. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

Transkript

1 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit 0 Odtud snadno dostáváme 0 Definiční obor funkce tedy je = 0 Řešení 1b Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit +2 0 Odtud snadno dostáváme 2 Definiční obor funkce tedy je = 2 Řešení 1c Máme určit definiční obor funkce = Výraz. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit Levou stranu nerovnice lze snadnou rozložit na součin. Kdo to nevidí, vyřeší si příslušnou kvadratickou nerovnici. Takže musí platit

2 Odtud snadno dostáváme Definiční obor funkce tedy je 1 2 = 2; 1 Řešení 1d Máme určit definiční obor funkce = Výraz. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Současně je ve jmenovateli druhá odmocnina, která je smysluplná pouze pro nezáporné argumenty. Musí tedy platit Odtud snadno dostáváme 2 2 Z toho plyne >2 Definiční obor funkce tedy je =2, Řešení 1e Máme určit definiční obor funkce = 9. Výraz 9 je sudou odmocninou. Ta je smysluplná pouze pro nezáporné argumenty. Musí tedy platit 9 0 Rozložením výrazu na levé straně nerovnosti podle všeobecně známého vzorce dostáváme Na levé straně této nerovnice je součin dvou členů. Ten může být kladný právě tehdy, když jsou oba členy současně nezáporné, nebo oba členy jsou současně nekladné (pozor na tuto formulaci připouštíme tak možnost, že nejméně jeden z nich může být i nulový). Musí tedy platit podmínka Odtud snadno dostáváme Obrátíme nerovnosti tak, aby x stálo vlevo (to jen pro lepší pochopení toho, co následuje). Dostáváme Levé části vyhovují všechna 3,3. Pravé části nevyhovuje žádné reálné číslo. Z toho plyne = 3;3 Definiční obor funkce tedy je = 3;3 2

3 Řešení 1f Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný, je-li jeho jmenovatel různý od nuly. To je v tomto případě splněno vždy, protože je vždy nezáporné (větší nebo rovno nule) a 16 je vždy kladné. Součet nezáporného čísla a kladného čísla je vždy kladný a tedy nemůže být roven nule. Jmenovatel tedy v tomto konkrétním případě nemá vliv na definiční obor funkce. Výraz 4 je sudou odmocninou. Ta je smysluplná pouze pro nezáporné argumenty. Musí tedy platit 4 0 Rozložením výrazu na levé straně nerovnosti podle všeobecně známého vzorce dostáváme Na levé straně této nerovnice je součin dvou členů. Ten může být kladný právě tehdy, když jsou oba členy současně nezáporné, nebo oba členy jsou současně nekladné (pozor na tuto formulaci připouštíme tak možnost, že nejméně jeden z nich může být i nulový). Musí tedy platit podmínka Odtud snadno dostáváme Obrátíme nerovnosti tak, aby x stálo vlevo (to jen pro lepší pochopení toho, co následuje). Dostáváme Levé části vyhovují všechna 3,3. Pravé části nevyhovuje žádné reálné číslo. Z toho plyne = 2;2 Definiční obor funkce tedy je = 2;2 3

4 Příklad 2 Je dán graf funkce (nakreslete libovolnou funkci). Načrtněte pomocí graf funkce jestliže: a) = b) = c) =+,=2,= 2 d) =+,=2,= 2 e) =,=±2,=± f) =,=±2,=± Řešení 2a = Změna znaménka argumentu funkce způsobí symetrii grafu této funkce podle osy y 4

5 Řešení 2b = Změna znaménka hodnoty funkce způsobí symetrii grafu této funkce podle osy x Řešení 2c =+,=2,= 2 Přičtení konstanty k argumentu funkce způsobí posun grafu této funkce o tuto konstantu vlevo podél osy x; odečtení způsobí posun vpravo 5

6 Řešení 2d =+,=2,= 2 Přičtení konstanty k hodnotě funkce způsobí posun grafu této funkce o tuto konstantu nahoru podél osy y; odečtení způsobí posun dolů Řešení 2e =,=±2,=± 1 2 Vynásobení hodnoty funkce konstantou větší v absolutní hodnotě než 1 způsobí roztažení grafu této funkce podél osy y, vynásobení konstantou v absolutní hodnotě menší než 1 způsobí smrštění grafu 6

7 Řešení 2f =,=±2,=± 1 2 Vynásobení argumentu funkce konstantou větší v absolutní hodnotě než 1 způsobí smrštění grafu této funkce podél osy x, vynásobení konstantou v absolutní hodnotě menší než 1 způsobí roztažení grafu 7

8 Příklad 3 Sestrojte grafy funkcí: a) = b) =+2 c) = 1 d) = +2 e) = 1 f) =4 g) = h) =2+2 i) = +4+2 j) = +4+1 Řešení 3a = Jedná se o funkci vynásobenou konstantou -1. Je to tedy s otočeným znaménkem. Její graf bude symetrický ke známému grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) podle osy x. 8

9 Řešení 3b =+2 Jedná se o případ posunutí grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) vlevo ve směru osy x o konstantu 2. Řešení 3c = 1 Jedná se o případ posunutí grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) vpravo ve směru osy x o konstantu 1. 9

10 Řešení 3d = +2 Jedná se o případ posunutí grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) nahoru ve směru osy y o konstantu 2. Řešení 3e = 1 Jedná se o případ posunutí grafu dolů ve směru osy y o konstantu 1. 10

11 Řešení 3f =4 Jedná se o případ čtyřnásobného roztažení grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) ve směru osy y. Řešení 3g = 1 4 Jedná se o případ čtyřnásobného smrštění grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) ve směru osy y. 11

12 Řešení 3h =2+2 Jedná se o případ kombinace posunu grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) vlevo ve směru osy x o konstantu 2 a následného dvojnásobného roztažení ve směru osy y. Řešení 3i = +4+2 Tento příklad je vhodné si nejprve upravit na tvar =+2 2. Z tohoto tvaru je ihned vidět že se jedná o kombinaci posunu grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) vlevo ve směru osy x o konstantu 2 a následného posunu dolů ve směru osy y o konstantu 2. 12

13 Řešení 3j = +4+1 Tento příklad je vhodné si nejprve upravit na tvar = Z tohoto tvaru je ihned vidět že se jedná o kombinaci posunu grafu (parabola s vrcholem v počátku souřadnic) vpravo ve směru osy x o konstantu 2, otočení symetricky podle osy x a následného posunu nahoru ve směru osy y o konstantu 5. 13

14 Příklad 4 Utvořte složenou funkci =h, je-li: a) =,h= b) =,h= +3 Poznámka Pro oba příklady je třeba si uvědomit, že h je vnější funkce a je vnitřní funkce, neboli že funkci lze psát i takto =h. Pak už se jedná o pouhé dosazování. Řešení 4a Z předchozího víme, že můžeme psát Dosadíme za h a dostáváme Nyní dosadíme za a dostáváme výsledek =h = = +1 1 Výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný (nula je přípustná) a jmenovatel zlomku musí být nenulový. Odtud odstáváme Má-li být výraz pod odmocninou nezáporný, pak musí být současně čitatel i jmenovatel zlomku nezáporný, nebo současně nekladné. Takže dostáváme Po malé úpravě Odtud (dejte pozor na závorky) Definičním oborem funkce tedy je =, 1 1, Řešení 4b Z předchozího víme, že můžeme psát =h Dosadíme za h a dostáváme = +3 Nyní dosadíme za a dostáváme výsledek = +3 14

15 Po úpravě dostáváme výsledek = +3 Výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, neboli 0. Odtud =0,. 15

16 Příklad 5 U dané funkce =h určete vnitřní složku a vnější složku h, je-li: a) = 3 4 b) 3+5 Řešení 5a Máme funkci = 3 4 Tuto funkci je třeba chápat podle zadání takto: =h Zde je viditelně odmocnina vnější složkou a to, co je pod ní je vnitřní složkou. Takže =3 4 h= Řešení 5b Máme funkci 3+5 Tuto funkci je třeba chápat podle zadání takto: =h Zde je viditelně čtvrtá odmocnina vnější složkou a to, co je pod ní je vnitřní složkou. Takže = 3+5 h= 16

17 Příklad 6 Určete, a pokud je funkce prostá, určete také, načrtněte graf: a) b) c) d) 12 e) 15 f) 2log 1 Řešení 6a Máme funkci Hodnota pod lichou odmocninou je přípustná z celého rozsahu R. Tedy pro platí Je zřejmé, že obor hodnot je Funkce je prostá, lze tedy nalézt inverzní funkci. Po snadném výpočtu dostáváme Inverzní funkce je definována v celém oboru reálných čísel. Graf funkce vypadá takto: 17

18 Řešení 6b Máme funkci Hodnota pod sudou odmocninou musí být nezáporná (větší nebo rovna nule). Tedy pro definiční obor platí 0, Je rovněž zřejmé, že obor hodnot je také interval nezáporných reálných čísel 0, Funkce je prostá, lze tedy nalézt inverzní funkci. Po snadném výpočtu dostáváme Inverzní funkce je definována na intervalu nezáporných reálných čísel. Graf funkce vypadá takto: Řešení 6c Máme funkci 1 Hodnota pod lichou odmocninou je přípustná v celém oboru reálných čísel, jmenovatel zlomku musí být různý od nuly. Tedy pro definiční obor platí 0 18

19 Výraz popisující funkci v zadání lze upravit takto Odtud (nebo možná i přímo z původního tvaru funkce) je zřejmé, že obor hodnot je interval kladných reálných čísel (výraz ve jmenovateli musí být vždy kladný jde o součin dvojice záporných, nebo dvojice kladných hodnot) 0, Inverzní funkci lze nalézt jen pro část původního definičního oboru. Vybereme si interval kladných reálných čísel 0,. Po snadném výpočtu dostáváme Graf funkce vypadá takto: 1 Řešení 6d Máme funkci 12 Hodnota pod lichou odmocninou je přípustná v celém oboru reálných čísel. Tedy pro definiční obor platí Výraz popisující funkci v zadání lze upravit takto 12 19

20 Odtud (nebo možná i přímo z původního tvaru funkce) je zřejmé, že obor hodnot je množina všech reálných čísel R Inverzní funkci lze nalézt v celém původním definičním oboru. Po snadném výpočtu dostáváme Graf funkce vypadá takto: Řešení 6e Máme funkci 15 Jako exponent lze použít libovolné reálné číslo. Tedy pro definiční obor platí Odtud je zřejmé, že obor hodnot je interval kladných reálných čísel posunutý o 1 nahotu, neboli 1, Inverzní funkci lze nalézt pro celý původní definiční obor. Po snadném výpočtu ln1ln5 20

21 dostáváme Graf funkce vypadá takto: ln12ln5 ln1 2 ln5 ln1 2 ln5 log 12 log 12 Řešení 6f Máme funkci 2log 1 Argument logaritmu musí být kladný. Tedy pro definiční obor platí 1, Je zřejmé, že obor hodnot je množina všech reálných čísel Inverzní funkci lze nalézt pro celý původní definiční obor. Po snadném výpočtu 2log 1 2log 1 2 ln1 ln3 2ln3ln1 ln3 ln

22 dostáváme Graf funkce vypadá takto: