27 Systémy s více vstupy a výstupy

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "27 Systémy s více vstupy a výstupy"

Jiří Svoboda
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 7 Systémy s více vstupy a výstupy Mchael Šebek Automatcké řízení

2 Stavový model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Má obecně m vstupů p výstupů x () t = Ax() t + Bu() t y() t = Cx() t + Du() t B, C a D už nejsou vektory, ale matce D p Z toho plynou rozdíly, např.: Kanoncké tvary jsou složtější Matce řdtelnost je obdélníková (dlouhá): x(0 ) = x : n m : p n : m n Matce pozorovatelnost je obdélníková (vysoká): Stavová ZV a výstupní njekce nejsou vektory, ale matce K L : : m n n p Mchael Šebek ARI B C 0 mn pn n

Vnější model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka u u u u 1 = m u 1 u u m Gs () y y 1 y l y y y y 1 = l ys () = Gsus ()() y 11 1 1 1() s g (), s g (), s, g m() s u1() s y() s g1(), s

3 Vnější model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka u u u u 1 = m u 1 u u m Gs () y y 1 y l y y y y 1 = l ys () = Gsus ()() y () s g (), s g (), s, g m() s u1() s y() s g1(), s g(), s, gm() s u() s = yl() s g () 1(), (),, () um s l s gl s glm s Pozor na pořadí násobení! Nevadí an tak počet vstupů/výstupů, ale nterakce (= nenulové prvky mmo dagonálu) Mchael Šebek ARI

4 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Když na l-tý vstup přvedeme snusový sgnál ul( t) = ul0 sn( ωt+ αl) a na ostatní vstupy nc, bude po odeznění přechodových jevů na k-tém výstupu také snusový sgnál stejné frekvence Zesílení a fázový posun jsou kde Tedy platí Celková odezva př snusových sgnálech na všech vstupech je dána součtem y ( jω) = g ( jω) u ( ω) nebo matcově y ( t) = y sn( ωt+ β ) k k0 k [ ω ] g ( jω) = G ( j ) kl kl kl Frekvenční odezva MIMO systému y u k 0 l0 y ( jω) = g ( jω) u ( jω) k kl l k kl l l y( jω) = G( jω) u( jω) = g ( jω), β α = g ( jω) kl k l kl Mchael Šebek ARI

Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Pro SISO systém je zesílení na frekvenc ω

závsí na frekvenc, ale ne na ampltudě vstupu U MIMO to tak jednoduché není: sgnály jsou

vybereme Eukldovskou normu pro vektory, pak 10 0 10 0 u( jω) = u ( jω) = u + u + y( jω) =

) u( jω) je l k y( jω) y + y + G( jω) u( jω) u( jω) ( ) 10 0 = = u u j 10 + u ω 0 + Směry

5 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Pro SISO systém je zesílení na frekvenc ω jednoduše y( jω) G( jω) u( jω) G( jω) u( jω) = = = u( jω) u( jω) u( jω) Zesílení tedy závsí na frekvenc, ale ne na ampltudě vstupu U MIMO to tak jednoduché není: sgnály jsou vektory a tak musíme nejdříve velkost jednotlvých prvků sečíst pomocí nějaké normy Když vybereme Eukldovskou normu pro vektory, pak u( jω) = u ( jω) = u + u + y( jω) = y ( jω) = y + y + a zesílení systému pro daný vstup (!) u( jω) je l k y( jω) y + y + G( jω) u( jω) u( jω) ( ) 10 0 = = u u j 10 + u ω 0 + Směry pro MIMO systém G( jω) jde vykrátt nejde jednoduše vykrátt Zesílení nezávsí na ampltudě, závsí na ω a také na směru vstupu! Mchael Šebek ARI

6 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Pól je komplexní číslo, pro které je některý prvek přenosové matce =, je to tedy pól některého prvku matce je-l matce čtvercová, také se pozná z det G(s) Poloha pólů toho u MIMO systému zas tak moc toho neříká, záleží na struktuře: vz např. dva ntegrátory Příklad: Systém s přenosovou matcí má póly v s = 0, -1, -, -3 Póly přenosové matce MIMO systému 1 s 1 s s+ 1 Gs () = 1 s s+ s+ 3 det G( s) = ss ( + 5) s( s + 1) ( s + ) ( s + 3) >> G=[1./s (s-1)./(s+1);1./(s+) s./(s+3)] G = 1 (s-1) s (s+1) 1 s (s+) (s+3) >> (poles(g))' ans = >> pformat rootr, det(g) ans = s(s+5.00) s(s+3.00)(s+.00)(s+1.00) Mchael Šebek ARI

7 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Nuly přenosové matce MIMO systému Nula s je komplexní číslo, po jehož dosazení přenosová matce G(s ) ztrácí původní hodnost: rank Gs ( ) < rank Gs ( ) Na první pohled se z matce nepozná: není to nula konkrétního prvku! U matce čtvercové je to nula jejího determnantu, jnak nutno postupovat dle defnce Pozor: Po dosazení nuly matc ztrácí původní hodnost, ale obecně se nestane nulovou matcí. Vstupní sgnál příslušné frekvence tedy nemusí být blokován záleží to ještě na jeho směru! Pokračování příkladu systém z příkladu má nuly v s = 0, -5 1 s 1 s s+ 1 s( s + 5) Gs () =,det Gs () = 1 s ss ( + 1)( s+ )( s + 3) s+ s+ 3 >> r=roots(g) r = >> rank(g) ans = >> rank(value(g,r())) ans = 1 Mchael Šebek ARI

8 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Nula a směr Je-l s nulou F(s), tak nejen rank Fs ( ) < rank Fs ( ), ale ještě exstují nenulové vektory u, y : Fs ( ) u = 0y Obvykle je normalzujeme na jednotkovou délku u s je vstupní nulový směr (který směr vstupů nemá vlv na výstup) y je výstupní nulový směr (který směr výstupů je těžké řídt) s Poznámky s s 1 s s Jestlže má výstup přímou nformac o všech stavech, systém nemá nuly (tj. jestlže rank C = n a D = 0 ) U SISO systémů nelze odstrant vlv nestablní nuly U MIMO systémů je možné je obecně možné vlv nestablní nuly přesunout na méně důležtý výstup Někdy to nejde: pokud je nula přšpendlena k nějakému výstup, nejde z něj přesunout na jný (souvsí s nulovým prvky ve směrovém vektoru) Mchael Šebek ARI

9 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Také pól MIMO systému má směry: x = Ax + Bu y = Cx + Du Je-l q pravý vlastní vektor matce systému A : Aq = pq a t levý vlastní vektor matce systému A : ta = tp H Pak nazýváme up = B q vstupní vektor pólu p a y výstupní vektor pólu p p = Ct H Platí např. (pro póly různé a vlastní vektory škálované na q t = 1 ): u p ukazuje, jak moc je -tý mód vybuzen (a tedy řízen) vstupy y p ukazuje, jak moc je -tý mód pozorován výstupy Přenosová matce je ve směru pólu nekonečná G( p) u p = y u, p p = u p u p y p = y p y p y u Gs = + D = + D H H nctq B n p p 1 1 s p s p () Pól a směr Mchael Šebek ARI

páková průtok studené průtok horké u1 g y 11() s g1() s 1 g1() s g() s u y teplota průtok Ideálně je přenosová matce je dagonální a

10 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Interakce Řízení MIMO systémů není složtější an tak kvůl počtu vstupů a výstupů, ale kvůl nterakc: obecně každý vstup ovlvňuje každý výstup Příklad: mísící vanová batere: klascká vs. páková průtok studené průtok horké u1 g y 11() s g1() s 1 g1() s g() s u y teplota průtok Ideálně je přenosová matce je dagonální a nterakce je nulová. Pak říkáme, že systém je rozpojený (decoupled). Čím větší křížová nterakce (couplng), tím větší jsou problémy Jaká je míra nterakce? Mchael Šebek ARI

11 Problém párování Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Chceme-l využít SISO metody pro MIMO systémy musíme najít, který vstup slně ovlvňuje který výstup. To je Problém párování Pro m x m soustavu je obecně m! možností (permutací) K nalezení párování a také ke zhodnocení míry nterakce se tradčně používá Relatve Gan Array RGA Pro čtvercovou matc přenosů G(s) defnujeme vztahem 1 T RGA( G) =Λ ( G) = Gj (0) G (0) j = G(0). G (0) j. je součn po prvcích (tzv. Hadamardův, Schurův, v Matlabu array multplcaton ) G j (0) - DC zesílení z u na y j, když jsou ostatní vstupy nulové G j1 (0) - převrácená hodnota tohoto zes., když ostatní výstupy nulové Snažíme se o RGA dagonální (s kladnou dagonálou) nebo alespoň s velkým dagonálním prvky Mchael Šebek ARI

12 Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Návrh regulátoru pro MIMO soustavy Dagonální regulátor: čtvercový, nedagonální prvky = 0 funguje pro soustavu dagonální (má nedagonální prvky nulové) a soustavu skoro dagonální (nedagonální prvky malé) navrhuje se SISO metodam, každý prvek odděleně Dvoustupňový návrh 1. Decouplng, tedy úprava přenosu na dagonální tvar: Navrhneme W () s 1, aby Gdag () s = GsW () 1() s byla dagonální matce (tzv. dynamcký decouplng), např. W 1 1 () s G = () s nebo alespoň pro nějakou frekvenc (třeba steady-state decouplng). Pak provedeme dagonální návrh pro Gdag () s, tj. několk skalárních Hlavní problém: typcky ctlvé na chyby/změny parametrů MIMO regulátor s obecnou strukturou 1 1 potřebujeme MIMO metody Fs () = A () sbs (), Ks () = QsP () () s např. polynomálně AsPs () () + BsQs () () = Cs () Mchael Šebek ARI

Podobné dokumenty

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc