ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje"

Transkript

1 EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE ÚOHA : EEKTICKÉ POE NABITÉ ÚSEČKY NA OSE SYMETIE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ POE NABITÉ ÚSEČKY NA OSE SYMETIE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ VE SMĚU KOMÉM K NABITÉ ÚSEČCE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ VE SMĚU KOMÉM K NABITÉ ÚSEČCE 4 ÚOHA 4: NABITÁ PŮKUŽNICE 5 ÚOHA 4: NABITÁ PŮKUŽNICE 5

2 . Spojité ozložení náboje.1 Úkoly 1. Seznámení se s pojmy lineání, plošné a objemové hustoty náboje.. Spočítání intenzity elektického pole náboje ozloženého na úsečce ze dvou ůzných směů.. Ověření, že pokud ozmě úsečky jde k nule, dostaneme předpokládaný výsledek.. Algoitmy po řešení poblému Abychom byli schopni spočítat elektické pole vytvořené v postou spojitě ozloženým nábojem, musíme tento náboj ozdělit na menší části dq, každá část vytvoří příspěvek elektického pole de. Pokud spojité ozložení ozdělíme na bodové náboje, můžeme psát E 1 dq = d E = ˆ, 4πε 0 kde je vzdálenost od náboje dq k bodu P (tam kde měříme elektické pole E ) a ˆ je odpovídající jednotkový vekto. Obecně poto můžeme použít následující koky: (1) ozdělte nábojové ozložení na malé části dq, od kteých znáte příspěvek de. () Napište odpovídající příspěvky de po dq. Například příspěvek bodového náboje je 1 dq 1 dq de= ˆ = (duhý zápis je většinou výhodnější). 4πε 0 4πε0 () Přepište element náboje dq jako dl dq = σ da ρdv (délka) (plocha) (objem) v závislosti na dimenzi objektu, na kteém je náboj ozložen. (4) Nahaďte substituci dq ve výazu de. (5) Zvolte si vhodný systém souřadnic (katézský, cylindický nebo sféický) a vyjádřete si element difeenciálu ( dl, da nebo dv ) a v těchto souřadnicích (viz Tab..1), pokud si potřebujete zopakovat souřadné systémy, využijte předchozích řešených úloh. Katézské ( x, y, z ) Cylindické ( ρ, φ, z ) Sféické (, θ, φ ) dl dx, dy, dz dρ, ρdφ, dz d, dθ, sinθdφ da dxdy, dxdz, dxdz dρ dz, ρdφ dz, ρdφdρ ddθ, sinθddφ, sinθdθdφ dv dxdydz ρdρdφ dz sinθddθdφ Tabulka.1: Difeenciální elementy v jednotlivých systémech souřadnic.

3 (6) Přepište de v integačních poměnných, ze symetií zjistěte, kteé příspěvky se vyuší a kteé je třeba zahnout do integace. (7) Integujte výaz, abyste získali E. Úloha 1: Spojité ozložení náboje (1) Na plášť válce délky a poloměu, kde, je ovnoměně ozložen náboj. Na podstavách válce není žádný náboj. a. Ze zadaných paametů vyjádřete povchovou hustotu náboje σ? Poveďte ozměovou analýzu. b. Předpokládejte, že jste ve vzdálenosti mnohem větší, než je polomě válce. Válec tak vypadá jako nabitá úsečka. Jaká je lineání hustota náboje zdánlivé nabité úsečky? Poveďte ozměovou analýzu. () Objem válce délky a poloměu ( ) je ovnoměně vyplněn nábojem. a. Jaká je objemová hustota náboje ρ? Poveďte ozměovou analýzu. b. Předpokládejte, že jste ve vzdálenosti mnohem větší, než j polomě válce. Válec tak vypadá jako nabitá úsečka. Jaká je lineání hustota náboje zdánlivé nabité úsečky? Poveďte ozměovou analýzu. Úloha 1: Spojité ozložení náboje (1) () a. σ = /( π), b. = /. a. ρ = π b. =., Následující úlohy se budou zabývat elektickým polem kolem nabité úsečky. Analyticky jsme schopni toto pole spočítat pouze po dvě přímky v postou. V ostatních bodech musíme použít numeické metody po výpočet elektického pole. Celkovou epezentaci pole můžete vidět v jedné z vizualizací na adese kde si vybete osmou vizualizaci. Obázek dole ukazuje globální pole nabité úsečky zobazené šumovou textuou

4 Úloha : Elektické pole nabité úsečky na ose symetie Dát délky l je homogenně nabit celkovým nábojem. Spočítejte elektické pole v bodě P, kteý je ve vzdálenosti a od podélné osy úsečky. a. Zapište integál vyjadřující elektické pole v bodě P. b. Spočítejte tento integál. c. Obdžíme očekávaný výsledek, pokud půjde v limitě délka úsečky k nule? Úloha : Elektické pole nabité úsečky na ose symetie a. a+ ˆ dx E= k i, e a ( x ) a+ 1 b. = ke = ke x a ˆ ˆ E i i, a( a + ) c. Pokud půjde v limitě k nule, dostaneme, jak jsme očekávali, pole bodového náboje E = k ˆ e a i. Úloha : Elektické ve směu kolmém k nabité úsečce Na tyči délky je ovnoměně ozpostřen náboj po celé její délce. Vyjádřete intenzitu elektického pole E na ose kolmé k tyči ve vzdálenosti y od středu (viz ob. nahoře). Úloha : Elektické ve směu kolmém k nabité úsečce Uvažme malý element náboje dq umístěný na segmentu dx ve vzdálenosti x od počátku souřadnic (viz ob.). Z délkové hustoty náboje vyjádříme, že dq = dx, elektické pole 4

5 dq způsobené elementem dq tak je de= ke. Z obázku je zřejmé, že = xˆi+ yˆj a = x + y, takže dostaneme ( x + y ) ( ) dq dx de= k ˆ ˆ e = k e xi+ yj. Ze symetie poblému zjistíme, že x-ová složka elektického pole vymizí, poto celkové pole v daném bodě můžeme integovat jako Úloha 4: Nabitá půlkužnice Úloha 4: Nabitá půlkužnice dx e / ( x + y ) E = k y ˆj. Polokuhová tyč o poloměu je homogenně nabitá celkovým nábojem. a. Vyjádřete hodnotu elektického pole ve středu polokužnice. b. Spočítejte elektický potenciál ve středu polokužnice. Stejně jako v předchozím případě si vyjádříme elektické pole elementu dq, v tomto případě však budeme integovat podél úhlu θ. Element náboje tak můžeme vyjádřit jako dq = dθ, nyní můžeme napsat intenzitu elektického pole elementu dq: ( θ ˆ θ ˆ) dq dθ de= ke = k e cos i sin j. Ze symetie úlohy x-ová složka intenzity se odečte, integovat tak musíme pouze y-ovou složku Z toho π Ey = de = ke sinθdθ = ke. y oblouk 0 k E= E j = ˆ e y. Výpočet potenciálu je mnohem jednodušší, neboť všechen náboj je ve stejné vzdálenosti od středu, potenciál v tomto bodě je tedy V = ke. 5

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika Peter Dourmashkin MIT 6, překlad: Jan Pacák (7) Obsah 1 MATEMATICKÝ APAÁT POUŽITÝ V KUZU 11 SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY ÚLOHA 1: SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY

Více

11. cvičení z Matematiky 2

11. cvičení z Matematiky 2 11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Gaussův zákon

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Gaussův zákon ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Gaussův zákon Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 3. GAUSSŮV ZÁKON 3.1 ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ POMOCÍ GAUSSOVA ZÁKONA ÚLOHA

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem

MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3 lektostatické pole Dvě stejné malé kuličk o hmotnosti m jež jsou souhlasně nabité nábojem jsou pověšen na tenkých nitích stejné délk v kapalině s hustotou 8 g/cm Vpočtěte jakou hustotu ρ musí mít mateiál

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘIN MGNETIZMUS III Elektický potenciál Obsah 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 31 POTENCIÁL POTENCIÁLNÍ ENERGIE 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL V HOMOGENNÍM POLI 4 33 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL ZPŮSOENÝ ODOVÝMI NÁOJI 5 331

Více

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény

Více

Učební text k přednášce UFY102

Učební text k přednášce UFY102 Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 10. POSUVNÝ PROUD A POYNTINGŮV VEKTOR 3 10.1 ÚKOLY 3 10. POSUVNÝ

Více

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal

4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, 15. 9. 25 Faktály ve fyzice Oldřich Zmeškal Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, Vysoké učení technické, Pukyňova 118, 612 Bno, Česká epublika

