Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3
|
|
- Šimon Vlček
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny. 3 3 Vnější míra podmnožin R p. 3 4 Lebesgueovsky měřitelné množiny. 3 5 Lebesgueova míra. 3 6 Měřitelný prostor, prostor s mírou. 4 7 Měřitelné funkce. 4 8 Jednoduché funkce. 4 II Lebesgueův integrál definice 5 9 Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce Lebesgueův integrál obecné reálné měřitelné funkce Závěrečná zobecnění. 6 III Newtonův integrál 7 13 Newtonův integrál zobecněná primitivní funkce Integrace per partes, integrace substitucí. 8 IV Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu 8 15 Integrál jako funkce integrandu Integrál jako funkce integračního oboru. 10 Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze, hekrdla@math.feld.cvut.cz 1
2 17 Fubiniho věty, substituce Prostory funkcí L r p, L p, 1 p <. 12 V Použité pojmy a symboly 13 2
3 Část I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 1 Objem intervalu. Nechť I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a p, b p ] R p je p rozměrný uzavřený interval v R p, je vždy kartézským součinem uzavřených jednorozměrných intervalů [a i, b i ] R, a i b i. Objemem intervalu I rozumíme číslo 2 Objem otevřené množiny. v(i = (b 1 a 1 (b 2 a 2 (b p a p. Nechť G R p je otevřená podmnožina v R p, tj. G τ p, τ p označuje systém všech otevřených podmnožin v R p. Každou otevřenou podmnožinu R p lze vyjádřit jako spočetné sjednocení uzavřených nepřekrývajících se intervalů z R p, tj. G = k N I k, k l (I k I l =. Objemem množiny G je pak číslo v(g R definované vztahem v(g = k N v(i k. (1 Dá se ukázat, že číslo v(g nezávisí na tom, jakým způsobem je otevřená množina G vyjádřena jako sjednocení uzavřených nepřekrývajících se intervalů z R p. Součet řady (1 vždy existuje, protože řada má nezáporné členy. Součet však může být nekonečný. 3 Vnější míra podmnožin R p. Vnější míra je funkce µ : P(R p [0, + ], definovaná rovností: Nechť A, B, A k P(R p, pak platí 1. µ ( = 0, 2. A B µ (A µ (B, 3. µ ( k N A k k N µ (A k. µ (M = inf {v(g M G, G τ p }. V poslední nerovnosti 3. obecně nenastává rovnost ani v případě konečné posloupnosti navzájem disjunktních množin A k. To odporuje intuitivním představám o vlastnostech objemu. Problém spočívá v přílišné bohatosti množiny všech podmnožin množiny R p, kterou nazýváme potencí množiny R p a označujeme symbolem P(R p. 4 Lebesgueovsky měřitelné množiny. Systém A P(R p je systémem lebesgueovsky měřitelných množin, právě když platí A A : ε R + G τ p (A G & µ (G A < ε. (2 Jestliže A A, říkáme, že A je (lebesgueovsky měřitelná. Definici (2 můžeme interpretovat tak, že množina je lebesgueovsky měřitelná, pokud se ve smyslu vnější míry libovolně málo liší od otevřené množiny. 5 Lebesgueova míra. Lebesgueova míra je restrikce µ na množinu A, tj. je to funkce µ : A [0, + ], pro kterou platí ( A A(µ(A = µ (A. Nechť A, B, A k A, pak pro Lebesgueovu míru µ platí: 3
4 1. µ( = 0, 2. A B µ(a µ(b, 3. (k l A k A l = µ( k N A k = k N µ(a k, 4. M R p & µ (M = 0 M A & µ(m = 0. Vlastnost 3. se nazývá σ aditivita míry μ. Množina M R p, pro kterou µ (A = 0, se nazývá množinou míry nula. Vlastnost 4. říká, že množina míry nula je měřitelná a má nulovou Lebesgueovu míru. Každá míra, která splňuje vlastnost 4. se nazývá úplná. 6 Měřitelný prostor, prostor s mírou. Množina A, definovaná vztahem (2, je tzv. σ algebra podmnožin množiny R p. Obecně, je-li dána libovolná množina, je σ algebra podmnožin množiny takový systém množin A, A P(, pro který platí: 1. A, 2. A A A A, 3. A : N A k N A k A. Z vlastností se dále dá dokázat, že rovněž platí: 4. A, 5. A : N A k N A k A. Uspořádaná dvojice (, A, kde A je nějaká σ algebra podmnožin množiny, se nazývá měřitelný prostor, uspořádaná trojice (, A, µ, kde (, A je měřitelný prostor a µ je míra, tj. funkce µ : A [0, + ], která splňuje vlastnosti 1. až 4. sekce 5, se nazývá prostor s (úplnou mírou. Z definice systému A, vztah (2, vyplývá, že σ algebra A podmnožin množiny R p obsahuje všechny otevřené podmnožiny z R p. Z vlastnosti 2. plyne, že obsahuje i všechny uzavřené podmnožiny R p a podle 3. a 5. obsahuje i jejich spočetná sjednocení a průniky, atd... Systém A tedy obsahuje všechny tzv. borelovské podmnožiny R p, neboť systém borelovských podmnožin R p je definován jako nejmenší (ve smyslu inkluze σ algebra podmnožin R p, která obsahuje otevřené podmnožiny R p. 7 Měřitelné funkce. Nechť je dán měřitelný prostor (R p, A, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Funkce f R p R se nazývá A měřitelná (zkráceně též jen měřitelná, právě když platí: D(f A & c R (f ((c, ] A. (3 Poznámka: Zde f (M znamená vzor množiny M, tj. f ((c, ] = {x f(x > c}, místo f ((c, ] se používá též symbol [f > c], tj. f ((c, ] = [f > c]. Protože A je σ algebra, dá se podmínka (3 formulovat mnoha ekvivalentními způsoby. 8 Jednoduché funkce. Nechť (R p, A je měřitelný prostor, R p. Funkce ϕ : [0, se nazývá jednoduchá nezáporná měřitelná funkce, právě když ϕ je A měřitelná a obor hodnot R(ϕ je konečná množina, je tedy A, R(ϕ = {a 1,..., a n } [0,, a ϕ ({a i } A. Ke každé jednoduché nezáporné měřitelné funkci ϕ : [0, existují množiny A k A a čísla a k [0, taková, že platí: k l A k A l =, = n A k a ϕ = n a k χ Ak, kde χ Ak : {0, 1} je tzv. charakteristická funkce množiny A k, nebo též indikátor množiny A k. Platí x A k χ Ak (x = 0, x A k χ Ak (x = 1. Je tedy R(ϕ = {a 1, a 2, a n }. 4
5 Část II Lebesgueův integrál definice 9 Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, funkce ϕ : [0, je jednoduchá nezáporná měřitelná a platí: A k A, k l A k A l =, = n A k, ϕ = n a kχ Ak. Definujeme ϕ dµ := n a k µ(a k. (4 Na pravé straně rovnice (4 se může vyskytnout součin 0, v tom případě klademe 0 := Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f : [0, ] je nezáporná A měřitelná funkce. Definujeme ( f dµ := sup ϕ dµ, (5 ϕ S f kde supremum se bere přes množinu S f všech jednoduchých nezáporných měřitelných funkcí ϕ : [0,, které vyhovují nerovnosti 0 ϕ f, 1 tj. S f = {ϕ 0 ϕ f & ϕ je jednoduchá nezáporná měřitelná funkce [0, }. Vztah (5 lze ekvivalentně vyjádřit pomocí neklesající posloupnosti nezáporných jednoduchých měřitelných funkcí. Ke každé nezáporné A měřitelné funkci f : [0, ], existuje neklesající posloupnost jednoduchých nezáporných měřitelných funkcí ϕ n : [0,, taková, že platí: 0 ϕ n ϕ n+1 f & lim n ϕ n = f na. (6 Podmínka (6 se stručně zapisuje symbolem ϕ n f na. Pak platí: ϕ n f na f dµ := lim ϕ n dµ n Každá nezáporná měřitelná funkce má tedy Lebesgueův integrál, protože supremum (5 v uspořádané množině ( R, vždy existuje, může být však nekonečné. 11 Lebesgueův integrál obecné reálné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, funkce f : R je A měřitelná a může nabývat kladných i záporných hodnot. Definujeme f dµ := f + dµ f dµ, (7 kde f + := max {f, 0}, f := max { f, 0}, má-li pravá strana rovnice (7 smysl, tj. když nejsou oba integrály na pravé straně rovnice (7 nekonečné, rozdíl totiž není definován. Má-li pravá strana rovnice (7 smysl, říkáme, že (Lebesgueův integrál existuje, nebo že integrál má smysl. Jestliže integrál existuje a je konečný, říkáme, že integrál konverguje, nebo že f je (lebesgueovsky integrovatelná na. Množinu reálných lebesgueovky integrovatelných funkcí na značíme symbolem L r 1(, viz sekce 18. Poznámka: Je-li f funkce měřitelná, jsou měřitelné i funkce f +, f. 1 Nerovnosti mezi funkcemi f, g : R (resp. R jsou definovány vztahem f g ( x (f(x g(x. 5
6 12 Závěrečná zobecnění. V teorii Lebesgueova integrálu lze ve většině situací zanedbávat množiny míry 0. Pro účelné vyjadřování jsou užitečná dále uvedená zobecnění. 1. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, R p, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Říkáme, že funkce f R p R je definována µ skoro všude v množině (zkráceně µ s.v. v, též jen s.v. v, právě když existuje množina N míry 0, tj. µ(n = 0, taková, že N D(f. Právě uvedenou podmínku lze ekvivalentně vyjádřit rovnicí µ( D(f = Zobecnění měřitelnosti funkce. Nechť je dán prostor s Lebesgueovou mírou (R p, A, µ, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Funkce f R p R se nazývá měřitelná v množině R p, právě když je funkce f definována µ skoro všude v množině a restrikce f (= f ( R je měřitelná. Z této definice vyplývá, že funkce f R p R je měřitelná v množině R p, právě když A, µ( D(f = 0 a ( c R ( f ((c, ] A. Dále platí: Jestliže Y A, f je měřitelná v množině a µ(y = 0, pak f je měřitelná v množině Y. Důkaz. Nechť platí: f je měřitelná v množině, Y A a µ(y = 0. Odtud A, µ( D(f = 0, existuje tedy množina míry nula N A taková, že D(f = N. Odtud D(f c N c, tj. Y D(f c Y (N c = (Y N (Y c. Odtud plyne µ(y D(f µ(y N + µ(y = 0. Nechť c R, označme M c = f ((c, ], podle předpokladu M c A. Potom Y M c = Y M c ( c = (Y M c (Y c M c. Protože M c A a Y A je Y M c A. Dále Y c M c Y c a µ(y = 0, tj. Y c M c A. Pak ovšem Y M c A, cbd. Z právě dokázaného dále vyplývá, že je-li N množina nulové míry, pak dále uvedená tvrzení jsou ekvivalentní: funkce f je měřitelná v, funkce f je měřitelná v N, funkce f je měřitelná v N. Podle tohoto zobecnění je funkce f měřitelná právě když je měřitelná v množině D(f. Měřitelná funkce je tedy měřitelná v každé měřitelné podmnožině svého definičního oboru a také v měřitelných množinách, které jej o málo přesahují, tj. v množinách A, pro které platí µ( D(f = Zobecnění integrálu. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, R p, f R p R je funkce měřitelná v množině. Pak A a existuje měřitelná funkce g : R a množina N míry 0 taková, že g N = f N. Definujeme f dµ := g dµ, (8 kde integrál vpravo je míněn podle dříve platné definice. Platí tedy pro libovolnou množinu N míry 0 a funkci f R p R měřitelnou v množině f dµ = f dµ = f dµ, (9 N existuje-li alespoň jeden z integrálů ve vztahu (9 (existuje-li jeden, existují i ostatní. Dále, jestliže f R p R je měřitelná v množině a Y, Y A, potom f je měřitelná v Y, fχ Y je měřitelná v a platí f dµ = fχ Y dµ. (10 Y N 6
7 4. Jestliže funkce f je komplexní, tj. f R p C, říkáme, že f = Re(f + i Im(f je měřitelná, právě když jsou měřitelné reálné funkce Re(f, Im(f, f je měřitelná v množině, jsou-li funkce Re(f, Im(f měřitelné v množině, f je definována µ s.v. v, jsou-li funkce Re(f, Im(f definovány µ s.v. v množině. Integrál z komplexní funkce f měřitelné v množině je definován vztahem f dµ := Re(f dµ + i Im(f dµ, (11 jsou-li oba integrály na pravé straně rovnice (11 konečné (jestliže tedy oba konvergují. Poznámka: Je-li R jednorozměrný interval s krajními body a < b, tj. (a, b [a, b], užíváme běžné označení b a f := f. Dále definujeme a b f := b f, pro každou funkci f a pro každé a R a klademe a f := 0. (Symboly míry dµ je možné vynechávat, nehrozí-li nejasnosti. a Část III Newtonův integrál 13 Newtonův integrál zobecněná primitivní funkce. Newtonův integrál je důležitý nástroj výpočtu Lebesgueova jednorozměrného integrálu. Dá se ukázat, že existuje-li na nějakém intervalu I R s krajními body a, b R, a < b zároveň jak Lebesgueův tak Newtonův integrál, jsou si rovny. Newtonův integrál se opírá o pojem primitivní funkce. Nechť f, F R R jsou funkce, I R je interval s krajními body a, b R, a < b. Budeme říkat, že funkce F je zobecněnou primitivní funkcí k funkci f na intervalu I a zapisovat symbolem F zpf(f, I, právě když platí: 1. F je spojitá funkce na intervalu I, 2. existuje konečná podmnožina K I taková, že ( x I K (F (x = f(x. Newtonův integrál je pomocí zobecněné primitivní funkce definován následovně: Nechť f, F R R jsou funkce, I R je interval s krajními body a, b R, a < b. Číslo F (b F (a + se nazývá Newtonův integrál z funkce f na intervalu I právě když: 1. F zpf(f, I, 2. číslo F (b F (a + je konečné. Píšeme b a f := F (b F (a +, případně b a f(x dx := F (b F (a +. Jsou-li splněny uvedené podmínky říkáme též, že Newtonův integrál existuje, nebo že integrál má smysl. Poznámka: Čísla F (b, F (a + jsou definována limitami F (b := lim x b F (x, F (a + := lim x a+ F (x, výraz F (b F (a + se zapisuje stručně zkratkou [F (x] b a. Z definice je zřejmé, že není podstatné, zda krajní body intervalu I jsou, či nejsou jeho součástí. Definici Newtonova integrálu dále rozšiřujeme standardním způsobem rovnicemi a a f = 0, a b f = b a f. Je-li potřeba rozlišovat Lebesgueův a Newtonův integrál, užívá se symbolů (L b a, (N b a. Věta 1. Nechť f je reálná spojitá a omezená funkce, definovaná na omezeném intervalu (a, b R. Pak integrál (N b a existuje. 7
8 14 Integrace per partes, integrace substitucí. Připomeňme v tomto kontextu dvě základní metody integrace pro Newtonův integrál, metodu per partes a metodu substituce. Integrace per partes. Nechť f, g R R jsou funkce, (a, b R je interval, a < b. Nechť F zpf(f, (a, b, G zpf(g, (a, b. Pak platí: b a b F g = [F G] b a fg, mají-li smysl alespoň dvě veličiny v předchozí rovnici, tj. buď existují oba integrály, nebo jeden z integrálů a hodnota [F G] b a je konečná. Integrace substitucí. Nechť ω : (α, β na (a, b je striktně monotónní bijekce taková, že existuje konečná množina K (α, β a platí ( t (α, β K (ω (t R {0}. Pak platí b a f(x dx = β α a f ω(t ω (t dt, jestliže existuje alespoň jeden z integrálů v napsané rovnici (existuje-li jeden pak existuje i druhý a platí uvedená rovnost. Poznámka: Striktně monotónní bijekce ω : (α, β na (a, b je spojitá funkce. Část IV Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu V této části je barevně odlišeno, které věty, či jejich části, jsou formulovány přímo pro komplexní funkce a které pro funkce reálné. Připomeňme, že komplexní varianta věty ve většině případů vznikla aplikací reálné varianty zvlášť na reálnou a imaginární část komplexní funkce a podle bodu 4 výrazy integrál má smysl, integrál existuje byly nahrazeny výrazem integrál konverguje. V dále uvedených odstavcích se často hovoří o nějaké vlastnosti V (x prvků x, která platí skoro všude v, zkráceně s.v. v. Znamená to, že existuje množina N míry nula taková, že platí N {x V (x}, tj. vlastnost V (x platí pro všechny prvky x množiny s výjimkou prvků množiny N míry nula. Pro úplnou míru µ je výrok N {x V (x} ekvivalentní s µ( {x V (x} = 0. Prostory funkcí L p (, L r p(, užívané v dále uvedených větách, jsou definovány v sekci Integrál jako funkce integrandu. Věta 2. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f, g jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: f g s.v. v f g, (12 speciálně 0 g s.v. v 0 g, (13 jestliže integrály v (12 existují, (existence integrálu v (13 plyne z nezápornosti funkce g. Dále platí: f g s.v. v & g L r 1( f L r 1( a platí, f f g. (14 Tvrzení (14 platí i pro komplexní funkci f, tj. f g s.v. v & g L r 1( f L 1 ( a platí, f f g. (15 8
9 Věta 3. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k = 1,..., n, jsou reálné a měřitelné v, c k, k = 1,..., n, jsou konečná reálná čísla. Pak platí: ( n n c k f k = (c k f k, (16 má-li pravá strana rovnosti (16 smysl (pak má smysl i levá strana a platí uvedená rovnost. Poznámka: Pravá strana rovnosti (16 má smysl, existují-li integrály f k a v součtu na pravé straně rovnice nevznikne. Avšak je definováno 0 = 0. Věta 4. (Monotónní konvergence Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f, f k, k N jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: f k f s.v. v & < f existuje & f k f, (17 f k f s.v. v & > f 1 f 1 f existuje & f k f. (18 Symbol f k f s.v. v znamená, že f k (x f k+1 (x a lim k f k (x = f(x pro skoro všechna x. Obdobně f k f s.v. v. Symbol f k f znamená, že číselná posloupnost k f k je neklesající a lim k f k = Obdobně f k f. Podmínka < f 1 (resp. > f 1 je ekvivalentní podmínce f 1 < (resp. f 1 + <. Věta 5. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce g, f a f k, k N, jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: Jestliže potom f k f s.v. v & ( k N ( f k g s.v. v & g L r 1( f L r 1( & f k Poznámka: Funkce g se nazývá integrovatelná majoranta posloupnosti funkcí f k. f. f. (19 Věta 6. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f a f k, k N, jsou komplexní a měřitelné v, funkce g je reálná a měřitelná v. Pak platí: Jestliže potom f k f s.v. v & ( k N ( f k g s.v. v & g L r 1( f L 1 ( & f k Poznámka: Funkce g se nazývá integrovatelná majoranta posloupnosti funkcí f k. f. (20 Věta 7. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou reálné a měřitelné v. Jestliže je splněna jedna z dále uvedených podmínek (21, (22, tj. buď nebo existuje funkce g L r 1( taková, že ( k N (f k 0 s.v. v, (21 ( n N ( n f k g s.v. v, (22 a řada f k konverguje s.v. v, pak platí: ( ( f k = f k. (23 9
10 Věta 8. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou komplexní a měřitelné v. Jestliže existuje funkce g L r 1( taková, že ( n ( n N f k g s.v. v, (24 a řada f k konverguje s.v. v, pak platí: ( ( f k = f k. (25 Věta 9. (Beppo Levi Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou komplexní, (resp. reálné a měřitelné v. Jestliže ( ( f k <, nebo f k < (26 pak řada f k konverguje absolutně s.v. v, součet řady je funkce z L 1 (, (resp. L r 1( a platí rovnost ( ( f k = f k. (27 Poznámka: Jestliže je splněna jedna z podmínek (26, pak je splněna i druhá a výrazy na levých stranách nerovností (26 se sobě rovnají (plyne z aplikace Věty 7 na integrály z nezáporných funkcí f k. 16 Integrál jako funkce integračního oboru. Věta 10. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, { k A k I} je konečná, nebo nekonečná posloupnost měřitelných množin, tj. I = {1, 2,..., n}, nebo I = N, funkce f je reálná nezáporná měřitelná v = k I k. Pak platí: 1. Jestliže k l k l =, potom f = k I ( k f 2. Jestliže I = N & k I k k+1, potom f = lim f. k k Věta 11. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou,, Y A, funkce f je reálná a měřitelná v. Je-li Y a f existuje, pak existuje f a platí: Y < f < Y f <. f <, (28 Y f, (29 f L r 1( f L r 1(Y, (30 Poznámka: Pro komplexní funkci f měřitelnou v je aplikovatelná jen rovnice (30, která pak dostává tvar f L 1 ( f L 1 (Y. (31 10
11 Věta 12. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, n N, 1,..., n A jsou po dvou disjunktní měřitelné množiny (tj. k, m {1,..., n} & k m k m =, reálná funkce f je měřitelná v := n k. Pak platí n ( f =, (32 má-li jedna strana rovnosti smysl. Poznámka: Levá strana rovnosti (32 má smysl, existuje-li integrál f, pravá strana rovnosti (32 má smysl, existují-li integrály f k a v součtu na pravé straně rovnice (32 nevznikne. Má-li smysl jedna strana, má ho i druhá. Věta 13. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, k A, k N, je posloupnost měřitelných množin, funkce f je reálná a měřitelná v := n=1 k. Pak platí: 1. Jestliže k l k l =, potom f = k f ( k f, (33 má-li smysl levá strana rovnosti. (Má-li smysl levá strana, má ho i pravá. Jestliže integrál v (33 vlevo konverguje, konvergují integrály vpravo a řada konverguje absolutně. 2. Jestliže k N k k+1, potom f = lim k f, k (34 má-li smysl levá strana rovnosti. 17 Fubiniho věty, substituce. Věta 14. (1. Fubini Nechť A p, Y A q jsou měřitelné množiny v prostorech s Lebesgueovými mírami (R p, A p, µ p, (R q, A q, µ q, funkce f je A p+q měřitelná, nezáporná, f : Y [0, + ]. Pak platí: 1. funkce x f(x, y je A p měřitelná pro každé y Y, 2. funkce y f(x, y je A q měřitelná pro každé x, 3. funkce x Y f(x, y dy je A p měřitelná, 4. funkce y f(x, y dx je A q měřitelná, 5. platí: Y f(x, y dxdy = ( Y ( f(x, y dy dx = f(x, y dx dy. (35 Y Poznámka: Lebesgueovy míry dµ p, dµ q, dµ p+q jsou v rovnici (35 značeny tradičně dx, dy, dxdy. Věta 15. (2. Fubini Nechť A p, Y A q jsou měřitelné množiny v prostorech s Lebesgueovými mírami (R p, A p, µ p, (R q, A q, µ q, funkce f je A p+q měřitelná, komplexní, definována s.v. v Y. Jestliže alespoň jeden z dále uvedených integrálů f(x, y dxdy, (36 je konečný, potom platí: Y Y ( ( Y f(x, y dy dx, (37 f(x, y dx dy (38 11
12 1. funkce x f(x, y je prvkem L 1 ( pro skoro všechna y Y, 2. funkce y f(x, y je prvkem L 1 (Y pro skoro všechna x, 3. funkce x Y f(x, y dy je prvkem L 1(, 4. funkce y f(x, y dx je prvkem L 1(Y, 5. Y f(x, y dxdy = ( Y ( f(x, y dy dx = f(x, y dx dy. (39 Y Poznámka: Je-li konečný jeden z integrálů (36, (37, (38, jsou konečné všechny tři. Podle Věty 14 se navzájem rovnají. V rovnici (39 všechny integrály konvergují. Věta 16. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou,, Y, Ω R p, Φ : Ω R p je difeomorfismus. Pak platí: 1. Je-li Ω měřitelná množina, je i Φ ( měřitelná, 2. je-li Ω a µ( = 0, je i µ(φ ( = 0, 3. je-li (reálná či komplexní funkce f měřitelná v množině Y a Y Φ (Ω, je funkce f Φ měřitelná na množině Φ (Y. Poznámka: Zobrazení Φ : Ω R p, Φ = (Φ 1,..., Φ p, se nazývá difeomorfismus, právě když je prosté (injektivní, je třídy C 1 (Ω, tj. parciální derivace Φ i k : Ω R jsou spojité funkce a je regulární, tj. [ ] hodnost matice derivace Φ = Φ i k je rovna p v každém bodě otevřené množiny Ω. Věta 17. (substituce Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou,, Y, Ω R p, Φ : Ω R p je difeomorfismus, f je reálná funkce. Pak platí: Ω f = f Φ det Φ, má li smysl alespoň jedna strana rovnice, (40 Φ ( Y Φ (Ω Y f = Φ (Y 18 Prostory funkcí L r p, L p, 1 p <. f Φ det Φ, má li smysl alespoň jedna strana rovnice. (41 Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. Definujme prostor L r 1( reálných lebesgueovsky integrovatelných funkcí na, (stručně L r 1 vztahem: f L r 1( : f dµ R, (42 tj. f L r 1(, právě když f je reálná funkce měřitelná v taková, že f dµ je konečný (konverguje. Pro reálné i komplexní funkce a p R takové, že 1 p <, dále definujeme f L r p( : f p L r 1( & f je reálná, (43 f L p ( : Re(f L r p( & Im(f L r p( (44 f p L r 1(. Poznámka: definice podle vztahu (42 není v rozporu se vztahem (43 pro p = 1, neboť pro reálnou funkci f platí f dµ R f dµ R. (45 12
13 Věta 18. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, 1 p <, f L p (. Potom ( f p := f p 1 p, je norma na množině měřitelných funkcí v, přičemž nejsou rozlišovány funkce, které se liší na množině nulové míry. Věta 19. (Hölderova nerovnost, p > 1 Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f L p (, g L q (, 1 p + 1 q = 1, p > 1. Potom fg L 1( a platí fgdµ fg dµ, fg dµ f p g q, fgdµ f p g q. Věta 20. (Minkowského nerovnost, 1 p < Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f, g L p (. Pak platí: f + g p f p + g p. Věta 21. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. L 2 ( je komplexní Hilbertův prostor (a tedy i Banachův prostor. Skalární součin je definován vztahem: (f, g := f gdµ. Norma a metrika jsou definovány vztahy: f 2 = ( 1 f 2 2, ρ(f, g = f g 2, přičemž nejsou rozlišovány funkce, které se liší na množině nulové míry. Věta 22. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. Jestliže 0 < p < q < a µ( <, potom L q ( L p (, a platí f p f q (µ( 1 p 1 q pro f L q (. Věta 23. Nechť 1 < p <, f L 1 (R, g L p (R. Potom pro s.v. x R funkce y f(x yg(y a y f(yg(x y patří do L 1 (R. Pro všechna taková čísla x definujme (f g(x := f(x yg(ydy, R (g f(x := g(x yf(ydy. Potom platí f g = g f skoro všude v R, f g L p (R, f g p f 1 g p. R Část V Použité pojmy a symboly 1. P( := {Y Y }, množina všech podmnožin množiny, tzv. potence množiny. 2. U := {x x = x}, univerzální třída, třída všech množin (prvků. 13
14 3. A je otevřená podmnožina v R p = (, + p, píšeme např. A τ p, právě když ke každému bodu x A existuje otevřený interval I = (a 1, b 1 (a p, b p takový, že x I A. Vnitřek A libovolné podmnožiny A R p je největší (ve smyslu inkluze otevřená podmnožina obsažená v A, tj. A A a B A & B τ p B A. Podmnožina B R p se nazývá uzavřená v R p, píšeme např. A τ p, je-li doplňkem nějaké otevřené podmnožiny R p, tj. B je uzavřená ( A τ p (B = R p A. Uzávěr Ā libovolné podmnožiny A Rp je nejmenší (ve smyslu inkluze uzavřená nadmnožina množiny A, tj. A Ā a A B & B τ p Ā B. (R p, τ p je topologický prostor, viz A je otevřená podmnožina v R p = [, + ] p, píšeme např. A τp e (e extended, právě když ke každému bodu x A existuje otevřený interval I takový, že x I A. Mezi otevřené intervaly v prostoru R p počítáme všechny intervaly tvaru (a 1, b 1 (a p, b p a rovněž intervaly, které vzniknou ze součinu (a 1, b 1 (a p, b p náhradou libovolného počtu jednorozměrných intervalů (a i, b i, i = 1...p libovolným z intervalů [, b i, (a i, + ], [, + ]. Například R p = [, + ] p je v prostoru R p otevřená množina. Definice uzavřené podmnožiny, vnitřku a uzávěru libovolné podmnožiny R p je shodná s definicemi v bodě 3, jestliže v nich nahradíme symboly τ p, R p, odpovídajícími symboly τp e, R p. ( Rp, τp e je topologický prostor, viz (, α je topologický prostor, píšeme (, α Top, právě když α je tzv. topologie na, tj. α P( je systém podmnožin množiny, pro který platí: α, α, A : N α n N A n α a A, B α A B α. 6. Množina f se nazývá binární relace, právě když f U U. Množina f se nazývá funkce, právě když f je binární relace s vlastností (x, y f & (x, z f y = z. Je-li f funkce, pak skutečnost, že (x, y f se zapisuje rovností y = f(x. Binární relace (a tedy i funkce lze skládat. Jsou-li f, g binární relace, pak složením g s f v tomto pořadí vznikne binární relace definovaná následovně: g f = {(x, z ( y ((x, y f & (y, z g}. Každé binární relaci f (a tedy i funkci jsou přidruženy dvě množiny, definiční obor D(f := {x ( y ((x, y f} a obor hodnot R(f := {y ( x ((x, y f}. 7. Obraz a vzor množiny. Nechť f je libovolná binární relace (tj. není nutné, aby to byla funkce. Obraz a vzor množiny A v binární relaci f je definován dále uvedenými vztahy. Obraz: f (A := {y ( x((x, y f & x A}, Vzor: f (A := {x ( y((x, y f & y A}. Je tedy R(f = f (D(f, D(f = f (R(f. 8. Je-li f binární relace pak f 1 označuje inverzní relaci k relaci f. Platí f 1 = {(y, x (x, y f}. Je zřejmé, že D(f = R(f 1, R(f = D(f 1. Funkce f se nazývá injektivní (též injekce, prostá, právě když relace f 1 je funkce. 9. f A := f (A U je tzv. restrikce funkce f na množinu A. Jestliže f, g jsou funkce a f g, říkáme že, že f je zúžením g, nebo že g je rozšířením f. f A je tedy zúžením f. 10. Symbol f : A B, nebo A f B se rovněž nazývá funkce. Tento nový, obsažnější pojem funkce coby šipky A f B budu v této sekci rozlišovat italikou od pojmu funkce coby binární relace z předchozích bodů. Toto grafické rozlišení budu pro účely detailnějšího popisu používat jen v této sekci a jen v bodech (10 - (12. Symbol f : A B, nebo A f B znamená toto: (1 f je funkce (tj. bin. relace s vlastností (x, y f & (x, z f y = z, (2 definiční obor D(f funkce f je roven A, tj. D(f = A, (3 obor hodnot R(f funkce f leží v B, tj. R(f B. Jestliže R(f = B říkáme, že funkce f : A B je surjektivní (též surjekce, zobrazení na, f : A na B. Říkáme, že funkce f : A B je injektivní (též injekce, prostá, právě když funkce f je injektivní. Injektivita je vlastnost samotné binární relace f, která je tímto přenesená i na funkci f : A B. Surjektivita je však vlastností pouze funkce f : A B. Je-li funkce f : A B zároveň surjekcí i 14
15 injekcí, říkáme, že je bijektivní, též bijekce. Jestliže R(f R říkáme, že funkce f je reálná, jestliže R(f C říkáme, že funkce f je komplexní. Každá reálná funkce je tedy zároveň komplexní, neboť R C. Obdobně se uvedené pojmy přenáší na funkci f : A B. Říkáme, že funkce f : A B je reálná (resp. komplexní, jestliže B R (resp. B C. 11. Pro libovolné množiny A, B, platí toto: A B právě když existuje funkce i : A B taková, že ( x A(i(x = x. Funkce i : A B je dvojicí množin A, B s vlastností A B určena jednoznačně, nazývá se inkluze, nebo také inzerce. Odtud vyplývá, že ke každé množině A existuje tzv. identita nebo jednotka na A, je to funkce 1 A : A A taková, že ( x A(1 A (x = x. ( ( 12. Funkce C g D, A f B je rovněž možno skládat. Kompozice D g C A f B je však definována pouze tehdy, ( když ( B = D (na rozdíl od skládání bin. relací g f, které je definováno vždy. Platí B g C A f B := A g f C, kde g f je bin. relace dříve definovaná. Jestliže( např. považuji ( funkce sin, cos, za funkce ( sin : R( R, cos : R R, potom kompozice R sin R R cos sin cos R = R R, R cos R R sin cos sin R = R R jsou definovány. Je-li však sin : R [ 1, 1], cos : R [ 1, 1], kompozice R sin [ 1, 1] R cos [ 1, 1], ( ( ( ( R cos [ 1, 1] R sin [ 1, 1] definovány nejsou. Poněkud těžkopádný symbol A f B je většinou nahrazován jen symbolem binární relace f, hovoříme pak o funkci f a máme na mysli funkci A f B. Někdy se pak nevyhneme detailnějšímu označení. Jestliže například označíme sin := R sin R, cos := R cos R, pak označme jinými symboly funkce Sin := R sin [ 1, 1], Cos := R cos [ 1, 1]. Potom je definováno jen Sin cos, Sin sin, Cos cos, Cos sin. Zde poznáme o kterou šipku jde podle názvu funkce. Tato přísnější pravidla skládání však nepředstavují ve skutečnosti žádná omezení, jen přispívají k detailnějšímu popisu vztahů mezi funkcemi již na úrovni diagramů. Například, protože [ 1, 1] R, existuje inzerce i : [ 1, 1] R, potom platí cos = i Cos a kompozice sin i Cos je již definována. Tyto vztahy lze dobře znázorňovat tzv. komutativními diagramy, např: R 1 R R Cos [ 1, 1] i cos R (46 Komutativita diagramu znamená, že různé cesty mezi dvěma vrcholy diagramu ve směru šipek jsou shodné ve smyslu skládání funkcí, tj. v diagramu (46 to znamená rovnost cos 1 R = i Cos, tj. cos = i Cos, neboť 1 R je identita. Všimněme si, že Cos je funkce surjektivní, kdežto cos surjektivní není, i z tohoto důvodu je třeba tyto funkce rozlišovat. Jestliže f : A B je bijekce, pak inverzní relace f 1 určuje funkci f 1 : B A, která je rovněž bijekce zvaná inverzní funkce k funkci f. Platí f 1 f = 1 A, f f 1 = 1 B. Obráceně, platí-li pro dvě funkce f : A B, g : B A rovnosti g f = 1 A, f g = 1 B, pak jsou to bijekce a g = f 1, f = g χ A je tzv. charakteristická funkce (nebo též indikátor množiny A v prostoru např., právě když A, χ A : {0, 1} a platí: x A χ A (x = 0 a x A χ A (x = Maximum, minimum, supremum, infimum. Nechť (, je uspořádaná množina, tj. binární relace je uspořádáním na množině. Relace je uspořádáním na právě když je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická relace na, tj. právě když splňuje dále uvedené vlastnosti: ( x (x x, ( x, y, z (x y & y z x z a ( x, y (x y & y x x = y. Je-li A, označme symbolem A množinu všech majorant (horních ohraničení množiny A v uspořádané množině (,, tj. A = {x ( y A(y x}. Obdobně, symbolem A označme 15
16 množinu všech minorant (dolních ohraničení množiny A v uspořádané množině (,, tj. A = {x ( y A(x y}. Množina A se nazývá shora (resp. zdola ohraničená, je-li A (resp. A. Dá se snadno ukázat, že průniky A A, A A jsou nejvýše jednoprvkové množiny. Jestliže A A, prvek, který leží v tomto průniku se nazývá maximum množiny A, tedy definujme max(a A A. Jestliže A A = říkáme, že maximum množiny A neexistuje, nebo že množina A nemá maximum. Jestliže A A, prvek, který leží v tomto průniku se nazývá minimum množiny A, tedy definujme min(a A A. Jestliže A A = říkáme, že minimum množiny A neexistuje, nebo že množina A nemá minimum. Minimum množiny A se nazývá supremum množiny A, platí tedy sup(a := min(a, tj. sup(a A A. Maximum množiny A se nazývá infimum množiny A, platí tedy inf(a := max(a, tj. inf(a A A. Jestliže množina A A (resp. A A je prázdná, říkáme, že sup(a (resp inf(a neexistuje, nebo že množina A nemá supremum (resp. infimum. A, A jsou stručné zápisy množin (A, (A. V uspořádané množině ( R, má každá množina supremum i infimum, např. sup( =, inf( = +, jestliže však A je vždy inf(a sup(a. V uspořádané množině (R, má každá neprázdná a shora ohraničená množina supremum a každá neprázdná zdola ohraničená množina má infimum. V uspořádané množině (R, jsou supréma a infíma vždy konečná čísla, např. sup(r v (R, neexistuje, protože R =. 15. Bodová, stejnoměrná, podle normy konvergence... 16
17 Rejstřík úplná míra, 4 A měřitelná funkce, 4 borelovské podmnožiny, 4 Lebesgueova míra, 3 lebesgueovsky měřitelné množiny, 3 měřitelný prostor, 4 množina míry nula, 4 objem intervalu, 3 objem množiny, 3 prostor s mírou, 4 sigma aditivita míry, 4 sigma algebra podmnožin, 4 vnější míra, 3 17
18 Reference [1] I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu 2 (1000 příkladů z pokročilejší analýzy, ACADE- MIA, Praha [2] E. Hewitt, K. Stromberg: Real and Abstract Analysis (A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [3] S. Cheng: A Short Course on the Lebesgue Integral and Measure Theory, e-book,
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Vícea = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Více