1. podzimní série. Zlomky

Transkript

1 . podzimní série Téma: Datumodeslání: Zlomky º Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Třem malým PraSátkům, Myregovi, Vejtkovi a Šavlíkovi, se zjevil sáček plný bonbonů. Dohodli se,žesijerozdělí,avšichništěstímspokojeněusnuli.vnociseprvnívzbudilmyreg.když rozdělil bonbony na tři stejné hromádky, jeden bonbon zbyl. Vzal si jednu hromádku a zbytek do sáčku vrátil. Potom se vzbudil Vejtek. Nevěda o Myregovi rozdělil obsah sáčku též na třetiny, i jemu jeden bonbon přebýval, vzal si svou třetinu a zbytek vrátil. Poslední vstal chudák Šavlík, a nemaje o mlsnosti ostatních ani potuchy, vzal si nejprve jen třetinu(tentokrát žádný bonbon nepřebýval). Protože měl ale po chvilce cumlání všechny své bonbony fuč, snědl nakonec i těch šest zbývajících. Kolik bonbonů se na začátku malým PraSátkům zjevilo? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Vrůžovémkrálovstvísiposmrtikrálezačalo20synůdělitjehomajetek.Nejstaršíznich(azároveň nejpomalejší) zaváhal a nechal se přeskočit. Druhý nejstarší si pohotově vzal polovinu králova majetku. Třetí si uzmul třetinu toho, co po druhém zbylo. Čtvrtý si naplnil kapsy čtvrtinouzbytkuatakdál,ažsidvacátýprosebeoddělildvacetinuzbytku.pakseteprveprobral prvnísynavzalsivše,cozůstalo.víte,jakáčástkrálovstvítobyla? º ÐÓ Ó Ýµ Nalezněte všechny trojice přirozených čísel(a, b, c), pro něž platí a = 0 7. b c Určete,prokterá n Njezlomek 2 n 2 n v základním tvaru. Ukažte, že platí =.

2 Jardovisezdáloopřirozenémčíslu n(ježbylovesnupevnědané)ateďbyhozajímalo,která k Nsedajízapsatjako k= a 2 a 2 n a n, kde a < a 2 < < a njsoupřirozenáčísla,kterásimůžezvolit,jakchce.pomoztemutozjistit. Zjistěte,prokterá x, y, z Nplatí x y 2 x 2 y = z Buď P(x)polynom stupnětakový,žeplatí P(k)=, pro k {,2,...,200}. k Určete P(20). Řešení. podzimní série. úloha Třem malým PraSátkům, Myregovi, Vejtkovi a Šavlíkovi, se zjevil sáček plný bonbonů. Dohodli se,žesijerozdělí,avšichništěstímspokojeněusnuli.vnociseprvnívzbudilmyreg.když rozdělil bonbony na tři stejné hromádky, jeden bonbon zbyl. Vzal si jednu hromádku a zbytek do sáčku vrátil. Potom se vzbudil Vejtek. Nevěda o Myregovi rozdělil obsah sáčku též na třetiny, i jemu jeden bonbon přebýval, vzal si svou třetinu a zbytek vrátil. Poslední vstal chudák Šavlík, a nemaje o mlsnosti ostatních ani potuchy, vzal si nejprve jen třetinu(tentokrát žádný bonbon nepřebýval). Protože měl ale po chvilce cumlání všechny své bonbony fuč, snědl nakonec i těch šest zbývajících. Kolik bonbonů se na začátku malým PraSátkům zjevilo? Budeme postupovat odzadu. Šavlík snědl jednu třetinu zbývajících bonbonů a zbylo mu jich ještě 6(tj. dvě třetiny), které potom také snědl. Označme x počet bonbonů, které snědl Šavlík. Potomplatí 2 x=6aztoho x=9.vímenyní,žepovejtkovizbylo9bonbonů,cožodpovídá 3 2y,kde yjepočetbonbonů,kterésnědlvejtek(víme,žeporozdělenínatřičástijedenbonbon zbylavejtekjednučástsnědl).tedy2y=9aodtud y=4.přednájezdemvejtkazbývalo 3y=3bonbonů.Použijemestejnouúvahujakovpředešlémpřípadě:3=2z,kde z jepočetbonbonů,kterésnědlmyreg.snadnodopočítáme z=6.početbonbonůnazačátkulze vyjádřitjako xy z=9.totojejedinéřešeníúlohy. 2. úloha Vrůžovémkrálovstvísiposmrtikrálezačalo20synůdělitjehomajetek.Nejstaršíznich(azároveň nejpomalejší) zaváhal a nechal se přeskočit. Druhý nejstarší si pohotově vzal polovinu Polynomstupnějevýraztvaru a x a 2008 x 2008 a x a 0,kde a až a jsoureálnáčísla, a 0,axjeproměnná.

