11. Mechanika tekutin

Transkript

1 . Mechanika tekutin.. Základní poznatky Pascalův zákon Působí-li na tekutinu vnější tlak pouze v jednom směru, pak uvnitř tekutiny působí v každém místě stejně velký tlak, a to ve všech směrech. Hydrostatický tlak v hloubce h pod povrchem kapaliny o hustotě p = hg. Archimedův zákon Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou F vz směřující svisle vzhůru. Velikost této síly je rovna velikosti tíhy kapaliny o stejném objemu V, jakou má ponořená část tělesa, tj. F vz = V k g, kde k je hustota kapaliny. Tlaková síla r r F = p ds, ( S ) kde S r d je vektor elementu plochy kolmý na plochu o velikosti ds v místě, kde je tlak p. Barometrický tlak p ve výšce h 0g h p0 p p0 e =, kde p 0 je tlak při hladině moře, tj. ve výšce h = 0 a 0 je hustota vzduchu pro h = 0. Rovnice kontinuity Sv = konst., případně S v = S v, kde S je průřez trubice, je hustota kapaliny a v je rychlost jejího proudění. Při ustáleném proudění ideální kapaliny projde každým průřezem trubice za jednotku času stejné množství kapaliny. Objemový tok Q = S v, kde v je rychlost proudění kapaliny v trubici s průřezem S. Výtoková rychlost v kapaliny otvorem v nádobě ( p ) p v =, kde p je tlak uvnitř kapaliny v místě otvoru, p tlak vně nádoby a hustota kapaliny. 8

2 Bernoulliho rovnice (viz obr. 48) p + h g + v = konst., příp. pro = konst. p + h g + v = p + h g + v. obr. 48 Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná. Síla, kterou působí kapalina na stěnu trubice při změně rychlosti z v r na v r (věta o zachování hybnosti) r r r F = Qm ( v v ), m kde Q m = je tzv. hmotnostní tok. t Viskozita kapaliny η ν =, kde ν je součinitel kinematické viskozity, η je dynamická viskozita a hustota kapaliny. Reynoldsovo číslo vd R =, ν kde v je rychlost kapaliny, d průměr trubice a ν součinitel kinematické viskozity. Hagenův Poisseuillův vztah Q V 4 = πr Δp. 8 η Δl Objemový tok Q V viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je Δp přímo úměrný tlakovému spádu a čtvrté mocnině poloměru trubice r a nepřímo úměrný Δl dynamické viskozitě η. 9

3 Odpor prostředí Stokesův vztah r r F = 6πηrv, kde F r je síla odporu, který klade prostředí s dynamickou viskozitou η kulovitému tělesu o poloměru r pohybujícímu se rychlostí v r. Obecně r r F = kηlv, kde k je konstanta závislá na tvaru tělesa a l je tzv. charakteristický rozměr tělesa. Newtonův vztah F = C Sv, kde C je tvarový součinitel odporu, S příčný průřez tělesa, je hustota prostředí a v je rychlost pohybu tělesa. Obecně síla odporu prostředí F = Av + Bv, kde A, B jsou pro dané těleso a tekutinu konstanty... Otázky a problémové úlohy... Charakterizujte skupenství pevné, kapalné a plynné z hlediska jejich struktury a vlastností.... Vysvětlete a rozlište pojmy tekutina, kapalina, plyn, ideální kapalina, ideální plyn, skutečná kapalina, skutečný plyn...3. Formulujte Pascalův zákon. Jak lze dokázat, že tlak tekutiny je vždy kolmý na stěnu nádoby?..4. Co je hydrostatické paradoxon? Vysvětlete fyzikálně...5. Odvoďte platnost Pascalova zákona ze zákona zachování energie...6. Proč je povrch klidné kapaliny vodorovný? Jaký tvar má povrch kapaliny, která rotuje spolu s válcovou nádobou?..7. Co je hydrostatický tlak vznikající účinkem tíhy?..8. Na čem závisí velikost tlakové síly na dno nádoby způsobené hydrostatickým tlakem?..9. Nádoba mající tvar kvádru je naplněna kapalinou až po okraj. Jak vypočítáme velikost tlakové síly na svislou stěnu nádoby?..0. Na čem závisí velikost vztlakové síly? Vyslovte zákon o vztlakové síle. 0

4 ... Jaká podmínka musí být splněna, aby těleso plovalo na hladině kapaliny?... Proveďte rozbor stability plovoucích těles...3. Popište Torricelliho pokus. Co dokazuje tento pokus?..4. Vysvětlete funkci a princip následujících přístrojů a zařízení barometr, otevřený manometr, uzavřený manometr, hustilka, kompresor, vývěva...5. Objasněte fyzikálně princip spojených nádob a uveďte, jak jich lze užít k měření hustoty...6. Vysvětlete fyzikální podstatu hydraulického lisu...7. Vysvětlete pojmy stacionární proudění, proudnice, proudová trubice, proudové vlákno, objemový průtok, hmotnostní průtok...8. Jakými grafickými prostředky mapujeme rychlostní pole proudící tekutiny?..9. Co je rovnice kontinuity toku? Platí pouze pro ideální kapalinu nebo i pro kapalinu skutečnou?..0. Ukažte, že tlak v kapalině lze pokládat za energii objemové jednotky kapaliny. Odvoďte vztah pro rychlost vytékání kapaliny otvorem ve stěně nádoby. Jaký tvar má tento vztah, vytéká-li kapalina jen účinkem vlastní tíhy?... Vyslovte Bernoulliho rovnici, formulujte ji matematicky, proveďte její rozbor.... Vysvětlete pojmy rychlostní výška, tlaková výška, tlakový spád...3. Vysvětlete fyzikální podstatu tzv. hydrodynamického paradoxu. Kde je tento jev využíván v praxi?..4. Co je hydrodynamický tlak? Může tento tlak být záporný?..5. Jak lze změřit dynamický a jak statický tlak proudící kapaliny?..6. Vysvětlete fyzikální funkci Mariottovy láhve (obr. 49), z níž vytéká voda stálou rychlostí...7. Jak vysvětlíme skutečnost, že foukáme-li mezi dvě aerodynamicky prohnuté pohlednice (obr. 50), přitahují se pohlednice k sobě, místo aby se odpuzovaly? obr. 49 obr. 50

5 ..8. Co je Prandtlova trubice a k čemu se používá?..9. Vysvětlete funkci Venturiho trubice Míček stolního tenisu vložíme do proudícího vzduchu. Vysvětlete chování míčku v situacích, které jsou znázorněny na obr. 5. obr Co je proudění laminární a co turbulentní?..3. Co je dynamická a co kinematická viskozita?..33. Na čem závisí velikost tečného napětí při proudění skutečné kapaliny Platí při proudění skutečné kapaliny věta o zachování mechanické energie?..35. Kterými metodami lze měřit viskozitu? Jak závisí viskozita kapalin na teplotě?..36. Na čem závisí odporová síla prostředí?..37. Co vyjadřuje Stokesův zákon?..38. Odvoďte Newtonův vzorec pro odpor prostředí Vysvětlete podstatu vzniku dynamického vztlaku na nosnou plochu letadla Jak vypočteme rychlost, kterou na povrch Země dopadne kapka vody, padá-li z velké výšky?..4. Na kterém zákonu jsou založeny průtokové viskozimetry?.3. Řešené úlohy.3.. Na klidné vodní hladině plave míč, jehož vnitřní poloměr je r a tloušťka stěny je d. Hustota materiálu, z něhož je míč vyroben je m. Vložíme-li do míče těleso o hmotnosti m, bude se míč s tělesem v kapalině volně vznášet tak, že bude celý ponořený. Jaká je hmotnost m tělesa? Hmotnost vzduchu uvnitř míče zanedbejte, hustota vody je v. Řešení: Nejdříve určíme hmotnost m s celé soustavy míč + těleso. Platí 4 m s = m + m π m π ( r + d ) πr = m + ( 3r d + r d d )

