3. Aritmetika nad F p a F 2
|
|
- Marie Kovářová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3. Aritmetika nad F p a F 2 m Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Martin Novotný, 2011 MI-BHW Bezpečnost a technické prostředky LS 2010/11, 3. přednáška Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaaí budoucnosti Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 1 / 27
2 Obsah přednášky Eliptické křivky nad F p a F 2 m, shrnutí operací Aritmetické operace nad F p Aritmetické operace nad F 2 m s polynomiální bází Aritmetické operace nad F 2 m s normální bází Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 2 / 27
3 Eliptické křivky nad F p a F 2 m EC nad F p Weierstrassova rovnice y 2 x 3 + ax + b mod p kde 4a b 2 / 0 mod p EC nad F 2 m Weierstrassova rovnice y 2 + xy x 3 + ax + b mod F(α) kde b 0 Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 3 / 27
4 EC nad F p sčítání bodu (základní operace) Pro bod R = P + Q, kde R = [x R, y R ], P = [x P, y P ] a Q = [x Q, y Q ], platí kde s = Potřebné operace nad F p sčítání, odčítání násobení x R = s 2 x P x Q y R = (x Q x R )s y Q mod p mod p y P y Q x P x Q mod p pokud P Q (sčítání) 3xQ 2 + a 2y Q mod p pokud P = Q (zdvojování) inverze (dělení je násobení inverzním prvkem) druhá mocnina pomocí násobení Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 4 / 27
5 EC nad F 2 m sčítání bodu (základní operace) Pro bod R = P + Q, kde R = [x R, y R ], P = [x P, y P ] a Q = [x Q, y Q ], platí x R = a + s 2 + s + x P + x Q kde s = y R = (x Q + x R )s + x R + y Q y P + y Q x P + x Q x Q + y Q x Q pokud P Q (sčítání) pokud P = Q (zdvojování) Potřebné operace nad F 2 m sčítání násobení inverze (dělení je násobení inverzním prvkem) druhá mocnina vyplatí se speciální obvod Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 5 / 27
6 Sčítání nad F p : C = A + B mod p A B Σ -p Σ 0 1 C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 6 / 27
7 Odčítání nad F p : C = A B mod p A -B Σ p Σ 1 0 C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 7 / 27
8 Klasická LSB násobička Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 8 / 27
9 Algoritmus Double-and-Add MSB násobení A 13 = A = (((1A 2) + 1A) 2 + 0A) 2 + 1A A 13 = A = 1A }{{} 2 + 1A 2 + 0A 2 + 1A 1 A }{{} 3 A }{{} 6 A } {{ } 13 A Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 9 / 27
10 Násobení nad F p : MSB násobička Vstup: A, B, p, kde 0 A, B p 1. Výstup: C = A B mod p k: počet bitů B b i : i-tý bit B 1. C = 0; 2. for i = k 1 downto 0 3. C = C 2 + b i A; 4. if C p then 5. C = C p; 6. end if; 7. if C p then 8. C = C p; 9. end if; 10. end for; B A << Σ -p Σ 0 1 -p Σ 0 1 C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 10 / 27
11 Násobení nad F p : MSB násobička modifikace B << A Σ -p -2p Σ Σ C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 11 / 27
12 Výpočet inverzního prvku nad F p Rozšířený Euklidův algoritmus (bude později) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 12 / 27
13 Extension field F p m F p m se nazývá extension field nad tělesem F p. V kryptografii zpravidla pracujeme s binárními tělesy (binary field) F 2 m Prvky tělesa reprezentujeme bud jako polynomy nebo jako vektory (jsou to dva možné zápisy téhož) Příklad: některé prvky tělesa F 2 4 s polynomiální bází A = α 3 + α 2 = (1100) B = α 2 + α + 1 = (0111) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 13 / 27
14 Sčítání nad F 2 m: C = A B Sčítání v binárním tělese je vždy bit-wise XOR (bez ohledu na bázi tělesa) a m-1 b m-1 a 1 b 1 a 0 b 0 c m-1 c 1 c 0 Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 14 / 27
15 Násobení nad F 2 m Algoritmus násobení je závislý na použité bázi (to je rozdíl oproti sčítání, které je vždy XOR) V praxi se používá polynomiální báze (polynomial basis) normální báze (normal basis) duální báze (dual basis) Polynomiální báze Báze Prvek tělesa {α m 1, α m 2,..., α 2, α, 1} A = a m 1 α m a 2 α 2 + a 1 α + a 0 = (a m 1... a 2 a 1 a 0 ) Nerozložitelný polynom (irreducible polynomial) F(α) = α m + g m 1 α m g 2 α 2 + g 1 α + g 0 Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 15 / 27
16 Algoritmus Double-and-Add MSB násobení Stejný algoritmus jako pro aritmetické násobení ( A 13 = A = A ) = = (((1A 2) + 1A) 2 + 0A) 2 + 1A můžeme použít i pro násobení polynomů ( ) ( A α 3 + α = A 1α 3 + 1α 2 + 0α 1 + 1α 0) = = (((1A α) + 1A) α + 0A) α + 1A Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 16 / 27
17 Lineární zpětnovazební posuvný registr (LFSR) LFSR (Linear feedback shift register) implementuje operaci A := Aα mod F(α) Příklad: LFSR pro F 2 16 m = 16 F(α) = α 16 + α 5 + α 3 + α Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 17 / 27
18 Násobení nad F 2 m s polynom. bází: MSB násobička Vstup: A, B F 2 m; B = m 1 i=0 b i α i Výstup: C A B mod F(α) A A B B 1. C = 0; 2. for i = m 1 downto 0 3. C = C α mod F (α) + b i A; 4. end for; LFSR C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 18 / 27
19 Příklad: MSB násobička v F 2 6 s polynomiální bází A C B F(α) = α 6 + α + 1 Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 19 / 27
20 Příklad: MSB násobička v F s polynomiální bází F(x) = x x 7 + x 6 + x (zdroj: Guajardo, Gueneysu, Kumar, Paar, Pelzl: Efficient Hardware Implementation of Finite Fields with Applications to Cryptography) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 20 / 27
21 Násobení nad F 2 m s polynom. bází: LSB násobička C A B mod F(α) ( A b 0 + b 1 α + b 2 α b m 1 α m 1) mod F(α) A b 0 + A b 1 α + A b 2 α A b m 1 α m 1 mod F(α) b 0 A + b 1 Aα + b 2 Aα b m 1 Aα m 1 mod F(α) b 0 A + b 1 (Aα mod F(α)) + b 2 (Aα 2 mod F(α)) b m 1 (Aα m 1 mod F(α)) b 0 A + b 1 (Aα mod F(α)) + b 2 ((Aα)α mod F(α)) b m 1 ((Aα m 2 )α mod F (α)) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 21 / 27
22 Násobení nad F 2 m s polynom. bází: LSB násobička Vstup: A, B F 2 m; B = m 1 i=0 b i α i Výstup: C A B mod F(α) A A LFSR B B 1. C = 0; 2. for i = 0 to m 1 3. C = C + b i A; 4. A = A α mod F(α); 5. end for; C Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 22 / 27
23 Příklad: LSB násobička v F 2 6 s polynomiální bází F(α) = α 6 + α + 1 A C B Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 23 / 27
24 Výpočet inverzního prvku nad F 2 m s polynomiální bází Rozšířený Euklidův algoritmus (bude později) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 24 / 27
25 Druhá mocnina nad F 2 m s polynomiální bází C A 2 mod F(α) (a m 1 α 2(m 1) + a m 1 α 2(m 2) + + a 1 α 2 + a 0 ) mod F(α) Příklad: Druhá mocnina v F 2 3 A = (a 2 a 1 a 0 ) = a 2 α 2 + a 1 α + a 0 A 2 = (a 2 α 2 + a 1 α + a 0 )(a 2 α 2 + a 1 α + a 0 ) = = a 2 α 4 + a 1 a 2 α 3 + a 0 a 2 α 2 + a 2 a 1 α 3 + a 1 α 2 + a 0 a 1 α + +a 2 a 0 α 2 + a 1 a 0 α + a 0 = = a 2 α 4 + 2a 1 a 2 α 3 + 2a 0 a 2 α 2 + a 1 α 2 + 2a 0 a 1 α + a 0 = = a 2 α 4 + a 1 α 2 + a 0 = (a 2 0a 1 0a 0 ) Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 25 / 27
26 Druhá mocnina nad F 2 m s polynomiální bází Příklad A = (a m 1 a m 1... a 2 a 1 a 0 ) A 2 = (a m 1 0a m a 2 0a 1 0a 0 ) Redukcí A 2 obdržíme relativně jednoduchý výraz. Namísto počítání druhé mocniny v násobičce (m taktů) se vyplatí vysyntetizovat dedikovanou umocňovačku (1 takt): polynom F(α) # XOR kritická cesta α α 8 + α 3 + α α α 7 + α 6 + α α α Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 26 / 27
27 Syntéza umocňovačky F 2 m s polynomiální bází Stačí popsat algoritmus, syntéza to vyhodnotí a zminimalizuje. SQUARER : process(a) variable A2 : std_logic_vector(2*m-1 downto 0); begin A2 := (others=> 0 ); for i in M-1 downto 0 loop -- A^2 A2(i*2) := A(i); end loop; for i in 2*M-1 downto M loop -- reduction if A2(i) = 1 then A2(i downto i-m) := A2(i downto i-m) xor F; end if; end loop; A_SQUARE <= A2(M-1 downto 0); end process; Martin Novotný (ČVUT FIT, 2011) 3. Aritmetika nad F p a F 2 m MI-BHW, 2011, 3. přednáška 27 / 27
Pokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie Kryptografie eliptických křivkek doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceNásobení. MI-AAK(Aritmetika a kódy)
MI-AAK(Aritmetika a kódy) Násobení c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&
VíceMPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky
MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde
VíceKarel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 3 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011 Množiny s jednou binární operací Neprázdná množina M s binární operací (resp. +
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra telekomunikační techniky. 7.přednáška. Kryptosystémy veřejného klíče II
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra telekomunikační techniky 7.přednáška Kryptosystémy veřejného klíče II Ing. Tomáš Vaněk, Ph.D. tomas.vanek@fel.cvut.cz Obsah EC nad
VícePříklady popisu základních obvodů ve VHDL
Příklady popisu základních obvodů ve VHDL INP - cvičení 2 Michal Bidlo, 2008 bidlom@fit.vutbr.cz entity Circuit is port ( -- rozhraní obvodu ); end Circuit; Proces architecture Behavioral of Circuit is
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova
VíceStruktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 1 Osnova šifrová ochrana využívající výpočetní techniku např. Feistelova šifra; symetrické a asymetrické šifry;
VíceArchitektury počítačů
Architektury počítačů IEEE754 České vysoké učení technické, Fakulta elektrotechnická A0M36APO Architektury počítačů Ver.1.20 2014 1 Fractional Binary Numbers (zlomková binární čísla / čísla v pevné řádové
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceImplementace čítačů v číslicových systémech 2 Jakub Šťastný ASICentrum, s.r.o. FPGA Laboratoř, Katedra teorie obvodů FEL ČVUT Praha
Tento článek je původním rukopisem textu publikovaného v časopise DPS Elektronika A-Z: J. Šťastný. Implementace čítačů v číslicových systémech 2, DPS Plošné spoje od A do Z, no 4, pp. 11-14, 2011. Bez
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceNPRG030 Programování I, 2018/19 1 / :25:37
NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / 26 24. 9. 2018 10:25:37 Čísla v algoritmech a programech 10 26 Poloměr vesmíru 2651 studujících studentů MFF UK 3.142857... Ludolfovo číslo 10 16 stáří vesmíru v sekundách!!!