3 králova majetku. Třetí si uzmul třetinu toho, co po druhém zbylo. Čtvrtý si naplnil kapsy čtvrtinouzbytkuatakdál,ažsidvacátýprosebeoddělildvacetinuzbytku.pakseteprveprobral prvnísynavzalsivše,cozůstalo.víte,jakáčástkrálovstvítobyla? Pokud si n-tý princ odebral jednu n-tinu z části království, kterou ještě nezabavili jeho starší bratři, zanechal následujícímu princi(n )/n z této části majetku. Úkon každého prince můžeme tedy chápat jako vynásobení zlomku, který udává, jaká část králova bohatství aktuálně zbývá, číslem(n )/n(jde-li o n-tého prince). Tak vznikne nový zlomek, který vypovídá o tom, jaká část království zbyde poté, co si i příslušný princ odnese svůj díl. Druhý princ tedy vynásobí jedničku(odpovídající zatím kompletnímu majetku) číslem(2 )/2, třetí pak vzniklý zlomek násobíčíslem(3 )/3,atakdále,aždvacátýprincnásobíčíslem(20 )/20.Hledanýzlomek jepak = = 20. Po dvacátém synovi zbyla /20 království a to je bohatství, které si odnesl první syn. 3. úloha Nalezněte všechny trojice přirozených čísel(a, b, c), pro něž platí a = 0 7. b c Nejprvesiuvědomme,žepro b, c Njezlomek/(b/c)nutněkladný.Dálevíme,že < a <2. b c Protožeia N,dostávámepro ajedinoumožnost,ato a=.podosazeníaúpravěřešíme b/c=7/3.opětodhadnemezlomek,tentokrátje/c a2 < b/c <3.Odtud bmůže býtjedině2.snadnojiždopočítáme,že c=3.úlohatakmájedinéřešení(a, b, c)=(,2,3), zkoušku provádět nemusíme. 4. úloha Určete,prokterá n Njezlomek v základním tvaru. 2 n 2 n Pokud má být zlomek v základním tvaru, musí být jeho čitatel a jmenovatel nesoudělná čísla. Zadanýzlomekjevzákladnímtvaruprokaždé n N.Tolzedokázatněkolikazpůsoby.. možnost Pokudmajíčísla2 n a2 n nějakéhospolečnéhodělitelevětšíhonežjedna,určitěho majíičísla2 n a2(2 n )=2 n 2.Tasealelišípouzeojedničku,takženemohoubýt obědělitelnástejnýmprvočíslem. 2 2 Dva sousední násobky libovolného prvočísla p jsou od sebe vzdáleny vždy p. A protože nejmenšíprvočíslo p=2,jsoudvěposobějdoucíčíslavždynesoudělná.

4 2. možnost Označmesijmenovatelezlomku a=2 n.čitatelepotomlzezapsatjako2a,atedy celý zlomek můžeme napsat jako(2a )/a. Každým prvočíslem, kterým je dělitelný jmenovatel zlomku a,jepakdělitelnýivýraz2a.takžečitatel2a jímbýtdělitelnýnemůže.protojsou čitatel a jmenovatel nesoudělní. 3. možnost Pokudjsoudvěčísla(označmesije a, b)dělitelnánějakýmčíslem d,pakjejejichrozdíl takédělitelný d. 3 Můžemepsát a=a dab=b d,(a, b )=. 4 Projejichrozdílpakplatí a b=a d b d=d(a b ),cožjenásobek d. Vnašempřípadětedy(2 n,2 n )=(2 n,2 n )=(2 n,)=.největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele je jednička, jsou tedy nesoudělní. 5. úloha Ukažte, že platí =. Všimneme si, že zlomky jsou asi od třetího patra stejné, a zavedeme substituci Dostaneme rovnici ve tvaru A= A A =.. Úpravami levé strany rovnice dostáváme 2A A 2A =2A 2A =. 3 TomutopostupuseříkáEukleidůvalgoritmus.Víceseoněmmůžešdočístnapříkladvloňském seriálu. 4 Symbol(k, l)značínejvětšíhospolečnéhodělitelečísel k, l.

5 Tento výsledek pro nás znamená, že rovnost platí pro libovolnou hodnotu proměnné A, pro kterou mají zlomky smysl. Je tedy potřeba ověřit, že pro naše konkrétní(těžko vyčíslitelné) A žádnýjmenovatelnenínulový,neboliže Asenerovná ani 2.Tojezřejmé,jelikož Ajekladné číslo, a původní rovnost je dokázána. 6. úloha Jardovisezdáloopřirozenémčíslu n(ježbylovesnupevnědané)ateďbyhozajímalo,která k Nsedajízapsatjako k= a 2 a 2 n a n, kde a < a 2 < < a njsoupřirozenáčísla,kterásimůžezvolit,jakchce.pomoztemutozjistit. Mějmedáno n.nejprveurčíme,jakénejvětší k umímedostat.protožeje a N,máme a.podlezadáníje a < a 2,tedyurčitě a 2 >,neboli a 2 2.Stejnětak a 3 > a 2 a 3 3, obecnětedy a i ipro i=,2,..., n,zčehožplyne i/a i.odtuddostávámeodhad k= 2 n = n. a a 2 a n {z } njedniček Přitom k = nvyjádřímesnadno:stačívolit a i = ipro i=,2,..., n.jedničkuzaseumíme dostatprojakékoliv nvolbou a i = n i,atojezřejměnejmenšímožné k(žádnémenšípřirozené číslo neexistuje). Jakékoliv další k( < k < n) můžeme vyjádřit následujícím způsobem: k= 2 2 k k k k(n k) k (k)(n k) n n(n k). Jezjevné,žeprvních k zlomků,kterémajívšechnyhodnotu,dávsoučtu k,zatímco součetzbývajících n kzlomkůohodnotě/(n k)je,celkemnámtedyvyjdepřesně k. Zbýváještěověřit,žeplatí a < a 2 < < a n.jistě a < a 2 < < a k,protožejdeopo sobějdoucípřirozenáčísla.stejnětakplatíia k < a k < < a n,protožezdejsoujmenovatelé opětposobějdoucíčísla,jenvynásobenákladnýmčíslem n k.nakonec a k < a k,tj. k < k(n k),protože k < kan k. 7. úloha Zjistěte,prokterá x, y, z Nplatí x y 2 x 2 y = z Nejdřívesivšimněme,žeposloupnost(a n) n= definovanápředpisem an= n/2n jeklesající kroměprvníchdvoučlenů,prokteréplatí a = a 2.Pro n >totižplatí2n > naztoho plyne n/2 n >(n)/2 n.rovněžvidíme,žekaždýčlentétoposloupnostijekladný. Musítedyplatit,že z/2 z > x/2 x,atedy z < x.analogickyodvodímevztah z < y.vzhledem ksymetriirovnicevproměnných xayvzadánímůžemebezújmynaobecnostipředpokládat, žeplatí x y. Zaměřme se nejdříve na případ, že z > 4. Upravme nerovnost: z z2 2z 2 z2 < z

6 Povynásobeníoboustranrovnicevýrazem2 z2 dostáváme: 2(z)(z2) <4z, 4 < z. Vidíme,žepro z >4platí z z2 2z 2 z2 < z Kdybybylo y z2,paktaké x za x y 2 x 2 y z z2 2z 2 z2 < z Tedyprotato ynemámežádnářešení.jedinámožnostje y=z,aprotože y x,tak i x=z.dosadímedopůvodnírovniceadostaneme: z z 2z 2 z = z 2 z, (z)(z)=2z. Tatorovnicenemážádnéřešení,tj.zadanárovnicenemářešenípro z >4. Zbývánámpostupněrozebratmožnosti z=,2,3,4.jelikožplatí a = a 2,stačínámuvažovat pouzehodnoty2,3,4. Neboť x y, a x a yamusíplatit 2 x 2 x x y 2 x 2 y = z Pravástranajenejmenšípronejvětšímožné z,tj. z=4.potomztétonerovnostiatoho,že posloupnost a njeklesající,dostanemeomezenína x: a x,tedy x <6.Dálenezapomeňme,že 8 x > z.zbývánámtedyprobratšestmožností,prokteréspočteme a y= a z a x.propřehlednost siještěuvedemeněkolikprvníchhodnot a n(nezapomeň,žeposloupnostjeklesající,takžedalší členy jsou ještě menší). a = 2, a 2= 2, a 3= 3 8, a 4= 4, a 5= 5 32, a 6= 3 32, a 7= 7 28,... (i) z=,2ax=3.pak a y=,tedy5 < y <6,cožnenířešení. 8 (ii) z=,2ax=4.pak a y=,tedy y=4amámedvěřešení(x, y, z)=(4,4,),(4,4,2). 4 (iii) z=,2ax=5.pak a y=,tedy3 < y <4.Nemářešení. 32 (iv) z=3ax=4.pak a y=,tedy5 < y <6.Nemářešení. 8 (v) z=3ax=5.pak a y= 7,tedy4 < y <5.Nemářešení. 32 (vi) z=4ax=5.pak a y = 3 =(5,6,4),(6,5,4).,tedy y=6amámedvěřešenízesymetrie(x, y, z)= 32 Úlohamá4řešení (x, y, z) {(4,4,),(4,4,2),(5,6,4),(6,5,4)}. 8. úloha Buď P(x)polynom 5 stupnětakový,žeplatí P(k)=, pro k {,2,...,200}. k 5 Polynomstupnějevýraztvaru a x a 2008 x 2008 a x a 0,kde a až a jsoureálnáčísla, a 0,axjeproměnná.

7 Určete P(20). Podmínka ze zadání nás nabádá k následující substituci Q(x)=x P(x). Polynom Q(x)mázjevněstupeň200,anavícbylzvolentak,abyčísla,2,...,200bylajeho kořeny. Součinový tvar tohoto polynomu je díky předchozímu kroku vymezen na Q(x)=a (x )(x 2) (x 200) pronějaké a R. Číslo anebudeproblémurčit,vímetotiž,že Q(0)=.Pišmetedy =Q(0)=a ( ) ( 2) ( 200), ajelikožjeminusůnapravéstraněsudýpočet,můžemevyjádřit a = /(200!).Kurčení P(20)jistěstačíspočítat Q(20),cožjeovšemsnadné,kdyžužjepolynom Q(x)jasněurčen. Úloha je vyřešena. 200 Q(20)= = P(20)=0. 200!