Více

Konstrukční a technologické koncentrátory napětí

Konstrukční a technologické koncentrátory napětí Obsah: 6 lekce Konstukční a technologické koncentátoy napětí 61 Úvod 6 Účinek lokálních konstukčních koncentací napětí 63 Vliv kuhového otvou na ozložení napjatosti v dlouhém tenkém pásu zatíženém tahem

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS LKTŘINA A MAGNTIZMUS II. Coulombův zákon Obsah COULOMBŮV ZÁKON.1 LKTRICKÝ NÁBOJ. COULOMBŮV ZÁKON.3 PRINCIP SUPRPOZIC 4.4 LKTRICKÉ POL 5.5 SILOKŘIVKY LKTRICKÉHO POL 6.6 SÍLA PŮSOBÍCÍ NA NABITOU ČÁSTICI

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

Fyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách

Fyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách Fyzika Studuje objekty neživé příody a vztahy mezi nimi Na základě pozoování a pokusů studuje obecné vlastnosti látek a polí, indukcí dospívá k obecným kvantitativním zákonům a uvádí je v logickou soustavu

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole...

3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole... Obsah Předmluva... 4. Elektostatika.. Elektostatické pole ve vakuu... 5.. Elektostatické pole v dielektiku... 9.3. Kapacita. Kondenzáto....4. Enegie elektostatického pole... 6. Elektický poud.. Elektický

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

II. Statické elektrické pole v dielektriku. 2. Dielektrikum 3. Polarizace dielektrika 4. Jevy v dielektriku

II. Statické elektrické pole v dielektriku. 2. Dielektrikum 3. Polarizace dielektrika 4. Jevy v dielektriku II. Statické elektické pole v dielektiku Osnova: 1. Dipól 2. Dielektikum 3. Polaizace dielektika 4. Jevy v dielektiku 1. Dipól Konečný dipól 2 bodové náboje stejné velikosti a opačného znaménka ve vzdálenosti

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

3.7. Magnetické pole elektrického proudu

3.7. Magnetické pole elektrického proudu 3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Cvičení F2070 Elektřina a magnetismus

Cvičení F2070 Elektřina a magnetismus Cvičení F2070 Elektřina a magnetismus 20.3.2009 Elektrický potenciál, elektrická potenciální energie, ekvipotenciální plochy, potenciál bodového náboje, soustavy bodových nábojů, elektrického pole dipólu,

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1 Příklad Statující tyskové letadlo musí mít před vzlétnutím ychlost nejméně 360 km/h. S jakým nejmenším konstantním zychlením může statovat na ozjezdové dáze dlouhé,8 km? Po ychlost v ovnoměně zychleného

Více

k + q. Jestliže takový dipól kmitá s frekvencí ν (odpovídající

k + q. Jestliže takový dipól kmitá s frekvencí ν (odpovídající Vlastnosti kmitajíího dipólu Podle klasiké teoie je nejefektivnějším zdojem elektomagnetikého záření kmitajíí elektiký dipól. Intenzita jeho záření o několik řádů převyšuje intenzity ostatníh zdojů záření

Více

Kartézská soustava souřadnic

Kartézská soustava souřadnic Katézská soustava souřadnic Pavotočivá Levotočivá jednotkové vekto ve směu souřadnicových os Katézská soustava souřadnic otonomální báze z,, z Katézská soustava souřadnic polohový (adius) vekto z,, z velikost

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění

5. Světlo jako elektromagnetické vlnění Tivium z optiky 9 5 Světlo jako elektomagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli že na světlo můžeme nahlížet jako na elektomagnetické vlnění Dříve než tak učiníme si ale musíme alespoň v základech

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Moment síly, spojité zatížení

Moment síly, spojité zatížení oment síly, spojité zatížení Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI akulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ES CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků

Více

Trivium z optiky Vlnění

Trivium z optiky Vlnění Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v

Více

Příklady elektrostatických jevů - náboj

Příklady elektrostatických jevů - náboj lektostatika Hlavní body Příklady elektostatických jevů. lektický náboj, elementání a jednotkový náboj Silové působení náboje - Coulombův zákon lektické pole a elektická intenzita, Páce v elektostatickém

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016 Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7 ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 7 Peter Dourmashkin MIT 6, překlad: Vítězslav Kříha (7) Obsah SADA 7 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ SPEKTROMETR ÚLOHA : LEVITACE CÍVKY ÚLOHA : STŘELKA KOMPASU ŘEŠENÍ ÚLOH 4 ÚLOHA

Více

ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTŘEDÍ

ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTŘEDÍ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTŘEDÍ V celé této kapitole budeme předpokládat, že se pohybujeme v neomezeném lineáním homogenním izotopním postředí s pemitivitou = 0, pemeabilitou = 0 a měnou vodivostí.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS IX. Zdoje magnetických polí Obsah 9 ZDROJE MAGNETICKÝCH POLÍ 9.1 IOTŮV-SAVARTŮV ZÁKON 9.1.1 MAGNETICKÉ POLE POHYUJÍCÍHO SE ODOVÉHO NÁOJE 8 9. SÍLY MEZI DVĚMA PARALELNÍMI VODIČI

Více

Práce vykonaná v elektrickém poli, napětí, potenciál Vzájemná souvislost mezi intenzitou elektrického pole, napětím a potenciálem Práce vykonaná v

Práce vykonaná v elektrickém poli, napětí, potenciál Vzájemná souvislost mezi intenzitou elektrického pole, napětím a potenciálem Práce vykonaná v Páce vykonaná v eektickém poi, napětí, potenciá Vzájemná souvisost mezi intenzitou eektického poe, napětím a potenciáem Páce vykonaná v eektostatickém poi po uzavřené dáze Gadient skaání funkce Skaání

Více

ε ε [ 8, N, 3, N ]

ε ε [ 8, N, 3, N ] 1. Vzdálenost mezi elektonem a potonem v atomu vodíku je přibližně 0,53.10-10 m. Jaká je velikost sil mezi uvedenými částicemi a) elektostatické b) gavitační Je-li gavitační konstanta G = 6,7.10-11 N.m

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU

GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU Integální počet funkcí jedné eálné poměnné - 4. - GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu,

Více

ZÁKLADY ROBOTIKY Transformace souřadnic

ZÁKLADY ROBOTIKY Transformace souřadnic ÁKLD OOIK ansfomace souřadnic Ing. Josef Čenohoský, h.d. ECHNICKÁ UNIVEI V LIECI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií ento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF C..7/2.2./7.247, kteý je spolufinancován

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6. Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0,981.10 5 [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon Peter Dourmashkin MIT 26, překla: Jan Pacák (27) Obsah 5 AMPÉRŮV ZÁKON 3 51 ÚKOLY 3 52 ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ 3 ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ PLÁŠŤ

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

a polohovými vektory r k

a polohovými vektory r k Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.

a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty. Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT pof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz VI. VOLBA A VÝBĚR PŘÍ ZAČÍNÁME kolik a jaké příznaky? málo příznaků možná chyba klasifikace;

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

TECHNIKA VYSOKÝCH NAPĚŤÍ. #4 Elektrické výboje v elektroenergetice

TECHNIKA VYSOKÝCH NAPĚŤÍ. #4 Elektrické výboje v elektroenergetice TECHNIKA VYSOKÝCH NAPĚŤÍ #4 Elektrické výboje v elektroenergetice Korónový výboj V homogenním elektrickém poli dochází k celkovému přeskoku mezi elektrodami najednou U nehomogenních uspořádání dochází

Více

Řešení úloh krajského kola 58. ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autor úloh: J. Thomas

Řešení úloh krajského kola 58. ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autor úloh: J. Thomas Řešení úlo kajskéo kola 58 očníku fyzikální olympiády Kategoie B Auto úlo: J Tomas a) Doba letu střely od okamžiku výstřelu do zásau označíme t V okamžiku výstřelu se usa nacází ve vzdálenosti s měřené

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Technika vysokých napětí. Elektrické výboje v elektroenergetice

Technika vysokých napětí. Elektrické výboje v elektroenergetice Elektrické výboje v elektroenergetice Korónový výboj V homogenním elektrickém poli dochází k celkovému přeskoku mezi elektrodami najednou U nehomogenních uspořádání dochází k optickým a akustickým projevům

Více

2.1 Shrnutí základních poznatků

2.1 Shrnutí základních poznatků .1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné.

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné. Zářivé procesy Podmínky vyzařování, Larmorův vzorec, Thomsonův rozptyl, synchrotronní záření, brzdné záření, Comptonův rozptyl, čerenkovské záření, spektum zdroje KZ Záření KZ Význam studium zdrojů a vlastností

Více