FYZIKA I VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 Název: Fyzika I Autoři: Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vydání: první, 03 Počet stran: 5 Náklad: 5 Jazyková korektura: nebyla provedena. Tyto studijní materiály vznikly za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Název: Modernizace výukových materiálů a didaktických metod Číslo: Realizace: CZ..07/..00/ Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN CZ..07/..00/5.0463

3 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

4 OBSAH GRAVITAČNÍ POLE Úvod Definice Newtonův gravitační zákon Intenzita gravitačního pole Potenciál gravitačního pole Gravitační a tíhové pole Země Keplerovy zákony Kosmické rychlosti... 8 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... 0 CZ..07/..00/5.0463

5 Gravitační pole 3 GRAVITAČNÍ POLE STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Fyzikální pole Newtonův gravitační zákon Intenzita gravitačního pole Potenciál gravitačního pole Gravitační a tíhové pole Země Planetární pohyby MOTIVACE: Gravitační pole patří k fyzikálním polím, která jsou nositelem vzájemného silového působení mezi částicemi, tj. jader, atomů, molekul, makrofyzikálních a megafyzikálních objektů. Gravitační pole se uplatňuje ve všech činnostech člověka. Vzhledem k tomu, že existuje v okolí materiálních objektů, je nutné umět popsat fyzikální veličiny, které je charakterizují. CZ..07/..00/5.0463

6 Gravitační pole 4. ÚVOD Fyzikální pole je z hlediska makrofyziky druhem hmoty, který je hmotným nositelem vzájemného silového působení mezi částicemi, tj. jader, atomů, molekul, makrofyzikálních a megafyzikálních objektů. Fyzikální objekty na sebe navzájem působí silami. Toto silové působení nebo-li interakce se neděje na dálku (aktio in distans) nekonečně rychle, ale prostřednictvím pole konečnou rychlostí. Pole existující v okolí materiálních objektů, které jsou vzhledem ke vztažné soustavě v klidu, se nazývají statická. Pole materiálních objektů, které se vzhledem ke vztažné soustavě budou pohybovat, se nazývají dynamická. Čím je vzájemný pohyb pozorovací vztažné soustavy a materiálního objektu, jehož pole sledujeme jednodušší, tím je i pole jednodušší. Základní jevy, které se uplatňují mezi materiálními objekty v makroskopických vzdálenostech, jsou gravitační a elektromagnetická interakce, v případě klidové soustavy jde o gravistatickou a elektrostatickou interakci. Základní charakteristickou veličinou, která je mírou vlastností materiálních objektů z hlediska uvedených interakcí je hmotnost. Fyzikální pole jsou spjaté se třemi základními charakteristikami částic. S jejich hmotností (gravitační pole), elektrickým nábojem (elektrické pole) a magnetickým momentem (magnetické pole). Magnetické pole však vzniká i v okolí pohybujících se elektrických nábojů. Proto magnetické pole není úplně analogické gravitačnímu a elektrostatickému poli a zpracování magnetických jevů vyžaduje odlišný postup.. DEFINICE.. Newtonův gravitační zákon Gravitační síla je úměrná součinu hmotností M, m interagujících těles. Změnou vzdáleností středů r mezi koulí a kuličkou se změní síla, např. při zvětšení vzdálenosti dvakrát, se síla zmenší na čtvrtinu původní hodnoty. Gravitační síla je nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzájemné vzdálenosti a je vyjádřena ve tvaru F g Mm = κ, (.) r kde κ = (6,673 ± 0,003) 0 m 3 kg s je gravitační konstanta. Homogenní těleso tvaru koule má hmotnost l kg, působí-li na stejné těleso ve vzdálenosti l m gravitační sílou 6,673 0 N. Přepišme vztah (.) do vektorového tvaru. Gravitační síla je přitažlivá a působí ve směru spojnice středů obou koulí (obr..3). CZ..07/..00/5.0463

7 Gravitační pole 5 Obr..3 Orientace sil při gravitační interakci Označíme-li r 0 jednotkový vektor jdoucí ze středu homogenní koule (resp. hmotného bodu) o hmotnosti M ke středu homogenní koule (resp. hmotného bodu) o hmotnosti m, bude koule o hmotnosti M působit na kouli o hmotnosti m ve vakuu silou. F g Mm κ r r 0 = (.) Podle principu akce a reakce bude těleso o hmotnosti m působit na těleso s hmotností M silou F ' g = F. Vztah (.) je vyjádřením Newtonova gravitačního zákona, který byl odvozen g z Keplerových zákonů pro planety Sluneční soustavy... Intenzita gravitačního pole K porovnání působení pole v různých místech se zavádí pojem intenzity pole. Je vhodné považovat za pokusný objekt částici, aby pole samotného pokusného objektu příliš nerušilo sledované pole. Intenzita pole, které zprostředkovává jistou interakci, se definuje jako podíl síly, působící v poli na pokusnou částici a skalární veličiny, která uvedenou částici charakterizuje z hlediska příslušné interakce (hmotnosti). Intenzita pole je vektorová veličina, jejíž směr a orientace je dána vektorem příslušné síly. Označíme-li hmotnost částice m, je intenzita gravistatického pole definována vztahem F K = g (.3) m..3 Potenciál gravitačního pole Potenciál pole je definován jako podíl potenciální energie materiálního objektu v poli (gravistatickém) a veličiny, která charakterizuje tento objekt z hlediska příslušného pole (hmotností). Pro potenciál gravistatického pole χ se v bodě určeném polohovým vektorem r dostane W p χ = (.7) m Potenciál v libovolném místě gravistatického pole je určen gravistatickou potenciální energií materiálního objektu v tomto místě, vztahující se na jednotku jeho hmotnosti. CZ..07/..00/5.0463

8 Gravitační pole 6..4 Gravitační a tíhové pole Země Zemi považujeme za homogenní kouli o hmotnosti M Z = 5, kg a poloměru R Z = km. Podle vztahu (.5) je intenzita gravitačního pole Země na povrchu Země K M = κ R Z Z a ve výšce h nad povrchem Země K h M Z = κ (.) ( R + h) Z Pro potenciály pak platí M χ = κ R Z Z, M Z χ h = κ (.3) R + h Z Země obíhá kolem Slunce a otáčí se kolem vlastní osy. S ohledem na rotaci Země je soustava souřadnic spojená s jejím povrchem neinerciální vztažnou soustavou viz kap...., která se otáčí stálou úhlovou rychlostí ω. R Z Obr..9 K pohybu Země Na částici o hmotnosti m vzhledem k neinerciální vztažné soustavě otáčející se Země působí setrvačná síla F s (obr..9), jejíž velikost je, viz (.63) a (.36) F = mω R = m s R ω Z cos ϕ, kde ϕ je zeměpisná šířka. Kromě toho působí na částici gravitační síla Země F g středu Země. směřující do Výslednicí obou sil F G = F + F (.4) s g je tíhová síla F G. Tíhová síla F G Směr tíhové síly F G na určitém místě potvrchu Země se nazývá svislý směr. uděluje volné částici o hmotnosti m tíhové zrychlení FG g = (.5) m CZ..07/..00/5.0463

9 Gravitační pole 7 Odchylka směru tíhové síly F G od směru gravitační síly Země F g na daném povrchu Země určuje velmi malý úhel δ. Rozdíl velikosti sil F g a F G působících na částici o hmotnosti m na určitém místě povrchu Země je nulový na pólech Země a dosahuje maximální hodnoty na rovníku (asi 0,3 % velikosti příslušné gravitační síly F g ). Měřením bylo zjištěno, že všechna tělesa, bez ohledu na jejich hmotnost, padají volně na určitém místě povrchu Země se stejným tíhovým zrychlením g podle vztahu F G = mg, kde F G je velikost tíhové síly působící na částici na určitém místě povrchu Země. Tato síla je úměrná hmotnosti tělesa. Velikost tíhového zrychlení se mění od nejmenší hodnoty na rovníku asi 9,78 m s k největší hodnotě na pólu Země asi 9,83 m s. Mezinárodní dohodou je stanoveno normální tíhové zrychlení 9, m s (přesně). Vektorem tíhového zrychlení g lze popsat vektorové pole na povrchu Země a v blízkosti povrchu Země. Uvedené pole, jehož intenzitou je vektor g se nazývá tíhové pole. Kromě pojmu tíhová síla používáme pojem tíha tělesa G. Je to síla, mající svůj původ v tíhovém poli Země a projevuje se např. jako tlaková síla, kterou působí těleso na nehybnou vodorovnou podložku nebo jako tahová síla, kterou působí těleso na nehybný svislý závěs. Působiště tíhové síly leží v těžišti tělesa T. Působiště tíhy klademe do stykové plochy tělesa s podložkou nebo pevného bodu závěsu. Na daném místě povrchu Země má tíha tělesa v klidu stejnou velikost i směr jako tíhová síla: F G = G, G Tíhová síla F G a tíha G tělesa jsou znázorněny na obr..0. F G Obr..0 Tíhová síla F G a tíha G tělesa..5 Keplerovy zákony V kapitole jsme poznali gravitační pole. Každý pohyb vznikající účinkem gravitační síly nazýváme planetárním. Patří zde pohyby planet kolem Slunce, ale i pohyb Měsíce kolem Země a umělých družic kolem Země. Pohyby planet kolem Slunce byly poprvé popsány J. Keplerem ve formě tří zákonů:. Planety se pohybují kolem Slunce po eliptických trajektoriích o malé výstřednosti, v jejichž společném ohnisku je Slunce. CZ..07/..00/5.0463

10 Gravitační pole 8. Plochy opsané průvodičem (spojnice středů planety a Slunce, obr..59a) ve stejných ds dobách jsou stejně velké. Matematicky = w = konst., což vyjadřuje, že plošná rychlost planety je stálá. 3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií, matematicky T a 3 = konst. 3 T a = 3 T a nebo (.87) Schéma oběžných drah planet je na obr..59b. Obr..59a K plošné rychlost planet Obr..59b Schéma oběžných drah planet Obdobné zákony pak platí i pro pohyb umělých družic. Trajektoriemi planetárních pohybů jsou obecně kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola)...6 Kosmické rychlosti První kosmická rychlost Určíme první kosmickou rychlost v tělesa o hmotnosti m. První kosmická (kruhová) rychlost je rychlost, kterou musí mít těleso, aby mohlo obíhat kolem Země rovnoměrně po kruhové trajektorii. Těleso obíhá rovnoměrně po kruhové trajektorii ve výšce h nad povrchem Země. m v Poloměr trajektorie je r = RZ + h, kde R Z je poloměr Země. Odstředivá síla r potřebná k udržení rovnoměrného kruhového pohybu musí kompenzovat gravitační sílu, tedy m v r = M Z m κ r (.88) CZ..07/..00/5.0463

11 Gravitační pole 9 Pak dostaneme v M Z = κ R + h Z (.89) První kosmická rychlost nezávisí na hmotnosti obíhajícího tělesa. Pro h = 0 m je v = 7,9 km s. Je-li tělesu v dané výšce h nad povrchem Země udělena počáteční rychlost v 0 o málo větší než je v, pohybuje se po eliptické trajektorii, v jejímž jednom ohnisku leží střed Země. Druhá kosmická rychlost Určíme druhou kosmickou rychlost v tělesa o hmotnosti m. Druhá kosmická rychlost je velikost minimální rychlosti, kterou musíme udělit tělesu ve výšce h nad povrchem Země, aby se vzdálilo do nekonečné vzdálenosti od povrchu Země, tj. do vzdálenosti, ve které je jeho kinetická energie W k a gravitační potenciální energie W p nulová (rychlost úniková nebo parabolická) viz obr..60. Obr..60 Ke druhé kosmické rychlosti Použijeme zákona zachování mechanické energie. Budou-li W i W k p nulové, pak a oud m v = Z Pro h = 0 je v = v =, km s. Druhá kosmická rychlost nezávisí na hmotnosti tělesa. Třetí kosmická rychlost κ M m 0 (.90) R + h v = κ M Z (.9) R + h Je nutná k tomu, aby se těleso vzdálilo z gravitačního pole Slunce, v = 6, 6 km. Čtvrtá kosmická rychlost k tomu, aby se vzdálilo z Galaxie. Z s CZ..07/..00/5.0463

12 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám 0 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Hmotnost a gravistatická interakce Silový účinek gravitačního pole ve formě Newtonova gravitačního zákona Pojem intenzity pole, nutný k porovnání působení pole v různých místech Pojem potenciální pole, jako veličina nezávisející na vlastnostech materiálního objektu v poli Charakteristika gravitačního a tíhového pole Země Pohyby planet kolem Slunce, které jsou popsány Keplerovými zákony Vyjádření prvé, druhé a třetí kosmické rychlosti CZ..07/..00/5.0463

13 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

14 OBSAH ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ TRANSLAČNÍ POHYB Úvod Definice Souřadnice a polohový vektor částice Průměrná a okamžitá rychlost Průměrné a okamžité zrychlení Tečné a normálové zrychlení Charakteristika pohybu podle rychlosti a zrychlení Klasifikace posuvných pohybů... 0 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... CZ..07/..00/5.0463

15 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 3 ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ TRANSLAČNÍ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Poloha částice, souřadnice a polohový vektor Trajektorie pohybu Průměrná a okamžitá rychlost Průměrné a okamžité zrychlení Tečné a normálové zrychlení Pohyb přímočarý rovnoměrný Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený MOTIVACE: Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb je důležitý pro všechny lidské činnosti. Polohu částice (tělesa) je nutné stanovit při popisu jakékoliv události. Z pojmů jako je dráha, rychlost a zrychlení se počítá při popisu jakéhokoliv tělesa, zejména při popisu dopravních prostředků, pohybu těles při manipulaci a popisu zvláštních druhů pojmů, při kterých částice nebo těleso vykovává posuvný pohyb. CZ..07/..00/5.0463

16 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 4. ÚVOD Pohyb částice z hlediska kinematiky lze popsat vyjádřením funkční závislosti parametrů vyjadřujících polohu částice na čase. Kinematika popisuje pohyb částice pomocí veličiny jako je dráha, rychlost, zrychlení.. DEFINICE.. Souřadnice a polohový vektor částice Polohu částice můžeme popsat souřadnicemi nebo polohovým vektorem r v dané souřadnicové soustavě. Souřadnicemi se určuje místo (bod), v němž se částice nachází v určitém časovém okamžiku. Jsou to tři (trojrozměrný prostor) nebo dva (dvojrozměrný prostor) nezávislé parametry. Ve fyzice používáme nejčastěji následující souřadnice v rovině: Kartézská (ortonormální) souřadnicová soustava (0; x, y). Polární souřadnicová soustava (0; r, ϕ), kde 0 P = r je tzv. průvodič (radiusvektor) bodu P, orientovaný úhel ϕ je polární úhel a jeho velikost se nazývá argument. Polohovým vektorem r (radiusvektorem) je určena poloha částice jen jednou rovnicí r = r(t) nebo x = x (t), y = y (t), z = z (t) (.6) Rovnice (.6) se nazývají parametrické rovnice trajektorie pro posuvný pohyb (čas t je parametr). Trajektorie pohybu je souhrn všech poloh, kterými projde částice při svém plynulém časovém postupu. Polohový vektor r hmotného bodu P vzhledem k počátku souřadnicové soustavy 0 je orientovaná úsečka, jejíž počátek je v bodě 0 a konec v bodě P. V kartézské souřadnicové soustavě platí kde r = xi + y j + zk i, j, k jsou jednotkové vektory a x, y, z jsou kartézské souřadnice bodu P. (.7) Pro určení směru vektoru r a jeho velikosti platí vztahy x y z cos α = ; cos β = ; cos γ = ; r = x + y + z r r r kde úhlům α, β, γ se říká směrové úhly a jejich kosinům směrové kosiny. (.8) CZ..07/..00/5.0463

17 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 5.. Průměrná a okamžitá rychlost Rozdíl polohových vektorů ve dvou dostatečně blízkých časech r = r r (obr..8) udává směr pohybu a velikost dráhy s a to tím přesněji, čím je tento interval menší. Pak platí r = s. V limitě je shoda úplná, proto lze psát d r = ds, kde ds je tzv. element dráhy. Obr..8 K popisu střední rychlosti K popisu pohybu je důležitá znalost změny dráhy za čas (rychlost) a změny rychlosti za čas (zrychlení). Nachází-li se částice v čase t v bodě P (obr..8) a v čase t v bodě P a je-li s dosažená dráha mezi P a P, pak pro t = t t definujeme tzv. průměrnou rychlost (velikost rychlosti) mezi body P a P s v = t (.9) Pro t 0 je s v = lim = t 0 t ds (.0) a velikost okamžité rychlosti v (obr..9) vyjadřuje podíl elementárních přírůstků dráhy ds a času první derivaci dráhy podle času časovou změnu dráhy. Obr..9 K popisu okamžité rychlosti CZ..07/..00/5.0463

18 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 6 a) b) Obr..0 Graf funkce s = s (t) Geometricky je podíl vyjadřující průměrnou rychlost roven směrnici sečny (tg α), (obr..0a) a podíl vyjadřující okamžitou rychlost roven směrnici tečny v grafu funkce s = s (t) (obr..0b). Vektorově Δr d r v = lim = = Δt 0 Δt ds τ 0 (.) 0 kde τ je jednotkový vektor určený tečnou v daném bodě a směrem pohybu. Pak v = dr d v = = ( xi + yj + zk ) = i + dz j + k dx dy vx i + vy j + vzk, kde vx =, vy =, vz = dx dy dz (.) (.3) Velikost a směr rychlosti určují pomocí souřadnic rychlosti v x, v y, v z vztahy v vx y v = v + vy + v z, cos α =, cos β =, cos γ v v x = vz v (.4)..3 Průměrné a okamžité zrychlení Má-li částice v čase t rychlost v a v čase t rychlost v, pak pro t = t t a v = v v definujeme a = v t (.5) jako průměrné zrychlení na úseku trajektorie mezi body P a P. Pro t 0 je a v lim t = t 0 = dv = d r (.6) CZ..07/..00/5.0463

19 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 7 vektor okamžitého zrychlení a vyjadřuje podíl elementárních přírůstků rychlosti dv a času první derivaci rychlosti podle času časovou změnu rychlosti druhou derivaci polohového vektoru podle času. Geometricky je podíl vyjadřující průměrné zrychlení roven směrnicí sečny a podíl vyjadřující okamžité zrychlení roven směrnici tečny v grafu v = v (t). V souřadnicích a d r d x d y = i + d z j + k = = dv x dv i + y dv j + z k (.7) dv dv x y a = ax i + ay j + azk, kde ax =, ay =, az = Velikost a směr zrychlení určují vztahy dv z (.8) a = ax + ay + az, cos α =, cos β =, cos γ =, a a a Jednotka dráhy [s] = m, rychlosti [v] = m s, zrychlení [a] = m s. a x a y a z (.9) Z rozkladu vektoru zrychlení a do dvou na sebe kolmých složek (směr tečny ke křivce a směr hlavní normály) najdeme vztahy pro tzv. tečné a normálové zrychlení. Na trajektorii v obr..a) zvolme dva body P a P a vektory rychlosti v a v. Posuňme vektory rychlosti v a v do jednoho bodu P a jejich rozdíl označme v (obr..b). Rozložme vektor v na v t ve směru vektoru v a na v n tak, že z bodu M spustíme kolmici na vektor rychlosti v. M a) b) Obr.. K určení tečného a normálového zrychlení CZ..07/..00/5.0463

20 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 8 Pak platí: Z obr..b) plyne = v v cos ϕ. Pak v t v = v t + v n (.0) v vt vn lim = lim + lim t 0 t t 0 t t 0 t a= a t + a n (.) a vt v dv = lim = lim, t t t t = t 0 0 poněvadž cos ϕ v limitě pro t 0 konverguje k jedné...4 Tečné a normálové zrychlení Tečné zrychlení a t souvisí se změnou velikosti rychlosti a má směr jednotkového vektoru 0 τ a dvt dv 0 = τ (.) t = Normálové zrychlení a n souvisí se změnou zakřivení trajektorie a má směr jednotkového 0 vektoru R (normály ke křivce) Podle obr.. a), b) platí a dv dv n n 0 n = = R (.3) oud a) b) Obr.. K určení délky oblouku křivky ds = Rdϕ dv n = vdϕ dv n = v ds R CZ..07/..00/5.0463

21 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 9 Pak pro normálové zrychlení je kde 0 R vds v = =, R R a n v 0 a n = R, (.4) je jednotkový vektor ve směru hlavní normály křivky orientovaný ke středu křivosti. R Zrychlení lze vyjádřit pomocí tečného a normálového zrychlení ve tvaru dv 0 v 0 a = at + an = v + R (.5) R a = a dv t + an = + v R 4 (.6)..5 Charakteristika pohybu podle rychlosti a zrychlení Tečné zrychlení a t souvisí se změnou velikosti rychlosti a má směr jednotkového vektoru 0 τ a dvt dv 0 = τ (.) t = Normálové zrychlení a n souvisí se změnou zakřivení trajektorie a má směr jednotkového 0 vektoru R (normály ke křivce) a dv dv n n 0 n = = R (.3) Podle obr.. a), b) platí oud a) b) Obr.. K určení délky oblouku křivky ds = Rdϕ dv n = vdϕ dv n = v ds R CZ..07/..00/5.0463

22 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb 0 Pak pro normálové zrychlení je kde 0 R vds v = =, R R a n v 0 a n = R, (.4) je jednotkový vektor ve směru hlavní normály křivky orientovaný ke středu křivosti. R Zrychlení lze vyjádřit pomocí tečného a normálového zrychlení ve tvaru dv 0 v 0 a = at + an = v + R (.5) R a = a dv t + an = + v R 4 (.6)..6 Klasifikace posuvných pohybů Z definice rychlosti (.) plyne nejjednodušší klasifikace posuvných pohybů částice. Je-li jednotkový vektor rychlost 0 τ = konst., pohyby jsou přímočaré, 0 τ konst., pohyby jsou křivočaré. V následujícím odstavci budeme řešit přímočaré pohyby jako funkční závislosti kinematických veličin dráhy s, rychlosti v, zrychlení a na čase t. Z definice zrychlení a lze určit závislost v = v (t) dv a =, dv = a, dv = a v = a + konst. (.37) Z definice rychlosti v lze určit závislost s = s (t) ds v =, ds = v, ds = v s = v + konst. (.38) Pohyb přímočarý rovnoměrný: Kde s 0 je počáteční dráha. a = 0 v = 0 = konst. s v = vt + C, C = s = 0 Grafy pro přímočarý rovnoměrný pohyb jsou na obr..5. s s + vt = 0 (.39) CZ..07/..00/5.0463

23 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb Obr..5 Graf funkce v = v (t) a s = s (t) pro přímočarý rovnoměrný pohyb Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený: a = konst. a dosazením (.40) do vztahu (.38) = C = v0 v a = at + C, ( v + at) = v t at + C, s = C = s0 v = v 0 + at s = s 0 + v 0 t + at (.40) (.4) Grafy pro přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb jsou na obr..6. Obr..6 Graf funkce a = a(t), v = v(t) a s = s(t) pro přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb CZ..07/..00/5.0463

24 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Kartézské a polární souřadnice, parametrické rovnice trajektorie pro posuvný pohyb Charakteristika pohybu částic podle rychlosti a podle zrychlení Klasifikace posuvných pohybů CZ..07/..00/5.0463

25 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

26 OBSAH ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ ROTAČNÍ POHYB Úvod Definice Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Velikost tečného a normálového zrychlení otáčivého pohybu Klasifikace otáčivých pohybů Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici Moment síly Moment dvou sil působících na dvě částice Dvojice sil Moment hybnosti... 9 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... CZ..07/..00/5.0463

27 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 3 ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ ROTAČNÍ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici MOTIVACE: S otáčivým pohybem částice nebo tělesa se setkáme v podstatě u každého pohybu tělesa. Výjimku tvoří pohyb částic nebo těles po přímce. S otáčivým pohybem je nutno počítat téměř ve všech technických problémech. Jde o rotaci turbíny, setrvačníků, dopravních vozidel, aj. CZ..07/..00/5.0463

28 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 4. ÚVOD Pro popis rovnoměrného, rovnoměrně zrychleného a nerovnoměrně zrychleného rotačního pohybu je třeba znalost základních veličin otáčivého pohybu, které jsou uvedeny v dalším textu.. DEFINICE.. Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Při otáčivém pohybu hmotného bodu je trajektorií pohybu kružnice. Kromě kinematických veličin r, v a a při vyšetřování otáčivých pohybů pracujeme s úhlovými veličinami ϕ, ω a ε, které jsou také funkcí času. Úhlová dráha je jako vektor vyjádřená funkční závislostí: ϕ = ϕ( t ) (.8) Velikost úhlové dráhy je rovna velikosti středového úhlu ϕ příslušejícího oblouku s délky s mezi polohami bodu P 0 v čase t = 0 s a P t v následujícím čase t, kde ϕ =. R Platí ϕ 0 = ϕ. ϕ, (.9) 0 kde ϕ je jednotkový vektor kolmý na osu otáčení a je orientován na tu stranu, ze které vidíme otáčení bodu P v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček), viz obr..3. Obr..3 K definici úhlové dráhyϕ CZ..07/..00/5.0463

29 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 5 Úhlovou rychlost ) Obr..4 K určení vztahu mezi obvodovou (v) a úhlovou (ϕ) rychlostí ω = ω(t definujeme jako časovou změnu úhlové dráhy ϕ dϕ ω = (.30) Platí dϕ ω = ωϕ 0, kde ω = Úhlové zrychlení ε = ε (t) definujeme jako časovou změnu úhlové rychlosti ω ε = dω = d ϕ (.3) dω d ϕ Platí ε = εϕ 0, kde ε = = Úhlové zrychlení lze vyjádřit i jinak dω dϕ dω ε = = ω (.3) dϕ dϕ Jednotka úhlové dráhy [ϕ] = rad, úhlové rychlosti [ω] = rad s, úhlového zrychlení [ε] = rad s... Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Odvodíme vztah mezi obvodovou v a úhlovou ω rychlostí. V obr..4 jsou vyznačeny veličiny charakterizující pohyb částice v bodě P. Poloha bodu P je určena vůči počátku 0 polohovým vektorem r, který s osou rotace svírá úhel α. Z definice velikosti okamžité rychlosti (.0) a použitím vztahu ds = R dϕ plyne CZ..07/..00/5.0463

30 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 6 ds dϕ v = = R = Rω Z obr..4 také plyne, že R = r sin α, pak v = r ω sinα v = ω r a (.33)..3 Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Dále odvodíme vztah mezi obvodovým a a úhlovým ε zrychlením. Z definice (.6) plyne dv d dω dr a = = ( ω r ) = r + ω = ε r + ω v (.34) Vektor ε r je vektor kolmý k r a ose rotace, v níž leží ω, tj. má stejný směr s vektorem v. Je to vektor tečného zrychlení a t. Vektor ω v je vektor kolmý na ω a v a má směr do středu křivosti. Je to vektor normálového zrychlení a n...4 Velikost tečného a normálového zrychlení otáčivého pohybu Velikosti tečného a normálového zrychlení jsou: dv d dω a t = = ( Rω ) = R = Rε (.35) v R ω a n = = = Rω R R v a n = v = vω R nebo (.36)..5 Klasifikace otáčivých pohybů Klasifikace vychází z analogie vztahů mezi veličinami φ, ω a ε u otáčivých pohybů a veličinami s, v a a u pohybů posuvných. Stejný otáčivý pohyb popsaný veličinami φ, ω a ε konají všechny body tělesa (vyjma středu otáčení) kapitola... Z definice úhlového zrychlení ε lze určit závislost ω = ω(t) dω ε =, dω = ε, dω = ε ω = ε + konst. (.4) Z definice úhlové rychlosti ω lze určit závislost ϕ = ϕ(t) dϕ ω =, dϕ = ω, dϕ = ω CZ..07/..00/5.0463

31 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 7 ϕ = ω + konst. (.43)..6 Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrný po kružnici: ε = 0 Pro ϕ = 0 0 je ϕ = ωt a pro ϕ = π je ω = 0 = konst. ϕ = ω = ωt + C, kde C = ϕ0 ϕ ϕ + ωt = 0 (.44) π ω = = π f T f T = a (.45) kde T je perioda (doba, za kterou se částice otočí o plný úhel) a f je frekvence...7 Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici: ε = konst. a dosazením (.46) do vztahu (.43) ω = ε = εt + C kde C = ω0, ω ω + εt = 0 (.46) ϕ = ( ω0 + εt ) = ω0t + εt + C, kde C = ϕ0 ϕ = ϕ 0 + ω 0 t + εt (.47)..8 Moment síly Označme F výslednici vnějších sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy 0 0 (obr..33). Předpokládejme, že vektorová přímka síly F neprotíná osu otáčení a není s ní rovnoběžná, dále že leží v rovině σ kolmé k ose otáčení. CZ..07/..00/5.0463

32 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 8 Obr..33 K definici momentu síly Velikost momentu síly M je součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti bodu 0 od vektorové přímky vektoru F v rovině σ, tzv. ramene síly d M = Fd (.40) Z obr..33 je d = r sin α, pak M = rf sinα což je velikost vektorového součinu polohového vektoru r působiště síly a vektoru síly F (.4) kde M je moment síly F vzhledem k bodu 0. M = r F (.4) V souřadnicích M M M x y z = y F z F z = z F x F = x F x y y z y F x π Pro α = je sin α = a M = Fr. Směr vektoru M určuje směr vektoru úhlového zrychlení ε, jež by charakterizovalo rotační pohyb částice, vyvolaný tímto momentem. Je proto velmi důležitou veličinou při sledování a popisu rotačních pohybů...9 Moment dvou sil působících na dvě částice Výsledný moment dvou sil F a F působících na dvě částice podle obr..34 je M = M + M = r F + r a s ohledem na F = F je F CZ..07/..00/5.0463

33 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 9 neboť vektor ( ) M = F (.43) ( r r ) = 0, r r je rovnoběžný s vektorem F. Obr..34 K výpočtu momentu dvou sil Obr..35 K výpočtu momentu dvojice sil Obr..35 K výpočtu momentu dvojice sil..0 Dvojice sil Určíme výsledný moment dvou rovnoběžných stejně velikých sil opačně orientovaných, které působí v různých bodech tuhého tělesa (obr..35). Nazývají se dvojice sil. Z obr..35 r = r + r a podle definice momentu sil je r F + r F = r F + r + r F = r F + r F + r M d ( ) F = M d = r F M d = r F sin α = p F (.44) kde p = r sin α je rameno dvojice sil (obr..35)... Moment hybnosti Moment hybnosti b částice je definován jako vektorový součin polohového vektoru r částice a její hybnosti p (obr..36) a uvádí se někdy jako točivost. CZ..07/..00/5.0463

34 Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb 0 Jeho velikost b = r p = r m v (.45) b = r p sin α = r m v sin α (.46) Obr..36 K definici momentu hybnosti částice Jednotky: [ M ] = kg m s = N m [ b ] = kg m s CZ..07/..00/5.0463

35 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Veličiny otáčivého pohybu Odvození vztahu mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Odvození vztahu mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Klasifikace otáčivých pohybů Moment síly, dvojice sil a moment hybnosti CZ..07/..00/5.0463

36 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Harmonický pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

37 OBSAH HARMONICKÝ POHYB Definice Kinematika harmonického pohybu částice Dynamika harmonického pohybu... 4 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... 6 CZ..07/..00/5.0463

38 Harmonický pohyb 3 HARMONICKÝ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Harmonický kmitavý pohyb Okamžitá výchylka, amplituda výchylky, fáze a počáteční fáze Rychlost a zrychlení harmonického kmitavého pohybu Dynamika harmonického pohybu částice MOTIVACE: Harmonický pohyb koná řada těles při svém složeném pohybu v průmyslové praxi. Harmonický pohyb koná jej jakékoliv těleso zavěšené na pružině, částice na kmitající podložce. CZ..07/..00/5.0463

39 Harmonický pohyb 4. DEFINICE.. Kinematika harmonického pohybu částice Z kinematického hlediska pozorujeme pohyb, který koná průmět bodu pohybujícího se rovnoměrně po kružnici do některého průměru kružnice. Průmět bodu koná podle obr..7 harmonický kmitavý pohyb. Je-li ϕ = ϕ + ω, pak převod 0 t Obr..7 K vyjádření harmonického pohybu t mezi časovou a úhlovou stupnicí je ϕ = ϕ0 + π. T Z obr..7 vyplývá pro okamžitou výchylku ( ω + ) y = A sin t ϕ 0 (.48) kde A je amplituda výchylky, ω t +ϕ0 je fáze a ϕ 0 počáteční fáze. Derivací pak pro rychlost v a zrychlení a platí dv dy v = = ω A cos t + ϕ 0 ( ω ) ( ωt + ϕ ) = ω y a = = ω A sin 0 (.49) (.50) kde ω A je amplituda rychlosti a ω A je amplituda zrychlení. Obr.. Harmonický oscilátor.. Dynamika harmonického pohybu Částice o hmotnosti m kmitá kolem rovnovážné polohy ve směru osy y. Na částici působí jediná síla, pružná síla o souřadnicích CZ..07/..00/5.0463

40 Harmonický pohyb 5 F = 0 F y = k y F = 0, x která se snaží uvést částici o hmotnosti m do původní polohy, obr... Pohybová rovnice má tvar z d y m = k y (.67) což po úpravě a označení s konstantními koeficienty k = ω m vede na homogenní diferenciální rovnici. řadu d y + ω y = 0 (.68) a další úpravou na ( ω + ) y = A sin t ϕ 0 (.74) což vyjadřuje okamžitou výchylku harmonického pohybu (viz vztah.48). CZ..07/..00/5.0463

41 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám 6 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Vznik harmonického pohybu z pohybu částice po kruhové trajektorii Vyjádření okamžité výchylky harmonického pohybu pomocí amplitudy výchylky, fáze a počáteční fáze Určení rychlosti a zrychlení tohoto pohybu Pohybová rovnice harmonického pohybu částic CZ..07/..00/5.0463

42 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Složené pohyby (vrh šikmý) Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

43 OBSAH SLOŽENÉ POHYBY (VRH ŠIKMÝ) Definice Vrh šikmý vzhůru jako pohyb složený Řešení rovnice křivky z hlediska kinematiky Řešení rovnice vrhu šikmého z hlediska dynamiky Výška výstupu a délka šikmého vrhu Vodorovný a svislý vrh, volný pád... 6 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... 7 CZ..07/..00/5.0463

44 Složené pohyby (vrh šikmý) 3 SLOŽENÉ POHYBY (VRH ŠIKMÝ) STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Vrh šikmý vzhůru jako pohyb složený Rovnice vrhu šikmého vzhůru a její řešení Výška výstupu a délka šikmého vrhu Vodorovný a svislý vrh, volný pád MOTIVACE: Popis kinematiky složených pohybů vychází z popisu všech základních veličin, které popisují postupný a rotační pohyb. Nejjednodušším složeným pohybem je šikmý vrh vzhůru. Konají ho všechna tělesa, vržená jistou rychlostí pod určitým úhlem, např. vrh oštěpem, vrh koulí, Výkop fotbalového míče, výstřel z děla, aj. CZ..07/..00/5.0463

