [] k x [k]x 2 [ k] X (z) X 2 (z) (22) Uvedeou vlastost využíváme především při výpočtu obecé odezvy diskrétího systému (tj. při filtraci sigálu), kokrétě apř. při výpočtu impulzové odezvy systému. 2.5 Výpočty dalších výzamých korespodecí 2.5. Posloupost koečé délky x[] M x[] b, if <, M >,, otherwise (23) x[] b δ[] + b δ[ ] + b 2 δ[ 2] b M δ[ M] (24) b + b z + b 2 z b M z M (25) Obraz harmoických kmitů - siu a kosiu cos ω, if, x[], if < (26) x[] cos ω ( e jω + e jω) (27) 2 ( ) 2 e jω z + e jω z ( 2 ejω z + e jω z 2 (e jω + e jω )z ) ( e jω z )( e jω z ) 2 (e jω + e jω )z + z 2 cos ω z 2 cos ω z + z z(z cos ω) (28) 2 z 2 2 cos ω z + Obraz kosiové poslouposti je tedy v Z-oblasti reprezetová racioálí lomeou fukcí 2. řádu s reálými koeficiety závislými a kmitočtu daé harmoické složky. Podobě lze odvodit reprezetace pro siovou posloupost s ulovým či obecým fázovým posuvem, a to a základě platosti ásledujících vztahů x[] si ω 2j ( e jω e jω), (29) x[] si(ω + ϕ) cos ϕ si ω + si ϕ cos ω. (3) Výsledé korespodece lze alézt dále souhrě v tabulce základích korespodecí. 6
7 2.5.3 Obraz tlumeých harmoických kmitů Pokud záme korespodeci pro etlumeý harmoický průběh x[] si(ω + ϕ) if,, if < (3) si ϕ + si(ω ϕ) z (32) 2 cos ω z + z 2 je vzájemá korespodece pro tlumeé kmity dáa aplikací věty o ásobeí expoeciálou (věty o substituci), tj. x[] a si(ω + ϕ) if,, if < (33) z si ϕ + si(ω ϕ) a si ϕ + a si(ω ϕ) z 2 cos ω z + z 2 (34) 2a cos ω z a a + a 2 z 2 Obdobě velmi sado lze odvodit korespodece pro tlumeý sius resp. kosius s ulovým fázovým posuvem. 2.6 Zpětý obraz racioálí lomeé fukce Zpětý obraz racioálí lomeé fukce hledáme a základě platosti věty o liearitě. Máme-li obecě racioálí lomeou fukci ve tvaru M b k z k k N a k z k k M z N k N z M k b k z M k a k z N k, (35) kde M < N, lze ji převést do součiového tvaru M ( c k z ) k, (36) N ( d k z ) k kde c k jsou ulové body fukce X(z), tj. kořey čitatele, a d k jsou póly fukce X(z), tj. kořey jmeovatele daé reprezetace. Uvedeý příklad platí pro jedoduché kořey v čitateli i jmeovateli. Teto tvar je pak možé rozložit a parciálí zlomky, tj. získáváme ásledující součtový tvar M ( c k z ) k N ( d k z ) k N k A k ( d k z ), (37) 7
8 pro ějž již záme dílčí korespodece pro jedotlivé parciálí zlomky, tj. v uvedeém případě N x[] A k (d k ). (38) k V obecém případě mohou být kořey komplexí a ásobé. V případě komplexích kořeů se bude pro racioálí lomeou fukci s reálými koeficiety jedat o dvojice komplexě združeých kořeů, pro které je možé pracovat s parciálími zlomky 2. řádu s reálými koeficiety, což reprezetuje harmoické kmity v časové oblasti, viz výše. V případě ásobých kořeů uplatňujeme další vlastosti Z-trasformace. Tuto situaci s ásobými póly již ebudeme v ašich úlohách řešit. Referece [] A. V. Opeheim, R. W. Shafer, ad J. R. Buck. Discrete-Time Sigal Processig. Secod Editio. Pretice Hall, 999. [2] J. Veit. Itegrálí trasformace. SNTL, druhé editio, 983. [3] R. Vích. Trasformace Z a ěkterá její použití. SNTL Praha,
9 A Elemetárí slovík Z-trasformace Časová oblast - x[] pro,, 2,..., Operátorová oblast - X(z) δ[] u[] z z z a az z z a b δ[] + b δ[ ] + b 2 δ[ 2] +... b + b z + b 2 z b M δ[ M]... + b M z M cos ω si ω si(ω + ϕ) a cos ω a si ω a si(ω + ϕ) cos ω z 2 cos ω z + z 2 z(z cos ω) z 2 2 cos ω z + si ω z 2 cos ω z + z 2 si ω z z 2 2 cos ω z + si ϕ + si(ω ϕ) z 2 cos ω z + z 2 z (si ϕ + si(ω ϕ) z) z 2 2 cos ω z + a cos ω z 2a cos ω z + a 2 z 2 a si ω z 2a cos ω z + a 2 z 2 si ϕ + a si(ω ϕ) z 2a cos ω z + a 2 z 2 9
n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceAnalýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceDiskrétní Fourierova transformace
Disrétí Fourierova trasformace Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Vícedefinované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12
Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceČíslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů
Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceFourierova transformace ve zpracování obrazů
Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VíceANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU
ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceFourierova transformace ve zpracování obrazů
Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 Fourierova trasforace ve zpracováí obrazů 6. předáška předětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasforaci? základí ateatický ástroj
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceGeometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
Více5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!
VíceInvestice do rozvoje vzdělávání
Lieárí systémy a modely časových řad Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses Cíl,
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceVLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ
Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VíceMocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny
Mociy Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála Zdeěk Halas KDM MFF UK 07 Počátky logaritmů Základí idea logaritmů Napierovy logaritmy Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Expoeciála Zavedeí expoeciály
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigál eí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky a eí tam
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více