LINEÁRNÍ OBVODY S ELEKTRONICKÝMI PRVKY

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVEZITA OSTAVA Fakulta elektrotechniky a informatiky LINEÁNÍ OBVOY S ELEKTONICKÝMI PVKY Josef Punčochář Ostrava

2 LINEÁNÍ OBVOY S ELEKTONICKÝMI PVKY oc. r. Ing. Josef Punčochář, 00 LINEÁNÍ OBVOY S ELEKTONICKÝMI PVKY sbírka příkladů Ing. Jitka Mohylová, Ph., 00 ISBN

3 OBSAH PŘEMLUVA. ZOBECNĚNÁ METOA UZLOVÝCH NAPĚTÍ... Admitanční matice n pólu.. ozšířená, zkrácená matice Paralelní propojení n pólů 5.4. Mezní (možný) algoritmus pro sestavení matice 7.5. Určení uzlových napětí, napěťových přenosů, větvových proudů Určení vstupní impedance Napěťový zdroj signálu Určení výstupní impedance Propojení uzlů (pólů) Připojení zdrojů mezi nereferenční uzly.. 5. AMITANČNÍ POPIS AKTIVNÍCH 7 PVKŮ.... Klasický postup linearizace. 7.. Admitanční model operačního zesilovače (OZ) Admitanční model zesilovače s jedním vstupem (příklady užití) Admitanční model Nortonova zesilovače (NZ)...5. Admitanční model zesilovače s proudovou zpětnou vazbou (CFA) Admitanční model transadmitančního zesilovače (OTA) Admitanční model proudových konvejorů (CCII) Maticový popis CCII Maticový popis CCII Zobecněný popis CCII Kaskádní řazení CCII 9.8. Shrnutí kapitoly 3 3. LINEÁNÍ STUKTUY S OPEAČNÍMI ZESILOVAČI Základní zesilovací struktury Neidealizovaný operační zesilovač Operační zesilovač s nekonečným zesílením (ideální) Zesilovač s neideálním zesílením A, chybový člen E A Zesilovač s konečnou hodnotou A a výstupní vodivostí o Vliv diferenční impedance Z d a zesílení A Chybový člen. řádu Chování zesilovače v časové oblasti Shrnutí Filtry. řádu s invertujícím operačním zesilovačem.. 50 a) olní propust. řádu (invertující) 50 b) Pásmová propust. řádu (invertující) 53 c) Horní propust. řádu (invertující) 53 d) Pásmová zádrž. řádu Filtry. řádu s neinvertujícím zesilovačem 55 a) olní propust. řádu (neinvertující) 56 b) Horní propust. řádu (neinvertující) Kaskádní realizace filtrů Oscilátory Wienův oscilátor Oscilátor se členem C posouvajícím fázi o 80 59

4 4. ZESILOVAČE S POUOVOU ZPĚTNOU VAZBOU NULOOVÁ METOA ŘEŠENÍ OBVOŮ Nulátor, norátor, nulor Modely prvků (struktur) Nulorový model diferenčního zesilovače a operačního zesilovače Nulorový model Nortonova zesilovače Nulorový model zesilovače s proudovou zpětnou vazbou (transimpedančního; CFA) Nulorový model transadmitančního zesilovače Nulorový model negativního a pozitivního proudového konvejoru (CCII-; CCII+) Nulorová algebra v admitančním popisu Obvody řešené nulorovou metodou Nulorové modely některých struktur filtrů Nulorový model Wienova oscilátoru Shrnutí AMITANČNÍ MATICE TANZISTOŮ Popis bipolárního tranzistoru (BJT-bipolar junction transistor) Zapojení se společným emitorem (SE) 76 a) Stejnosměrný pracovní bod 76 b) Malosignálový model a vlastnosti (bez C KB ) 77 c) Vliv kapacity C KB Kaskodové zapojení Tranzistory řízené polem Základní principy tranzistorů FET Nastavení pracovního bodu Maticový popis tranzistorů NJFET a NMOSFET(s vodivým kanálem) Zesilovač se společným vývodem S Zesilovač s odporem S (ve vývodu S) Tranzistor s indukovaným kanálem (enhancement NMOSFET) Zesilovač se společným vývodem S (NMOSFET s indukovaným kanálem) Kaskoda s BJT a FET 99 oplňková literatura ke kapitole AMITANČNÍ MATICE TIOY... 0 oplňková literatura ke kapitole ZÁVĚ LITEATUA OATKY. 3 odatek - Lineární systém rovnic 3 odatek - Laplaceova transformace 6 odatek 3 Popis prvků v teorii obvodů OBSAH... 4

5 PŘEMLUVA S rozvojem moderních programů pro analýzu elektronických obvodů se lze často setkat s názorem, že klasické metody analýzy jsou zastaralé a neproduktivní. Takový názor je zjednodušený. Vždyť podstatou veškerých analytických programů jsou postupy klasické. Žádný počítač sám nevytvoří nový obvod. Je ovšem vynikajícím pomocníkem při analýze, odhalí většinou (pomocí vložených programů) všechny mylné odhady elektronika. I po schválení odhadů počítačem by však měla následovat verifikace absolutní - to je experiment - ten vždy a nekompromisně respektuje všechny fyzikální zákony a skutečnosti. okonce i ty, které dosud neznáme. ostatečným důvodem pro základní znalosti analýzy může být také to, že elektronik (obecně každý odborník) by měl zůstat elektronikem i v tom případě, kdy jeho počítač z jakýchkoliv důvodů nepracuje. Že zůstává elektronikem i při vypnutém počítači! Ve skriptech je uveden rychlý a přitom produktivní způsob analýzy základních lineárních (linearizovaných) struktur s operačními zesilovači a dalšími moderními zesilovacími strukturami (funkčními bloky). Některé příklady jsou dořešeny tak, že poskytují i vztahy pro syntézu daného obvodu. Stručněji jsou popsány tranzistory a velmi stručně elektronky (kap. 6 a 7). Těžištěm je rychlé, snadno algoritmizovatelné, sestavení systému rovnic, který obvod popisuje. Vlastní řešení systému rovnic je již problém matematický, každý k němu může přistupovat podle úrovně svých vědomostí. Vyvine-li přiměřenou námahu, může získat i explicitní vztahy, které určují vliv jednotlivých prvků obvodu na jeho vlastnosti. Vyloučeno není, samozřejmě, ani využití existujících programových prostředků. Veškeré problémy budou řešeny pomocí zobecněné metody uzlových napětí. Tato metoda se vyznačuje velmi jednoduchou šipkovou konvencí., která se nevzpírá algoritmizaci. V obvodových modelech není možné pracovat s ideálním zdrojem napětí, který nelze ve smyslu Nortonova teorému přepočítat na ekvivalentní zdroj proudu. Každému zdroji napětí musí být přiřazen nějaký výstupní odpor. Pokud je fakticky nulový (vodivost nekonečná), odstraníme problém v průběhu řešení stanovením limity. Cílem analýzy není jen správný a pěkný vztah. Ten, sám o sobě, nemá smysl, pokud jej nedokážeme vhodně promítnout do fyzikální reality, pokud neumíme diskutovat jeho význam. Teorie uvedená v kapitole. není obtížná. Její pochopení je důležité pro všechny další úvahy. Základní matematický aparát je velmi stručně připomenut v dodatku.. V žádném případě se nejedná o celou teorii lineárních obvodů, ale jenom o tu část, která je nutná pro řešení problémů zde zkoumaných. alšího rozšíření vědomostí lze dosáhnout studiem uvedené literatury. Signálové modely (kapitola.) základních zesilovacích struktur (funkčních bloků) jsou převzaty ze [7]. Samotnými strukturami se zabývat nebudeme. V tomto smyslu lze zde předložený materiál považovat za teoretické prodloužení knihy [7] (pro lineární obvody). Ze srovnání obou prací lze také posoudit, jak produktivní je sestavování matematických modelů pomocí zobecněné metody uzlových napětí, jsou-li překonány vstupní teoretické problémy. Následující kapitoly již jen dokumentují aplikace popsané metody při řešení praktických i teoretických problémů. Zkoumány jsou zesilovače, filtry, oscilátory s reálnými i ideálními funkčními bloky. Ukáže se, že za určitých předpokladů je vhodné pracovat s nulorovými modely aktivních prvků - kapitola 5. Je to tehdy, potřebujeme-li základní řešení s ideálními prvky a nulorový model není příliš složitý. Ostrava; ožnov pod adhoštěm autor