45 Složené pohyby (vrh šikmý) 4. DEFINICE.. Vrh šikmý vzhůru jako pohyb složený Ze kterých pohybů je složen vrh šikmý vzhůru? Tento pohyb je zadán počáteční podmínkou, že těleso je vrženo rychlostí v 0 pod úhlem α vzhledem k vodorovnému zemskému povrchu. Odpor prostředí při pohybu zanedbáme. Podle obr..8 jsou velikosti složek počáteční rychlosti Obr..8 Vrh šikmý vzhůru jako pohyb složený v0 x = v 0 cosα v0 y = v 0 sinα Ve směru osy x jde o pohyb rovnoměrný přímočarý x = ( v cos )t (.5) 0 α Ve směru osy y jde o pohyb složený z pohybu rovnoměrného přímočarého vzhůru a volného pádu y = ( v0 sin α ) t gt (.5).. Řešení rovnice křivky z hlediska kinematiky Ze vztahu (.5) plyne t = v 0 x cos α a dosazením do vztahu (.5) obdržíme rovnici paraboly: y g v0 cos α což je křivka, po které se pohybuje částice vržená pod úhlem α...3 Řešení rovnice vrhu šikmého z hlediska dynamiky Řešení = x tg α x (.53) CZ..07/..00/5.0463

46 Složené pohyby (vrh šikmý) 5 dvx a = = 0, v ( 0), x x = v x v x ( 0), dvy dy ay = = g, vy vy( 0) gt, vy 0 gt dvz dz az = = 0, v z = 0, = 0, dx = x = v ( 0 ) x t + x 0 = = ( ), y = t + vy ( 0) t + y0 Vrhneme-li těleso z počátku soustavy souřadnic, tj. x = y = z 0, pak y = z = x = v 0 t cos α (.75) = v0t sin α gt (.76) z = 0 Vyjádříme-li t z rovnice (.75) a dosazením do rovnice (.76) dostaneme z 0 g t = v 0 x cos α g y = x tg α v0 cos x α (.77) (.78) kde rovnice (.78) je obecnou rovnicí paraboly ( y = Ax Bx )...4 Výška výstupu a délka šikmého vrhu Výška výstupu: a pro α = π / je v = 0, v y = v sin α gt 0 y v0 t A = g 0 = sin α v v0 v 0 0 y h sin α sin α g g g sin A = = = α v0 h = g (.79) CZ..07/..00/5.0463

47 Složené pohyby (vrh šikmý) 6 Délka vrhu: y B = 0, tb = t A v0 v0 x B = d = sin α cos α = sin α g g a pro α = π / 4 je v0 d = g (.80)..5 Vodorovný a svislý vrh, volný pád Zvláštní případy: Vodorovný vrh: α = 0, v x =, = v t v 0 x 0 v y = gt, gt y = (.8) Svislý vrh: α = π / v = 0, x = 0 x (vzhůru) v 0 gt, v y = y v 0 t (.8) = gt α = π / v = 0, x = 0 x (dolů) v 0 gt, gt v y = y = v 0 t Volný pád: a y = g, v y gt, = (.83) y = gt Ze vztahu (.80) vyplývá, že pro α = 45 je délka vrhu největší. Pro úhly α a (90 α) platí sin α = sin (90 α). To znamená, že částice vržena stejnou rychlostí pod dvěma navzájem doplňkovými úhly dopadne na totéž místo. Částice ve skutečnosti neopisuje parabolu, nýbrž křivku, kterou nazýváme balistickou křivkou. Při řešení pohybové rovnice jsme neuvažovali odpor prostředí. CZ..07/..00/5.0463

48 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám 7 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Vrh šikmý vzhůru jako pohyb složený Využití pohybu rovnoměrně přímočarého vzhůru a volného pádu Určení křivky vrhu Výška výstupu při vrhu šikmém Určení délky šikmého vrhu Zvláštní případy vrhů Balistická křivka CZ..07/..00/5.0463

49 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Newtonovy pohybové zákony Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

50 OBSAH NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Definice První pohybový zákon (zákon setrvačnosti) Druhý pohybový zákon (zákon síly) Třetí pohybový zákon (zákon akce a reakce) Podmínka rovnováhy soustavy sil Dynamické účinky soustavy sil Síly při křivočarém pohybu... 6 CZ..07/..00/5.0463

51 Newtonovy pohybové zákony 3 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Zákon setrvačnosti Zákon síly Zákon akce a reakce Podmínka rovnováhy soustavy sil Dynamické účinky soustavy sil Síly při křivočarém pohybu CZ..07/..00/5.0463

52 Newtonovy pohybové zákony 4. DEFINICE.. První pohybový zákon (zákon setrvačnosti) Příčinami změn pohybového stavu se zabývá dynamika. Změny pohybu těles vznikají v důsledku interakce materiálních objektů. Popisují je Newtonovy zákony, které tvoří základ klasické mechaniky. První pohybový zákon (zákon setrvačnosti) Těleso setrvává ve stavu klidu nebo v přímočarém rovnoměrném pohybu, není-li nuceno vnějšími příčinami svůj stav změnit. Pohyb vždy uvažujeme vzhledem ke vztažné soustavě. Zákon setrvačnosti platí pro takovou soustavu, která je buď v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Soustava se nazývá inerciální (viz kapitola...). Mírou setrvačných vlastností tělesa je jeho hmotnost m. Rozlišujeme klidovou hmotnost m 0 (pro těleso, které je v inerciální vztažné soustavě v klidu) a pohybovou hmotnost m. Podle Einsteina platí m = m 0 v c (.54) kde v je rychlost částice (tělesa) vzhledem k inerciální vztažné soustavě a c je rychlost světla ve vakuu (odmocnina viz kap....). Pohybový stav částice (tělesa) je z hlediska kinematiky určen vektorem rychlosti v, z hlediska dynamiky vektorem hybnosti p, kde p = m v Pak lze formulovat první pohybový zákon jako p = konst. (.55) tj. hybnost částice (tělesa) je co do velikosti a směru konstantní, nepůsobí-li na částici (těleso) jiná částice (těleso) vynucující si změnu rychlosti. Jednotka hybnosti je [ p ] = kg m s... Druhý pohybový zákon (zákon síly) Časová změna vektoru hybnosti je úměrná působící síle. dp = F (.56) CZ..07/..00/5.0463

53 Newtonovy pohybové zákony 5 Je-li v << c, lze hmotnost m považovat za konstantní (m = konst.) a platí a tedy F = d ( mv ) dv = m F = m a (.57) Druhý pohybový zákon umožňuje určit sílu na základě jejich dynamických účinků. O síle mluvíme, došlo-li k působení dvou nebo více částic (těles). Jednotka síly je [ F ] = kg m s = N (newton). Dosadíme-li do rovnice (.57) za F výslednou sílu, která způsobuje pohybový stav tělesa, říkáme jí pohybová rovnice (kap...3)...3 Třetí pohybový zákon (zákon akce a reakce) Dvě částice na sebe navzájem působí stejně velikými silami opačného směru. F = (.58) F, F = F Jednu z těchto sil nazýváme akce a druhou reakce. V inerciálních soustavách je vznik každé síly (akce) při vzájemném působení těles provázen vznikem stejně velké síly opačného směru (reakce). Akce a reakce současně vznikají a současně zanikají. Každá z těchto sil působí na jiné těleso, proto se ve svých účincích navzájem neruší (nelze je skládat). Obr..9 Silové působení dvou částic Silové působení dvou částic o hmotnosti m a m je na obr..9. Z druhého pohybového zákona je a F = m, Aplikací třetího pohybového zákona dostaneme a F = m a = a m m (.59) Tělesa na sebe navzájem působící mají zrychlení opačné orientace a velikosti zrychlení jsou nepřímo úměrné jejich hmotnostem. CZ..07/..00/5.0463

54 Newtonovy pohybové zákony 6..4 Podmínka rovnováhy soustavy sil Síly působící na částici jsou v rovnováze, když výslednice sil je rovna nulovému vektoru F = F + F F i F n n = F i i = 0 (.60) a v souřadnicích n i= n F = 0, F = 0, F = 0 (.6) xi i= yi n i= zi..5 Dynamické účinky soustavy sil Působí-li na částici o hmotnosti m současně síly F, F,... Fn, pro sílu F i platí a = F m a výsledné zrychlení i i / pak každá vyvolává zrychlení a i, Částice o hmotnosti m se pohybuje se zrychlením a, F,..., F. n a = a + a +... a +... a i n n = a n F n i = = Fi i= m m i= i i= F = m (.6) jaké by mu udělila výslednice sil Z druhého pohybového zákona F = m a plyne F m a = 0, F + F s = 0, kde F s = m a (.63) má charakter síly a nazývá se setrvačná síla. Rovnice (.63) charakterizuje dynamickou rovnováhu sil působících na částici a nazývá se d Alembertův princip. Setrvačné síly jsou síly, které je nutno přidat k reálným silám, vyjadřujeme-li pohyby vzhledem k neinerciální soustavě. Nejvýznamnější z nich jsou Coriolisova a odstředivá síla...6 Síly při křivočarém pohybu Tečnému a t a normálovému a n zrychlení odpovídají síly F = m a t t a F n = m a n = F, d CZ..07/..00/5.0463

55 Newtonovy pohybové zákony 7 kde F d říkáme síla dostředivá. Obr..0 Síly při křivočarém pohybu Podle obr..0 je pak s ohledem na velikost normálového zrychlení F d v 0 v 0 = m an = m n a F d m n = 0 R R v Podle d Alembertova principu je R Z hlediska pozorovatele v inerciální soustavě je tato síla reakcí na sílu dostředivou 0. 0 m n setrvačná síla, které říkáme síla odstředivá 0 F. F Platí F0 = F d (.64) CZ..07/..00/5.0463

56 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnice Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

57 OBSAH POHYBOVÁ ROVNICE Definice Inerciální a neinerciální vztažná soustava Pohybová rovnice posuvného pohybu Pohybová rovnice otáčivého pohybu Moment setrvačnosti tělesa Steinerova věta... 9 CZ..07/..00/5.0463

58 Pohybová rovnice 3 POHYBOVÁ ROVNICE STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Inerciální a neinerciální vztažná soustava Pohybová rovnice posuvného pohybu Pohybová rovnice otáčivého pohybu Moment setrvačnosti tělesa Steinerova věta CZ..07/..00/5.0463

59 Pohybová rovnice 4. DEFINICE.. Inerciální a neinerciální vztažná soustava Klid nebo rovnoměrný přímočarý pohyb ve formulaci prvního pohybového zákona jsou vzhledem k volbě vztažné soustavy pojmy relativní. Položme si otázku, zda první pohybový zákon platí ve všech vztažných soustavách. Předpokládejme např., že pozorovatel uvnitř vagónu rozjíždějícího se vzhledem k Zemi rovnoměrně zrychleným pohybem položí na ideálně hladkou podlahu vagónu kuličku. Zjistí, že se bude pohybovat vzhledem k vagónu rovnoměrně zrychleným pohybem (proti směru jízdy), i když na ni okolní tělesa nepůsobí silami. To znamená, že v soustavě souřadnic spojené s rozjíždějícím se vlakem první pohybový zákon neplatí. První pohybový zákon neplatí také v rotující soustavě. Vztažná soustava nebo soustava souřadnic, v níž platí první pohybový zákon, se nazývá inerciální (inertia - setrvačnost). Pohybuje-li se soustava souřadnic S' vzhledem k jiné inerciální soustavě souřadnic S rovnoměrně přímočaře, pak soustava S' je opět inerciální, pohybuje-li se zrychleně, je neinerciální. Částice (těleso), na které okolní částice (tělesa) nepůsobí silami, nazýváme volnou částicí (volným tělesem). V inerciální vztažné soustavě je zrychlení volné částice (volného tělesa) rovno nule. Podle toho, zda zrychlení volného tělesa se rovná nule nebo je různé od nuly, může se pozorovatel v určité vztažné soustavě (např. ve vlaku, na Zemi, apod.) měřením provedeným uvnitř této soustavy přesvědčit, zda soustava je inerciální nebo neinerciální. Inerciální soustava je ideální. Každá reálná vztažná soustava je spojena s konkrétním reálným tělesem (např. se Zemí, s umělou družicí obíhající kolem Země, s automobilem, s pohybující se kabinou výtahu), vzhledem k němuž se sleduje pohyb jiných těles. Protože ve vesmíru neexistují nehybná tělesa, může být libovolná vztažná soustava považována za inerciální jen s určitým (dohodnutým) stupněm přesnosti. Na těleso vzhledem k neinerciální vztažné soustavě působí setrvačná síla. V inerciální vztažné soustavě setrvačná síla neexistuje. Význačné vlastnosti inerciální a neinerciální soustavy Těleso pohybující se v určitém okamžiku vzhledem k jedné inerciální vztažné soustavě se zrychlením a se v témže okamžiku pohybuje se stejným zrychlením vzhledem ke každé jiné inerciální vztažné soustavě. Při přechodu od jedné inerciální vztažné soustavy k jiné používáme pro vyjádření vztahů mezi prostorovými souřadnicemi vektorových veličin a časem v klasické Newtonově mechanice Galileovy transformace a v relativistické mechanice Lorencovy transformace. Těleso, pohybující se v určitém okamžiku vzhledem k neinerciální vztažné soustavě se zrychlením a se pohybuje v témž okamžiku vzhledem k jiným neinerciálním CZ..07/..00/5.0463

60 Pohybová rovnice 5 vztažným soustavám obecně s jinými zrychleními. Tato zrychlení závisí na vlastnostech různých neinerciálních vztažných soustav. Poznámka: Skládání setrvačné síly F s a tíhové síly F G, které působí současně na určité těleso vzhledem k neinerciální vztažné soustavě lze objasnit na následujícím příkladě: Na vodorovnou podlahu kabiny výtahu je upevněn dolní konec pružiny siloměru se svislou osou. Na horním konci pružiny je upevněna vodorovná deska, na které leží těleso o hmotnosti m. Jak velkou sílu naměříme na siloměru a) je-li kabina výtahu v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu b) stoupá-li kabina výtahu se stálým zrychlením a vzhledem k Zemi c) klesá-li kabina výtahu se stálým zrychlením a vzhledem k Zemi. Na podlaze kabiny stojí experimentátor, který je v klidu vzhledem ke kabině. Zvolme kabinu jako vztažnou soustavu. a) V tomto případě je kabina inerciální vztažnou soustavou. Těleso působí na vodorovnou podložku tlakovou silou F svisle dolů, F = mg. Uvedenou velikost naměří experimentátor. b) V tomto případě je kabina stoupající se stálým zrychlením a vzhledem k Zemi neinerciální vztažnou soustavou. Na těleso působí setrvačná síla F s svisle dolů a ta uděluje tělesu zrychlení a s = a. Na těleso působí také tíhová síla F G, takže výslednice je F = F G + Fs. Její velikost je F = m( g + as ). Stejně velikou tlakovou silou působí těleso svisle dolů na podložku. Experimentátor naměří větší hodnotu než v případě a); F > mg. (Podobný jev nastává v kabině rakety po dobu zrychleného výstupu rakety z povrchu Země). Ve stoupající kabině nastává přetížení těles. c) I v tomto případě je kabina klesající se stálým zrychlením a vzhledem k Zemi neinerciální vztažnou soustavou. Na těleso působí setrvačná síla F s svisle vzhůru, která uděluje tělesu zrychlení a s = a. Dále působí tíhová síla F G, takže výslednice je F3 = F G + F s. Její velikost je F3 = m( g a s ). Stejně velikou tlakovou silou působí těleso svisle dolů na podložku, je-li a < g. Experimentátor naměří na siloměru menší hodnotu než v případě a); F 3 < mg. V mezním případě pro a = g je F 3 = 0 N. Těleso nepůsobí na podložku žádnou silou a i siloměr zaznamenává nulovou hodnotu. Uvedený stav tělesa vzhledem k neinerciální vztažné soustavě se nazývá beztížný stav. Kabina i všechna tělesa uvnitř padají se stejným tíhovým zrychlením g k Zemi. Družice obíhající kolem Země po kružnici a všechna tělesa, která se v ní nacházejí, se pohybují v určitém okamžiku se stejným gravitačním zrychlením. CZ..07/..00/5.0463

61 Pohybová rovnice 6.. Pohybová rovnice posuvného pohybu Pohybovou rovnicí posuvného pohybu částice (tělesa), jejíž hmotnost m je stálá, rozumíme rovnici d r F = m (.65) kde F je výslednice všech sil, které na částici (těleso) působí. Vektorová rovnice (.65) představuje tři skalární rovnice pro souřadnice d x F x = m m Z rovnice (.65) je možno získat následující informace: d y d z F y = F z = m (.66) ze známé síly F působící na částici lze stanovit rychlost částice v a její polohový vektor r v závislosti na čase t a obráceně ze známé polohy r v závislosti na čase t lze vypočítat vnější sílu F...3 Pohybová rovnice otáčivého pohybu Předpokládejme, že tuhé těleso otáčivé kolem osy se skládá z velkého počtu částic (hmotných bodů) o stálých hmotnostech m, m,..., jejichž vzdálenosti od osy otáčení jsou postupně r, r,... Nechť r i je vzdálenost částice hmotnosti m i od osy rotace (obr..37), a i je tečné zrychlení částice, pak podle druhého pohybového zákona je síla F i ve směru pohybu F i = mi ai a vzhledem ke vztahu mezi tečným zrychlením a i a úhlovým zrychlením ε i ve tvaru a = ε i je Fi = mi ri ε i. i r i Uvedená síla vyvolá vzhledem k ose rotace moment síly velikosti M i = F i r i = m i r i ε i (.48) Sečteme rovnice (.48) pro všechny částice, a poněvadž všechny se otáčí se stejným úhlovým zrychlením, je ε i = ε a pro velikost celkového momentu tečných sil dostaneme Veličina n M = ε m r i i= i n J = m r i i= i (.49) CZ..07/..00/5.0463

62 Pohybová rovnice 7 se nazývá moment setrvačnosti tuhého tělesa (sestávajícího z velkého počtu částic) vzhledem k ose otáčení. Jednotka momentu setrvačnosti [ J ] = kg m. Působením síly F (obr..37) se uvede tuhé těleso s konstantním momentem setrvačnosti J vzhledem k ose 0 do otáčivého pohybu s úhlovým zrychlením ε. Obr..37 Působení síly na tuhé těleso Tento pohyb popisuje pohybová rovnice otáčivého pohybu tuhého tělesa M = Jε (.50) nebo vektorově M = J ε Rovnice umožňuje určit úhlové zrychlení ε, úhlovou rychlost ω a úhlovou dráhu ϕ pohybu tuhého tělesa, známe-li výsledný moment sil M. Proto je výhodné ji zapsat ve tvaru d ϕ M = J (.5) Důsledky pohybové rovnice: Pro M = 0 je 0 ε = a ω = konst., Pro M = konst. kružnici. je ε = konst., což charakterizuje rovnoměrný pohyb po kružnici. což charakterizuje rovnoměrný zrychlený pohyb po..4 Moment setrvačnosti tělesa Užitím integrálního počtu můžeme upřesnit definici momentu setrvačnosti vzhledem k dané ose (.49). Tuhé těleso rozložíme na elementy dm o vzdálenosti r od osy otáčení (obr..38). Moment setrvačnosti dj vzhledem k ose otáčení elementu tělesa o hmotnosti dm, který můžeme pokládat za částici (hmotný bod) je dj = r dm Moment setrvačnosti vzhledem k dané ose je skalární veličina a proto celkový moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose je roven součtu elementárních momentů dj, tj. CZ..07/..00/5.0463

63 Pohybová rovnice 8 J = r ( m) dm (.5) kde (m) znamená, že integrujeme přes celé těleso. Moment setrvačnosti homogenního tuhého tělesa vzhledem k ose otáčení závisí na hmotnosti tělesa, na jeho tvaru a na poloze osy otáčení vzhledem k tělesu. Obr..38 K definici momentu setrvačnosti Vztah (.5) lze převést na integraci přes objem (V) celého tělesa vyjádřením J = ( V ) ρ r dv (.53) Zavedením poloměru setrvačnosti (gyračního poloměru) R s, tj. vzdálenosti od osy, v níž by musela být soustředěna celá hmotnost tělesa, aby její moment setrvačnosti J byl týž jako při daném rozdělení hmotnosti m kolem osy otáčení, je J = mr S, kde J R S = (.54) m Pro tuhé těleso jednoduchého tvaru lze moment setrvačnosti vzhledem k dané ose určit výpočtem. Např. pro stálou hmotnost m vzhledem k ose, která prochází těžištěm tuhého tělesa pro homogenní kouli o poloměru r: pro tenkostěnnou dutou kouli o poloměru r: pro homogenní válec o poloměru r: pro tenkostěnný dutý válec o poloměru r: J = 5 mr (.55) J = 3 mr (.56) J = mr (.57) J = mr (.58) CZ..07/..00/5.0463

64 Pohybová rovnice 9..5 Steinerova věta Obr..39 Ke Steinerově větě Změní-li se poloha osy otáčení vzhledem k tuhému tělesu, změní se jeho moment setrvačnosti vzhledem k nové ose. Známe-li moment setrvačnosti tuhého tělesa J T vzhledem k ose, která prochází jeho těžištěm, dovedeme určit moment setrvačnosti J téhož tělesa vzhledem k ose, která je s touto osou rovnoběžná, použitím Steinerovy věty J = J ml T + (.59) kde m je hmotnost tělesa, l kolmá vzdálenost osy otáčení od osy, která je s ní rovnoběžná a prochází těžištěm T tělesa (obr..39). CZ..07/..00/5.0463

65 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Impulsové věty Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

66 OBSAH IMPULSOVÉ VĚTY Definice První impulsová věta Druhá impulsová věta... 6 CZ..07/..00/5.0463

67 Impulsové věty 3 IMPULSOVÉ VĚTY STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: První impulsová věta Druhá impulsová věta CZ..07/..00/5.0463

68 Impulsové věty 4. DEFINICE.. První impulsová věta Newtonovy pohybové zákony rozšíříme na pohyb soustavy částic. Reálnou fyzikální soustavu částic lze považovat za soubor pevně vázaných částeček (atomů a molekul), které splňují požadavky kladené na částici. Tak lze přejít k popisu pohybu tuhých těles. Na soustavu částic (případně těleso) působí vnitřní síly F, tzv. vazebné, které zajišťují vzájemnou vazbu částic. Vyberme v soustavě i-tou částici o hmotnosti m i a označme výslednici vnitřních sil, kterým ostatní částice působí na i-tou částici F = a výslednici vnějších sil, které působí na i- tou částici F i. i F ij j Pohybová rovnice i-té částice je podle. Newtonova zákona m a = F + F i i i i (.3) kde a i je zrychlení i-té částice. Uvedenou rovnici lze napsat pro každou částici (j-tou, k-tou, ) a součtem obdržíme rovnici v níž podle 3. Newtonova zákona je n m a i= i i n = F i= n, F i = 0. i= Pro posuvný pohyb, kdy zrychlení všech částic jsou stejná a = i a, pak pro = n m a F = n F i i= platí i (.33) m i i= ma = F (.34) což vyjadřuje pohybovou rovnici pro soustavu částic (tuhé těleso) o hmotnosti m, pohybující se se zrychlením a, kde F je součet všech vnějších sil na soustavu částic (tuhé těleso) působících. Vyšetřeme pohyb těžiště při posuvném pohybu soustavy hmotných bodů, částic (tělesa). Z rovnice (.5) můžeme psát mr T n = m r i= i i (.35) a dvojí derivací podle času CZ..07/..00/5.0463

69 Impulsové věty 5 d r m T n = m i= i d ri kde a T ma T n = m a je zrychlení těžiště soustavy částic nebo tělesa a a i zrychlení i-té částice. i= i i (.36) Pro n n m a = F = F i i i= i= i je rovnice a = F m T (.37) matematickým vyjádřením věty o pohybu těžiště. Při posuvném pohybu se těžiště soustavy hmotných bodů, částic (tělesa) pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmotnost soustavy a působila na něj výsledná síla působící na soustavu. Při posuvném pohybu můžeme soustavu hmotných bodů nahradit jediným bodem těžištěm. n Pro izolovanou soustavu platí F = F i = 0 a podle věty (.37) je a 0 T = a tedy i= v T = konst. Rychlost těžiště izolované soustavy se nemění. Upravujme rovnici (.33) n n n dvi d dp miai = mi = mivi = i= i= i= (.38) kde p = n i= m i v je celková hybnost soustavy částic (tělesa). i Rovnici (.38) dosadíme do vztahu (.33) a obdržíme první impulsovou větu dp = F (.39) Součet všech vnějších sil působících na soustavu částic (těleso) je roven časové změně celkové hybnosti soustavy částic (tělesa). První impulsová věta je fyzikálně rovnocenná s větou o pohybu těžiště. Pro izolovanou soustavu platí F = 0 dp a podle věty (.39) je = 0 a tedy p = konst. CZ..07/..00/5.0463

70 Impulsové věty 6 což je matematické vyjádření zákona zachování hybnosti izolované soustavy. Oud pak v = konst... Druhá impulsová věta První impulsová věta umožňuje zkoumat soustavu částic jako celek, pojednává o postupném pohybu. Druhá impulsová věta umožňuje popsat rotační pohyb soustavy částic. Zapisujeme ji ve tvaru db M = (.47) Součet momentů všech vnějších sil, působících na soustavu částic nebo těleso, je roven časové změně celkového momentu hybnosti soustavy (tělesa). Pro izolovanou soustavu platí pro moment vnějších sil M = 0 a podle věty (.47) je db = 0 tj. b = konst. což je matematické vyjádření zákona zachování momentu hybnosti izolované soustavy. CZ..07/..00/5.0463

71 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Časový účinek síly Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

72 OBSAH ČASOVÝ ÚČINEK SÍLY Definice Časový účinek síly, impuls síly Věta o impulsu síly a změně hybnosti Důsledky... 4 CZ..07/..00/5.0463

73 Časový účinek síly 3 ČASOVÝ ÚČINEK SÍLY STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Časový účinek síly, impuls síly Věta o impulsu síly a změně hybnosti Důsledky CZ..07/..00/5.0463

74 Časový účinek síly 4. DEFINICE.. Časový účinek síly, impuls síly Z druhého pohybového zákona (.56) vyjádříme dp = F (.84) Je-li p hybnost částice v čase t a p hybnost částice v čase t, platí pro změnu hybnosti p = p p za čas t = t t vlivem vnější síly a po integraci p t dp = F p t p p = I (.85) kde I je impuls síly jako vektorová veličina určující časový účinek síly a je definován jako časový integrál síly I = t F t (.86).. Věta o impulsu síly a změně hybnosti Rovnici (.85) lze napsat ve tvaru p = I (.87) a vyjadřuje větu o impulsu síly a změně hybnosti. Impuls síly je roven změně hybnosti. Jednotka impulsu síly je [ I ] = N s...3 Důsledky Pro F = konst. je t I = F = F t ( t t ) = F t (.88) CZ..07/..00/5.0463

75 Časový účinek síly 5 Působí-li na částici o hmotnosti m síly F, F, F3,..., Fn a vyjádříme-li výslednici sil pak n F =, F i i= I = t t F = t n t i= F i = n i= t t F i = n i= I i (.89) Těleso, které bylo původně v klidu, může nabýt konečné hybnosti buď tak, že na ně působí velká síla po krátkou dobu (např. při prudké srážce, výbuchu) nebo tak, že malá síla působí po delší dobu (např. raketový pohon). CZ..07/..00/5.0463

76 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Dráhový účinek síly Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

77 OBSAH DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY Definice Mechanická práce. Konstantní síla Dráhový účinek síly. Proměnná síla Práce při změně polohy částice Práce při protažení pružiny... 6 CZ..07/..00/5.0463

78 Dráhový účinek síly 3 DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Mechanická práce. Elementární a celková práce Práce při změně polohy částice Práce při protažení pružiny Výkon a účinnost CZ..07/..00/5.0463

79 Dráhový účinek síly 4. DEFINICE.. Mechanická práce. Konstantní síla Při změně polohy částice (tělesa) je třeba na ni působit silou. Míra účinku síly, kterým částice mění svou polohu, se vyjadřuje veličinou zvanou práce. Působí-li na částici konstantní síla tak, že se účinkem této síly posune po dráze s a je-li směr dráhy a síly stejný, práce A se rovná součinu velikosti síly F a dráhy s A = Fs (.90) Není-li směr síly a dráhy stejný, uplatní se průmět velikosti síly F do směru dráhy s (obr..3) a platí A = Ft s = Fs cos α Vztah vyjadřuje velikost skalárního součinu vektorů síly F a vektoru dráhy s (.9) kde α je úhel mezi vektory síly F a dráhy s. A = F s Podle obr..4 koná práci pouze složka síly F ve směru dráhy F t, na ni kolmá složka práci nekoná, způsobuje nadlehčení. (.9) F n Obr..3 K definici práce Obr..4 Rozklad síly F CZ..07/..00/5.0463

80 Dráhový účinek síly 5 Obr..5 Proměnná síla.. Dráhový účinek síly. Proměnná síla Působí-li na částici proměnná síla, je nutné dráhu rozdělit na malé intervaly ds = abychom mohli v každém intervalu považovat sílu F za konstantní (obr..5). Elementární práce da v intervalu ds se rovná skalárnímu součinu síly F a elementu posunutí dr dr, da = F dr (.93) Mezi body P a P při změně polohy částice se koná celková práce P A = F dr P r = F dr r (.94) Integrál (.94) vyjadřuje dráhový účinek síly (křivkový integrál). V souřadnicích pro vektory P = [ ] [ ] bodů x, y z, P = x, y z je práce,, F = F i + F j + F k, dr = dx i + dy j + dz k x x y y A = F dx + F dy + F dz x x y z y z z z a pro souřadnice (.95) Práce je skalární veličina a její velikost závisí na úhlu α. Pro α < 90 je práce kladná (síla práci koná), pro α > 90 je práce záporná (síla práci spotřebovává) a pro α = 90 je práce rovna nule (síla práci nekoná). Pro α = 0 je A = Fs, což je vztah (.90)...3 Práce při změně polohy částice P Určíme práci, která se vykoná při změně polohy částice z bodu do bodu P v tíhovém poli Země (obr..6). CZ..07/..00/5.0463

81 Dráhový účinek síly 6 Obr..6 Práce při změně polohy částice Tíhová síla má souřadnice F G = ( 0, mg, 0) Z definice práce neboť ds cos α udává průmět Pak A P P y F dr = mg ds cos α = mg dy, = P dr G P do osy y, tj. dy. y A = mg ( ) y y (.96) Pro > je A < 0, < je A > 0, y = je A = 0. y y y y y..4 Práce při protažení pružiny Určíme práci, kterou koná pružná síla o souřadnicích y pružiny z polohy do polohy y (obr..7) viz kap...3.š F = 0, F y = ky, = 0 při protažení x F z Z definice práce Obr..7 Práce při protažení pružiny A = r F dr = r y y F dy = k ydy y y y CZ..07/..00/5.0463

82 Dráhový účinek síly 7 A = k ( y y ) (.97) Pro y = 0, y = y je A = k y (.98) Práce je záporná, pružina práci spotřebovává. CZ..07/..00/5.0463

83 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Mechanická energie Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

84 OBSAH MECHANICKÁ ENERGIE Definice Kinetická energie Potenciální energie Potenciální energie částice v poli pružných sil Potenciální energie částice v tíhovém poli Země Potenciální energie částice v gravitačním poli Zákon zachování energie... 7 CZ..07/..00/5.0463

85 Mechanická energie 3 MECHANICKÁ ENERGIE STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Kinetická energie Potenciální energie Potenciální energie částice v poli pružných sil Potenciální energie částice v tíhovém poli Země Potenciální energie částice v gravitačním poli Zákon zachování mechanické energie CZ..07/..00/5.0463

86 Mechanická energie 4. DEFINICE.. Kinetická energie Stav částice (obecně soustavy částic) lze charakterizovat skalární veličinou W. Mějme částici nacházející se ve stavu, ve kterém je hodnota této veličiny W. Působí-li na částici vnější síla, přejde částice v důsledku konané práce do stavu s hodnotou této veličiny W. Veličina W stavu částice tedy souvisí s prací vnějších sil působících na částici, říkáme ji energie. Energie charakterizuje stav částice (soustavy) tak, že její změna se rovná práci, konané vnějšími silami působícími na částici (soustavu). Podle charakteru působících sil se hovoří o energii mechanické, elektrické, chemické, jaderné, aj. V případě, že se práce projeví tím, že částice změní svoji rychlost (svůj pohybový stav), hovoříme o kinetické (pohybové) energii. Práce této síly je = A což můžeme psát r x y z x y z dv dv x y dvz F dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz = m dx + dy + dz r x y z x y z = v v x y v z vxdvx + vy dvy + vz dvz = m [ v x + v y + vz v x + v y + v z v x v y v z ] = = m ( v v ), (.06) = m ( ) ( ) A = mv mv (.07) Výraz mv nazveme kinetická energie částice o rychlosti v a označíme Wk Wk = mv (.08) Z uvedeného plyne A = W k (.09) W k Práce je rovna změně kinetické energie. Při počáteční rychlosti v0 = 0 m s je kinetická energie částic rovna práci, kterou částice potřebuje na přechod ze stavu klidu do stavu, ve kterém má rychlost v. Kinetickou energii lze vyjádřit také pomocí hybnosti p CZ..07/..00/5.0463

87 Mechanická energie 5 p W (.0) k = m.. Potenciální energie Potenciální energie částice je veličina, jejíž změna je rovna práci A vykonané proti silám pole při změně polohy částice v daném poli W p = A = A, (.) kde A je práce sil pole. Uvažujme částici v silovém poli a vykonejme práci A při přemístění částice z polohy charakterizované vektorem r do polohy charakterizované vektorem r Veličinu W p ( r ) r A = F dr = W r r ( r ) = W ( r ) W ( ) nazveme potenciální energií částice v silovém poli. p p p Práce vykonaná silami pole je konána na úkor potenciální energie. A = W p (.)..3 Potenciální energie částice v poli pružných sil Určíme potenciální energii pro částice v silovém poli (obr..8) charakterizovaném pružnou silou Obr..8 K určení potenciální energie částice v poli pružných sil F y = ky CZ..07/..00/5.0463

88 Mechanická energie 6 Z definice mechanické práce: r A = F r y dr = y ( ky) dy = y y kydy A = k y k y = W p Je-li y = 0 a y = y, pak Wp = k y (.3)..4 Potenciální energie částice v tíhovém poli Země Určíme potenciální energii částice o hmotnosti m v tíhovém poli Země (obr..9). V obr..9 je tíhová síla kde j Obr..9 K určení potenciální energie částice v tíhovém poli Země je jednotkový vektor ve směru osy y Podle vztahu (.) je F G = mg = mg j, dy = dr cos α W p r y = A = F dr = mgdy = mg r G y ( y y ) (.4) Zvolíme-li y = 0 a y = y pak ( y) mg y W p = (.5) Tato potenciální energie se nazývá potenciální energie tíhová. Změna tíhové potenciální energie nezávisí na tvaru trajektorie, po které částici posouváme, ale jen na počáteční a konečné poloze částice v tíhovém poli Země. CZ..07/..00/5.0463

89 Mechanická energie 7..5 Potenciální energie částice v gravitačním poli Určíme potenciální energii částice o hmotnosti m v gravitačním poli částice o hmotnosti M. Na částici hmotnosti m působí gravitační pole částice M gravitační silou (viz kap...) podle obr..30 F g M m 0 = κ r r Obr..30 K určení gravitační potenciální energie Podle vztahu (.) je W r = A = F r M m dr = κ r r r r M m dr = κ r r 0 p g r dr W p = κm m r r (.6) Pro r je / r 0 a označíme-li r =, dostaneme r W p ( r) M m = κ r (.7) Výraz (.7) definuje gravitační potenciální energii částice o hmotnosti m, která se nachází v poli částice o hmotnosti M ve vzdálenosti r od této částice. Změna gravitační potenciální energie částice nezávisí na tvaru trajektorie, po které částici posouváme, ale jen na počáteční a konečné poloze částice v gravitačním poli...6 Zákon zachování energie Zákony mechaniky umožňují najít takové veličiny, které se v soustavě částic v čase zachovávají i při změně polohy a rychlosti soustavy. Nazývají se invarianty. Tři invarianty umožňují formulovat tři zákony zachování. Zákony zachování platí v izolované soustavě částic (těles). Je to soustava, na kterou nepůsobí žádné vnější síly. Např. v soustavě Země - těleso je tíhová síla silou vnitřní a odpor prostředí proti pohybu tělesa silou vnější. Při pohybu částice v silovém poli je práce sil pole rovna úbytku potenciální energie a přírůstku kinetické energie W k. V diferenciálním tvaru jde o rovnice W p da = dw p, da = dw k, CZ..07/..00/5.0463

90 Mechanická energie 8 jejichž odečtením je d ( W k W ) = 0 + p a oud W + W k p = konst. (.8) V izolované soustavě se mechanická energie (součet kinetické a potenciální energie) zachovává. Ve skutečnosti se vlivem odporu prostředí (působí jiné síly než síly pole) celková mechanická energie zmenšuje. Vzniká např. teplo, které je rovno úbytku mechanické energie. Protože je teplo energie, platí zákon zachování energie obecně. CZ..07/..00/5.0463

91 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohyb setrvačníku Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

92 OBSAH POHYB SETRVAČNÍKU Definice Setrvačník Volný setrvačník Těžký setrvačník Precese a nutace... 7 CZ..07/..00/5.0463

93 Pohyb setrvačníku 3 POHYB SETRVAČNÍKU STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Setrvačník Volný setrvačník Těžký setrvačník Precese a nutace CZ..07/..00/5.0463

94 Pohyb setrvačníku 4. DEFINICE.. Setrvačník Setrvačník (gyroskop) je tuhé homogenní osově souměrné těleso s velkým momentem setrvačnosti vzhledem k ose souměrnosti. Ta je současně volnou osou, vzhledem k níž je rotace tohoto tělesa stabilní. Setrvačníky se roztáčejí na vysoké otáčky, u technických setrvačníků je počet otáček až min -. Získávají velkou kinetickou energii a velký moment hybnosti Jω Jω Rotující setrvačník s velkou kinetickou energii se užívá k rovnoměrnému chodu strojů, např. výbušných motorů. Řešení jeho pohybu v inerciální vztažné soustavě je jednoduché. Setrvačník rotuje kolem pevné osy. Složitější je pohyb setrvačníku, u něhož bude v inerciální soustavě pevný jen jeden bod, kterým může být buď hmotný střed (těžiště) anebo jiný bod osy souměrnosti. Setrvačník pak vykonává prostorový rotační pohyb, který lze rozložit na vlastní rotaci, precesi a nutaci. Technické setrvačníky se otáčejí velkými úhlovými rychlostmi a mají velké momenty setrvačnosti vzhledem k ose rotace, proto moment síly, působící na setrvačník vyvolá jen takovou precesi, případně nutaci, že lze zanedbat příspěvky k momentu hybnosti od precesních a nutačních pohybů, které setrvačník koná vzhledem k jiným osám... Volný setrvačník Volným (bezsilovým) setrvačníkem se nazývá gyroskop, u něhož moment vnějších působících sil je nulový. Setrvačník, na který působí jen tíha a je podepřen v těžišti, se nazývá Maxwellův setrvačník (obr..4). Setrvačník, kde osy, kolem nichž se může otáčet, procházejí těžištěm, se nazývá setrvačník v Cardanově závěsu (obr..4). Obr..4 Maxwellův setrvačník CZ..07/..00/5.0463

95 Pohyb setrvačníku 5 Obr..4 Cardanův závěs U volného setrvačníku je moment síly M = 0. Roztočí-li se kolem jedné volné osy, která je osou symetrie, je moment hybnosti b = J ω. Podle druhé impulsové věty db = 0 Platí b = J ω = konst. (.63) kde b je vektor stálé velikosti a stálého směru. Protože při rotaci kolem volné osy mají vektory b a ω stejný směr, shodný se směrem osy symetrie setrvačníku, zachovává osa volného setrvačníku v prostoru stálý směr. Pokud volnému setrvačníku neudělíme rotaci úhlovou rychlostí ω jen vzhledem k jedné hlavní centrální ose, nýbrž i další rotaci úhlovou rychlostí ω vzhledem k jiné hlavní centrální ose, např. tak, že klepneme na vnitřní kruh Cardanova závěsu, bude pohyb setrvačníku složitější. Zatímco pro výsledný moment hybnosti bude stále platit b = konst., pro výslednou úhlovou rychlost platí ω konst. Osa setrvačníku vykonává tzv. regulární precesi, což si lze představit jako valení kužele spojeného se setrvačníkem po vnitřní (případně po vnější) ploše pevného kužele. CZ..07/..00/5.0463

96 Pohyb setrvačníku 6 Vlastnosti volného setrvačníku zachovávat směr volné osy, kolem níž jej roztočíme, se využívá v letectví u indikačních a stabilizačních přístrojů, jako je např. umělý horizont indikující polohu letadla v mlze, zatáčkoměr, setrvačníkový kompas a tzv. automatický pilot, který slouží k automatickému řízení a ke stabilizaci kurzu letu letadla. Dále v raketové technice k řízení pohybu raket a u tanku ke stabilizaci polohy hlavně kanónu při střelbě za jízdy v terénu...3 Těžký setrvačník Rotující gyroskop v tíhovém poli uchycený v bodě mimo jeho těžiště se nazývá těžký setrvačník. Setrvačník podepřený v bodě O pod těžištěm T je na obr..43. Setrvačník roztočíme úhlovou rychlostí ω kolem volné osy ξ, osy rotační symetrie odkloněné od svislé osy o úhel ϑ, který se nazývá nutační úhel. Udělíme mu tak moment hybnosti b = J ω. Tíhová síla = mg působí vzhledem k bodu O momentu síly o velikosti F G sinϑ M = mgl 0 (.64) kde m je hmotnost setrvačníku a l 0 vzdálenost bodů O, T. Moment síly M působí kolmo k rovině vymezené svislicí a osou ξ. Moment M vychýlí koncový bod A vektoru b momentu hybnosti ve směru M podle Resalovy db věty (obr..44), což je geometrická interpretace druhé impulsové věty = M. Ta je analogická dr výrazu = v, který definuje rychlost hmotného bodu. Stejně se vychýlí i osa ξ. ϑ a) b) Obr..43 Těžký setrvačník CZ..07/..00/5.0463

97 Pohyb setrvačníku 7 Vektor M je mírou rychlosti změny vektoru b, tedy rychlost koncového bodu b momentu hybnosti tělesa je rovna výslednému momentu M sil, který na těleso působí. Tím se změní také směr vektoru M, který zůstává stále kolmý k ose ξ. Obr..44 K Resalově větě Proces změny vektoru momentu síly je spojitý a bod A bude opisovat kružnici. Tento pohyb setrvačníku se nazývá precese...4 Precese a nutace dψ Úhlovou rychlost Ω = precesního pohybu, kde ψ je precesní úhel, určíme užitím Resalovy věty. Bod A bude konat rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměru (obr..43a) rychlostí o velikosti b sinϑ = Jω sinϑ M = mgl 0 sinϑ Analogicky vztahu pro rychlost v =ω r platí vztah pro moment síly M = Ω b (.65) CZ..07/..00/5.0463

98 Pohyb setrvačníku 8 Pro velikost tohoto součinu bude pohybu mgl 0 sinϑ = ΩJωsinϑ a oud úhlová rychlost precesního mgl Ω = Jω 0 (.66) Úhlová rychlost nezávisí na nutačním úhlu ϑ, tedy na odklonu osy ξ od svislice. Působením rušivých momentů sil, např. při dotyku osy setrvačníku s podložkou, nebo při udělení příčného impulsu se udělí setrvačníku další rotace kolem jiné osy než je volná osa. Pak osa setrvačníku nebude opisovat plášť precesního kužele s ϑ = konst. (obr..43b). Nutační úhel ϑ se bude cyklicky měnit a vzniklý přídavný pohyb se nazývá nutace. U výsledného pohybu jde o skládání dvou kruhových pohybů, které opisuje určitý bod osy setrvačníku. Křivka, kterou tento bod opisuje, je tedy epicykloida. CZ..07/..00/5.0463

99 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohyb těles po podložce Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

100 OBSAH POHYB TĚLES PO PODLOŽCE Definice Posuvný pohyb (smykové tření) po vodorovné podložce Posuvný pohyb (smykové tření) po nakloněné podložce Valivý pohyb (Valivé tření) po vodorovné podložce Valivý pohyb (Valivé tření) po nakloněné podložce Valivý odpor... 9 CZ..07/..00/5.0463

101 Pohyb těles po podložce 3 POHYB TĚLES PO PODLOŽCE STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Posuvný pohyb (smykové tření) po vodorovné podložce Posuvný pohyb (smykové tření) po nakloněné podložce Valivý pohyb (Valivé tření) po vodorovné podložce Valivý pohyb (Valivé tření) po nakloněné podložce Valivý odpor CZ..07/..00/5.0463

102 Pohyb těles po podložce 4. DEFINICE.. Posuvný pohyb (smykové tření) po vodorovné podložce Na homogenní tuhé těleso tvaru kvádru, které se nachází na vodorovné podložce, působí tíhová síla F G svisle dolů s působištěm v těžišti T tělesa, F G = mg, podle obr..48a). Na těleso působí současně tlaková síla F podložky svisle vzhůru, která zabraňuje pádu tělesa. Je N to reakce na tíhu tělesa G. Působiště je v bodě A, tj. ve středu dotykové plochy tělesa s podložkou podle obr..48b). Obě síly jsou v rovnováze a platí F G = F N. Nepůsobí-li na těleso žádná jiná síla, je těleso v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu (obr..48c). a) b) c) Obr..48 Síly působící na tuhé těleso při posuvném pohybu na vodorovné rovině Řešme pohyb tělesa (kvádru) o hmotnosti m, které vlivem působící síly F koná posuvný pohyb na vodorovné podložce podle obr..49a) a.49b). Třecí sílu mezi tělesem a podložkou neuvažujme. a) b) Obr..49 Posuvný pohyb tuhého tělesa po vodorovné rovině za působení síly F Na těleso působí síly F G, F N a F podle obr..50a). Podle pohybového zákona uděluje síla F F tělesu zrychlení a = ve směru síly F, síly F G a F N jsou v rovnováze a nemají na m těleso ve vodorovném směru pohybový účinek. a) b) Obr..50 Síly působící na tuhé těleso při posuvném pohybu po vodorovné rovině za působení síly Podle obr..50b) působí na těleso opět síly F G, F N a F. Sílu F lze rozložit na složku F ve směru vodorovném a na složku F ve směru svislém. Z nich se při pohybu tělesa na CZ..07/..00/5.0463

103 Pohyb těles po podložce 5 vodorovné podložce uplatňuje jen složka F o velikosti F = F cos β a ta uděluje tělesu F zrychlení a = cos β m, pro které platí a < a. V případě podle obr..50a) působí těleso na podložku tlakovou silou o velikosti rovné tíze tělesa G = mg a v případě podle obr..50b) tlakovou silou o velikosti F = mg F sin β, kde F < G. Řešme případ, není-li třecí síla smykového tření je f. F t mezi tělesem a podložkou zanedbatelná. Součinitel Obr..5 Třecí síla na vodorovnou podložku Na těleso působí ještě třecí síla F t podle obr..5. Je to plošná brzdící síla, kterou působí podložka na podstavu kvádru při posuvném pohybu o velikosti F t = f F N (.80) Její působiště A je v geometrickém středu podstavy kvádru. Ke zjištění pohybového účinku sil F a F t zvolme v těžišti dvě síly F a F směru jako třecí síla F t opačně orientované (obr..5). Jejich pohybový účinek se ruší. Síly F a F se skládají a mohou nastat uvedené situace: o stejné velikosti a F Ft a) F > F a jejich výslednice uděluje tělesu zrychlení o velikosti a =. m Těleso koná rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb, b) F = F a zrychlení pohybu je nulové. Těleso je v klidu nebo koná rovnoměrný přímočarý pohyb (pokud mělo před působením síly F nějakou rychlost). c) F < F Těleso je v klidu, smykové tření f je nahrazeno klidovým třením nebo je Ft F rovnoměrně brzděno s konstantním zpomalením velikosti a =. m.. Posuvný pohyb (smykové tření) po nakloněné podložce Homogenní tuhé těleso o hmotnosti m tvaru kvádru je na nakloněné rovině s úhlem sklonu β. Na těleso působí v těžišti T tíhová síla F G a v bodě A tlaková síla F N podložky. Účinek CZ..07/..00/5.0463

104 Pohyb těles po podložce 6 síly F N se nezmění, posuneme-li její působiště po vektorové přímce z bodu A do bodu T (obr..5). Jaký pohyb těleso koná? Uvedeme charakteristické veličiny pohybu. Obr..5 Síly působící na tuhé těleso při pohybu po nakloněné rovině Podle obr..5 je výslednice sil F = FG sin β = mg sin β. Těleso pak koná přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb po nakloněné rovině dolů se zrychlením F a = m a = g sin β Řešme pohyb tělesa (kvádru) o hmotnosti m, které vlivem působící síly F koná posuvný pohyb na nakloněné rovině podle obr..53. Tření neuvažujeme. Pohyb závisí pouze na velikosti a směru výslednice sil F a F. Pro F > F koná těleso rovnoměrně zrychlený pohyb po nakloněné rovině vzhůru se zrychlením a = F F m Pro F = F je těleso v rovnovážné poloze v klidu, zrychlení je nulové. Obr..53 Pohyb tuhého tělesa po nakloněné rovině za působení síly F CZ..07/..00/5.0463

105 Pohyb těles po podložce 7 Pro F < F koná těleso rovnoměrně zrychlený pohyb po nakloněné rovině dolů se zrychlením o velikosti F F m a = Řešme případ, kdy působí podle obr..54 na těleso napjaté vlákno silou F. Součinitel smykového tření mezi podstavou kvádru a nakloněnou rovinou je f. Kladka se nepohybuje, lano po ní volně klouže bez tření. Na těleso o hmotnosti m působí výslednice sil F = F + F a na těleso o hmotnosti m výslednice F = F + F G. Tělesa o hmotnostech m a m konají rovnoměrně zrychlené pohyby se stejně velkým zrychlením a. Pohybové rovnice jsou m a = F m g sin β, m a = F + m g Oud Působí-li navíc třecí síla F t, směr a velikost jako síla F t, m m sin β a = g m + m uvažujme podle obr..54 místo síly F t sílu F, ale její působiště je v bodě T. Platí: která má stejný (.8) F = f m g cos β Obr..54 Třecí síla na nakloněné rovině Z pohybových rovnic m a = F m g sin β f m cos β g m + a = F m g (.8) obdržíme ( sin β + f β ) g m m cos a = m + m (.83) což je zrychlení při pohybu tělesa vzhůru po nakloněné rovině. CZ..07/..00/5.0463

106 Pohyb těles po podložce 8 V případě pohybu směřujícího dolů po nakloněné rovině je nutné v pohybové rovnici (.8) sílu F = m g cos β přičíst a ve vztahu (.83) bude v závorce znaménko mínus. Určeme součinitel smykového tření f z pohybu tělesa na nakloněné rovině podle obr..55, platí-li F = f. t F N Pro F F t se těleso nepohybuje, pro Obr..55 K určení součinitele smykového tření f F > F t se uvede do rovnoměrně zrychleného pohybu. Pro určitý sklon nakloněné roviny budou síly F a F t v rovnováze a tedy a oud F sin β = f F cos β G G f = tg β (.84)..3 Valivý pohyb (Valivé tření) po vodorovné podložce Tuhé rotační těleso o hmotnosti m koná valivý pohyb na vodorovné rovině na obr..56. Na těleso působí tíhová síly F G a tlaková síla F N, které jsou v rovnováze. Vedle toho působí na těleso klidová třecí síla F o velikosti t 0 Obr..56 Síly působící na tuhé rotační těleso při valivém pohybu po vodorovné rovině Ft f0 F N 0 = kde f 0 je součinitel klidového tření, závislý na povrchových vlastnostech tělesa a podložky. Bod A je v každém okamžiku v klidu. Podložka ani těleso se nedeformují. CZ..07/..00/5.0463

107 Pohyb těles po podložce 9..4 Valivý pohyb (Valivé tření) po nakloněné podložce Tuhé rotační těleso koná valivý pohyb na nakloněné rovině, jestliže koná vzhledem k inerciální vztažné soustavě otáčivý pohyb kolem rotační osy a současně posuvný pohyb na nakloněné rovině ve směru její spádové přímky. Obr..57 Valivý pohyb tuhého rotačního tělesa po nakloněné rovině Na těleso podle obr..57 působí tíhová síla F G o velikosti F G = mg a tlaková síla F N roviny o velikosti F N = m g cos β. Výslednice obou sil F má velikost F = m g sin β. Na těleso dále působí třecí síla F t s působištěm v bodě A. nakloněné Podmínka valivého pohybu je 0 F f mg t 0 cos β, kde f 0 je součinitel klidového tření závisící na vlastnosti povrchů tělesa a nakloněné roviny. Těžiště T koná zrychlený pohyb se zrychlením a a těleso jako celek koná otáčivý pohyb s úhlovým zrychlením ε...5 Valivý odpor Na dokonale tuhé podložce by se dokonale tuhé těleso valilo bez tření. Ve skutečnosti se ale podložka vždy částečně deformuje, takže reakce podložky F N je vlivem dopružování proti přímce procházející těžištěm posunuta o určitou vzdálenost ξ dopředu (obr..58). Obr..58 K valivému odporu F Proto je na udržení pohybu potřebná síla, (tlakové síly na podložku) a síly F N která vyrovnává společný účinek síly F N CZ..07/..00/5.0463

108 Pohyb těles po podložce 0 Poněvadž ξ je malé, platí pro velikost potřebné síly F a těleso o poloměru r Tečná složka reakce podložky a pro velikost F = F tg α = F sinα = F N N F = F N F N N F N ξ r se nazývá valivý odpor a platí = F F v ( + ) ξ F = r v F N (.86) Velikost valivého odporu závisí na velikosti tlakové síly F N na podložku, na poloměru r valícího se tělesa a na vzdálenosti ξ působiště reakce podložky od svislé přímky procházející středem tělesa. Vzdálenost ξ se nazývá rameno valivého odporu. Jednotka ramene valivého odporu [ ξ ] = m. CZ..07/..00/5.0463

109 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Kyvadlový pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

110 OBSAH KYVADLOVÝ POHYB Definice Fyzikální kyvadlo Matematické kyvadlo Torzní kyvadlo... 6 CZ..07/..00/5.0463

111 Kyvadlový pohyb 3 KYVADLOVÝ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Fyzikální kyvadlo Matematické kyvadlo Torzní kyvadlo CZ..07/..00/5.0463

112 Kyvadlový pohyb 4. DEFINICE.. Fyzikální kyvadlo Fyzikální kyvadlo je každé těleso, které vlivem vlastní tíhové síly kývá kolem vodorovné osy, jež neprochází těžištěm (obr..45). Obr..45 Fyzikální kyvadlo Pohybová rovnice pro fyzikální kyvadlo je podle.50 M = J ε, kde ε = d ϕ a M = mgl sin ϕ Po dosazení J d ϕ = mgl sin ϕ (.67) Pro mgl J = ω je d ϕ = ω sinϕ a rovnice se zjednoduší, omezíme-li se na výchylky ϕ < 5 o. Pak diferenciální rovnici sin ϕ ϕ, což vede na d ϕ = ω ϕ CZ..07/..00/5.0463

113 Kyvadlový pohyb 5 Její řešení (viz odst...3) je ϕ = A sinω t (.68) pro počáteční podmínku, že kyvadlo vychýlíme z rovnovážné polohy a volně pustíme. Harmonickému pohybu, popsanému v kap. (..7) odpovídá doba kmitu viz rovnice (.45) T f = π J mgl (.69) kde J je moment setrvačnosti vzhledem k ose, kolem které kyvadlo kývá a l je vzdálenost těžiště od této osy. Při větších výkyvech už není pohyb kyvadla harmonický a dobu kmitu je třeba počítat z rovnice, která plyne z řešení diferenciální rovnice (.67). Dostali bychom T f J ϕ 9 4 ϕ = π + sin + sin +... mgl 4 64 (.70).. Matematické kyvadlo Matematické kyvadlo je hmotný bod (částice) s hmotností m zavěšený na pevném závěsu délky l (těleso zanedbatelných rozměrů zavěšené na vlákně zanedbatelné hmotnosti) a je na obr..46. Obr..46 Matematické kyvadlo Pohybová rovnice pro matematické kyvadlo je podle.50 ve tvaru M = J ε kde d ϕ ε =, M = mgl sin ϕ a J = m l CZ..07/..00/5.0463

114 Kyvadlový pohyb 6 Pak d ϕ = g l sinϕ (.7) g Pro = ω l a ϕ < 5 o ( sin ϕ ϕ ) je d ϕ + ω ϕ = 0 (.7) Kde ω = g l (.73) Řešení rovnice (.7) je uvedena v kap. (.4) jako rovnice (.68). Doba kmitu matematického kyvadla je T m = π l g (.74) Z porovnání periody T m matematického kyvadla a periody T f fyzikálního kyvadla lze definovat redukovanou délku fyzikálního kyvadla jako délku takového matematického kyvadla, které kývá se stejnou dobou kmitu jako fyzikální kyvadlo. Reverzní kyvadlo je fyzikální kyvadlo, ve kterém lze najít dvě osy o a o, kolem nichž kyvadlo kývá se stejnou dobou kmitu...3 Torzní kyvadlo U torzního kyvadla je kmitavý pohyb okolo svislé osy vyvolán pružnými silami při kroucení vlákna (tzv. torzní síly). Takovým kyvadlem je např. deska upevněná v těžišti na svislém vlákně (obr..47). Obr..47 Torzní kyvadlo Moment torzních sil je úměrný výchylce z rovnovážné polohy (úhel ϕ ) a je vyjádřen vztahem CZ..07/..00/5.0463