Seriál Geometrie. Těžiště a moment setrvačnosti v geometrii

Transkript

1 Seriál Geometrie Těžiště a moment setrvačnosti v geometrii Úvod Na téma letošního seriálu mě přivedla série článků Doc. Jaromíra Šimšy v časopisu Rozhledy matematicko-fyzikální, ročník 97. Články jsou o velice zajímavé a ne příliš známé metodě(rozuměj:jájsemjineznal),jaklze fyzikálně nahlížetnařadugeometrickýchtvrzení, ne vždy triviálních. Jak již název nenapovídá, budeme se zaměřovat na vybrané věty z geometrie trojúhelníku a čtyřúhelníku. Teorie je sice inspirována fyzikou, ale nebojte se, všebudemedělat čistěmatematicky.notaktobysnadnaúvodstačilo. Těžiště Definice.Hmotnýmbodemnazvemedvojici(X, m),kde Xjebodvroviněamreálnéčíslo. Číslo m nazveme hmotnost bodu X. Poznámka: Někdy budeme říkat hmotný bod X a budeme tím rozumět hmotný bod (X, m). Nedorozumění snad nehrozí. Poznámka: Omezení na rovinu je zbytečné. Vše lze dělat např. v prostoru. Množiněhmotnýchbodůbudemeříkatsoustava 1 abudemejipsátdohranatýchzávorek (např. S=[(A,1),(A,3),(B, 2)]jesoustava.Označíme m X součethmotnostívšechbodů vsoustavě X,tj. celkovouhmotnostsoutavy (tedy m S =1+3 2=2). Definice.Bod T S nazvemetěžištěmsoustavy S=[(A 1, m 1 ),(A 2, m 2 ),...,(A n, b n)],pokud Poznámka: ignorovat. nx m i T S A i =0. i=1 ABzdeznačívektor.Ti,cosesvektorynesetkali,mohoututodefinicibezobav Věta1.Pokud m S 0,pakexistujeprávějednotěžištěsoustavy S. Důkaz: Provede se snadno z rovnosti(p je libovolný bod) PT S nx nx m i = i=1 i=1 m i PA i. 1 Jetotrochudivnámnožina,protoževnínevylučujemeanidvanaprostostejnéhmotné body. Takže lépe řečeno soubor.

2 Věta 2.(lepení) Těžiště soustavy S se nezmění, zaměníme-li jakoukoliv podsoustavu P jednímhmotnýmbodem(t P, m P ). Věta 3.(štěpení) Těžiště soustavy S se nezmění, zaměníme-li libovolný bod(a, n) soustavou P takovou,že T P = A, m P = n. Těžiště podsoustavy soustavy S složené např. z hmotných bodů A, B budeme značit T S (A, B),jejíhmotnost m S (A, B). Věta4.Mějmesoustavuhmotnýchbodů S=[(A, m),(b, n)], m 0, n 0.Těžiště T S leží napřímceabaplatí m AT S = n BT S. Poznámka: Věty 1 až 4 dovolují určit těžiště libovolné soustavy(ještě je třeba rozmyslet si cvičení 1). K těžišti se můžeme dopracovat různými způsoby, podle toho v jakém pořadí body slepujeme. Tento jednoduchý a názorný princip dovoluje řešit i řadu netriviálních úloh. Jeden z důsledků pro trojúhelník shrnuje věta 6. Cvičení 1. Zkoumejte polohu bodu T v závislosti na znaménkách hmotností bodů A a B. Cvičení2. Zjistěte,cosestane,když m=0. C C T(A,C) T(B,C) Y Y X X A T(A,B) B A Z Z B obr.1 obr.2 Aplikace v trojúhelníku Věta 5. Mějme libovolný trojúhelník ABC a bod X. Potom existují čísla m A, m B, m C taková,žesoustava S=[(A, m A ),(B, m B ),(C, m C )]mátěžiště T S = X. Poznámka: Soustavu S =[(A, m A ),(B, m B ),(C, m C )]budemenynípoužívatčastěji,tak budeme psát pouze soustava S. Cvičení3. Dokažtevěty1 5. Věta6.Mějmelibovolnýtrojúhelník ABCasoustavu S.Pakpřímky AT S (B, C), BT S (A, C) a CT S (A, B)procházejíbodem T S.

3 Důkaz: Situacejeznázorněnanaobr.1.Označme P =[(A, m A ),(T S (B, C), m S (B, C))]. Podlevěty2platí T P = T S.Věta4říká,že T P ležínapřímce AT S (B, C).Stejnouúvahuzopakujemeprozbylédvěpříčkyajsmehotovi.Zvěty4plynetéžvzorec AT S / T S T S (B, C) = (m B + m C )/m A. Těžiště trojúhelníku. Těžnice(tj. příčky spojující vrchol a střed protilehlé strany) v libovolném trojúhelníku procházejí jedním bodem. Důkaz: Mějme libovolný trojúhelník ABC. Vezmeme soustavu S =[(A, 1),(B, 1),(C, 1)]. Označíme X, Y, Zstředystran BC, AC, AB.Zvěty4dostaneme T S (B, C)=X, T S (A, C)= Y a T S (A, B) = Z, aplikujeme větu 6 a jsme hotovi. Označíme-li těžiště T, dostáváme AT : TX =2:1,atd. Cvičení 4. Podobným postupem dokažte, že se výšky protínají v jednom bodě. Věta 7.(Cèvova) Příčky AX, BY, CZ libovolného trojúhelníku ABC procházejí jedním bodem, právě když platí rovnost AZ BZ BX CX CY AY =1. (C) Důkaz: Nechťpříčky AX, BY, CZprocházejíbodem M.Vezmemesoustavu Stak,aby T S = M(cožpodlevěty5lze).Těžištěmsoustavy X=[(A, m A ),(B, m B )]musíbýtbod Z,protože T S jetéžtěžištěmsoutavy[(t X, m X ),(C, m C )]at S CZ.Zvěty4dostaneme AZ BZ = m B m A, apodobně BX CX = m C m B, CY AY = m A m C. Odtud okamžitě plyne(c). Platí-linaopak(C),zvolímesoustavu S=[(A, BZ CX ),(B, AZ CX ),(C, AZ BX )].Těžištidvojichmotnýchbodůjsoubody X, Y, Z (Cvičení 5).Tedy AX, BY, CZ procházejíjednímbodem(totižbodem T S ). Změna hmotností bodů. Uvažujme opět trojúhelník ABC a příčky AX, BY, CZ, které procházejíbodem M.Vezmemesoustavu S,aby T S = M.Nynílibovolnězměnímehmotnosti bodů, např. položíme m A = m A, m B = 2m B, m C = 3m C. Ve změněné soustavě S = [(A, m A ),(B, m B ),(C, m C )] vzniknou příčky AX, BY, CZ, kteréprochází bodem T S.Některýmtakovýmzměnámhmotnostíodpovídajízměnypříčeksjednoduchougeometrickou interpretací. Jako příklad poslouží následující věta. Věta 8. Nechť AX, BY, CZ jsou příčky trojúhelníku ABC, které procházejí jedním bodem. Nechť X, Y, Z jsoutakovébodynastranách BC, AC, AB,prokteré CAX = BAX, ABY = CBY, BCZ = ACZ.Potompříčky AX, BY a CZ procházejíjedním bodem. Důkaz: Situace je znázorněna na obr. 2. Zvolíme jako obvykle soustavu S. Hmotnosti změníme takto: m A = BC 2 m A, m B = AC 2 m B, m C = AB 2 m C.