6 . ZOBECNĚNÁ METOA UZLOVÝCH NAPĚTÍ.. Admitanční matice n-pólu Předpokládejme, že máme lineární (n+)-pól, který je buzen n+ zdroji (obecně fázory nebo Laplaceovými obrazy) vnějších proudů I, I,..., I n, I n+. Společným uzlem je externí (vnější) uzel - obr... Potom existuje právě n+ napětí U, U,..., U n, U n+ (fázorů, Laplaceových obrazů), která jsou funkcí vnějších proudů. Ta může být popsána následující maticovou formou (z n+) Y Y. Y r Y s Y t. Y n Y z U I Y Y. Y r Y s Y t. Y n Y z U I Y r.. Y rr Y rs Y rt. Y rn Y rz U r I r Y s.. Y sr Y ss Y st. Y sn Y sz x U s I s (.) Y t.. Y tr Y ts Y tt. Y tn Y tz U t I t Y n.. Y nr Y ns Y nt. Y nn Y nz U n I n Y z.. Y zr Y zs Y zt. Y zn Y zz U z I z r I r s I s t I t Obr... Zobrazení (n+)-pólu s externím uzlem - šipková konvence (z n+) I (n+) - pól I n I z n U U z U n EXT. EF. BO Prvky Y sk matice jsou admitančními prvky. Jejich význam plyne ze základní rovnice (.) Y sk I s /U k (.) kde Y sk je prvek v s - tém řádku a k - tém sloupci; I S je vnější budicí proud s - tého uzlu (pólu), přičemž všechny uzly, vyjma k - tého, jsou připojeny k uzlu referenčnímu (nastaveny na nulovou hodnotu - stav nakrátko); U k je napětí k - tého uzlu (pólu) proti referenčnímu bodu. Uvažujeme nyní obvod (n-pól), který se skládá pouze z pasívních dvojpólů. Napěťový zdroj nechť je nejdříve připojen k uzlu s, všechny ostatní uzly jsou připojeny k uzlu referenčnímu (zkratovány) - obr..a. Nyní můžeme s využitím Ohmova zákona a. Kirchhoffova zákona snadno určit, že I s U s Y +...+U s Y k +...+U s Y n

7 I k k U k U s I s Y s Y k Y n s Y α Y β Y γ (b) (a) I s Y Y n Obr... Obvod složený pouze z dvojpólů Ve shodě se vstupními úvahami je potom diagonální prvek admitanční matice právě Y ss I s /U s Y Y k Y n (.3) roven sumě všech admitancí připojených do uzlu s. Nechť je nyní nenulové pouze napětí U k - obr..b. Proudy protékají pouze admitancemi Y α,y β,y γ. Na všech ostatních admitancích je napětí nulové a proudy jimi proto neprotékají. Zřejmě platí I s -I k - U k (Y α +Y β +Y γ ) tudíž prvky matice mimo hlavní diagonálu Y sk I s /U k -I k /U k -( Y α +Y β +Y γ ) (.4) jsou součtem všech admitancí připojených mezi uzly (póly) k a s - se záporným znaménkem. Tímto elementárním způsobem.) jsme schopni sestavit matici libovolného n+ - pólu složeného z dvojpólů. Musíme ovšem zdůraznit, že referenční uzel je externí, není součástí zkoumaného obvodu. Takto vzniklou matici nazýváme rozšířenou maticí ) Sestavování admitanční matice pomocí matic incidenčních, které vede ke stejnému výsledku je např. v [4] Šipkovou konvenci z obr.. budeme považovat za základní konvenci, která platí v rámci celé knihy, i když není právě vyznačena... ozšířená matice, zkrácená matice Každý dvojpól je v rozšířené matici právě čtyřikrát. Je-li mezi uzly k a s připojena admitance Y α, objeví se se znaménkem kladným v prvcích Y ss a Y kk a se znaménkem záporným v prvcích Y sk Y ks matice (.).

8 ozšířená matice se ovšem vyznačuje i dalšími důležitými vlastnostmi. Považujeme-li n+ - pól za zobecnělý uzel (celý jej obklopíme Jordanovou křivkou), musí platit podle. Kirchhoffova zákona, že součet všech proudů je nulový, tedy ze systému rovnic (.); zn+: I + I +...+I n + I z (Y + Y Y n + Y z )U + (Y + Y Y n + Y z )U (Y n + Y n Y nn + Y zn )U n + (Y z + Y z Y nz + Y zz )U z 0 (.5) Protože rovnice (.5) musí být splněna pro libovolná napětí U, U,..., U n, U z, je možné jediné řešení. Součet admitancí v kterémkoliv sloupci rozšířené matice musí být nulový, tedy (Y s + Y s Y ns + Y zs ) 0 (.6) pro s,,..., n, z. Předpokládejme nyní druhý mezní stav - všechna uzlová napětí jsou stejná U U... U n U z U V n+-pólu neexistuje rozdíl potenciálů, tedy nemohou protékat proudy. V systému rovnic (.) proto musí platit I I... I n I z (Y + Y Y n + Y z )U (Y + Y Y n + Y z )U (Y n + Y n Y nn + Y nz )U (Y z + Y z Y zn + Y zz )U 0 (.7) To může být pro libovolné napětí U splněno pouze tehdy, je-li součet admitancí v každém řádku rozšířené matice roven nule: (Y k + Y k Y kn + Y kz ) 0 (.8) pro k,,..., n, z. ozšířená admitanční matice má lineárně závislé některé řádky a sloupce, její determinant nabývá nulové hodnoty (je singulární). Pokud libovolný pól k spojíme s externím referenčním uzlem, situace se mění. Takto vzniklý vztažný pól je již součástí n+ - pólu. Jeho proud I k odpovídá součtu všech zbývajících proudů ( se záporným znaménkem) - je tedy jejich lineární kombinací, k -tá rovnice proto nemá význam, můžeme ji vypustit. Současně nabývá nulové hodnoty i napětí U k - smysl proto nemá ani k -tý sloupec matice, lze jej škrtnout. ostáváme zkrácenou matici, která má již nenulový determinant (je regulární). Systém rovnic je nyní lineárně nezávislý a je řešitelný. Propojování dalších pólů s referenčním uzlem vede ke stejnému výsledku. Odsud plyne: Spojíme - li libovolný uzel n-pólu s referenčním uzlem, škrtá se příslušný sloupec a řádek matice (ať už rozšířené, či zkrácené). Nová matice popisuje obvod, který má některé uzly zkratovány. Z vlastností rozšířené matice plyne velmi užitečný postup pro získání úplného popisu obvodu ze známého popisu maticí zkrácenou. Aktivní prvky jsou často popisovány jako trojpóly - obr..3. Měření parametrů je většinou udáváno s jedním pólem uzemněným. Máme tedy k dispozici pouze zkrácenou matici. Týž aktivní prvek však nemusí mít v jiném zapojení uzemněnu právě vhodnou svorku. Jak získáme parametry pro jinou vztažnou svorku?

9 a c b a c.3. Paralelní propojení n-pólů Propojme nyní dva n - póly, rozsáhlejší a méně rozsáhlý - obr..4. Situace na obrázku definuje všechny možné situace - nijak nezmenšuje obecnost úvah. Obecně je vhodné pracovat s rozšířenými maticemi. Pokud mají oba n - póly společný referenční bod, lze pracovat přímo s příslušnými maticemi zkrácenými. s r r b I r a b a Y aa Y ab U a I a b Y ba Y bb U b I b matice trojpólu se společným bodem c a b c a Y aa Y ab -Y aa -Y ab b Y ba Y bb -Y ba - c -Y aa -Y ba -Y ab - Obr..3. Znázornění trojpólu se společným vývodem (pólem) c, jeho zkrácená a rozšířená matice Stačí získat rozšířenou matici. Potom potřebný pól volíme za referenční a vždy škrtáme odpovídající řádek a sloupec matice rozšířené - získáváme tak popis aktivního prvku se správným (požadovaným ) společným (referenčním) bodem. A jak získáme rozšířenou matici? Ke zkrácené matici jednoduše přidáme jeden řádek a jeden sloupec. K doplnění prvků matice rozšířené použijeme vlastností popsaných vztahy (.6) a (.8) - políčka doplníme tak, aby součet v každém řádku a v každém sloupci byl roven nule - obr..3. Stejným způsobem můžeme samozřejmě postupovat i u obvodů (prvků) s více póly. s I ŕ I s Y bb Σ Y aa +Y ab +Y ba +Y bb rozšířená matice téhož obvodu I a a I ś Y bb +Σ [Y] 3 b I b [Y] n+ t I c c I t I t t z n Obr..4. Paralelní propojení n-pólů

10 ozsáhlejší systém nechť je popsán vztahem (.), menší systém vztahem (.9) a b c a Y aa Y ab Y ac U a I a b Y ba Y bb Y bc x U b I b (.9) c Y ca Y cb Y cc U c I c Základní skutečností je to, že zřejmě platí rovnost napětí (znak paralelnosti): U r U a ; U s U b ; U t U c Současně musí platit. Kirchhoffův zákon pro nové uzly obvodu r, s, t. Proto I r I r + I a (Y r U +Y r U +...+Y rr U r +Y rs U s +Y rt U t +...+Y rn U n +Y r,n+ U n+ ) (Y aa U r +Y ab U s +Y ac U t ) Po úpravě proto dostáváme I r I r + I a Y r U +Y r U +...+(Y rr + Y aa )U r +(Y rs +Y ab )U s +(Y rt + Y ac )U t Y rn U n +Y r,n+ U n+ Stejným postupem získáme i I s I s + I b Y s U +Y s U +...+(Y sr + Y ba )U r +(Y ss +Y bb )U s +(Y st + Y bc )U t Y sn U n +Y s,n+ U n+ I t I t + I c Y t U +Y t U +...+(Y tr + Y ca )U r +(Y ts +Y cb )U s +(Y tt + Y tc )U t Y tn U n +Y t,n+ U n+ Z tohoto zápisu již jednoznačně plyne běžně uváděné koincidenční pravidlo (algoritmus) pro transformaci malé matice na matici větší :. Za základ bereme (sestavíme) matici n-pólu s větším počtem pólů. Řádkům a sloupcům matice přiřadíme odpovídající čísla pólů (uzlů).. Zjistíme propojení uzlů obou n-pólů a vyznačíme je do základní matice (zde vyneseme uzly a, b, c do velké matice) 3. V polích, kde dochází ke koincidenci prvků malé matice, přičítáme odpovídající admitanci z této matice - prvky odpovídající průsečíkům indexů (zde tedy půjde o admitance Y aa až Y cc ). V našem případě bereme za základ admitanční matici z (.) a malou matici z (.9); (z n+):. r (a) s (b) t (c). n z Y Y. Y r Y s Y t. Y n Y z Y Y..... Y n Y z r(a) Y r.. Y rr +(Y aa Y rs +(Y ab ) Y rt +(Y ac ). Y rn Y rz ) s(b) Y s.. Y sr +(Y ba ) Y ss +(Y bb ) Y st +(Y bc ). Y sn Y sz (.0) t(c) Y t.. Y tr +(Y ca ) Y ts +(Y cb ) Y tt +(Y cc ). Y tn Y tz n Y n.. Y nr Y ns Y nt. Y nn Y nz z Y z.. Y zr Y zs Y zt. Y zn Y zz Vyznačení některých pólů (r, s, t) a proudů (I r, I s, I t ) již není nutné. Zůstává označení bez čárek, které popisuje novou situaci - paralelní propojení trojpólu a, b, c k velkému obvodu v uzlech (pólech) r a, s b, t c. Pokud bude připojení trojpólu jiné, prvky Y aa až Y cc se jen přestěhují do jiných polí výsledného admitančního popisu, podle uvedeného algoritmu.

11 Je-li nyní například na obr..4 propojen uzel n+ z s externím referenčním uzlem, prostě se škrtá řádek a sloupec n+. Bude-li k referenčnímu uzlu připojen např. i uzel t c, škrtá se v matici (.0) i řádek a sloupec t ( c):. r (a) s (b) t+. n Y Y. Y r Y s Y,t+. Y n Y Y..... Y n r(a) Y r.. Y rr +(Y aa ) Y rs +(Y ab ) Y r,t+. Y rn s(b) Y s.. Y sr +(Y ba ) Y ss +(Y bb ) Y s,t+. Y sn t+ Y t+,.. Y t+,r Y t+,s Y t+,t+. Y t+,n n Y n.. Y nr Y ns Y n,t+. Y nn ůležitá je skutečnost, že ve zkrácené matici (v matici, kde součástí n-pólu je referenční uzel) se admitance dvojpólů připojených proti vlastnímu referenčnímu uzlu objeví pouze jedenkrát, na patřičném místě v diagonále matice, se znaménkem kladným. vojpóly připojené mezi uzly nereferenční se i zde objeví čtyřikrát. Pokud bude velká matice popisovat část lineárního obvodu složenou pouze z pasívních dvojpólů, je její sestavení pomocí uvedených postupů velmi jednoduché. Malý n - pól může být rovněž pasívní. Ale může reprezentovat i aktivní prvek elektronických obvodů - jeho admitanční popis (model). Pokud umíme získat lineární (linearizovaný) admitanční popis elektronických prvků, nebrání nic tomu, abychom analyzovali pomocí uvedených postupů jakýkoliv lineární elektronický obvod - tedy všechny zesilující struktury a všechny struktury, které upravují spektrum signálu - tedy filtry. Z admitančního systému rovnic (matematického modelu skutečnosti) umíme určit všechna uzlová napětí a následně i všechny větvové proudy. Umíme tedy analyzovat daný lineární obvod. Velkou matici stačí sestavovat zkrácenou, vždy existuje vlastní referenční uzel. Matice aktivních prvků je výhodné mít rozšířené. Ale stačí i zkrácené, vůči referenčnímu uzlu, který je společný oběma n-pólům (je-li takový)..4. Mezní (možný) algoritmus pro sestavení matice Po předcházejících úvahách lze algoritmus pro sestavení admitanční matice dovést až do úplného konce. Představme si obecnou impedanci Z i (dvojpól) na obr..5. Podle uvedených U Zi a i b i I ai Z i Obr..5. Popis dvojpólu Z i U ai U bi EXT. UZEL pravidel je zřejmé, že úplná admitanční matice dvojpólu Z i s póly a i, b i je (Y i /Z i ): a i b i a i Y i -Y i U ai I ai (.) b i -Y i Y i U bi I bi

12 a (.9) c Z O J 3 b U Z a b P O U U I U Z Z a U 3 U Z U Obr..6. Propojení trojpólu definovaného maticí (.9) a dvou dvojpólů Z a Z -matice (.); systém je buzen pouze proudem I (I I 3 0) b To odpovídá triviální skutečnosti, že I ai (U ai - U bi )/Z i U ai Y i - U bi Y i I bi (U bi - U ai )/Z i -U ai Y i + U bi Y i Pro lineární impedanci vede záměna pólů a i, b i ke stejnému výsledku. Nyní můžeme obvod popsat jen uzly, dvoj- i více-póly a celou situaci (skutečnost) popsat pomocí incidencí jednotlivých n-pólů s uzly. Situace je demonstrována na obr..6. o systému vstupuje pouze proud I (je buzen proudem I ). K popisu obvodu zkrácenou maticí postačí tři uzly - označme je až 3. Potom platí následující popis (s vyznačením incidencí):,(a),(c),(b ) 3,(b),(a ),(a ),(a) Y aa Y ac Y ab U I,(c),(b ) Y ca Y cc +Y Y cb - Y U 0 (.) 3,(b),(a ),(a ) Y ba Y bc - Y Y bb +Y +Y U 3 0 Incidenci pólu b s referenčním uzlem není třeba vyznačovat (viz i obr..7) - co je připojeno k referenčnímu uzlu se stejně škrtá. Spolu incidují pouze prvky matic příslušející stejným n-pólům. Pro příklad (uváděno v pořadí řádek - sloupec): (a) - (a) dodá Y aa v poli (, ) z matice (.9) (a) - (c) dodá Y ac v poli (, ) z matice (.9) (a) - (b ) není incidence - různé prvky (c) - (b) dodá Y cb v poli (, 3) z matice (.9) (b ) - (b ) dodá Y v poli (, ) z matice (.) pro i (b ) - (a ) dodá -Y v poli (, 3) z matice (.) pro i (a ) - (a ) dodá Y v poli (3, 3) z matice (.) pro i (a ) - (a ) není incidence - různé prvky

13 Ke stejnému výsledku musíme dospět i algoritmem uvedeným u vztahu (.0), za využití vztahů (.3) a (.4). K uzlu je připojena admitance Y - odsud +Y v poli (, ) pasívní matice. o uzlu 3 jsou připojeny admitance Y, Y - odsud (Y + Y ) v poli (3, 3). Mezi uzly a 3 je připojena admitance Y - odsud (-Y ) v polích (, 3) a (3, ). Samotná matice pasívní ( dvojpólové ) části obvodu potom vypadá následovně ( je symetrická kolem hlavní diagonály): 3 U I Y -Y U 0 3 -Y Y +Y U 3 0 Nyní vyznačíme incidence trojpólu a, b, c (pro názornost opakovaně) a doplníme patřičné prvky z matice (.9), stejně jako u (.):,(a),(c) 3,(b),(a) +(Y aa ) +(Y ac ) +(Y ab ) U I,(c) +(Y ca ) Y +(Y cc ) -Y +(Y cb ) U 0 3,(b) +(Y ba ) -Y +(Y bc ) Y +Y +(Y bb ) U 3 0 Oba postupy vedou ke stejnému výsledku. Známe-li I a všechny prvky matice (.), je systém řešitelný, je možné vypočítat neznámá uzlová napětí U, U a U 3 pomocí Cramerova pravidla. a (.9) c Z O J 3 b a b P O U U I U Z a U 3 Z U b 4 U 4 Obr..7. Situace z obr..6 pro externí referenční bod EXT. EF. BO. Jak by vypadal popis obvodu na obr..6 pomocí rozšířené matice? Pól b admitance Y odpojíme od referenčního bodu - obr..7. eferenční bod je nyní externí, přibude uzel 4.

14 ozšířená matice je 4. řádu, pasívní matici pro Z a Z sestavíme některým z dříve popsaných postupů a vyznačíme incidence trojpólu:,(a),(c) 3,(b) 4,(a) (Y aa ) (Y ac ) (Y ab ) 0 U I,(c) (Y ca ) Y +(Y cc ) -Y +(Y cb ) 0 U 0 3,(b) (Y ba ) -Y +(Y bc ) Y +Y +(Y bb ) -Y U Y Y U 4 0 Je-li nyní propojen uzel 4 s uzlem referenčním, je U 4 0, škrtá se 4. řádek a 4. sloupec. Opět obdržíme popis identický se vztahem (.). Počet uzlů a n-pólů není obecně ničím omezen. Počet uzlů určuje řád čtvercové matice a jistě souvisí i s počtem n-pólů. Zapojení n-pólů mezi uzly popisuje strukturu ( a tedy i vlastnosti) obvodu. Se zvětšováním počtu uzlů roste i náročnost (pracnost) řešení..5. Určení uzlových napětí, napěťových přenosů, větvových proudů Postup výpočtu budeme demonstrovat pro situaci na obr..6 - popsanou matematickým modelem (.). V obecném případě se mění pouze řád matice, postup je stejný. Neznámá jsou uzlová napětí U, U a U 3 (obecně až U n ), v systému je jeden budicí proud I (obecně může být více budicích proudů). Předpokládáme, že determinant soustavy příslušný admitanční matici v (.) Y aa Y ac Y ab Y ca Y +Y cc -Y +Y cb Y ba -Y +Y bc Y +Y +Y bb je nenulový.). Potom uzlová napětí určíme pomocí Cramerova pravidla U i i / (.3) ) Opačný případ viz čl oscilátory kde i je determinant, který vznikne z determinantu tak, že v něm i-tý sloupec nahradíme sloupcem budicích proudů (dodatek.). Pro situaci na obr..6 proto platí I Y Y U / 0 Y + Y Y Y (.4) 0 Y cc bc ac Y Y bb cb ab + Y + Y U Y / Y 0 Y Y (.5) Y aa ca ba I 0 Y bb cb Y ab + Y + Y U 3 Y / Y Y + Y 0 (.6) 3 Y aa ca ba Y cc bc Y ac Y I 0

15 Nyní jsou určena všechna uzlová napětí zkoumaného obvodu. Hodnoty determinantů můžeme v daném případě určit pomocí Sarrusova pravidla, obecně rozvojem podle vhodného sloupce. Považujeme-li uzel za uzel vstupní, můžeme určit napěťové přenosy U /U ( /)/( /) / (.7) U 3 /U ( 3 /)/( /) 3 / (.8) Pro stanovení samotných přenosů není nutné určovat determinant soustavy. Větvové proudy impedancemi Z a Z určíme snadno, ze znalosti uzlových napětí;. Kirchhoffova zákona a Ohmova zákona (obr..6): U ab U Z U 3 - U I Z U Z /Z U Z Y (U 3 - U )Y Y ( 3 - )/ U ab U Z U 3 I Z U Z /Z U Z Y Y / Určení proudů I a a I c vývody trojpólu pomocí. Kirchhoffova zákona je zřejmé. Proud I a je zjevně shodný s proudem I..6. Určení vstupní impedance Určení vstupní impedance struktury je jednoduchou záležitostí. Ve smyslu Ohmova zákona je definována poměrem [U viz (.4), šipková konvence je v pořádku - obr..6] Z vst U /I ( /)/I (.9) ozvineme-li pro daný příklad podle. sloupce, obdržíme pro vstupní impedanci vztah Z vst + ( ) I Y cc + Y Y cb Y Y Y Y + Y + Y bc bb I Y + Y Y Y cc cb Y Y Y + Y + Y bc bb.7. Napěťový zdroj signálu Předpokládejme, že struktura na obr..6 není buzena ideálním zdrojem proudu, nýbrž ideálním zdrojem napětí U i - obr..8. Je zřejmé, že i v tomto případě bude do uzlu vtékat nějaký proud I, který ovšem nyní neznáme. Zato známe uzlové napětí, protože U i U. Formální popis situace na obr..6 a obr..8 musí být ovšem naprosto stejný. Proto i nyní platí model (.), ale je možné rovnice přeskládat. Členy rovnic, které obsahují známé uzlové napětí U převedeme vpravo. Neznámý proud I převedeme vlevo. Postup je naprosto zřejmý, rozepíšeme-li (.) do rovnic: Y aa U + Y ac U + Y ab U 3 I Y ca U + (Y cc +Y )U + (Y cb -Y )U 3 0 Y ba U + (Y bc -Y )U + (Y bb +Y + Y )U 3 0 Teď uděláme převody : vpravo členy s U vlevo členy s I -I + Y ac U + Y ab U 3 -Y aa U 0.I + (Y cc +Y )U + (Y cb -Y )U 3 -Y ca U 0.I + (Y bc -Y )U + (Y bb +Y + Y )U 3 -Y ba U

16 a (.9) c Z O J I i I 3 b N A P. U i U U 3 Z Z U Obr..8. Struktura z obr..6 buzena ideálním zdrojem napětí Tomu odpovídá maticový zápis (nyní již matice smíšená) - Y ac Y ab I -Y aa U 0 Y cc +Y Y cb - Y U -Y ca U (.0) 0 Y bc - Y Y bb +Y +Y U 3 -Y ba U Při troše cviku lze získat (.0) z (.) přímo, bez rozepisování do rovnic. Z (.0) je zřejmé, že. řádek zápisu pro určení U a U 3 vůbec nepotřebujeme. Stačí tedy řešit systém rovnic Y cc +Y Y cb - Y U -Y ca U (.) Y bc - Y Y bb +Y +Y U 3 -Y ba U Je to i logické. Známe-li v systému se třemi uzly (nezávislými) jedno uzlové napětí (zde U ), stačí již pro určení dvou nezávislých napětí (U, U 3 ) pouze dvě rovnice. Určíme-li ovšem z (.) napětí U a U 3, můžeme z. řádku (.0) dopočítat i proud I, který je dodáván ze zdroje napětí U i. Můžeme však vyjít i z (.0) a přímo určit všechny tři neznámé veličiny, tedy I, U a U 3 pomocí Cramerova pravidla. Známe-li proud I, můžeme určit i vstupní impedanci jako poměr napětí U U i a proudu I, tedy Z vst U i /I. i a a U i obr..6 i obr..6 U i / i Obr..9. Připojení reálného zdroje napětí a jeho proudový ekvivalent

17 Bude-li zdroj napětí U i reálný, s konečnou hodnotou vnitřního odporu i - obr..9 - lze zdroj napětí přepočítat na ekvivalentní zdroj proudu pomocí Nortonova teorému. o popisu (.) tak přibude do pole (, ) pouze vnitřní vodivost i / i a proud I U i / i U i i, tedy 3 Y aa + i Y ac Y ab U U i i Y ca Y cc +Y Y cb - Y U 0 (.) 3 Y ba Y bc - Y Y bb +Y +Y U 3 0 Postup řešení (.) je stejný jako u (.). V obecném případě se může jednat i o výstupní impedanci zdroje Z i. Potom platí substituce i Y i /Z i..8. Určení výstupní impedance Vzhledem k tomu, že zkoumáme lineární obvod, můžeme otázku výstupní impedance libovolného uzlu (pólu) vyřešit měřicím přístupem. Budicí zdroje reálné nahradíme jejich vnitřními impedancemi (ideální zdroj napětí zkratem, ideální zdroj proudu nekonečnem - rozpojíme). Znamená to, že v (.) je I 0; v (.) je U i 0. Uspořádání, tedy ani popis, obvodu se dále nemění. a (.9) c i 3 b Obr..0. Měření impedance uzlu U m Z Z I m U m Určeme např. impedanci uzlu. Tato impedance je ve smyslu Théveninova ( i Nortonova) teorému vstupní i výstupní impedancí uzlu. Situace pro buzení struktury s reálným zdrojem napětí (obr..9) je na obr..0. o uzlu je vnucován měřicí proud I m. Určení výstupní impedance uzlu se tak převede na určení vstupní impedance uzlu. Pomocí popsaných algoritmů sestavíme maticový popis měřicího režimu:, a, c 3, b, a Y aa + i Y ac Y ab U m 0, c Y ca Y cc +Y Y cb - Y U m I m (.3) 3, b Y ba Y bc - Y Y bb +Y +Y U 3m 0 Admitanční matice obvodu se proti (.) skutečně nezměnila. Vždyť také jeho uspořádání zůstalo stejné. Změnila se pouze matice budicích proudů; měřicí proud I m vstupuje do uzlu. Uzlová napětí pro tuto situaci jsou odlišena pomocným symbolem m. Nyní již můžeme určit pro impedanci uzlu ( vstupní i výstupní)

18 Y + 0 Y aa i ab Z U I / ( I ) Y I Y Y ( I ) (.4) out m m m ca m cb kde je determinant soustavy (.3)..9. Propojení uzlů (pólů) Y 0 Y + Y + Y ba bb Pokud propojíme libovolný uzel r s referenčním uzlem (viz čl..), musíme v admitančním popisu škrtnout řádek i sloupec r (do řádku r patří i budicí proud I r ). Co se stane, propojíme-li dva nereferenční uzly, například k a s - obr..? Znamená to, že platí U k U s U k,s (.5) I k + I s I k,s (.6) Index k,s jen dokumentuje historii vzniku nového (sdruženého) uzlu - propojení původních uzlů k a s. Zápis platí zcela obecně pro popisy typu (.) i (.), tedy pro pasívní i aktivní lineární obvody. ovnici (.5) odpovídá v maticovém popisu součet sloupců k a s. Ke sloupci k přičítáme sloupec s, napětí U k přeznačíme na U k,s. Po rozepsání maticového zápisu typu (.) do rovnic totiž platí: Y U +...+Y k U k Y s U s +...+Y n U n Y U +...+(Y k +Y s )U k,s +...+Y n U n I... m Y k U +...+Y kk U k +...+Y ks U s +...+Y kn U n Y k U +...+(Y kk +Y ks )U k,s +...+Y kn U n I k... Y s U +...+Y sk U k +...+Y ss U s +...+Y sn U n Y s U +...+(Y sk +Y ss )U k,s +...+Y sn U n I s... Y n U +...+Y nk U k +...+Y ns U s +...+Y nn U n Y n U +...+(Y nk +Y ns )U k,s +...+Y nn U n I n ovnici (.6) odpovídá součet řádků k a s v maticovém popisu. K řádku k přičítáme řádek s. Proud I k nahradíme proudem I k,s (přeznačíme). Z předchozího rozpisu obdržíme po této operaci: Y U +...+(Y k +Y s )U k,s +...+Y n U n I... (Y k +Y s )U +...+(Y kk +Y ks +Y sk +Y ss )U k,s +...+(Y kn +Y sn )U n I k + I s I k,s... U k,s (k,s) Y n U +...+(Y nk +Y ns )U k,s +...+Y nn U n I I k,s n k s I k I s Y α Obr... Propojení dvou nereferenčních uzlů n - pól Je-li mezi uzly k a s připojena například admitance Y α (obr..), platí podle základních vztahů (.3) a (.4)

19 Y kk Y α + Σostatních admitancí do uzlu k Y ss Y α + Σostatních admitancí do uzlu s Y sk Y ks -Y α Novému sdruženému uzlu k,s přísluší na diagonále matice uzlová admitance Y (k,s),(k,s) Y kk + Y ks + Y sk + Y ss Σvšech admitancí vstupujících do uzlů s a k, vyjma Y α To je správný výsledek, admitance Y α je nyní propojením uzlů zkratována, nemá smysl. Popisovala-li například admitance Y k propojení mezi uzly a k a admitance Y s mezi uzly a s, popisuje člen Y k + Y s propojení mezi uzlem a novým (sdruženým) uzlem k, s. Shrnutí: Existuje-li admitanční popis obvodu, potom a) propojení libovolného uzlu r s uzlem referenčním odpovídá škrtnutí r-tého řádku i sloupce v admitančním popisu b) propojení libovolných uzlů k a s odpovídá sečtení sloupců k a s (napětí U k,s ) a sečtení řádků k a s (proud I k,s ) v admitančním popisu..0. Připojení zdrojů mezi nereferenční uzly Připojení ideálního zdroje proudu I mezi nereferenční uzly k a s je na obr... Tato situace je velmi jednoduchá. Při konvenci zavedené na obr.. prostě platí, že I k I a I s - I. Takto doplněný systém je opět řešitelný. Y I I I U U U k k U s s U k k U s s I k I s I k I s n - pól n - pól Obr... Připojení zdroje proudu I mezi Obr..3. Připojení ideálního zdroje uzly k a s (Y I 0 pro ideální zdroj) napětí U mezi uzly k a s Pokud je zdroj proudu reálný (tedy Y I 0), zahrneme Y I do pasívního popisu: k prvkům Y kk a Y ss doplníme (+Y I ), k prvkům Y sk Y ks doplníme (-Y I ). Se získaným modelem pracujeme dále stejně jako v úvahách předchozích.

20 Připojení ideálního zdroje napětí U mezi nereferenční uzly k a s je na obr..3. Jádrem úvahy je skutečnost, že zdroj napětí U dodává do uzlu k nějaký proud I U (zatím neznámý), stejně velký proud jistě odebírá z uzlu s. Vždy musí platit U k U s + U respektive U s U k - U. Počet neznámých uzlových napětí se o jedno napětí zmenšuje. Při vyznačené konvenci vezměme za základ dalších úvah rovnice U s U k - U ; I k I U ; I s - I U. opad těchto rovnic objasníme opět nejvýhodněji po rozepsání rovnic (.), stejně jako v čl..9 (zkráceně): sloupec k sloupec s... +Y k U k Y s (U k - U) +... I... +Y k U k Y s (U k - U) +... I... řádek k... +Y kk U k Y ks (U k - U) +... I U... řádek s... +Y sk U k Y ss (U k - U) I U Y nk U k Y ns (U k - U) +... I n Zřejmě sjednotíme členy s U k, tedy ke sloupci k přičteme sloupec s; členy se známým napětím U převedeme vpravo ; jednu nadbytečnou rovnici nejsnáze odstraníme tak, že k řádku k přičteme řádek s. Výsledkem je systém rovnic, ve kterém je počet uzlových napětí (neznámých) n -, vypadlo napětí U s (které snadno dopočítáme ze vztahu U s U k - U): sloupec (k+s)... +(Y k + Y s )U k +... I + Y s U... +(Y k + Y s )U k +... I + Y s U... řádek (k+s)... +(Y kk + Y ks +Y sk + Y ss )U k +... (Y ks + Y ss )U (Y nk + Y ns )U k +... I n + Y ns U Algoritmus (při zvolené konvenci) je zřejmý, a vlastně i logický. Vždyť ideální zdroj napětí představuje pro všechny signály zkrat. Jeho působení na pasívní matici tedy musí být jako u zkratu. Jeho zdrojové účinky jsou skryty v těch členech s U převedených vpravo. Připojujeme-li reálný zdroj napětí, není obtížné udělat přepočet podle Nortonova teorému a dále pokračovat podle úvah uvedených k obr...

21 . AMITANČNÍ POPIS AKTIVNÍCH PVKŮ Pro moderní zesilovací struktury (funkční bloky) jsou známy signálové modely, které umožňují získat admitanční popis pomocí elementárních úvah, Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona. Obvody jsou často lineární ve značném rozsahu proudů a napětí, stanovení pracovních podmínek (bodů) není obtížné, většinou plyne ze základní definice příslušné struktury. Obecně je však nutné postupovat podle čl..... Klasický postup linearizace - např. [8] Klasickým aktivním prvkem elektronických obvodů je trojpól (elektronka, tranzistor), který popisují dvě napětí a dva proudy - obr... Závislosti mezi proudy a napětími jsou obecně nelineární a mohou být popsány funkcí dvou proměnných i f ( u, u ) a a b i f ( u, u ) b a b (.) a i a i b b u b Obr... Symbolická značka trojpólu.) u a c Při linearizaci nás zajímá malá oblast napětí a proudů v okolí nějakého vhodného pracovního bodu u a0, u b0. To vyjádříme pomocí malých změn napětí u a,b : u u + u a a0 a u b u b0 + u b Tyto malé změny napětí vyvolají odpovídající změny proudů ia f( ua0 + ua, u b0 + u b ) (.) i b f ( ua0 + ua, u b0 + u b ) ozvineme-li rovnice (.) v Taylorovu řadu a uvažujeme pouze derivace. řádu, obdržíme ve shodě s [8] ) Malá písmenka značí obecně časově proměnné veličiny i a i ia f( ua0, u b0 ) + ua + u u i b i i b f ( ua0, u b0 ) + ua + u u a a a b b b u b u b Členy ia0 f( ua0, u b0 ), i b0 f ( ua0, u b0 ) určují klidové pracovní proudy. Musí být nalezeny graficky nebo numericky z nelineárních popisů zkoumaných trojpólů. Zbývající členy popisují odezvy proudů i a,b na změny napětí u a,b. Z (.3) plyne, že (.3)

22 i a i a ia ua + u b u a u b (.4) i b i b i b ua + u b u a u b Parciální derivace definují dynamické (diferenční) parametry trojpólu, které určujeme z jejich charakteristik (popisů) v okolí pracovního bodu. Při vhodně zvoleném režimu lze považovat veličiny (vodivosti) ia i a gaa ; gab u a u b (.5) i b i b g ba ; g bb u a u b za nezávislé na změnách napětí napětí u a proudů i. Jedná se o linearizovaný model v pracovním bodě u a0, u b0. Časové průběhy napětí a proudů se při analýze obvodů zaměňují jejich komplexními obrazy (fázory) nebo operátorovými obrazy (U, I). Potom může být trojpól popsán (pro malé signály) vodivostními (obecně admitančními) rovnicemi (g aa Y aa, g ab Y ab, g ba Y ba, g bb Y bb ) Ia gaaua + gabu b (.6) I g U + g U b ba a bb b jimž odpovídá maticový zápis a b a g aa g ab U a I a (.7) b g ba g bb U b I b který můžeme srovnat se vztahem uvedeným na obr..3. Jedná se zřejmě o zkrácenou matici. Získání rozšířené matice je rovněž součástí obr..3. Pokud bude aktivní prvek vícepólový, úvahu analogicky rozšíříme. Pro čtyřpól (a, b, c, d) s referenčním uzlem d bude platit popis kde pro I g U + g U + g U a aa a ab b ac c I g U + g U + g U b ba a bb b bc c I g U + g U + g U c ca a cb b cc c i j g jk u k j a, b, c k a, b, c (.8) (.9).. Admitanční model operačního zesilovače (OZ) (zdroje napětí řízeného napětím) Základní symbol pro operační zesilovač (podrobně viz [60, 5, 7]) je na obr..a. Aby bylo vůbec možné sestavit admitanční matici, je nezbytné uvažovat i nenulový výstupní odpor zesilovače o. Překreslené idealizované schéma (signálové) je na obr..b. Idealizace spočívá v tom, že uvažujeme nekonečně velké impedance pro oba vstupy, tedy vstup invertující (-) i

23 neinvertující (+). To znamená, že oba vstupní proudy jsou nulové, jde tedy o napěťové řízení. Tato idealizace není nijak na závadu obecnosti úvah. Vstupní impedance můžeme při analýze snadno zahrnout do matice pasívní části obvodu. I + 0 (+) (-) I - 0 U + U d U - o U o I o (o) (+) (-) I + I - U d o U on AU d A(U + -U - ) U o I o (o) (a) (b) Obr... a) Základní symbol a šipková konvence pro operační zesilovač; b) idealizované schéma [U d U + - U - - diferenční (rozdílové) napětí] Základní rovnicí popisující idealizovaný diferenční operační zesilovač je vztah pro výstupní napětí naprázdno (I o 0) U o (I o 0) U on AU d A (U + - U - ) (.0) kde A je zesílení zesilovače, ostatní symboly viz obr... Zesílení A může v sobě zahrnovat i frekvenční závislost - může být popsáno jako funkce (jω). Ze situace na obr..b snadno určíme, že I o (U o -AU d )/ o -A o U + + A o U - + o U o (.) kde o / o je výstupní vodivost zesilovače. Naprosto formálně můžeme doplnit signálový systém rovnic (při dané idealizaci): I + 0.U U U o I - 0.U U U o I o (U o -AU d )/ o -A o U + + A o U - + o U o což jednoznačně definuje admitanční matici operačního zesilovače v podobě (+) (-) (o) (+) U + I + (-) U - I - (.) (o) -A o A o o U o I o Tím je určen admitanční model operačního zesilovače a můžeme proto využít všechny dřívější úvahy pro řešení lineárních obvodů s OZ..3. Admitanční model zesilovače s jedním vstupem (příklady užití) Základní situace je znázorněna na obr..3. Zesilovač se zesílením K může být neinvertující ( K>0 ) i invertující ( K<0). I zde je nutné uvažovat výstupní odpor o zesilovače, aby bylo možné admitanční matici sestavit.

24 a I a U a K U b I b b a U a I a o KU a U b I b b Obr..3. Základní symbol pro zesilovač s jedním vstupem a jeho náhradní schéma efiniční rovnicí je vztah pro výstupní napětí naprázdno (I b 0) U b (I b 0) K U a (.3) Vstupní odpor je idealizován (nekonečný), takže platí I a 0. Skutečný vstupní odpor (impedance) může být zahrnut do pasívní matice struktury. Situaci na obr..3 nyní můžeme popsat vztahy I a 0.U a + 0.U b I b (U b -KU a )/ o -K o U a + o U b což je zachyceno v admitančním popisu (modelu) zesilovače s jedním vstupem. a b a 0 0 U a I a b -K o o U b I b (.4) Stejný výsledek lze získat přímo z rovnic (.) uvědomíme-li si, že stačí na obr.. připojit vstup (-) k referenčnímu uzlu. Tomu odpovídá škrtnutí řádku a sloupce (-) v (.) - čl..9. Potom již platí substituce (+) a, (o) b, A K. Y Y 6 Y Y a K b I Y 5 Y 4 Obr..4. Bridgmanova-Brennarova struktura

25 Pro ilustraci analyzujme strukturu na obr..4. Toto zapojení v sobě skrývá celou řadu běžně používaných filtrů. řádu. Pro K>0 se jedná o filtry Sallen-Key, pro K - se jedná o filtry s invertujícím operačním zesilovačem.). ealizace K nás v tomto okamžiku nezajímá. Výsledná matice s vyznačením koincidencí s maticí (.4) je čtvrtého řádu (zkrácená) ) Viz kapitola (b) 3 4(a) Y 0 -Y 0 U I (b) 0 Y +Y 6 -Y -Y 6 + U 0 +( o ) (-K o ) 3 -Y -Y Y +Y + -Y 3 x U 3 0 (.5) Y 3 +Y 5 4(a) 0 -Y 6 -Y 3 Y 3 +Y 4 +Y 6 U 4 0 Řešením systému rovnic pro o 0 ( o ) dostaneme pro přenos vztah (.6) U KY Y3 U Y Y Y Y Y Y Y Y K Y Y Y Y Y Y Y o [ ] ( ) + ( + ) + ( ) + ( ) Pro K -, získáváme popis filtrů s invertujícím operačním zesilovačem; vztah (.6) nabývá podoby U YY 3 (.6a) U Y Y + Y Y + Y + Y + Y K o [ 3 6( 3 5) ] Je-li K > 0 a platí, že Y 6 Y 5 0, dostáváme jednu základní strukturu pro filtry Sallen-Key [7 ]. Ze vztahu (.6) dostaneme za těchto podmínek: U U o KY Y3 Y Y + Y ( Y + Y + Y ) + Y Y ( K) (.6b) Nebo je - li pouze Y 6 0, dostaneme jinou strukturu pro filtry Sallen - Key a vztah: U U o KY Y3 Y ( Y + Y + Y + Y ) + Y ( Y + Y ) + Y Y ( K) (.6c) ůznou volbou vhodných admitancí Y až Y 6 ( i, jωl i, /( jωc i )) dosahujeme požadovaných frekvenčních průběhů přenosů (propusti a zádrže. řádu).

26 B C B B I A C A A 3 K - b Obr..5. Principiální zapojení filtrů C se dvěma pasívními dvojbrany (trojpóly) a invertujícím OZ ruhým příkladem analýzy je zapojení na obr..5. Struktura se skládá pouze z trojpólů a je využívána při syntéze filtrů. Požadavky kladené na filtr se převedou na syntézu dvou pasívních dvojbranů C [např. 8]. Tvrzení bude zřejmé, určíme-li přenos struktury. Oba dvojbrany (trojpóly, pasívní) jsou popsány obecně admitanční maticí (zkrácenou) Y Y Y Y (.7) rozlišení je zajištěno dalším písmenem v indexu (A nebo B). Admitanční popis sestavíme pouze na základě incidencí s uzly s využitím vztahů (.7) a (.4): ; A ; B,b 3; A, B,a ; A Y A 0 Y A U I ; B,b 0 Y B + o Y B -K o U 0 3; A, B,a Y A Y B Y A +Y B U 3 0 Pro K - snadno určíme, že U /U - Y A /Y B Protože pasívní členy C jsou reciproké, platí Y B Y B a tedy i tvrzení, že U /U - Y A /Y B Požadavky kladené na filtr se opravdu transformují na syntézu pasívních dvojbranů s požadovanými admitancemi Y A,B..4. Admitanční model Nortonova zesilovače (NZ) Podrobný popis struktury Nortonova zesilovače je uveden např. v [7]. Jedná se o relativně jednoduchý diferenční zesilovač s napěťovým zesílením asi 60 db, který je určen hlavně pro méně náročné aplikace s nesymetrickým napájením. Náhradní signálové schéma je na obr..6. Invertování je definováno znaménkem před A v modelu. Pro samotné A už platí, že je kladné (na nízkých frekvencích). (-) (+) U - I - I B I + I + U + T T -AU - I U o I o (o) U C Obr..6. Náhradní signálové schéma Nortonova zesilovače a jeho možná symbolická značka INVETUJÍCÍ ZESILOVAČ

27 Významným znakem je to, že proudová vazba mezi neinvertujícím vstupem (+) a invertujícím vstupem (-) (proudové zrcadlo T, T) zajišťuje v ideálním případě shodu obou vstupních proudů I + I -, tedy I B I - - I + 0, je-li vstupní odpor IN nekonečný. Napětí U - je zesilováno (-A-krát) invertujícím zesilovačem, jehož vstupní odpor IN je v ideálním případě nekonečný. Výstupní odpor o je ideálně roven nule. U CC U CC I SS- I SS- a 0k I SS+ C V U CC / U SSo U CC / U SSo U CC / C f >> a a 0k I SS+ C NEINVETUJÍCÍ INVETUJÍCÍ VSTUP (a) Obr..7. Nastavení stejnosměrné hodnoty výstupního napětí U SSo U CC / (pracovního bodu) Pro nastavení pracovního bodu využijeme toho, že i pro stejnosměrné proudy musí platit I SS- I SS+. Na výstupu zesilovače požadujeme stejnosměrnou hodnotu U SSo U CC /, to je polovinu napájecího napětí - obr..7. Na obr..7a platí I SS+ U CC /( ), I SS- U SSo /. Podmínka I SS- I SS+ je splněna právě pro U SSo U CC /. Nevýhodou je, že nežádoucí změny napájecího napětí U CC (šumy, poruchy) se přenášejí přes na neinvertující vstup zesilovače a jsou dále přenášeny na výstup (s přenosem asi 0,5). Na obr..7b je vytvořeno pomocným děličem napětí U CC /, které lze filtrovat pomocí kondenzátoru C f. Pro >> a bude I SS- I SS+ právě při U SSo U CC /. Pro signálové změny představuje tranzistor T v diodovém zapojení dynamický odpor r d U T /I SS+ /g d (.8) To odvodíme snadno z rovnice pro proud diody v propustném směru (U je napětí na diodě, U T je teplotní napětí, asi 6 mv při pokojové teplotě) - viz i kapitola 6: I SS+ I oe exp(u /U T ) (.9) I oe je proud diody v závěrném směru. erivací vztahu (.9) zjistíme, že skutečně platí C V (b)

28 diss+ IoE ISS+ gd exp( U / UT ) / r du UT UT Pro signálové poměry na obr..6 proto platí I + U + /r d g d U U U o I - I + + I B g d U + + U - / IN g d U + + IN.U U o I o [U o -(-A U - ) ] / o 0.U + + A o.u - + o.u o Tímto elementárním upravovacím formalismem získáváme admitanční popis NZ + - o + g d 0 0 U + I + - g d IN 0 x U - I - (.0) o 0 A o o U o I o Můžeme použít i postup definovaný pro admitanční matice v čl.. - můžeme vycházet ze stavů nakrátko. Uvažujme admitanční popis ve formálním tvaru + - o + y ++ y +- y +o U + I + - y -+ y -- y -o x U - I - (.) o y o+ y o- y oo U o I o Nyní můžeme z (.) a obr..6 postupně stanovit: y ++ I + /U + U - U o 0 g d y +- I + /U - U + U o 0; I + 0 0/ U - 0 y -+ I - /U + U - U o 0; I - I + + I B g d U IN g d U + / U + g d y o- I o /U - U o U + 0; I o (U o +AU - )/ o A o U - A o U - /U - A o y oo I o /U o U - U + 0; I o (U o +AU - )/ o o U o o U o /U o o ostáváme stejný výsledek jako v (.0)..5. Admitanční model Zesilovače s proudovou zpětnou vazbou (CFA) Podrobný popis zesilovače s proudovou zpětnou vazbou je uveden např. v [7]. Možné náhradní schéma je na obr..8. Neinvertující vstup (+) je vstupem sledovače napětí. Invertující vstup (-) je výstupem sledovače napětí. Chybový proud I N protéká výstupním odporem o sledovače a je transformován proudovými zrcadly do přenosové impedance Z (proto transimpedanční zesilovač nebo také s proudovou vazbou-cfa). Napětí z transimpedance Z je přenášeno na výstup (o) napěťovým sledovačem o výstupním odporu o. Tomu odpovídá v signálovém modelu řízený zdroj napětí ZI N s výstupním odporem o. Pokud chceme získat admitanční popis modelu, musíme i nyní vyjádřit proudy I +, I - a I o jako funkci napětí U +, U - a U o. Pro ideální zesilovač platí, že Z a o,, tedy U + U - ; dále I + 0 a I - -I N 0 pro libovolné výstupní napětí U o. Z poměrů na obr..8b snadno určíme, že I + 0.U U - +0.U o I - (U - - U + )/ o - o U + + o U - +0.U o I o (U o -ZI N )/ o (U o +ZI - )/ o - o o ZU + + o o ZU - + o U o d

29 (+) U + (-) I + I - x o U + I N I - I N x Z I- - (a) I o (o) U o I + (+) (-) I - (c) I o (o) (+) I + x U + o I o (o) U o o ZI N (-) U - I - ZI - (b) Obr..8. a) Náhradní signálové schéma zesilovače s proudovou zpětnou vazbou; b) modifikace pro výpočty a možný symbol - c) Admitanční popis transimpedančního zesilovače je tím jednoznačně určen (+) (-) (o) U + I + (+) (-) - o + o 0 U - I - (.) (o) - o o Z o o Z o U o I o Frekvenční vlastnosti jsou skryty v symbolu pro transimpedanci, tedy Z. Vstupní impedanci sledovače lze i zde jednoduše zahrnout do pasívní části obvodu. Ze stavů nakrátko si určeme pro příklad parametr y o+ I o /U + při U o U - 0; I o (U o -ZI N ) o ; I N U + o ; I o - o o Z U + - o o Z.6. Admitanční model transadmitančního zesilovače (OTA) Podrobný popis možné struktury transadmitančního zesilovače je uveden např. v [7]. Jedná I + 0 I o (+) (o) U + U d g m U d o (-) I - 0 U - U o o U o OTA (a) U d U + - U - (b) Obr..9. Signálové schéma OTA - a) a jeho symbolická značka - b)

30 se o zdroj proudu řízený rozdílovým napětím U d. Vztah mezi řídicím napětím U d a výstupním proudem I o je definován převodní strmostí g m (transkonduktancí, obecněji transadmitancí). Neideálnost zdroje proudu je popsána výstupní vodivostí o. Neideálnosti vstupů (různé vstupní impedance) lze při analýze zahrnout do pasívního popisu obvodu, není nutné je definovat v matici OTA. Idealizovaný signálový popis je zřejmý z obr..9 (idealizovány jsou právě vstupní impedance). Pro I + I - 0 můžeme jistě psát I + 0.U U U o I - 0.U U U o I o -g m (U + - U - ) + o U o -g m U + + g m U - + o U o a admitanční model je zřejmý (+) (-) (o) U + I + (+) (-) U - I - (.3) (o) -g m g m o U o I o Ideálně platí o 0 ( o ) a v podstatě i o by bylo možné zahrnout do pasívní části (popisu) obvodu. V integrované podobě jsou OTA doplněny téměř vždy oddělovacím zesilovačem se zesílením K (sledovačem), který umožňuje oddělit impedance následujících obvodů od impedance připojené na výstup OTA..7. Admitanční model proudových konvejorů (CCII) Jedna možná struktura CCII je uvedena a podrobně popsána v [7]. Její signálový model je na obr..0. Vstup Y je vstupem napěťového sledovače. Ideálně platí I Y 0. Vstup X je výstu- CCII( +; -) U Y U X I Y I X Y X Z (a) I Z U Z Y U Y X U X I Y I X x o U Y CCII+ I X o (b) I U Z Z Y U Y X U X I Y I X x o U Y CCII- I X o Obr..0. a) Symbolická značka proudového konvejoru; b) signálové schéma CCII+ (pozitivní); c) signálové schéma CCII- (negativní) (c) I U Z Z

31 pem napěťového sledovače. Výstupní odpor sledovače o je v ideálním případě nulový, potom platí U X U Y. Proud I X je převáděn pomocí proudových zrcadel (zdrojů proudu řízených proudy) na výstup Z struktury. Absolutní hodnota přenosu je v ideálním případě rovna jedné. Vodivost o reprezentuje parazitní vlastnost zdroje proudu - ideálně je nulová. Platí-li orientace proudů podle obr..0b, platí ideálně I Z I X, hovoříme o struktuře CCII+ (pozitivní).3) ) CCII+ je součástí každého CFA - viz obr..8a. Stačí si uvědomit, že platí I - - I N I X - - vyznačeno přerušovaně. Transimpedance Z hraje roli o, následuje sledovač Platí-li orientace proudů podle obr..0c, platí v ideálním případě I Z -I X, hovoříme o struktuře CCII- (negativní)..7.. Maticový popis CCII+ Na základě uvedeného popisu je možné definovat ideální CCII+ takto: I Y 0; U Y U X ; I Z I X platí orientace šipek podle obr..0b. Maticový popis získáme opět jednoduchými formálními úpravami elementárních vztahů plynoucích z obr..0b: I X (U X - U Y )/ o o U X - o U Y + 0.U Z I Y 0.U X + 0.U Y + 0.U Z I Z I X + o U Z o U X - o U Y + o U Z Systému tří rovnic odpovídá maticový zápis X Y Z X o - o 0 U X I X Y U Y I Y (.4) Z o - o o U Z I Z.7.. Maticový popis CCII- V ideálním případě platí pro CCII- (obr..0c), že I Y 0 ; U Y U X ; I Z - I X Maticový popis dostaneme z reálné situace na obr..0c: I X (U X - U Y )/ o o U X - o U Y + 0.U Z I Y 0.U X + 0.U Y + 0.U Z I Z -I X + o U Z - o U X + o U Y + o U Z Odsud je admitanční model CCII-: X Y Z X o - o 0 U X I X Y U Y I Y (.5) Z - o o o U Z I Z Matice ze zápisu (.4) a (.5) můžeme snadno idealizovat tak, že položíme o rovno nule; v případě potřeby můžeme o snadno zahrnout i do pasívní části analyzovaného obvodu.