6 Tedy na celou soustavu působí tíhová síla 3 ( 3r d + r d d ) 4 F G = mg + π m g Současně je celá soustava nadnášena hydrostatickou vztlakovou silou F vz, pro kterou platí podle Archimédova zákona 3 3 ( r + 3r d + r d d ) 4 F vz = V v g = π v g Při volném plování tělesa musejí být obě síly v rovnováze, tedy porovnáním pravých stran předchozích rovnic dostaneme po úpravě pro hledanou hmotnost m vztah 3 3 [( 3r d + r d + d ) ( ) r ] 4 m = π 3 v m + v Tenká homogenní tyčinka je jedním koncem připevněna ke stěně nádoby a druhým koncem je ponořena do kapaliny. Tyčinka se může volně otáčet kolem bodu připevnění na stěně umístěného nad volnou hladinou kapaliny. Určete hustotu materiálu tyčinky, je-li ve stavu rovnováhy pouze n tina tyčinky neponořena. Hustota kapaliny je k. Kapilární jevy a tření v bodě otáčení zanedbejte. Řešení: Na tyčinku působí v jejím těžišti tíhová síla F G a ve středu ponořené části hydrostatická vztlaková síla F vz daná Archimédovým zákonem. Obě tyto síly mají nenulový moment vzhledem k bodu upevnění tyčinky. Oba momenty musejí být v okamžiku rovnováhy stejně velké a opačně orientované. Pro síly platí n F G = S l g, Fvz = S l k g, n kde S je průřez tyčinky a l je její délka. Označme α úhel, který svírá tyčinka s boční stěnou nádoby. Pro ramena obou předchozích sil tak platí r = l sinα n l n + G, r vz = l l sinα = sinα. n n Z rovnosti velikostí obou momentů sil F G r G = F vz r vz plyne pro hledanou hustotu = k. n.3.3. Vodorovně položená trubice malého průřezu a délky l je naplněná ideální kapalinou. Trubice rotuje s konstantní úhlovou rychlostí ω kolem svislé osy procházející jedním jejím koncem. Ve druhém konci je malý otvor, kterým může kapalina vytékat. 3

7 Určete závislost výtokové rychlosti v kapaliny na délce h kapalinového sloupce v trubici. Řešení: obr. 5 Zvolme si element hmotnosti dm kapaliny v trubici. Označme vzdálenosti l, h, x a dx tak, jak ukazuje obr. 5. Odstředivá síla působící na element hmotnosti dm vyvolá v kapalině tlak o velikosti ( x + l h) dm ω dp = = ω S ( x + l h) dx kde S je průřez trubice a je hustota kapaliny. Celkový tlak kapaliny vyvolaný odstředivou silou je h x p = dp = ω ( x + l h) dx = ω + lx hx = ω h ( l h). 0 Zanedbáme-li tlak vzduchu v okolí otvoru, plyne z Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu p = v. Porovnáním s předchozím vztahem dostaneme po úpravě hledanou rychlost v ( l h) v = ω h V boční stěně nádoby se nachází malý otvor, jehož hrana je ve výšce h nad vodorovnou rovinou. Určete velikost vodorovného zrychlení a nádoby, se kterým by se musela pohybovat, aby z ní kapalina otvorem nevytékala. Výška sloupce kapaliny v nádobě je H a šířka přední stěny nádoby je l. Řešení: Pokud by se nádoba nepohybovala, vytékala by kapalina otvorem rychlostí ( H h) v = g., h 0 4

8 Ze zákona zachování hybnosti plyne, že při výtoku kapaliny o hmotnosti dm danou rychlostí v za dobu dt bude nádobě udělena hybnost dp = v dm = v Sv dt = S g (H h) dt, kde S je plocha otvoru. Na kapalinu o objemu V = Sl, která je ve výšce otvoru uvnitř nádoby, působí síla dp F = = gs dt ( H h). Při pohybu nádoby působí na stejný objem kapaliny setrvačná síla F s, která má opačný směr, než je směr zrychlení a, a která musí mít i opačný směr než síla F a musí být minimálně stejně velká, aby kapalina otvorem nevytékala. Z toho plyne, že nádoba musí mít zrychlení na tu stranu, na kterou míří otvor ve stěně nádoby. Navíc musí platit F s = ma = Sla F. Odsud pro hledanou velikost zrychlení a platí ( H h) g a. l.3.5. Určete konečnou rychlost v pádu dešťové kapky ve tvaru kuličky o poloměru r ve vzduchu, je-li dynamická viskozita vzduchu η a hustota vody. Hustotu vzduchu vzhledem k hustotě vody zanedbejte. Řešení: Při volném pádu je těleso urychlováno směrem k zemi tíhovou sílou F G, pro kterou platí F G 4 3 = mg = vvg = πr v g, 3 kde v je hustota dešťové vody. Při pohybu v odporovém prostředí působí na těleso také odporová síla F o, která je pro tělesa kulovitého tvaru pohybující se rychlostí v dána Stokesovým zákonem, tedy F o = 6π r η v. Obě síly mají navzájem opačný směr a tedy při vyrovnání jejich velikostí bude výsledná síla působící na kapku nulová a podle Newtonova zákona setrvačnosti se bude dále kapka pohybovat rovnoměrně přímočaře rychlostí v. Porovnáním vztahů pro obě síly dostaneme po úpravě r g v =. 9 η 5

9 .4. Úlohy.4.. Průřez vodorovné trubice, kterou proudí voda, se zužuje z hodnoty S = 0 cm na S = 0 cm. Manometrické trubice umístěné v místech obou průřezů, ukazují rozdíl hladin Δh = 0 cm. Určete, jaký objem Q vody proteče trubicí za t = s. Δhg Q = SS =,9 0-3 m 3 s - S S.4.. Určete, do jaké hloubky h l se ponoří plný homogenní kužel výšky h, hustoty, plovoucí na kapalině hustoty a) vrcholem dolů, b) vrcholem nahoru. a) = 3 h h, b) h = h Skleněný válec výšky h = 0 cm a průřezu S = 30 cm naplníme vodou, přikryjeme listem papíru a obrátíme. Jak velkou silou F je papír přitlačován k válci, je-li barometrický tlak p 0 = 9,8 0 4 Pa? F = S (p 0 h v g) = 88 N.4.4. Do nádoby přitéká voda rovnoměrně tak, že za t = s přiteče množství Q V = 50 cm 3 s -. Ve dnu nádoby je otvor o průřezu S = 0,5 cm. V jaké výšce h se ustálí hladina vody v nádobě? Zúžení vodního paprsku vytékajícího otvorem zanedbejte. V Q h = = 45,9 cm gs.4.5. Jak velkou tlakovou silou F působí voda na svislou obdélníkovou stěnu nádoby, je-li výška vody v nádobě h = 40 cm a šířka stěny a = 30 cm? F = ah v g = 35,44 N.4.6. Ve dvouramenné spojené nádobě je nalita rtuť. Do jednoho ramene přilijeme kapalinu o neznámé hustotě. Sloupec této kapaliny má výšku h = 4 cm, rtuť ve druhém rameni (měřeno od společného rozhraní) má výšku h = cm. Určete hustotu kapaliny, je-li hustota rtuti = 3,6 0 3 kg m -3. h = = 33 kg m -3 h 6

10 .4.7. Trubici zahnutou do pravého úhlu vložíme do proudící kapaliny. Do jaké výšky h vystoupí kapalina v této trubici, jestliže ve stejné trubici, která není zahnutá, vystoupí kapalina do výšky h? Rychlost proudění kapaliny v daném místě je v. h = h + v g.4.8. Jaká je plocha S nejmenší ledové kry, která právě unese těleso o hmotnosti m = 96 kg? Tloušťka kry je d = 0,3 m, hustota ledu L = 90 kg m -3. m S = = 4 m d ( ) v L.4.9. Jak velkou silou F zvedneme ve vodě kámen, jehož hustota je K = 500 kg m -3 a hmotnost m = 00 kg? F = mg K K v = 588,6 N.4.0. Ledovec hustoty = 90 kg m -3 plave na mořské hladině. Hustota mořské vody je = 030 kg m -3. Jaká část V celkového objemu V ledovce je nad hladinou? V = V = 0, V, tedy %.4.. Mosazné těleso bylo vyváženo na vzduchu závažím o hmotnosti m = 0,6 kg, ve vodě závažím o hmotnosti m = 0,4 kg. Určete hustotu M mosazi. m M = v = 8000 kg m -3 m m.4.. Do válce Segnerova kola byly nality V = l vody, takže výška vodního sloupce byla h = 60 cm. Určete potenciální energii E p, kterou tato voda v přístroji představuje. E p = vvgh = 5,89 J.4.3. Uzavřená nádoba zčásti naplněná vodou má výtokový otvor v hloubce h = 3 m pod hladinou. Jaká je počáteční výtoková rychlost v vody, má-li vzduch nad hladinou tlak p =,7 0 5 Pa, vzduch vně nádoby tlak p = 0 5 Pa? ( p p ) v = + hg = 9,97 m s - v 7

11 .4.4. Do nádoby přitéká voda rovnoměrným proudem tak, že za t = min přiteče objem V = 30 l. Ve dnu nádoby je otvor o průřezu S = cm. V jaké výšce h se ustálí voda v nádobě? V h = gt S = 3,8 cm.4.5. Ohnutá trubice byla vložena do proudící vody (obr. 53). Rychlost proudu vzhledem k trubici je v =,5 m s -. V uzavřeném horním konci trubice je malý otvor, nacházející se ve výšce h 0 = cm nad hladinou proudící vody. Do jaké výšky h bude stříkat voda z tohoto malého otvoru? v h = h = 9,9 cm g 0 obr Přístroj umožňující vytékání kapaliny z nádoby s konstantní rychlostí je zobrazen na obr. 54 (tzv. Mariottova láhev). Určete rychlost v proudění kapaliny v tomto případě, jestliže známe vzdálenost h. v = gh obr. 54 8

12 .4.7. Ve svislé válcové nádobě je nalita voda do výšky h = 80 cm. Ve stěně nádoby jsou dva otvory nad sebou a proudy vody, které z nich tryskají, dopadají na totéž místo vodorovné roviny, na níž stojí nádoba. V jaké výšce h je druhý otvor, je-li první ve výšce h = 0 cm? h = h h l = 60 cm.4.8. Krychle o hraně a je naplněna až po okraj vodou. V jejím dně je otvor o průřezu S. Za jakou dobu t vyteče voda z krychle? a t = S ga Na vozíku stojí válcová nádoba naplněná vodou do výšky h = m. V nádobě jsou proti sobě vyvrtány dva stejné otvory o průřezu S = 0 cm, jeden ve výšce h = 5 cm a druhý ve výšce h = 50 cm nad dnem nádoby. Jak velikou silou F a ve kterém směru musíme působit na vozík, aby se nepohyboval, vytéká-li volně oběma otvory voda. F = v Sg (h h l ) = 4,9 N směrem od otvoru ve větší výšce k otvoru v menší výšce.4.0. Určete rychlost stacionárního proudění malým otvorem pro ideální kapalinu nacházející se pod tlakem p plynu v uzavřené nádobě (obr. 55), je-li v okolí nádoby barometrický tlak p 0. Otvor se nachází ve hloubce h pod hladinou kapaliny a hustota kapaliny je. ( p p ) 0 v = + hg obr. 55 9

13 .4.. Průřez vodorovného potrubí se zužuje z S = 40 cm na S = 6 cm. Rychlost vody v širší části je v = m s -, přičemž manometr v této části ukazuje přetlak p = 7500 Pa. Jaký je přetlak p v zúžené části potrubí? p S S = p + vv = 4875 Pa S.4.. Při měření viskozity vody bylo zjištěno, že kapilárou o délce l = 0 cm a vnitřním průměru d = mm protekl za dobu t = 3 min objem V = 0 cm 3 vody, přičemž tlakový rozdíl na koncích kapiláry byl dán vodním sloupcem o výšce h = 50 cm. Určete dynamickou viskozitu η vody. 4 πd h v gt η = = 9, kg m - s - 8 Vl.4.3. Určete konečnou rychlost pádu dešťové kapky, je-li její poloměr r = 0,5 mm a dynamická viskozita vzduchu η =,8 0-5 kg m - s -. Vztlak vzduchu zanedbejte. v gr v = = 30,3 m s - 9η.4.4. Korková kulička o poloměru r = mm a hustotě K = 300 kg.m -3 je upevněna na dně nádrže s vodou. Jakou mezní rychlostí v bude kulička vystupovat, jestliže ji uvolníme? Dynamická viskozita vody je η =, 0-3 kg m - s -. r g v v K = 5,55 m s - 9η = ( ).4.5. Jak velký objem V glycerínu proteče za dobu t = 0 min trubicí o poloměru r = mm a délky l = 0 cm při přetlaku na koncích trubice p = Pa? Dynamická viskozita glycerínu je η =, kg m - s -. 4 πr pt V = = 0,785 l 8ηl 30