Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Transkript

1 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018

2 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a číslo ε poloměr okolí. Množinu U (a, ε) = U(a, ε) {a} = (a ε, a) (a, a + ε) = {x R; 0 < x a < ε} budeme nazývat redukovaným (ryzím) okolím bodu a R. (Pro naše potřeby obvykle předpokládáme, že ε je libovolne malé.)

3 Definice (Hromadný bod) Bod a R je hromadný bod množiny M R, jestliže v každém jeho redukovaném okolí leží alespoň jeden bod x M.

4 Definice M a (a M) x M; x a ( x M; a x) Platí - li M a, a R, řekneme, že a je horní mez množiny M a množina M je shora ohraničená. Platí - li a M, a R, řekneme, že a je dolní mez množiny M a množina M je zdola ohraničená. a R je největší prvek množiny M, jesliže platí a M a M a. a R je nejmenší prvek množiny M, jesliže platí a M a a M.

5 Definice Nechť M R Nejmenší horní mez množiny M nazýváme supremum množiny M. sup M = min{x R; M x}. Největší dolní mez množiny M nazýváme infimum množiny M. inf M = max{x R; M x}.

6 Posloupnosti Posloupností nazýváme každou funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel N, tedy f : N R je posloupnost reálných čísel. Obvykle klademe a n = f(n) a tuto hodnotu nazýváme n-tým členem posloupnosti. Posloupnost s n-tým členem a n označujeme symbolem (a n ) n=1 nebo zkrácene (a n). Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Rekurentně zadaná posloupnost Vybraná posloupnost

7

8 Limita posloupnosti Říkáme, že číslo a je limitou posloupnosti a 1, a 2,... jestliže platí ε > 0 n 0 ; n > n 0 = a n a < ε Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu Posloupnost, která má vlastní limitu, se nazývá konvergentní. Posloupnost, která má nevlastní limitu nebo nemá žádnou limitu, se nazývá divergentní. Bod b se nazývá hromadnou hodnotou posloupnosti (a n ), jestliže pro každé okolí U(b) je a n U(b) pro nekonečně mnoho indexů n. Horní limita-lim sup a n -největší z hromadných hodnot posloupnosti (a n ) Dolní limita-lim inf a n -nejmenší z hromadných hodnot posloupnosti (a n )

9 Každá konvergentní posloupnost je omezená. Monotónní a ohraničená posloupnost je konvergentní Nechť (a n ) je konvergentní posloupnost. Každá její vybraná posloupnost je konvergentní a má s ní stejnou limitu. Je-li lim a n = a, lim b n = b, je lim(a n + b n ) = a + b, ak b 0 lim a n b n = a b, lim a n b n = a b. Nechť existuje lim a n = a. Potom lim a n = a

10 Nechť lim a n = lim b n = a, nechť existuje n 1 N tak, že pro n > n 1 je a n c n b n. Potom existuje limita (c n ) a lim c n = a. Nechť ke každému číslu A existuje n 0 tak, že pro každé n > n 0 je a > A. Potom říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu +. lim n a n = +. Nechť ke každému číslu A existuje n 0 tak, že pro každé n > n 0 je a < A. Potom říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu. lim n a n =.

11 Nechť lim a n = 0, a (b n ) je ohraničená posloupnost. Potom lim a n b n = 0. ( lim n = n n) lim a 1 n = a n 0 n N; lim = 0 n n a n 1 lim n a n = 0 témeř všechny a n jsou kladné (záporné) lim a n = ( lim a n = ) n n

12

13 (Limita funkce) Říkáme, že číslo A je limitou funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < x c < δ = f(x) A < ε. Říkáme, že číslo A je limitou zprava funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < x c < δ = f(x) A < ε. Říkáme, že číslo A je limitou zleva funkce f(x) v bodě c jestliže platí ε > 0 δ > 0; 0 < c x < δ = f(x) A < ε. Funkce f(x) má v bodě c nejvýše jednu limitu, a rovněž nejvýše jednu limitu zprava a jednu zleva.

14

15 (Typy limít) Limita ve vlastním bodě vlastní nevlastní neexistuje Limita v nevlastním bodě vlastní nevlastní neexistuje

16 vlastní limita ve vlastním bodě: ε > 0 δ > 0; x D(f) : 0 < x a < δ = f(x) b < ε. nevlastní limita ve vlastním bodě: K > 0 δ > 0; x D(f) : 0 < x a < δ = f(x) > K. vlastní limita v nevlastním bodě: ε > 0 K > 0; x D(f) : x > K = f(x) b < ε.

17 (Věty o limitách) Ak lim f(x) < lim g(x), tak x a x a U(a); x U (a) D(f) D(g); f(x) < g(x) Ak lim f(x) = b, lim g(x) = c a U(a); f(x) g(x). Potom x a x a b c Ak lim f(x) = lim h(x) = b a x a x a U(a); f(x) g(x) h(x). Potom lim g(x) = b. x a

18 (Věty o limitách) Ak lim x a h(x) = lim x a g(x) = b a U(a); h(x) f(x) g(x). Potom lim f(x) = b. x a

19 (Věty o limitách) sin x lim x 0 x = 1

20 (Aritmetické operace a limity) Nechť f, g mají vlastní limity v bodě a, a lim f(x) = b, lim g(x) = c. Potom x a x a lim x a lim x a lim x a [f(x) + g(x)] = b + c [f(x) g(x)] = b c [f(x) g(x)] = b c f(x) ak c 0, tak lim x a g(x) = b c

21 (Věty o nevlastních limitách) lim f(x) = lim f(x) = x a x a lim f(x) = ± lim f(x) = x a x a lim x a lim x a 1 f(x) = lim x a f(x) = 0 f(x) = g(x) je ohraničená lim f(x) = g(x) c > 0 lim x a f(x) = 0 g(x) je ohraničená lim x a lim [f(x) + g(x)] = x a [f(x).g(x)] = x a lim[f(x).g(x)] = 0 x a

22 (Limita složené funkce) Nechť a je hromadný bod množiny D(f), kde f = h g, existují limity c = lim x a g(x), d = lim t c h(t), na jistém okolí bodu a je pro x a také g(x) c. Potom lim x a f(x) = d.

23 (Spojitost funkce) Funkce se nazývá spojitá v bodě a, platí li lim x a f(x) = f(a). Funkce se nazývá spojitá sprava v bodě a, platí li lim f(x) = f(a). x a + Funkce se nazývá spojitá zleva v bodě a, platí li lim f(x) = f(a). x a

24 (Klasifikace nespojitostí) nespojitost prvního druhu skok nespojitosti odstranitelná nespojitost skoková nespojitost nespojitost druhého druhu

25

26 (Spojitost funkce na intervalu) Funkce se nazývá spojitá na intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém jeho bodě. Funkce se nazývá spojitá na uzavřetém intervalu a, b, jestliže je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a navíc je v bodě a spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

27 (Spojitost funkce na uzavřeném intervalu) Ak f je spojitá na a, b, tak je na něm ohraničená Weierstrassova věta Ak f je spojitá na a, b, tak v nějakých bodech intervalu a, b nabývá svého maxima a minima. Ak f je spojitá na a, b, tak nabývá na tomto intervalu všech hodnot mezi svým maximem a minimem.

28