Fyzika základního kurzu I (hypertextově) seznam důležitých skutečností

Transkript

1 Fyzika základního kurzu I (hypertextově) seznam důležitých skutečností kolektiv ÚFI FSI Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně

2 Tento text obsahuje rovnice, které jsou barevně vyznačeny v textu Fyzika. Kliknutím na rovnici se dostanete do místa v textu, kde je uvedena. Další texty a pomůcky ke studiu fyziky naleznete na

3 a x = a cos α, a y = a cos β, a z = a cos γ. souřadnice vektoru a () a = a x ı + a y j + a z k semikartézské vyjádření () c(= a b) = ab cos α, definice skalárního součinu (3) g(t) = g(t 0 ) + K(t t 0 ), kde g(t 0 ) = p 0 (4) ṗ(t 0 ) = dp(t 0) = lim t t0 p p 0 t t 0 p = lim t 0 t definice derivace skalární funkce v bodě t 0 (5) p. = dp(t 0) t = dp(t 0) = dp 0. přibližná hodnota přírůstku p (6) v(t 0 ) = d v(t 0) = lim t t0 v v 0 t t 0 v = lim. definice derivace vektorové funkce (7) t 0 t r = x ı + y j + z k. polohový vektor (8) v(t ) = lim v s(t) s(t ) stř( t) = lim = ds(t ) = ṡ(t ) t 0 t t t t definice dráhové rychlosti v čase t (9) a stř ( t) = v t = v(t) v(t ) t t. střední zrychlení (0) a(t ) = lim a v(t) v(t ) v stř( t) = lim = lim t 0 t t t t t 0 t = d v(t ). okamžité zrychlení () ϕ ρ = lim. křivost křivky () s 0 s s(t) = s 0 + v 0 t. dráha při rovnoměrném pohybu (3) a t (t) = a 0 (= konst.), s(0) = s 0, v(0) = v 0, v(t) = v 0 + a 0 t, s(t) = s 0 + v 0 t + a 0t. pohyb rovnoměrně proměnný pohyb rovnoměrně zrychlený: v(t) = v 0 + at, s(t) = s 0 + v 0 t + at, pohyb rovnoměrně zpomalený: v(t) = v 0 at, s(t) = s 0 + v 0 t at. (4) (5) ω = dϕ. úhlová rychlost (6) ε = dω = d ϕ. úhlové zrychlení (7) rotační pohyb rovnoměrně zrychlený: ω(t) = ω 0 + ε 0 t, ϕ(t) = ϕ 0 + ω 0 t + ε 0t, rotační pohyb rovnoměrně zpomalený: ω(t) = ω 0 ε 0 t, ϕ(t) = ϕ 0 + ω 0 t ε 0t, (8) F v = F + F F n. výslednice sil (9) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 3

4 m a = F v. druhý Newtonův pohybový zákon (0) p = m v. definice hybnosti hmotného bodu () d p = F v. druhý Newtonův pohybový zákon v obecném tvaru () f s = F tř,max N F tř,max = f s N síla statického tření (3) F tř = f d N. dynamická třecí síla (4) v(t) = v Ø (t) + v (t), skládání rychlostí (5) a(t) = a Ø (t) + a (t), skládání zrychlení (6) a(t) = a (t). zrychlení hmotného bodu v inerciálních soustavách (7) S (inerciální) : m a = F v S (neinerciální) : m a = F v m( a Ø + a ) = F v m a = F v m a Ø, (8) m a = F v + F, pohybová rovnice v neinerciální soustavě (9) F = m a Ø. setrvačná síla (30) F o = mω r n, se nazývá setrvačná síla odstředivá (3) F C = m( ω v ). se nazývá setrvačná síla Coriolisova (3) F stř ( t)(t t ) = t I = t t F (t). impuls síly (33) t F (t) = I Fstř ( t) = p p = t I t t. střední hodnota síly (34) t Fv (t). věta o impulsu síly (35) W = F cos α P P, definice práce stálé síly (36) W = s s r F s (s) ds = F (s) cos α(s) ds = F d r. definice práce (37) s s r W Fv,P P = mv mv. základní vztah pro práci výslednice sil (38) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 4

5 E k = mv. definice kinetické energie hmotného bodu (39) W Fv,P P = E k, E k, = E k. základní vlastnost kinetické energie (40) F K g = g, intenzita gravitačního pole (4) m K g = K g, + K g,, zákon superpozice (4) F g = κ m m r, Newtonův gravitační zákon (43) F g = F g. Newtonův gravitační zákon (44) W = W = C C F g = κ m m r r 0, Newtonův gravitační zákon (45) r κ m 0m r r dr = κ m 0m κ m 0m. r r práce sil grav. pole (46) F g d r = m K g d r = 0. konzervativnost grav. pole (47) C F d r = 0, podmínka konzervativnosti silového pole (48) E g (P ) = W P = κ m 0m. grav. energie dvojice hmotných bodů (49) r ϕ g = E g, potenciál gravitačního pole (50) m W G,P P = E G (P ) E G (P ) = E G. práce tíhové síly (5) E m = E k + E p. definice mechanické energie hmotného bodu (5) E m, E m, = W nekonz, souvislost změny mech. energie s prací (53) E k + E p = konst. zákon zachování mechanické energie (54) mv + mgh = konst. v homogenním tíhovém poli (obr.??a) (55) mv + E g = konst. v obecném gravitačním poli (obr.??b) (56) mv κ mm r = konst. v centrálním gravitačním poli (obr.??c) (57) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 5

6 v = v x ı + v y (t) j, kde v x = v 0 cos α, v y (t) = v 0 sin α gt (58) r = x(t) ı + y(t) j, kde x(t) = v 0 cos α t, y(t) = v 0 sin α t gt ideální šikmý vrh (59) y = tg α x g v0 cos α x. (60). E k + E g < 0, tj. E m < 0, podmínka finitního pohybu (6). E k + E g = 0, tj. E m = 0, mezní případ úniku (6) 3. E k + E g > 0, tj. E m > 0, podmínka úniku (63) elipsa nebo kružnice E m < 0, parabola E m = 0, hyperbola E m > 0. v = gr Z. = 7,9 km/s. první kosmická rychlost (64) v = gr Z. =, km/s. druhá kosmická rychlost (65) F int + F int F int N = 0. součet vnitřních sil (66) F ext = 0. izolovaná hmotná soustava (67) r C = m (m r + m r m n r n ). definice hmotného středu (68) E k = m v + m v m nv n, definice kinetické energie hmotné soustavy (69) E k, E k, = W v,. základní vztah mezi kinetickou energií a prací všech sil (70) E G = gm h + gm h gm n h n. definice tíhové energie hmotné soustavy (7) W G, = E G, E G,. vyjádření práce tíhové síly pomocí tíhové energie (7) E g = E g, + E g, E g,n, definice potenciální energie hmotné soustavy v grav. poli (73) W k, = E p, E p, = E p. změna potenciální energie soustavy (74) (definice elastické energie tělesa) (75) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 6

7 E elast, E elast, = W ext, práce vnějších sil při pružné deformaci (76) k = F. definice tuhosti pružiny (77) x E elast = kx ; elastická energie pružiny (78) E m = E k + E p, definice mechanické energie hmotné soustavy (79) E m, E m, = W nekonz,. nejdůležitější vztah pro E m (80) E m = konst., E k + E p = konst. zákon zachování mechanické energie, (je-li W nekonz, = 0) (8) E k = Iω. kinetická energie rotujícího tělesa (8) n I = m r + m r m n rn = m j rj. definice momentu setrvačnosi (83) j= I p = I o + md, (84) E k = E k,trans + E k,rot = mv C + I o ω. kinetická energie tuhého tělesa (85) E = konst. zákon zachování energie (86) E = 0, tj. E k + E p + U +... = 0. (87) P = p + p p n, definice celkové hybnosti hmotné soustavy (88) d P (t) = P (t) = n k= F ext k = F ext v. první pohybová rovnice pro hmotné soustavy (89) P P = t t F ext v. první impulsová věta pro hmotné soustavy (90) P = konst., tj. p + p p n = konst., zákon zachování celkové hybnosti hmotné soustavy (9) F ext v = m a C. zrychlení hmotného středu (9) l = r p = r m v. definice momentu hybnosti hmotného bodu vzhledem k bodu (93) L = l + l l n = r p r n p n. definice L pro hmotnou soustavu (94) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 7

8 M = r F. definice momentu síly vzhledem k bodu (95) d L(t) = M ext v, druhá pohybová rovnice pro hmotnou soustavu (96) L L = t M ext v. druhá impulsová věta pro hmotné soustavy (97) t L = konst. zákon zachování celkového momentu hybnosti izolované soustavy (98) lo,k = r k m k v k. definice momentu hybnosti k-tého hmotného bodu vzhledem k ose o (99) n n L o = lo,k = r k m k v k. k= k= definice celkového momentu hybnosti hmotné soustavy vzhledem k ose o (00) L o = I ω. vztah mezi L o a ω (0) M o,k = r k F k. moment síly F k vzhledem k ose o (0) d L o M o,v = n k= = M ext o,v, M o,k. výsledný moment sil působících na těleso vzhledem k ose o (03) I d ω = M ext o,v, I ε = M o,v ext, tj. I d ϕ = M o,v ext pohybové rovnice tělesa otáčejícího se kolem pevné osy (04) x = x vt, y = y, z = z, t = t. Galileiho transformace (05) r = r vt, t = t, Galileiho transformace ve vektorovém zápise (06) u = u v, klasický zákon skládání rychlostí (07) a = a, zrychlení hmotného bodu v inerciálních soustavách (08) Postulát : Rovnice, jimiž se jsou vyjádřeny fyzikální zákony, mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. Postulát : Světlo se šíří ve vakuu ve všech inerciálních vztažných soustavách stejnou rychlostí c. c ( t) = v ( t) + c ( t ) t = t. dilatace času (09) v c l = l 0 v. kontrakce délek (0) c Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 8

9 a) x = x + vt, b) y = y, c) z = z, d) t = v c a) x = x vt, b) y = y, c) z = z, d) t = v c t + v c x v c. Lorentzova transformace () t v c x v c. Lorentzova transformace () u(t) = u + v. vztah speciální teorie relativity pro skládání rychlostí (3) + vu c m 0 m =. relativistická hmotnost tělesa (4) v /c d p = = F. m 0 u relativistická pohybová rovnice pro hmotný bod (5) u c E = mc. vztah mezi energií a hmotností (6) E k = mc m 0 c = m 0 m 0 c. v c relativistická kinetická energie hmotného bodu (7) E = mc. relativistická energie (8) E 0 = m 0 c. klidová energie (9) pv T = konst. (pro stálé množství plynu) (0) pv = n m RT stavová rovnice pro ideální plyn () h = h i = 4 i= n i v i = 4 i= i= n i n n v i = 4 n i= n i n v i = 4 n v i P i = 4 nv, i= hustotu toku molekul na jednotkovou plochu () p = 3 m n i vi = 3 m i= (np i )vi = 3 mn i= i= vi P i = 3 mnv k, tlak ideálního plynu (3) v k = v i N. střední kvadratická rychlost (4) mv k = 3 kt. střední hodnota kinetické energie postupného pohybu molekul (5) C = δq dt. tepelná kapacita (6) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 9

10 U = c V T. vnitřní energie jednoho molu ideálního plynu (7) Celková energie plynu závisí jen na teplotě a je rovnoměrně rozdělena na každý možný způsob, kterým molekuly mohou absorbovat energii. U = i RT. vnitřní energie jednoho molu ideálního plynu pro i stupňů volnosti (8) c V = du dt = i R. f(v) = ( m πkt molová tepelná kapacita jednoho molu ideálního plynu při stálém objemu pro i stupňů volnosti ) 3/ exp ( mv kt (9) ) 4πv. Maxwellovo rozdělení rychlostí (30) v p = kt m. nejpravděpodobnější rychlost (3) dn N v = 8kT πm. střední (průměrná) velikost rychlosti (3) v k = 3kT v =. střední kvadratická rychlosti (33) m ( exp E ) dv x dv y dv z dxdydz. Boltzmannův zákon rozdělení energií (34) kt ( ) p T = 73,6jK lim p tr 0 p tr λ = π. střední volná dráha (35) d n (při konst.v ). definice teplotní stupnice ideálního plynu (36) W = (a) δw = V V pdv. práce vykonaná plynem (37) δq = du + pdv. první princip termodynamiky (38) c p = c V + R. Mayerův vztah (39) κ = c p c V. Poissonova konstanta (40) p p = T T, Gay Lussacův zákon (4) p V = p V = n m RT = n m RT = konst. Boyleův Mariottův zákon (4) pv κ = konst. Poissonova rovnice (43) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 0

11 pv n = konst., rovnice polytropy (44) n = c c p c c V exponent polytropy (45) η = W Q = Q Q Q. účinnost cyklu (46) η = W = RT ln V V RT ln V 3 V 4 Q RT ln V = T T = Q Q. T V Q účinnost tepelného Carnotova cyklu (47) ε = Q W = Q Q Q = T T T, účinnost chladicího stroje (48) Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na teplejší (Clausius). Není možné sestrojit periodicky pracující stroj, který by jen ochlazoval tepelný zdroj a konal rovnocennou práci (Thompson, Planck). Q T + Q T = 0. Clausiova rovnice pro Carnotův děj (49) δq T = 0, Clausiova rovnice pro vratný děj (50) ds = δq T definice změny entropie (5) S S = ds = nevrat δq T. změna entropie pro vratný děj (5) δq T < 0. Clausiova nerovnost pro nevratný děj (53) (S S ) vrat S nevrat > 0. míra nevratnosti děje (54) S = ke np, entropie a pravděpodobnost (55) lim S = 0. třetí věta termodynamiky (56) T 0 f + v = s +. Gibbsovo fázové pravidlo (57) f(n m, p, V, T ) = 0, stavová rovnice systému o jedné složce (58) (p + p i )(v k b) = RT. stavová rovnice pro reálný plyn (59) ( p + a ) vk (v k b) = RT. Van der Waalsova stavová rovnice reálného plynu (60) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně

12 f =. vztah mezi frekvencí a periodou kmitů (6) T x(t) = x m cos(ωt + α), výchylka při harmonickém pohybu (6) ω = π T = πf. úhlová frekvence kmitů (63) x(t) = x m sin(ωt + β) možné vyjádření harmonického pohybu (64) x(t) = A cos ωt A sin ωt možné vyjádření harmonického pohybu (65) x(t) = Ĉe iωt + Ĉe iωt, možné vyjádření harmonického pohybu (66) v(t) = d r(t) r(t) = ıx m sin ωt, polohový vektor harmonického oscilátoru ( = ıaω cos ωt = ıx m sin ωt + π ), rychlost harmonického oscilátoru (67) (68) a(t) = d v(t) = ıaω sin ωt = ω r(t) = ıaω sin ωt = ıaω sin(ωt+π). zrychlení harmonického oscilátoru (69) d x(t) + ω x(t) = 0. diferenciální rovnice harmonického pohybu (70) a(t) = d r(t) = r(t) =... = ω r(t) výsledné zrychlení lineárního harmonického oscilátoru (7) F v ( r) = mω r(t) F v, x (x) = mω x. výslednice sil působící na lineární harmonický oscilátor (7) k = velikost síly působící na pružinu protažení (zkrácení) pružiny = F, tuhost pružiny l k ω =. úhlová frekvence kmitů tělesa na pružině (73) m ( ) k x(t) = x m sin m t + α, výchylka tělesa na pružině (74) E m = kx m = mωx m. celková mechanická energie harmonického oscilátoru (75) I d ϕ(t) = M o, pohybová rovnice tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy (76) mga ω =. I úhlová frekvence fyzického kyvadla konajícího malé kmity (77) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně

13 ( ) mga ϕ(t) = ϕ m sin t + α, I úhlová výchylka tuhého tělesa konajícího malé kmity (78) ω = g l = π T. úhlová frekvence malých kmitů matematického kyvadla (79) mga I = g L L = I ma. redukovaná délka fyzického kyvadla (80) m d x(t) + B dx(t) pohybová rovnice harmonického + kx(t) = 0, (8) oscilátoru s odporující silou ( ) x(t) = x 0 e βt sin (ω0 β ) t + α, výchylka tlumeného oscilátoru (8) L d I(t) +R di(t) + I(t) = 0, LÏ(t)+RI(t)+ C C I(t) = 0. diferenciální rovnice tlumených kmitů v obvodě RLC (83) I(t) = I 0 e βt sin( (ω 0 β) t + α), tlumené kmity proudu v obvodu RLC (84) ω 0 = LC. Thomsonův vztah (85) u(t) = y (t) + y (t) skládání kmitavých pohybů (86) x(t) = x (t) + x (t), skládání kmitavých pohybů podél osy Ox (87) ω T = πp, ω T = πq ω = p ω q, f = p f q, T = q. podmínka periodičnosti (88) T p f T z f T z = f f = T z f z = f f. frekvence záznějů (89) x my + x m y m xy cos δ + y mx = x my m sin δ. obecný vztah pro složky navzájem kolmých skládaných kmitů (90) u(t) = f(x ct). vlna ve směru osy Ox (9) u = f(x + ct). vlna proti směru osy Ox (9) ( u(x; t) = F t x ). c vlna ve směru osy Ox (93) [ ( u(x; t) = U m sin ω t x ) ] + α, c vlna ve směru Ox (94) [ ( u(x; t) = U m sin ω t + x ) ] + α. c vlna proti směru Ox (95) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 3

14 λ = T c. definice vlnové délky (96) K = p V/V. modul objemové pružnosti (97) c = γ = K. K ρ stlačitelnost rychlost podélné vlny (98) f(x; t) x c f(x; t) t = 0. vlnová diferenciální rovnice (99) u x + u y + u z u c t = 0, D Alembertova vlnová rovnice (00) w = E m V, hustota energie vlnění definice (0) w = ρω U m. hustota energie vlnění (0) φ = E t. tok zářivé energie definice (03) I = ρcω U m. intenzita harmonické vlny (04) f k = k c, l kde k =,, 3,... (05) u(t) = U 0 sin(ωt + ϕ), kde U 0 = U + U + U U cos(ϕ ϕ ). (06) r r = kλ p, k = 0, ±, ±,.... podmínka maxima (07) r r = (k + ) λ p n(r r ) = kλ n(r r ) = (k + ) λ, k = 0, ±, ±,.... podmínka minima (08) } k = 0, ±, ±,..., podmínka maxim podmínka minim (09) n d + ε λ = kλ, kde k =,,..., podmínka maxima pro odraz (0) n d + ε λ = (k )λ, kde k =,,... podmínka minima pro odraz () d n n sin α + ε λ = kλ, k =,,..., (ε = 0, ). podmínka maxima pro odraz () Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 4

15 d n n sin α + ε λ = (k )λ. podmínka minima pro odraz (3) a sin α = λ podmínka pro úhel minima prvního řádu (4) d sin α k = kλ, k = 0, ±, ±,..., mřížková rovnice (5) Copyright c 005, ÚFI FSI VUT v Brně 5