x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)
|
|
- Naděžda Jarošová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 .. Funkce absolutní hodnota Předpoklady: 08, 07 x - zničí znaménko čísla, všechna čísla změní na nezáporná Jak vyjádřit matematicky? Pomocí číselné osy: x je vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od počátku. Pomocí rovností: x ( ;0 x = x (zápornému číslu absolutní hodnota změní znaménko) ) x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá) Pomocí mocniny: x = x ( x x, protože umocněním ztratím znaménko) Př. : Rozhodni zda z pravidla x ( ;0 x = x vyplývá, že absolutní hodnota je pro některá čísla záporná. x ( ;0 x = x neznamená, že x je záporná naopak například pro čísel čísla kladná = = = mínus dělá ze záporných x = platí x x ( ) Pravidla pro výpočty s absolutní hodnotou: a a 0 a = a ab = a b b 0 = b a b Jde určit pomocí absolutní hodnoty i vzdálenost obrazů čísel od sebe nejenom obrazu čísla od nuly? Zkusíme vzdálenost obrazů čísel a Vzdálenost jejich obrazů na číselné ose je. Zkusíme vzdálenost spočítat pomocí absolutní hodnoty: = 3 = 3 a = = 3 zřejmě stačí spočíst rozdíl čísel a udělat z něj absolutní hodnotu (aby nezáleželo na pořadí při odčítání). Jak s tím souvisí pravidlo, že x je vzdálenost obrazu čísla x od počátku? Zřejmě x = x 0 = 0 x = x opět absolutní hodnota z rozdílu dvou čísel. Hypotéza: Absolutní hodnota z rozdílu dvou čísel a b se rovná vzdálenosti jejich obrazů na číselné ose.
2 Př. : Ověř, že hypotéza platí i pro čísla 3 a. Čísla 3 a vzdálenost obrazů je 5. Spočítáme absolutní hodnoty z rozdílů: 3 ( ) = 3+ = 5 3 = 5 = 5. Hypotéza platí i pro čísla 3 a. Pedagogická poznámka: Pokud příklad počítáme ve třídě, dostává minimálně každá řada jiné zadání - například dvojice, 3 a, -6. Matematický důkaz jsme neprovedli, ale hypotézu budeme brát za dokázanou. Absolutní hodnota z rozdílu dvou čísel a b se rovná vzdálenosti jejich obrazů na číselné ose. Př. 3: Vyřeš rovnici x 3 =. x 3 = hledáme čísla vzdálená od 3 o K = { ;5} Př. : Vyřeš nerovnici x +. Pokud chceme použít pravidlo pro vzdálenost musíme uvnitř absolutní hodnoty vytvořit x + = x rozdíl: ( ) ( ) x hledáme čísla vzdálená od - o nebo méně K = 3; Př. 5: Vyřeš nerovnici x >. V absolutní hodnotě máme rozdíl, ale x je až druhé. Naštěstí to nevadí (zkoušeli jsme při odvozování pravidla, že na pořadí v rozdílu nezáleží), navíc platí a a x = x = x = a tedy ( ) x > hledáme čísla vzdálená od více než o
3 - -3 K = ( ; ) ( 3; ) Pedagogická poznámka: Na objevování grafu funkce y = x je potřeba minimálně 0 minut spíše čtvrt hodiny. Obě metody, které používáme budeme potřebovat v dalším studiu velice často a je nutné, aby je studenti měli možnost alespoň částečně pochopit už teď na nejjednodušším příkladě. Jak vypadá graf funkce y Zjistíme to bez tečkování: = x?. pomocí grafu funkce y = x. Co dělá absolutní hodnota s dosazenými čísly (s y-ovými souřadnicemi funkce y = x )? Kladné nemění body nad osou x (kladná hodnota y) zůstanou. Záporné změní na kladné body pod osou x (záporná hodnota y) změní na body ; ; ; ; ; ) levá část grafu s kladnou y-ovou souřadnicí ([ ] [ ] [ ] [ ] se překlopí nad osou x. [- ;-]->[- ;] [ ;]->[ ;] [-;-]->[-;] pomocí odstraňování absolutní hodnoty 3
4 Podle předpisu na začátku kapitoly se zbavíme absolutní hodnoty a získáme lineární funkci pro část definičního oboru. Tyto částečné funkce spojíme na výsledek. Při odstraňování záleží, zda je x kladné nebo záporné. ) x ( ;0, část obrázku nalevo od osy y x < 0 x = x y = x = x ) x 0; ), část obrázku napravo od osy y x > 0 x = x y = x = x V levé (zelené) části vytáhneme zelenou a v pravé (modré) modrou čáru. Obě čáry by se měly potkat na ose y Stejný výsledek zřejmě jsme postupovali správně.