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceDělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy)
MI-AAK(Aritmetika a kódy) Dělení c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU:
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceKoncept pokročilého návrhu ve VHDL. INP - cvičení 2
Koncept pokročilého návrhu ve VHDL INP - cvičení 2 architecture behv of Cnt is process (CLK,RST,CE) variable value: std_logic_vector(3 downto 0 if (RST = '1') then value := (others => '0' elsif (CLK'event
VíceProudové šifry a posuvné registry s lineární zpětnou vazbou
Proudové šifry a posuvné registry s lineární zpětnou vazbou Andrew Kozlík KA MFF UK Proudové šifry Bloková šifra Šifruje velké bloky otevřeného textu. Bloky mají pevnou délku. Velké znamená, že je prakticky
VíceKódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP
Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér
VíceDigitální obvody. Doc. Ing. Lukáš Fujcik, Ph.D.
Digitální obvody Doc. Ing. Lukáš Fujcik, Ph.D. Základní invertor v technologii CMOS dva tranzistory: T1 vodivostní kanál typ N T2 vodivostní kanál typ P při u VST = H nebo L je klidový proud velmi malý
VíceEliptické křivky a RSA
Přehled Katedra informatiky FEI VŠB TU Ostrava 11. února 2005 Přehled Část I: Matematický základ Část II: RSA Část III: Eliptické křivky Matematický základ 1 Základní pojmy a algoritmy Základní pojmy Složitost
VíceSouhrn Apendixu A doporučení VHDL
Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Pardubice Souhrn Apendixu A doporučení VHDL Práce ke zkoušce z předmětu Programovatelné logické obvody Jméno: Jiří Paar Datum: 17. 2. 2010 Poznámka k jazyku
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceDatové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Více7. Popis konečného automatu
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Praktika návrhu číslicových obvodů Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Miloš
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více14. Složitější konstrukce
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Praktika návrhu číslicových obvodů Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Miloš
VíceVestavěné diagnostické prostředky 1 (BIST)
Vestavěné diagnostické prostředky 1 (BIST) Testování a spolehlivost ZS 2011/2012, 8. přednáška Ing. Petr Fišer, Ph.D. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Evropský sociální
VícePokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie RSA doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů Informatika pro
VíceZákladní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. EFEKTIVNÍ HARDWAROVÁ IMPLEMENTACE MULTIPLIKATIVNÍ MODULÁRNÍ INVERZE NAD GF(p) PRO KRYPTOGRAFICKÁ PRIMITIVA
VíceČíselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?
Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceLEKCE 6. Operátory. V této lekci najdete:
LEKCE 6 Operátory V této lekci najdete: Aritmetické operátory...94 Porovnávací operátory...96 Operátor řetězení...97 Bitové logické operátory...97 Další operátory...101 92 ČÁST I: Programování v jazyce
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
VíceZákladní principy zobrazení čísla Celá čísla s pevnou řádovou čárkou Zobrazení reálných čísel Aritmetika s binárními čísly
Počítačové systémy Zobrazení čísel v počítači Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2007-1/21- Západočeská univerzita v Plzni Vážený poziční kód Obecný předpis čísla vyjádřeného v pozičním systému: C =
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceData v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty
Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)
VíceSimulace číslicových obvodů (MI-SIM) zimní semestr 2010/2011
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Simulace číslicových obvodů (MI-SIM) zimní semestr 2010/2011 Jiří Douša, katedra číslicového návrhu (K18103), České vysoké učení technické
VíceUčitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika
Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceGymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto
Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana
VíceO čem byl CHES a FDTC? Jan Krhovják Fakulta informatiky Masarykova univerzita v Brně
O čem byl CHES a FDTC? Jan Krhovják Fakulta informatiky Masarykova univerzita v Brně Hlavní témata workshopů Cryptographic Hardware and Embedded Systems Speciální hardware Efektivní hardware Nedostatek
VíceNávrh. číslicových obvodů
Návrh číslicových obvodů SW Aritmetika HW Periférie CPU function AddSub(a,b,s); var c; a b k k a+b mpx c if (s==1) c=a+b; else c=a-b; a-b return c; End; PAMĚŤ s Princip: univerzální stroj Výhoda: univerzalita
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceDynamické programování
Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceTestování pamětí (Memory BIST)
Testování pamětí (Memory BIST) Testování a spolehlivost ZS 2011/2012, 10. přednáška Ing. Petr Fišer, Ph.D. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Evropský sociální fond
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Více. Bezpečnost mobilních telefonů. David Machač
. Bezpečnost mobilních telefonů úvod do kryptologie... David Machač.. FJFI ČVUT v Praze David Machač (FJFI ČVUT v Praze) Bezpečnost mobilních telefonů 1 / 14 NMT Nordic Mobile Telephony, 1981 analogová
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme
VíceKALKULÁTORY EXP LOCAL SIN
+ = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceY36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody.
Y36SAP Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Tomáš Brabec, Miroslav Skrbek - X36SKD-cvičení. Úpravy pro SAP Hana Kubátová Osnova Poziční číselné soustavy a převody Dvojková soust., převod
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceArchitektura počítačů Logické obvody
Architektura počítačů Logické obvody http://d3s.mff.cuni.cz/teaching/computer_architecture/ Lubomír Bulej bulej@d3s.mff.cuni.cz CHARLES UNIVERSITY IN PRAGUE faculty of mathematics and physics Digitální
VíceArchitektura počítačů Logické obvody
Architektura počítačů Logické obvody http://d3s.mff.cuni.cz/teaching/computer_architecture/ Lubomír Bulej bulej@d3s.mff.cuni.cz CHARLES UNIVERSITY IN PRAGUE faculty of mathematics and physics 2/36 Digitální
VíceAlgoritmy I, složitost
A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VícePočet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování.
Název předmětu: Matematika pro informatiky Zkratka předmětu: MIE Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná Forma zkoušky: kombinovaná (písemná a ústní část) Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti,
VícePrincipy počítačů. Prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD.
Principy počítačů Prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD. Číselné soustavy Obsah přednášky: Přednáška 3 Číselné soustavy a převody mezi nimi Kódy, přímý, inverzní a doplňkový kód Znakové sady Úvod Člověk se
VíceMíry podobnosti, základy fuzzy matematiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Míry podobnosti, základy fuzzy matematiky Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 9. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Přehled vzdáleností
VíceČíslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje
VíceAritmetické operace a obvody pro jejich realizaci
Kapitola 4 Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci 4.1 Polyadické číselné soustavy a jejich vlastnosti Polyadické soustavy jsou určeny přirozeným číslem z, kterému se říká základ nebo báze dané
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKomerční výrobky pro kvantovou kryptografii
Cryptofest 05 Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 19. března 2005 O čem bude řeč Kryptografie Kryptografie se zejména snaží řešit: autorizovanost přístupu autenticitu
VíceELIPTICKÉ KŘIVKY V KRYPTOGRAFII
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VíceStruktura a architektura počítačů
Struktura a architektura počítačů Aritmetické operace Pevná a pohyblivá řádová čárka České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická Ver..2 J. Zděnek 23 Aritmetické operace pevná řádová čárka Pevná
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceČíselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy
Ústav radioelektroniky Vysoké učení technické v Brně Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy Přednáška 8 doc. Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. listopad 2012 Obsah
Více- speciální symboly + - * / =., < > <> <= >= a další. Klíčová slova jsou chráněnými útvary, které nelze použít ve významu identifikátorů.
Základní symboly - písmena A B C Y Z a b c y z - číslice 0 1 2 9 - speciální symboly + - * / =., < > = a další - klíčová slova and array begin case const a další Klíčová slova jsou chráněnými útvary,
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Více