4 Probod X = T S (B, C)platí: BX CX = m C m = m B AB 2 B m C AC 2 = CX AB 2 BX AC 2. Zesinovýchvětprotrojúhleníky ABX, ACX, ABX, ACX dostaneme(cvičení6)rovnost BX CX = CX AB 2 BX AC 2, tedy X = X,podobněobdržíme Y = Y a Z = Z.Adůkazjehotov. Štěpení a lepení Věta 9. Každá přímka, která protíná trojúhelník alespoň ve dvou bodech a dělí obsah i obvod daného trojúhelníku ve stejném poměru, prochází středem kružnice jemu vepsané. Důkaz: Vezměme si libovolnou přímku p, která dělí obsah i obvod daného trojúhelníku ve stejném poměru, a označíme si vrcholy trojúhelníku tak, aby p protínala strany AB a AC a neprocházela bodem A, průsečíky si označíme pořadě D, E. Chceme dokázat, že p prochází středemkružnicevepsané.zatímtoúčelemsizvolímesoustavu S =[(A, a),(b, b),(c, c)] (a, b, c jsou délky patřičných stran). Těžiště této soustavy je střed kružnice vepsané(cvičení7). Ateďhlavnítrikdůkazu rozštěpímehmotnýbod(a, a)nadvahmotnébody A 1 = (A, a 1 ), A 2 =(A, a 2 ), a 1 + a 2 = a.víme,žesoustava S =[(A, a 1 ),(A, a 2 ),(B, b),(c, c)]má stejnétěžištějakosoustava S.Aleotěžištisoustavy S takévíme,želežínapřímce D E,kde D = T S (A 1, B), E = T S (A 2, C)!Těžiště S totižmůžemepočítattak,ženejprveurčíme těžiště D hmotnýchbodů A 1, Batěžiště E hmotnýchbodů A 2, C apotéurčímetěžiště hmotnýchbodů D a E,kteréjistěležínapřímce D E.Nyníjižstačízvolitčísla a 1 a a 2, aby D = D, E = E,adůkazbudehotov.Abybod Dbyltěžištěm A 1, B,musíplatit Podobně AD a 1 = BD b, a 1 = a 2 = b(c AD ). AD c(b AE ). AE Zbýváověřit,že a 1 + a 2 = a.využijemektomupodmínkuvzadáníorovnostipoměrů: S(AED) S(ABC) = AE + AD, a+b+c 1 AE AD sin α bcsin α = AE + AD. a+b+c Nyníjeověřenírovnosti a 1 + a 2 = ajižjentechnickouzáležitostí(cvičení8).

5 Moment setrvačnosti DefiniceUvažujmesoustavu S =[(A 1, m 1 ),(A 2, m 2 ),...,(A n, m n)].momentemsetrvačnostisoustavy Svzhledemkbodu Xnavemečíslo J S (X):= nx m i XA i 2. Věta10.(Steinerova) Nechť m S 0.Pakprolibovolnýbod Xplatí i=1 J S (X)=J S (T S )+m S XT S 2. Poznámka: Ztétovětynapříkladvyplývá,že J S (X)jenejmenší(resp.největší)právěpro těžištěsoustavy(nejmenší,pokud m S >0,největší,pokud m S <0). Věta11.(Jacobiůvvzorec) Nechť m S 0.Potom J S (T S )= 1 X m i m k A i A k 2. m S 1 i<k n Důkaz: ZdefinicemomentusetrvačnostiaSteinerovyvětyprokaždé k {1,2,..., n}dostaneme rovnost J S (A k )= nx i=1,i k m i A i A k 2 = J S (T S )+m S T S A k 2. Nynívynásobímeoběstranyčíslem m k avšechnyvýslednérovnostisečteme.dostaneme 2 X 1 i<k n nx nx m i m k A i A k 2 = J S (T S ) m k + m S m k T S A k 2 = cožjepovydělení2m S dokazovanárovnost. k=1 = J S (T S ) m S + m S J S (T S ), k=1 Aplikace v trojúhelníku Věta12.Jedántrojúhelník ABC,jehostranymajídélky a, b, cajehotěžnicemajídélky t a, t b, t c.potomplatí a 2 + b 2 + c 2 = 4 3 (t2 a + t2 b + t2 c ).

6 Důkaz: Zvolímesoustavu S=[(A,1),(B,1),(C,1)].Těžištěmtétosoustavyje geometrické těžiště trojúhelníku ABC. Vyjádříme moment setrvačnosti této soustavy vzhledem k těžišti T zdefiniceapotézjacobiovavzorce: J S (T)= ta 3 t b +1 3 tc = 4 9 (t2 a+ t 2 b + t2 c), adůkazjehotov. J S (T)= 1 1 a b c = 1 3 (a2 + b 2 + c 2 ) Poznámka: Podíváme-li se na moment setrvačnosti soustavy S vzhledem ke středu kružnice opsané,dostanemenerovnost r 1 3 a 2 + b 2 + c 2 (Cvičení9 vizpoznámkuzasteinerovou větou). Věta 13.(Stewartův vzorec) Je dán trojúhelník ABC s běžně označenými stranami a bod Dnastraně AB.Definujmečísla p:= AD, q:= BD (jezřejmě p+q=1).potom c c CD 2 = pa 2 + qb 2 pqc 2. Důkaz: Zvolíme soustavu S =[(A, q),(b, p)], těžištěm této soustavy je bod D. Vyjádříme-li moment setrvačnosti bodů C, D z definice a použijeme Steinerovu větu, dostaneme J S (C)=qb 2 + pa 2, J S (D)=qp 2 c 2 + pq 2 c 2 = pqc 2 (p+q)=pqc 2, J S (C)=J S (D)+ CD 2, qb 2 + pa 2 = pqc 2 + CD 2. Věta14.Jedántrojúhelník ABC,jehokružnicevepsanámástřed Sapoloměr ρ,kružnice opsanámástřed Oapoloměr r.pak OS = p r(r 2ρ). Důkaz: Tato netriviální věta má použitím naší teorie velice přirozené a přímočaré řešení. Zvolímesoustavu S = [(A, a),(b, b),(c, c)].těžištěmtétosoustavyje,jakvíme,bod S. Využitím Jacobiova vzorce dostaneme J S (S)= 1 a+b+c (abc2 + acb 2 + bca 2 )=abc. Z definice momentu setrvačnosti a využitím Steinerovy věty pro bod O dostaneme r 2 (a+b+c)=j S (O)=J S (S)+(a+b+c) OS 2, r 2 (a+b+c)=abc+(a+b+c) OS 2,

7 OS 2 = r 2 abc a+b+c. abc Zbývá nahlédnout, že a+b+c =2rρabudemehotovi.Toaleplyneznásledujícíhodvojího vyjádření obsahu P trojúhelníku ABC: c 2 (a+b+c)ρ=2p= absin γ= ab r = abc 2r. Poznámka: Z dokázaného vzorce snadno plyne Eulerova nerovnost r 2ρ. Aplikace ve čtyřúhelníku Nyní se pokusíme aplikovat naši teorii v geometrii čtyřúhelníku. Připomeňme na úvod několik pojmů. Čtyřúhelník se nazývá tětivový, pokud mu lze opsat kružnice, tečnový, pokud mu lze vepsat kružnice, a dvojstředový, pokud je tečnový i tětivový. Pokud má čtyřúhelník všechny vnitřní úhly menší než 180 stupňů, říkáme, že je konvexní. Snadno lze nahlédnout, že konvexní čtyřúhelník je tečnový právě tehdy, když oba součty délek protilehlých stran jsou stejné. Čtyřúhelník je tětivový právě tehdy, když součet protilehlých úhlů je 180 stupňů. Později dokážeme i jiné kritérium tětivovosti vyjádřené pomocí délek stran a úhlopříček. V dalším textu budeme vždy uvažovat čtyřúhelník ABCD s běžně označenými stranami ( AB =a, BC =b,...),úhlopříčkami( AC =e, BD =f)aúhly( BAD =α,...). Věta 15. Úsečky spojující středy protilehlých stran a úsečka spojující středy úhlopříček libovolného čtyřúhelníku se protínají v jednom bodě. Důkaz: Mějmečtyřúhelník ABCDauvažujmesoustavu S=[(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)]. Těžiště soustavy bude oním bodem, jímž procházejí všechny tři úsečky v zadání. K těžištisemůžemedostatrůznýmizpůsoby.napříkladtak,ženejprveurčímetěžiště T S (A, B) a T S (C, D)apotétěžištětěchtodvoubodů. T S jetedystředemúsečkyspojujícístředúsečky AB se středem úsečky CD. Podobně snadno obdržíme výsledek i pro zbylé dvě úsečky. Poznámka: Dokázali jsme též, že společný bod všechny tři úsečky půlí. Z toho například plyne, že čtyřúhelník určený středy stran ABCD je rovnoběžník. Tomuto rovnoběžníku se říká Varignonův. Při konstrukčních úlohách často pomáhá význačný rovnoběžník, který je s Varignonovým stejnolehlý(střed stejnolehlosti je jeden z vrcholů ABCD, koeficient 2). Vznikne např. tak, žeposunutím ACposunemebod Bdobodu B abod Ddobodu D azískámerovnoběžník BB D D. V tomto rovnoběžníku (spolu s bodem C) je skryto mnoho prvků původního čtyřúhelníku ABCD.Velikostistran BB D Djsouvelikostiúhlopříček ABCD,svírajíspolu stejnýúhel.vzdálenostivrcholů BB D Dodbodu C jsouvelikostistran ABCD.Samisi rozmyslete(nebo se podívejte na obrázek), kde najdeme úhly ABCD a jaký význam mají úhlopříčky BB D D.Podlepolohybodu Cnavícpoznáme,je-li ABCDkonvexní tonastane právětehdy,když Cležíuvnitř BB D D.