5 Př. 6: Rozhodni, jak by se vlastnosti absolutní hodnoty měly projevit na jejím grafu. Proveď kontrolu získaného grafu funkce y = x. Můžeme po těchto kontrolách považovat obrázek za jistě správný? Vlastnosti absolutní hodnoty by se na grafu měly projevit takto: v bodě x = 0 musí platit y = 0 (obraz nuly leží v počátku a má od něj tedy nulovou vzdálenost) všechny hodnoty funkce musí být nezáporné (platí a 0 ) funkce musí mít pro navzájem opačná čísla stejné hodnoty (platí a = a ) funkce musí růst jako funkce y = x, protože takto roste vzdálenost bodů od počátku Získaný graf všechny tyto požadavky splňuje, přesto ho nemůžeme považovat za jistě správný, existuje mnoho jiných grafů, které všechny uvedené požadavky splňují a nejsou grafy funkce y = x. Poznámka: Předchozí odstavec nijak nesnižuje důležitost podobných kontrol při řešení libovolného problému. Naopak schopnost průběžné kontroly je velmi důležitá. Shrnutí: Funkce absolutní hodnota se v různých částech definičního oboru chová různě, graf má tvar písmene V. 5
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 40, 4, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli (nejlépe tak, aby se zápis mohl otočit nebo jinak schovat
2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924
5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět
Použití substituce pro řešení nerovnic II
.7. Použití substituce pro řešení nerovnic II Předpoklad: 7, 7, 7 Pedagogická poznámka: Platí to samé, co pro předchozí hodinu. Skvělé cvičení na orientaci v příkladu, přehledný zápis a schopnost řešit
4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
4.3.3 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu
1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
( ) Absolutní hodnota. π = π. Předpoklady: základní početní operace. 0 = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá
1..9 Absolutní hodnota Předpoklady: základní početní operace = 0 = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá π = π = 3 3 = Záporná čísla absolutní hodnota změní na kladná (vynásobí je 1) 5 5 3
2.4.9 Rovnice s absolutní hodnotou I
..9 Rovnice s absolutní hodnotou I Předpoklady: 0, 0, 05 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny odpovídá přibližně 5 minutám. Je samozřejmě možné ji spojit s následující hodinou, pak ovšem část příkladů nestihnete
III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208
4..0 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 40, 408 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by bylo lepší, kdyby si studenti metodu rychlého
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
2.4.9 Rovnice s absolutní hodnotou I
..9 Rovnice s absolutní hodnotou I Předpoklady: 0, 0, 05 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny odpovídá přibližně 5 minutám. Je samozřejmě možné ji spojit s následující hodinou, pak ovšem část příkladů nestihnete
= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme
- FUNKCE A ROVNICE Následující základní znalosti je nezbytně nutné umět od okamžiku probrání až do konce kapitoly (většinou do napsání čtvrtletní písemné práce, na výjimky z tohoto pravidla bude upozorněno).
[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206
..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou 0009. Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni
7.1.3 Vzdálenost bodů
7.. Vzdálenost bodů Předpoklady: 70 Př. : Urči vzdálenost bodů A [ ;] a B [ 5;] obecný vzorec pro vzdálenost bodů A[ a ; a ] a [ ; ]. Na základě řešení příkladu se pokus sestavit B b b. y A[;] B[5;] Z
4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
Absolutní hodnota I. π = π. Předpoklady: = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá.
1..10 Absolutní hodnota I Předpoklady: 01005 = 0 = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá. π = π = = Záporná čísla absolutní hodnota změní na kladná (vynásobí je 1). 5 5 = Absolutní hodnota
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou
Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL
Nepřímá úměrnost I
.. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud
2.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí
.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí Předpoklady: 70, 70 Pedagogická poznámka: Jedním z nejdůležitějších cílů hodiny je, aby si studenti kreslili obrázky, které jim při řešení příkladů doopravdy
( ) ( ) ( ) 2.9.24 Logaritmické nerovnice I. Předpoklady: 2908, 2917, 2919
.. Logaritmické nerovnice I Předpoklady: 08, 7, Pedagogická poznámka: Pokud mají studenti pracovat samostatně budou potřebovat na všechny příklady minimálně jeden a půl vyučovací hodiny. Pokud není čas,
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce)
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
( ) ( ) Lineární nerovnice II. Předpoklady: Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < 3 :
.. Lineární nerovnice II Předpoklady: 00 Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < : Správné řešení. x < / + x 0 < + x / < x K = ( ; ) Test možné správnosti: x = :
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:
1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou
Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
Grafy relací s absolutními hodnotami
..5 Grafy relací s absolutními hodnotami Předpoklady: 0, 0, 03, 0, 05,, 3 Pedagogická poznámka: Tato hodina nepatří do klasických středoškolských osnov. Je reakcí na fakt, že relace s absolutními hodnotami
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
+ 2 = 1 pomocí metody dělení definičního oboru. ( )
..0 Rovnice s absolutní hodnotou II Předpoklady: 09 Pedagogická poznámka: Jenom nejlepší studenti stihnou spočítat obsah celé hodiny. Většina třídy se dostane přibližně k příkladu 7, což stačí na obstojné
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
III Určování hodnot funkcí sinus a cosinus
..7 Určování hodnot funkcí sinus a cosinus Poznámka: Obsah této kapitoly nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by asi bylo lepší, kdyby si studenti nějako metodu rychlého určování hodnot vymysleli
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1.
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1. Monotonie (1) Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. (2) Když si funkci
2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí
.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí Předpoklady: 60, 603 U předchozích funkcí jsme měli vždy s funkcemi rovnice existují lineární lomené rovnice a nerovnice? Jak by vypadaly? Například takto:
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Pythagorova věta
.8.19 Pythagorova věta Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu rýsuje každý žák pouze jeden bod podle toho, v jakém sedí oddělení. Př. 1: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník: a) ABC:
Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.
..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální
( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.
Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
( 2 ) ( 8) Nerovnice, úpravy nerovnic. Předpoklady: 2114, Nerovnice například 2x
..5 Nerovnice, úpravy nerovnic Předpoklady:, 03 Nerovnice například 3 < + 5 - zápis nerovnosti hodnot dvou výrazů. Za můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme hodnoty obou výrazů. Hledáme takové, aby nerovnost
1.8.5 Sčítání a odčítání celých čísel I
1.8.5 Sčítání a odčítání celých čísel I Předpoklady: 010804 Př. 1: Nepočítej, pouze rozhodni, zda výsledek bude kladné nebo záporné celé číslo. Rozhodnutí zdůvodni. a) 2015 1995 12581 4525 25152 + 9585
2.3.7 Lineární rovnice s více neznámými I
..7 Lineární rovnice s více neznámými I Předpoklady: 01 Pedagogická poznámka: Následující hodinu považuji za velmi důležitou hlavně kvůli pochopení soustav rovnic, které mají více než jedno řešení. Proto
Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: 000 Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi hodnotami dvou výrazů obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme zabývat pouze
Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.
Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,
5. Na množině R řeš rovnici: 5 x 2 2 x Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 3 5
I 16 VADRO (váha 80) E 1. Na obrázku vpravo je graf funkce g dané předpisem: y = a + b + c. Urči koeficienty a, b, c.. Zapiš definiční obor a obor hodnot funkce f na obrázku vpravo. f: y = 0,5 4 + 3. Na
2.4.3 Kreslení grafů funkcí metodou napodobení výpočtu II
..3 Kreslení grafů funkcí metodou napodobení výpočtu II Předpoklady: 0 Př. : Nakresli graf funkce y = x +. Určení hodnoty pro x vypadá takto: Vybereme x, například x = Nakreslíme funkci y = x Uděláme (
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku
( ) ( )( ) ( x )( ) ( )( ) Nerovnice v součinovém tvaru II. Předpoklady: Př.
.. Nerovnice v součinovém tvaru II Předpoklady: 0 Př. 1: Řeš nerovnici x x 0. Problém: Na levé straně není součin musíme ho nejdříve vytvořit: x x x x x x x x x x + 0. ( ( ( = = + řešíme nerovnici: ( (
2.7.6 Rovnice vyšších řádů (separace kořenů)
76 Rovnice vyšších řádů (separace kořenů) Předpoklady: 00507, 00705 Přehled rovnic: Řád rovnice Tvar Název způsob řešení (vzorec) ax + b = 0 lineární b a 0, x = a ax + bx + c = 0 kvadratická ± a 0, x,
2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými Předpoklady: 308 Př. 1: Najdi všechna řešení nerovnice 6x + 1 10. Zkusíme jako u rovnice. 6x + 1 10 3y 9 6x 9 6x y = 3 x 3 Jak zapsat množinu všech řešení? K
2.8.6 Parametrické systémy funkcí
.8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost
Rovnice s neznámou pod odmocninou I
.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte, můžete obětovat hodiny dvě a nechat
Průběh funkce II (hledání extrémů)
.. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné
4.3.3 Goniometrické nerovnice I
4 Goniometrické nerovnice I Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
1.1.24 Skaláry a vektory
1.1.4 Skaláry a vektory Předpoklady: 113 Př. 1: Vyřeš následující příklady: a) Na stole je položeno závaží o hmotnosti kg. Na závaží působí gravitační síla Země o velikosti 0 N a tlaková síla od stolu
6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II
.1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Kvadratické nerovnice Předpoklady: Př. 1: Úvaha: Pedagogická poznámka:
..10 Kvadratické nerovnice Předpoklady: 01, 0, 0, 07 Př. 1: Vyřeš nerovnici 0. 0 - mohu rozložit na součin není to nic nového + 1 0 ( )( ) Hledám nulové body: 0 ( ) = = ( ) ( ; 1) ( 1; ) ( ; ) ( ) - -
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika
O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,
Konvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
Vzorce pro poloviční úhel
4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje
2.1.9 Lineární funkce II
.1.9 Lineární funkce II Předpoklad: 108 Př. 1: Přiřaď k jednotlivým čarám na obrázku, jednotlivé variant zadání příkladu o Orlické přehradě: a) původní zadání (přítok 000 m /s, odtok je 1000 m /s, 500
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Lineární rovnice
2. Lineární rovnice označuje rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0, a 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty
pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) Počet řešení rovnice. Předpoklady:
3..4 Počet řešení rovnice Předpoklady: 03003 Př. 1: Dosaď postupně čísla { 0;1; ; 3 } do rovnice ( x )( x )( x ) 1 3 + 1 = 0. Která z nich jsou jejím řešením? Existuje ještě další číslo, které je řešením
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
Nerovnice v podílovém tvaru II. Předpoklady: 2303, x. Podmínky: x x 1, 2 x 0 x 2, 1 3x
.. Nerovnice v podílovém tvaru II Předpoklady: 0, 04 Př. : ( x )( x + ) ( x + )( x)( x) 0. Podmínky: x + 0 x, x 0 x, x 0 x x + je vždy kladný nebudeme se s ním dále zabývat, znaménko neovlivňuje. Člen
Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.
5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická