Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N.

Transkript

1 4 4. týden 4.1 supremum a infimum množiny Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? Příklad 4.2 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: { } 2n n + 1 n N. (Řešení: min 1/2, sup 2/) Příklad 4. Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: { } x x x R. (Řešení: inf, sup + ) Příklad 4.4 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: { } 2 x x (0, ). x + 2 (Řešení: inf /2, sup 2) Příklad 4.5 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: (1 1n ), 2. n N (Řešení: inf 1, sup 2 ) Příklad 4.6 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: ( 0, 2 1. n n N (Řešení: inf 0, sup 2 ) Příklad 4.7 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: { } 1 ( 1 n n N. ) + 2 (Řešení: min /7, sup 1/2) 1

2 Příklad 4.8 Zkuste uhádnout sup M, inf M, max M, min M a následně své tipy dokažte: { a + 1 } a a (0, 1). (Řešení: inf 2, sup + )) Příklad 4.9 Zkuste uhádnout supremum, dokažte a { n 2 } + n + 5 sup 1 2n n N. (Řešení: 2 5 ) Příklad 4.10 Dokažte následující tvrzení a rozhodněte, zda je infimum nabýváno. { } x + 1 2x 2 inf x 2 + 5x x > 0 = 2. Příklad 4.11 Zkuste uhádnout infimum a supremum následující množiny, dokažte a } {( 1) n + ( 1)n+1 n n N. (Řešení: inf 1, sup 1 ) Příklad 4.12 Dokažte následující tvrzení a rozhodněte, zda je infimum nebo supremum nabýváno. i. inf{x x 2 x + 2 x 0, 2 } = 1, ii. sup{x x 2 x + 2 x 0, 2 } = 4. Příklad 4.1 Zkuste uhádnout infimum a supremum následující množiny, dokažte a { 2n 2 } + n + 11 n n N. (Řešení: inf 2, sup 7 ) Příklad 4.14 Zkuste uhádnout infimum a supremum následující množiny, dokažte a { x R + 0 sin x cos x = 0 }. (Řešení: sup +, inf 0) 2

3 Příklad 4.15 Buď { sin 1 n } n N. Určete, čemu se rovná inf M a svou hypotézu dokažte. Může se hodit nerovnost sin x x platná pro x 0. (Řešení: inf 0) Příklad 4.16 Buď M a = {ax 2 + 2x ax 6 x R}. Určete, čemu se rovná inf M a a sup M a v závislosti na parametru a R a svou hypotézu dokažte. Příklad 4.17 Mohou existovat dvě neprázdné podmnožiny A, B R s vlastnostmi sup A = sup B, inf A = inf B, A B =? Příklad 4.18 Dokažte, že pro A, B R platí sup(a B) = max{sup A, sup B}, inf(a B) = min{inf A, inf B}. Diskutujte zvlášť případy, kdy A nebo B jsou prázdné či shora/zdola neomezené množiny. Příklad 4.19 Buď A R. Definujme A := { x x A}. Dokažte, že sup A = inf A, inf A = sup A. 4.2 pojem posloupnost, vybraná posloupnost, monotonie posloupnosti Příklad 4.20 Pomocí kvantifikátorů zapište definici omezenosti posloupnosti, vybrané posloupnosti a skoro vybrané posloupnosti. Tyto definice znegujte. Příklad 4.21 Rozhodněte o monotonii (ostrá/neostrá) a omezenosti posloupnosti (a n ), kde i. a n = n 2 n ii. a n = n 5n 2 (Řešení: i.) omezená, pro n 2 ostře klesající ii.) omezená zdola,neomezená shora, pro n ostře rostoucí. ) Příklad 4.22 Rozhodněte o monotonii (ostrá/neostrá) a omezenosti posloupnosti (a n ), kde i. a n = 2n + n 2 + n + 1. ii. a n = (n n) n.

4 (Řešení: i.) omezená, ostře klesající ii.) omezená zdola, neomezená shora, ostře rostoucí.) Příklad 4.2 Vyšetřete (stejnými metodami jako u posloupností) monotonii funkce f(x) = 5x + 2x 2. (Řešení: Ostře klesající na intervalu (, 1) a na intervalu (1, + ) (nikoliv na jejich sjednocení!). ) Příklad 4.24 Vyšetřete (stejnými metodami jako u posloupností) monotonii funkce f(x) = x + 1 x. (Řešení: Ostře rostoucí na intervalech: (, 1 ; 1, + ). Ostře klesající na intervalech: ( 1, 0); (0, 1). ) Příklad 4.25 Vyšetřete (stejnými metodami jako u posloupností) monotonii funkce f(x) = sin x + cos x. (Řešení: Ostře rostoucí na každém intervalu: 2π Ostře klesající na každém intervalu + 2kπ, π + 2kπ π + 2kπ, 4π + 2kπ. ) Příklad 4.26 Vyšetřete (stejnými metodami jako u posloupností) monotonii funkce f(x) = arctg ln x ln x 1. (Řešení: Ostře rostoucí na intervalu: (0, 1). Ostře klesající na intervalech: 1, e); (e, + ). ) Příklad 4.27 Buďte (a n ), (b n ) rostoucí posloupnosti. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků i. (a n + b n ) je rostoucí ii. (a 2 n) je rostoucí iii. (a n b n ) je rostoucí 4

5 Pokud výrok neplatí, doplňte (minimální) předpoklady tak, aby se stal pravdivým. Příklad 4.28 Určete, v jakých případech je posloupnost (b n ) vybraná (případně skoro vybraná) z posloupnosti (a n ). i. a n = c n, b n = c n (c > 0) ii. a n = c n, b n = c 4n+( 1)n (c > 0) iii. a n = c n, b n = c n+( 1)n (c > 0) (Řešení: i) vybraná, ii) skorovybraná, iii) nic) Příklad 4.29 Určete, v jakých případech je posloupnost (b n ) vybraná (případně skoro vybraná) z posloupnosti (a n ). i. a n = n, b n = 4n2 + 4n + 1 2n + 1 ii. a n = n + 5 n + 2, b (n + 1)!/2 + 5 n = (n + 1)!/2 + 2 iii. a n = n + 5 n + 2, b n = n/2 + 5 n /2 + 2 (Řešení: i) vybraná, ii) vybraná, iii) nic) Příklad 4.0 Dokažte, že každá prostá posloupnost přirozených čísel má ostře rostoucí podposloupnost. 5