8 d D e e c f D d C b a e f B (C, e 1 ) c b e 2 T f 2 (B, f 2 ) f 1 e 1 d a (A, e 2 ) A a B (D, f 1 ) Význačný rovnoběžník Obr. k Ptolemaiově větě Věta 16.(Eulerova věta o čtyřúhelníku) V libovolném čtyřúhelníku platí kde u je vzdálenost středů úhlopříček. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 +4u 2, Důkaz: Zatímjsmepracovalistěžištěmsoustavy S=[(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)].Nyníse podíváme na její moment setrvačnosti. Označme E, F středy úhlopříček e, f. Z Jacobiho vzorcedostaneme J S (T S )= 1 4 (a2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 + f 2 ).Zdefinicenámvyjde J S (E)= 1 2 (e2 +f 2 +4u 2 )(Cvičení10 jetřebavyužítsteinerovuvětuprodvojicibodů B, D).Aze Steinerovy věty dostaneme po krátké úpravě dokazovanou rovnost. Poznámka: Prorovnoběžníkodtuddostávámeznámývztah2(a 2 + b 2 )=e 2 + f 2. Věta 17. Je dán konvexní tětivový čtyřúhelník s kolmými úhlopříčkami, které se protínají vbodě X.Potom AX 2 + BX 2 + CX 2 + DX 2 =4r 2,kde rjepoloměropsanékružnice. Důkaz: Použijeme stejnou soustavu jako v minulém důkazu. Podíváme-li se pozorně na dokazovaný vztah, zjistíme, že na levé straně je moment setrvačnosti S vzhledem k X a na pravé straně je moment setrvačnosti S vzhledem ke středu opsané kružnice. Momenty setrvačnosti S vzhledem ke dvěma bodům se rovnají, pokud jsou tyto body stejně vzdáleny od těžiště (to plyne ze Steinerovy věty). Vybaven touto myšlenkou již jistě čtenář důkaz úspěšně završí (Cvičení 11). Věta18.(Ptolemaiovavěta) Čtyřúhelníkjetětivovýprávětehdy,když ef= ac+bd. Důkaz: Dokážeme pouze jednu implikaci. Předpokládejme, že čtyřúhelník ABCD je tětivový. Označme T průsečík jeho úhlopříček. Dále označme úsečky AT, BT, CT, DT pořadě písmeny e 1, f 1, e 2, f 2.Stejnýmipísmenybudemeznačitijejichvelikosti(značenívizobrázek).Platí e 1 + e 2 = e, f 1 + f 2 = f(zřejmé)ae 1 e 2 = f 1 f 2 (vizvěta19).zvolímehmotnosti vrcholůtak,aby Tbyltěžištěmnašísoustavy volíme S=[(A, e 2 ),(B, f 2 ),(C, e 1 ),(D, f 1 )].

9 Potom T S (A, C)=T, T S (B, D)=T,tedy T S = T.Vyjádřímemomentsetrvačnosti Spodle definice a z Jacobiho vzorce. Porovnáním obdržíme po krátké úpravě 2efe 1 e 2 = e 2 f 2 a 2 + e 1 f 2 b 2 + e 1 f 1 c 2 + e 2 f 1 d 2. ( ) Vyjádříme dvojím způsobem obsahy trojúhelníků ABT a CDT: 2S(ABT)=e 1 f 1 sin ATB =e 1 asin BAC, 2S(CDT)=e 2 f 2 sin CTD =f 2 csin BDC. Uvědomímesi,žeúhlyvhornímřádkuserovnajíúhlůmvdolnímřádku(větaoobvodovém úhlu)asrovnánímtěchtovztahůdostaneme: cf 1 = ae 2.Obdobně df 1 = be 1.Nyníjižsnadno upravíme( )dotvaru ef= ac+bd. Poznámka: Ptolemaiova věta plyne rovněž z Bretschneiderovy věty(někdy se jí říká kosinová věta pro čtyřúhelník): V konvexním čtyřúhelníku platí e 2 f 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2abcdcos(α+γ). Z toho také dostaneme veledůležitou Ptolemaiovu nerovnost ef ac + bd platnou pro libovolný čtyřúhelník s rovností právě pro tětivový čtyřúhelník. Pro konvexní čtyřúhelník provedeme důkaz takto: (ef) 2 = e 2 f 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2abcdcos(α+γ) a 2 c 2 + b 2 d 2 +2abcd=(ac+bd) 2. Jak provést důkaz nerovnosti pro nekonvexní čtyřúhelník?(cvičení 12) Poznámka: Ptolemaiovanerovnostje obraztrojúhelníkovénerovnostivkruhovéinverzi. Ověřte toto heslo(cvičení 13 za střed vezměte jeden z vrcholů čtyřúhelníku). Ještě jedna aplikace Věta19.(Mocnostbodukekružnici) Jedánakružnice k(s, r)abod M.Bodem Mveďme přímku p,kteráprotínákružnici kvbodech A, B.Potom MA MB = r 2 MS 2.Součin MA MB tedynezávisínavolběsečny p,nazývásemocnostbodu Mkekružnici k. Důkaz: Předpokládejme, že bod M leží uvnitř k. Důkaz pro druhý případ provedeme obdobně(cvičení 14).Uvažujmesoustavu O=[(A, MB ),(B, MA ).Jezřejmě T S = M. Z definice zjistíme, že A ze Steinerovy věty J O (M)= MB MA 2 + MA MB 2 = MA MB AB, J O (S)= MB r 2 + MA r 2 = r 2 AB. r 2 AB = MA MB AB + MS 2 AB,

10 cožje(jižtéměř)to,cojsmechtěli. Závěrem Závěr bude, podobně jako úvod, patřit k nejslabším částem seriálu, neboť mé pisatelské možnosti jsou, jak jste již zřejmě poznali, prekompaktní(tzn. totálně omezené). Ač to abstraktní srdce matematika těžce nese, někdy vychytralá fyzikální úvaha pomůže najít cestu k řešení, případně též samotné řešení. Kromě příkladů využívajících úvahy o těžištích a momentu setrvačnosti lze v geometrii nalézt i jiná uplatnění fyzikálního přístupu. Ojednomznichpojednáváčlánek Potenciálníenergiearovnováhasilvgeometrii,který vyšelopětvrozhledech(rok2000,číslo1),autoremjeopětdoc.j.šimša(vizúvod).další možná uplatnění čekají právě na vás, na čtenáře, kteří jste se dočetli až k těmto posledním řádkům letošního seriálu. A to je vše.