2.3. Maticové algoritmické metody se zaměřením na MMUN

Transkript

1 3 Maticové algoritmické metody se zaměřením na MMN V té to kapitole se seznámíme jednak s klasickou metodou uzlových napětí (MN), jednak s třemi základními typy její modifikace, které se označují jako modifikované metody uzlových napětí (MMN) S MN vystačíme při analýze obvodů, které obsahují libovolné dvojpóly s definovanými vodivostmi, resp admitancemi, libovolné mnohopóly majícími tzv vodivostní, resp admitanční matice (jako jsou napří klad linearizované modely tranzistorů popsané y-parametry, zdroje proudu ří zené napětím atd), a klasické zdroje proudu Obvody, obsahující prvky, nemající vodivostní, resp admitanční popis, jako jsou napří klad operační zesilovače, budeme analyzovat pomocí MMN První z modifikací MN, tzv metoda razítek, se vyznačuje velkou obecností: touto metodou budeme schopni analyzovat lineární obvody obsahující libovolné prvky bez omezení Její jistou nevýhodou je poměrně velký počet rovnic, které je třeba sestavit, a pochopitelně i následně vyřešit Pochopení principu této metody je užitečné k lepší mu porozumění toho, s jakými typy rovnic pracují simulační programy K ručním výpočtů m ji použijeme jen výjimečně, napří klad pokud typ obvodových prvků nedovolí využít jednu z dále popsaných variant (jde např o obvody s proudovými konvejory) Její použití však může být diskutabilní vzhledem k možnosti analýzy pomocí vhodné ho počítačové ho programu, napří klad SNAPu [ ] Druhá ze zmíněných modifikací MN, tzv metoda zakázané ho řá dku, je vyváženým kompromisem mezi počtem obvodových rovnic a možnostmi analýzy Tuto metodu s výhodou využijeme k analýze obvodů obsahujících ideální zesilovače napětí včetně operačních zesilovačů Třetí popsaná modifikace, metoda /, se vyznačuje maximální ú sporností v počtu sestavených rovnic, a tím pádem i v rychlosti výpočtů Metoda je zvlášť vhodná k analýze obvodů obsahujících ideální operační zesilovače V knize nebudou probírány ani klasické metody analýzy založené na incidenčních maticích, ani napří klad metoda smyčkových proudů Zájemce odkazujeme na pří slušnou literaturu [ ] Na ú vod je třeba zařadit následující poznámku, která se týká všech níže popsaných metod analýzy harakter obvodových veličin, které figurují v rovnicích, závisí na tom, jaký typ obvodu analyzujeme a v jaké m stavu se má obvod nacházet Struktura rovnic na těchto faktech nebude záviset Napří klad pokud řeší me lineární rezistivní obvod bez akumulačních prvků, pak napětí a proudy mají význam obecných časových prů běhů a obvodové prvky jsou popsány vodivostmi Při analýze lineárních setrvačných obvodů v harmonické m ustálené m stavu je třeba uvažovat admitanční popis prvků a napětí a proudy jsou vyjádřeny komplexními fázory Nejobecnější analýza využívá operátorový model obvodu, kde obvodové veličiny jsou Laplaceovými obrazy jejich časových prů běhů Při malosignálové analýze nelineárních obvodů v rovnicích figurují proměnné složky časových prů běhů v okolí stejnosměrné ho pracovního bodu, a to opět v jednom z výše uvedených tvarů V další m výkladu budeme pro jednoduchost označovat obvodové veličiny velkými písmeny, jako kdyby se jednalo o stejnosměrné hodnoty, s vědomím toho, co je uvedeno výše Pokud se ve sché matu analyzované ho obvodu objeví akumulační prvek, označíme jej jeho operátorovou admitancí, resp impedancí, a obvodové veličiny budeme automaticky považovat za operátorové obrazy jejich časových prů běhů 3 Klasická metoda uzlových napětí (MN) 3 Podstata metody Tato metoda se nedokáže vypořá dat se situací, kdy v obvodu pů sobí zdroje o známé m napětí Pokud je to možné, je nutné před sestavováním rovnic převé st je na ekvivalentní zdroje proudu Mnohdy analyzujeme obvod, v jehož modelu nefiguruje žá dný zdroj, pouze je třeba uvažovat budicí signál za účelem odvození napří klad napěť ové ho zesílení, vstupního odporu nebo jiné obvodové funkce, která je vždy podílem dvou obvodových veličin Pak si můžeme dovolit, vzhledem 3

2 k ekvivalenci účinků zdrojů napětí a proudu, budit obvod za účelem analýzy metodou uzlových napětí ze zdroje proudu, i když ve skutečnosti bude třeba použit zdroj napětí Metoda je založena na tomto postupu: Jeden z uzlů obvodu se prohlásí za tzv referenční uzel Přiřadí se mu číslo, pří padně v počítačové m simulátoru značka uzemnění Vzhledem k tomuto uzlu se budou vztahovat napětí ostatních uzlů obvodu Tato napětí se nazývají uzlová napětí a tvoří soustavu neznámých obvodových veličin metody V zájmu jednoduchosti algoritmu sestavování rovnic je vhodné, aby všechna uzlová napětí byla orientována tak, aby čítací šipky směřovaly do referenčního uzlu zlová napětí jsou neznámými metody i tehdy, je-li naší m cílem počítat jiné obvodové veličiny Každé napětí a každý proud v obvodu jsou totiž vyjádřitelné jako lineární kombinace uzlových napětí Zatímco simulační program počítá vždy všechny neznámé najednou, i když z pohledu zadavatele analyzační ú lohy to není třeba, při ručním řešení stačí vypočíst jen ta uzlová napětí, z nichž získáme kýžený výsledek Pro každý uzel obvodu, vyjma referenčního, sestavíme rovnici KZ ve tvaru: součet proudů tekoucích dovnitřuzlu z vnější ch zdrojů proudu součet proudů vyté kajících větvemi obvodu ven z uzlu Dů ležité ovšem je, že proudy na pravé straně rovnice se vyjádří s využitím Ohmova zákona jako součiny vodivostí a napětí na větvích, a větvová napětí pomocí napětí uzlových V konečné m stavu tedy na pravé straně rovnice figurují pouze vodivosti a uzlová napětí Počet neznámých uzlových napětí je stejný jako počet rovnic, a je roven počtu uzlů obvodu mínus (v ú vahu se nebere referenční uzel) 3 lustrativní pří klad Metodu uzlových napětí objasníme na pří kladu zapojení z obr 4 b) Zadání je přeformulováno na obr 36 Je třeba určit proud x Na str jsme se heuristickou metodou dopracovali k výsledku /3 ma Nyní ú lohu vyřeší me pomocí MN ma ma - R k R 6k Obr 36 R4 k R3 k x? a) R R R R R4 R3 R4 R3 x? b) Nejprve očíslujeme uzly Zvolíme referenční uzel a přiřadíme mu číslo Zde je třeba zdů raznit, že daná značka uzemnění nemá z hlediska ruční analýzy význam, může být odstraněna a referenční uzel je možno volit zcela libovolně Většinou se volí tak, aby pří padné hledané napětí bylo rovno jednomu z napětí uzlových Dále si všimněme, že uzel, v němž se spojuje rezistor R3 a proudový zdroj, je vlastně součástí referenčního uzlu a jako takový se pří davně nečísluje má již označení Poté ve sché matu vyznačíme uzlová napětí a Tvoří soustavu dvou neznámých, k níž musíme sestavit dvě rovnice udou to rovnice KZ pro uzly a Protože počítáme proud x, postačí určit uzlové napětí Z něj totiž snadno určíme proud rezistorem R3 a z něj x Podle obr 36 b) napíšeme rovnice KZ pro rovnováhu proudů v uzlech a : : R R, : R R3 R4 3

3 Poznamenejme, že orientaci čítacích šipek větvových proudů můžeme volit naprosto libovolně Pokud se v orientaci zmýlíme, vyjde nám nakonec u dané ho proudu opačné znamé nko Je ovšem vhodné orientovat proud takovým směrem, o němž předpokládáme, že bude odpovídat skutečnosti Větvové proudy na pravé straně rovnic vyjádří me pomocí větvových vodivostí (použijeme symboly G s pří slušnými indexy) a větvových napětí, která závisí na uzlových napětích (viz obr 36 b): : G G ( ), : G ( ) G3 G4 Vytknutím neznámých upravíme rovnice na konečný tvar : ( G G ) G, () : G ( G G3 G4 ) Dosadíme-li vodivosti v [ms], vyjdou proudy na levé straně v [ma]: :, 5, 3 :,5, 5 Tyto rovnice mají řešení [ ] [ /3] V Pohledem na sché ma na obr 36 b) zjistíme, že při /3 V bude proud R3/3 ma a hledaný proud x vychází z KZ x R3 ( ) ma ma, 3 3 což je výsledek, ke které mu jsme dospěli jiným způ sobem na str 33 Pravidla pro sestavování rovnic Nyní se pokusíme o zobecnění poznatků z předchozího pří kladu, která jsou důležitá pro algoritmické řešení obvodů Rovnice () zapíšeme v maticové m tvaru: G G -G -G G G 3 G 4 Všimněme si několika pravidel, které je vhodné při zápisu rovnic dodržovat: Nuly se nemusí do matic zapisovat Prázdné buňky jsou normální Nad sloupci čtvercové matice vodivostí je vhodné zapisovat neznámé, kterými jsou v souladu s pravidlem o násobení matice vektorem násobeny prvky v daných sloupcích 3 Vlevo od vektoru budicích proudů je vhodné poznačit čísla uzlů, kterých se týká pří slušná rovnice Porovnáme-li maticovou rovnici s pů vodním sché matem obvodu, který je danou soustavou rovnic popsán, dospějeme k důležitým pravidlů m, která nám umožní sestavit dané rovnice pří mo ze sché matu, bez jakýchkoliv mezivýpočtů Pravidlo o sestavení vektoru budicích proudů na levé straně maticové rovnice: V i-té m řá dku je algebraický součet proudů, tekoucích dovnitři-té ho uzlu z vnější ch zdrojů proudu 33

4 Pravidla o sestavení čtvercové vodivostní (admitanční) matice: Prvek i,i na hlavní diagonále obsahuje součet všech vodivostí (admitancí), které jsou připojeny k uzlu i Prvek i,j (i j) mimo hlavní diagonálu obsahuje záporně vzatý součet všech vodivostí (admitancí), které jsou připojeny bezprostředně mezi uzly i a j K poslednímu pravidlu je třeba připojit poznámku Základní lineární dvojpóly typu R, L a, zapojené mezi uzly i a j, jsou reciprocitní v tom směru, že se chovají stejně ve směru uzel i uzel j jako ve směru uzel j uzel i, jinými slovy, že jejich admitance jsou v obou pří padech stejné Proto u obvodů s těmito součástkami vykazují admitanční matice symetrii, tj prvky i,j a j,i jsou totožné Toto je další faktor, kterým můžeme urychlit algoritmické sestavování rovnic Tato vlastnost však přestává platit, pokud se v obvodu objeví nereciprocitní prvek, napří klad tranzistor Výše uvedená pravidla ukážeme na pří kladu složitější ho obvodu na obr 37 Jedná se o příčkový filtr 7 řá du typu dolní propust o mezním kmitočtu khz, navržený programem NAF [ ] Ve sché matu vyznačíme 4 nezávislé uzly, kterým pří sluší neznámá uzlová napětí až 4 Aplikací pravidel pří mo zapíšeme soustavu rovnic MN: L 57m L 58m L3 7m 4 6 R k 37n 94n 43n 3 43n 43n 5 895n 336n 7 k R Obr G p( )/pl -p -/pl -p -/pl p( 3 4 )/pl /pl -p 4 -/pl -p 4 -/pl p( )/pl /pl 3 -p 6 -/pl 3 3 -p 6 -/pl 3 G p( 6 7 )/pl Vodivostní matice se skládá z matic dílčích prvků Vrať me se ještě k zapojení na obr 7 a) Obr 38 ukazuje, že daný odporový obvod je možné rozložit na jednotlivé elementy a výslednou vodivostní matici chápat jako součet dílčích vodivostních matic jednotlivých elementů Zjednodušeně řečeno výslednou vodivostní matici složité ho obvodu můžeme postupně skládat z matic dílčích prvků obvodu V další části se napří klad seznámíme s obecnou maticí linearizované ho modelu tranzistoru Po zvládnutí zásad jejího vkládání pak budeme schopni analyzovat libovolné linearizované obvody s tranzistory Všimněme si ještě na obr 38 submatice, která pří sluší plovoucímu rezistoru R Její zvláštností je, že sečteme-li všechny prvky v libovolné m řá dku nebo sloupci, dostaneme nulu Tuto vlastnost má vodivostní (admitanční) matice každé ho obvodu, kde při analýze umístíme referenční uzel vně tohoto obvodu Pak daná matice je nazývána ú plnou vodivostní (admitanční) maticí Pokud dodatečně prohlásíme za referenční uzel některý z uzlů obvodu, řekněme uzel k, získáme pří slušnou vodivostní matici tak, že z úplné vodivostní matice vypustíme k-tý řá dek a k-tý sloupec Tohoto postupu lze využít např k vzájemným přepočtů m linearizovaných parametrů tranzistoru v zapojeních se společným emitorem, bází a kolektorem 34

5 R R3 R 6k k R4 k k G G -G -G G G 3 G 4 R 6k R G k R3 G -G -G G R4 k G 3 Obr 38 R4 k G 4 35 Maticový linearizovaný model tranzistoru V pří loze jsou popsány linearizované parametry tranzistoru Obecný pohled na tranzistor jako trojpól je na obr 39 Jednotlivá napětí a proudy je třeba chápat buď jako odchylky od stejnosměrné ho pracovního bodu probíhající libovolně v čase, pokud analyzovaný obvod je čistě rezistivní, bez akumulačních prvků Pak níže uvedené rovnice obsahují pouze reálné admitance - vodivosti Častěji řeší me obvod v ustálené m stavu, malosignálově buzený harmonickým signálem Pak napětí a proudy na obr 39 představují pří slušné komplexní fázory a symboly typu y v uvedených rovnicích jsou admitance, které pouze na relativně nízkých kmitočtech je možné považovat za reálná čísla Obecně se pod symboly a mohou chápat operátorové reprezentace obecných časových prů běhů malosignálových odchylek kolem pracovního bodu, a symboly y pak představují pří slušné operátorové admitance Pro jednoduchost jsme zvolili zápis pomocí velkých písmen a Je-li tranzistor zapojen do obvodu v třech uzlech, a, lze jej popsat trojicí rovnic metody uzlových napětí Vodivosti (admitance) y y v prvcích pří slušné matice budou záviset na přenosových vlastnostech tranzistoru Na obr 4 je znázorněno, jak bude modifikována soustava rovnic, bude-li referenční uzel spojen s jedním z uzlů tranzistoru Na obr 4 a) je ukázka zapojení tranzistoru se společným emitorem mitor je uzemněný, napětí je tedy nulové Sestavují se pouze rovnice pro uzly a 35

6 Z pů vodní soustavy rovnic tedy škrtáme rovnici pro uzel a neuvažujeme napětí Tranzistor je pak popsán admitanční maticí x Prvky této matice mají význam y-parametrů tranzistoru v zapojení se společným emitorem (index e; báze jako vstupní svorka je zastoupena indexem, kolektor výstupní svorka indexem ) Tuto čtveřici y-parametrů získáme buď měřením nebo přepočtem ze známých h-parametrů (viz též pří loha ) Admitanční matice 3x3 je ú plnou admitanční maticí tranzistoru Platí proto i pro ni pravidlo, že součet prvků v každé m řá dku a každé m sloupci je nula Známe-li tedy čtveřici parametrů y, y, y a y, je možné snadno dopočítat zbylých 5 parametrů y y y y y y y y y Obr 39 y y y y y y y y y y y y y y e y e y e y e a) y y y y y y y y y y y y y y c y c y c y c b) Obr 4 y y y y y y y y y y y y y y b y b y b y b c) 36

7 Na obrázcích b) a c) je ukázáno, jak bude vypadat popis tranzistoru v zapojení se společným kolektorem a se společnou bází V zapojeních, kde všechny tři vývody tranzistoru jsou plovoucí, se ve výsledných rovnicích uplatní všech 9 parametrů tranzistoru 36 Souvislost maticové ho popisu se zjednodušeným modelováním tranzistoru Vyjdeme z rovnic pro zapojení se společným emitorem na obr 4 Popis pro další varianty lze z těchto rovnic odvodit y y y y y y y y Obr 4 y y Rovnice lze modelovat obvodem s ří zenými zdroji Zanedbáme-li parametr y, což bývá vzhledem k jeho číselným hodnotám na nízkých kmitočtech u většiny tranzistorů opodstatněné, zmizí z náhradního sché matu pří slušný ří zený zdroj Dospějeme k zjednodušené mu modelu tranzistoru, který jsme použili např na str Parametr y tranzistoru pak má význam strmosti tranzistoru S / Maticový popis je tedy obecný a při komplexních hodnotách admitancí respektuje i chování tranzistoru v oblasti vysokých kmitočtů Zjednodušený popis na str je jeho speciálním pří padem Při typických hodnotách vstupního odporu, výstupního odporu a strmosti r kω, r kω, S, A/ V vycházejí typické hodnoty y-parametrů takto: y 5µS, y µs, y, y,s, y -5µS, y -, S, y -,5 ms, y -µs, y,5 ms 37 Pří klady na analýzu linearizovaných obvodů s tranzistory kážeme analýzu tranzistorové ho zesilovače z obr Vstupní zdroj napětí převedeme na ekvivalentní zdroj proudu Napájecí napětí vynulujeme uzemněním napájecího vývodu Očíslujeme uzly Dostaneme výchozí sché ma na obr 4 M 33k R R,5 ma 4 i u R i u k R Z 8A Obr 4 V první fázi zapíšeme maticovou rovnici MN tak, jako kdyby v obvodu nebyl tranzistor: 37

8 3 4 i G i p -p -p G p G p -p 3 -p G p 4 V druhé m kroku vepíšeme do admitanční matice matici tranzistoru Nejjednodušeji to provedeme tak, že do řá dků a záhlaví sloupců nejprve doplníme symboly a tak, aby to odpovídalo číslů m uzlů, k nimž jsou připojeny báze a kolektor (emitor se zde neobjeví, protože je zapojen na referenční uzel, který v matici není zastoupen) Pak do pří slušných políček matice vepíšeme jednotlivé admitance tranzistoru, jejichž indexy odpovídají indexů m řá dků a sloupců Výsledek je zde: 3 4 i G i p -p -p G p y y y G p y -p 3 -p G p 4 () Získaná rovnice může být použita k řadě výpočtů Po dosazení číselných hodnot parametrů se stává východiskem pro výpočty napěť ových poměrů v uzlech, přenosů napětí ze vstupu do všech uzlů a impedančních poměrů, to vše pro rů zné kmitočty buzení podle toho, jaké zvolíme číselné hodnoty komplexního kmitočtu p jω O jednom z možných způ sobů výpočtu se zmíníme v části 38 Další pří klad na obr 43 znázorňuje malou část linearizované ho modelu integrované ho obvodu RA 34 kážeme, že budeme-li se držet uvedené ho postupu, sestavíme rovnice i u obvodů, které obsahují více tranzistorů, a dokonce i tehdy, jestliže budou tranzistory zapojeny atypicky, napří klad s rů zně zkratovanými svorkami 4,5k Obr 43 R T T Popíšeme pouze způ sob sestavení admitanční matice Admitanční parametry tranzistorů T a T odliší me horními indexy a Nejprve sestavíme admitanční matici obvodu bez tranzistorů : 3 G Pak vepíšeme matici tranzistoru T: 38

9 3 G y y y y Všimněme si,že jsme do prvku 3,3 matice vepsali všechny čtyři admitanční parametry, které vyplývají z kombinací symbolů a v záhlavích matice Nakonec vepíšeme matici tranzistoru T: 3 y y y y G y y y y y y y y y 38 Analýza obvodů se zesilovači OTA (3) S obvodovým prvkem OTA jsme se seznámili v části Protože se vlastně jedná o zdroj proudu, ří zený napětím mezi vstupními svorkami, a protože proud je ú měrný tomuto napětí a transkonduktanci g m, má zesilovač OTA svou admitanční matici (viz obr 44) a tudíž obvody obsahující tento prvek mohou být bez problé mů řešeny klasickou metodou uzlových napětí d Obr 44 gm N -N g m g m 3 Pro ilustraci sestavíme rovnice filtru z obr 3 Jeho sché ma spolu se vstupním zdrojem a s očíslováním uzlů jsou na obr 45 gm gm out in Obr 45 Do admitanční matice 3x3 nejprve zapíšeme kapacitní reaktance a pak submatice obou transkonduktančních zesilovačů: 3 p -p -p p g m -g m -g m g m p 3 39

10 V příští kapitole, v níž se dozvíme, jak počítat obvodové funkce pří mo z admitanční matice, určíme přenosy napětí tohoto filtru 39 Způ sob výpočtu obvodových funkcí z admitanční matice Sestavení rovnic MN je první etapou analýzy Pak je samozřejmě nutné tyto rovnice vyřešit kážeme jednu z možných metod, která je založena na výpočtu obvodových funkcí pomocí tzv algebraických doplňků admitanční matice Metodu vysvětlíme na pří kladu tranzistorové ho obvodu z obr 43 važujme následující číselné hodnoty y-parametrů obou tranzistorů : y µs, y µs, y, y,s y -µs, y -, S, y -, ms, y -µs, y, ms Pak admitanční matice (3) celé ho obvodu bude 3, -,, - -, -, 4,4 Všechny admitance jsou dosazeny v [ms] Matice tedy přepočítá napětí ve voltech na proudy v miliampé rech Předpokládejme, že chceme určit impedanci obvodu mezi uzlem a zemí a napěť ové zesílení / K bráně mezi uzel a referenční uzel připojíme zdroj proudu, vypočteme napětí, vyvolané tímto proudem, a jejich podílem určíme vstupní impedanci Pak vypočteme napětí, vyvolané vstupním buzením, a vydělením a vypočteme zesílení Situace je znázorněna na obr 46 4,5k R T T 3, -,, - -, -, 4,4 3 Obr 46 Všimněme si, že i když požadujeme výpočet napěť ové ho zesílení, nepotřebujeme k tomu nutně vstupní zdroj napětí K výpočtu napětí z rovnice na obr 46 použijeme ramerovo pravidlo Toto pravidlo ří k á : Napětí k, k,,3, je podílem dvou determinantů Ve jmenovateli je determinant admitanční matice V čitateli je determinant k matice, která vznikne z admitanční matice záměnou sloupce k vektorem na levé straně rovnice Pro napětí vyjde,,,,,,, 4,4, 4,4 ( ),,,,,, 4,4, 4,4 : 4

11 V čitateli byla použita poučka o rozvoji determinantu podle sloupce Symbol i:j, zde konkré tně :, představuje tzv algebraický doplněk admitanční matice při vynechání i-tého řá dku a j-tého sloupce Čí selně se rovná vzniklé mu subdeterminantu matice násobené mu číslu (-) ij Po vyčíslení determinantů získáme výsledek & 9,775 [ V, ma] Z & 9, 775 kω mpedance (odpor) obvodu mezi uzlem a referenčním uzlem je necelých kω Obdobným způ sobem vypočteme napětí a z něj napěť ový přenos K /,,,,,, 4,4, 4,4, ( ),, 4,4,,,, 4,4 : Hledaný přenos napětí bude ( ) :, 4,4 K & 46,8, : ( ), 4,4 Dále si ukažme, jak bychom postupovali při výpočtu výstupní impedance mezi uzlem a referenčním uzlem při vstupní bráně naprázdno V tom pří padě bychom připojili budicí zdroj proudu mezi uzel a referenční uzel, vypočetli napěť ovou odezvu a následně určili impedanci Z Situace je na obr 47 spolu s modifikovanou levou stranou rovnice 4,5k R T T Obr 47 Napětí nyní bude 3, -,, - -, -, 4,4 3,,,, ( ), 4,4, 4,4 : & 4,55 [ V, ma],,,,,,,, 4,4,, 4,4 Výstupní impedance (odpor) proto bude 4

12 Z & 4, 55 kω Na základě předchozího pří kladu můžeme formulovat následující pravidla pro výpočty obvodových veličin z admitanční matice obvodu: Mějme lineární obvod o N uzlech vyjma referenčního uzlu, který je popsán admitanční maticí NxN pomocí metody uzlových napětí Pomocí algebraických doplňků té to matice můžeme spočítat: mpedanci mezi uzlem k a referenčním uzlem: k : k Z k Přenos napětí z uzlu i do uzlu o: o i : o K i i : i zlové napětí k, je-li obvod napájen z jediné ho zdroje proudu i zapojené ho mezi uzel i a referenční uzel: i : k k i Ve všech vzorcích je i,j algebraický doplněk admitanční matice při vynechání i-té ho řá dku a j-té ho sloupce a je determinant admitanční matice Vzorce jsou často používá ny, neboť umožňují pří m é v ý počty z admitanční matice bez nutnosti sestavovat celou soustavu rovnic V části 38 jsme sestavili admitanční matici filtru se zesilovači OTA (obr 45) Pokusme se určit přenosy napětí / a 3/ První z přenosů vyjde out ( p in : ( p g Po malé ú pravě dostaneme: p ω, ω p p ω Q p g g ) p g : m m g mg m kde ω je charakteristický kmitočet filtru a m m m Q je jeho činitel jakosti g g m ) g m Z vzorců mimo jiné vyplývá, že při synchronním elektronické m ří zení transkonduktancí obou OTA zesilovačů je možné přelaďovat filtr beze změny činitele jakosti Kdybychom odebírali výstupní napětí z uzlu 3, získali bychom filtr typu dolní propust: 3 :3 pg m gm ( p gm ) ω : ( p g ) p g g ω m m m p p ω Q 4