Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely pokračování Model malého světa
|
|
- Veronika Kučerová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely pokračování Model malého světa
2 Literatura Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms. Cambridge University Press. [ ] csci5352_2017_l3.pdf Albert-László Barabási -worlds
3 Náhodný graf G n,p Mřížka pravidelný stupeň vrcholu velké vzdálenosti velký shlukovací koeficient (např. mřížka) (ale C=0 pro čtvercovou mřížku) Víme že, řídké náhodné grafy: průměrný stupeň <d> = np nejsou místně strukturovány všechny hrany jsou stejně pravděpodobné a k sousedům vrcholů se nepřistupuje nijak speciálně, malý shlukovací koeficient (při průměrném stupni vrcholů <d> a rostoucím n se p hrany snižuje, hodnota shlukovacího koeficientu C klesá, C=p) vzdálenosti v nich jsou malé, průměrně log n/log <d>
4 G n,p efekt průměrného stupně <d> Pro <d>< 1: Malé, izolované shluky Malý průměr D Malá L pro <d> = 1: Objevuje se velká komponenta Průměr D dosahuje vrcholu L je velká pro <d> > 1: Téměř všechny vrcholy propojeny Průměr D se snižuje L klesá d
5 Závěr - G n,p Model náhodného grafu nevyhovuje reálným sítím zejména proto, že: Reálné grafy mají mocninné rozdělení distribuce stupňů (power-law), ne Poissonovo. Reálné sítě mají vysoký shlukovací koeficient, náhodné grafy mají obecně malý shlukovací koeficient, který se s rostoucím n blíží k 0 (při konstantní p). Reálné sítě mají komunitní strukturu (vysvětlíme později v MADII) Jiné modely sítí vyhovující reálným sítím lépe, začaly vznikat koncem 90. let m.s.
6 Model malého světa Existuje řídký graf s velkým shlukovacím koeficientem C a malou průměrnou vzdáleností L? Důležité v lidských sítích, lidé se shlukují; je přirozené, že lidské sítě mají velký C Sítě malého světa vs. náhodné sítě srovnatelné velikosti C sw >> C rand, L sw L rand (sw = small world) Vlastnost malého světa L log n Vlastnost ultra-small-world L log n
7 Model malého světa Stanley Milgram, 1967 experiment s dopisy odeslanými z Nebrasky příteli v Bostonu pojem šest stupňů odloučení. 160 dopisů (odesílatelů) z Kansasu a Nebrasky mělo doručit dopis adresátovi z Massachusetts: neznáte-li adresáta, předejte dopis osobě, se kterou si tykáte, a o které předpokl., že by adresáta znát mohla, každá osoba měla odeslat potvrzující dopis zpět na Harvard (to umožnilo sledovat cesty dopisů). 42 dopisů dorazilo do cíle, průměr byl D = 12, průměrná vzdálenost L = 5.5 U G n,p víme, že je-li <d>=1, graf obsahuje obrovskou souvislou komponentu, kde je průměrná vzdálenost malá malý svět
8 Baconovo, Erdősovo číslo Erdősovo číslo síť spolupráce spoluautoři, viz P. Erdős má číslo 0, Ti, kdo s ním měli společný článek, mají číslo 1,... Př. Einstein má EČ dva, N.Chomsky má EČ čtyři, B.Gates také čtyři, S.Hawking 4, A.Turing 5 Baconovo číslo ( Ch. Chaplin má BČ 3, E. Presley 2, R. Steiger 2 Průměrné Baconovo číslo (tj průměrná vzdálenost) k 10/ Eric Roberts (L= ), nejvyšší průměrné BČ je Viz
9 K. Bacon, E. Roberts Průměrné Baconovo číslo k 10/
10 y Tým z Kolumbijské university v New Yorku Dodds, Muhamad, Watts, (Science 301, 2003) mezi registrovaných účastníků rozděleno 18 cílových adres ve 13 zemích (např. profesor na univerzitě Ivy League, inspektor v Estonsku, technologický konzultant v Indii, policista v Austrálii, veterinář v norské armádě Cíl v Chorvatsku nebyl dosažen úkolem bylo doručit zprávu jim přidělenému cíli předáním zprávy osobě, o které si mysleli, že má k cíli blíže než oni sami cest pro jednotlivé zprávy, 384 dosáhlo cíle, +60,000 osob celkem, 166 zemí L = columbia.pdf
11 Model malého světa N m <d> L D log n / log <d>
12 Model malého světa Topologie malého světa malé vzdálenosti s velkým shlukovacím koeficientem - nezávisle na velikosti sítě. Model Watts-Strogatz 1998, kruhová mřížka o n vrcholech, m hranách, kde každý vrchol sousedí s prvními k sousedy a hrana je přepojena náhodně s pravděpodobností p (smyčky a multihrany nejsou povoleny). Pst p je tedy pst přepojení hrany
13 Watts - Strogatz WS model sítě spoluprací (herci), biologická síť (PPI síť, červ C.elegans) p=0 p=1 Je-li p=0, máme pravidelnou mřížku Je-li p=1, model konverguje k náhodnému grafu A mezi 0 a 1?
14 Watts - Strogatz n = 20, m = 40, <d> = 4 0, 5, 200 přepojení (mřížka, sw, rand) L =2.89, 2.35, 2.21, C = 0.5, 0.40, 0.23, D = 5,4,5
15 Watts - Strogatz Z p=0 a p=1 se může zdát, že vysoký C je asociován s velkou L a naopak malý C s malou L. Ale Watts-Strogatz dokázali (experimentálně), že existuje velký interval p, pro který se L(p) blíží L(1) zatímco C(p)>> C(1), (malé L a velké C jsou vlastnosti reálných sítí). 15
16 C(p)/Cmax L(p)/Lmax Watts numericky simuloval, že s p rostoucí od 0 k 1 Se rychle snižuje L Pomalu snižuje C A že existuje interval pro <p1,p2>, který generuje síť s malou L a velkým C.
17 Watts - Newman Watts-Newman 1999: kruhová mřížka o n vrcholech, m hranách, kde každý vrchol sousedí s prvními k sousedy a náhodně je přidána hrana (ale žádná původní hrana mřížky není přemístěna) s pstí p. Lépe se analyzuje, nevznikají izolované komponenty jako u WS modelu (potravní sítě popisující vztahy v ekosystému, elektrorozvodná síť v USA, schéma zapojení mikroprocesoru).
18 Model malého světa WN: shlukovací koeficient C(p) = 2*(2* < 3*( < d > -1) d > -1) + 4* < d > *p*(p + 2) WS: shlukovací koeficient 3*( < d > -1) 3 C(p) = *(1 p) 2*(2* < d > -1) Určení průměrné nejkratší cesty obtížné, Watts: L se nezačne snižovat dokud p<2/n*<d> n L(n, p) = *f (n < d > < d > p) kde
19 Model malého světa Distribuce stupňů u obou modelů malého světa neodpovídá distribuci u reálných sítí (což také nebylo cílem modelů). Přesná charakterizace je složitá, dostáváme však podobnou distribuci jako pro náh. grafy. WS model, mřížka s <d>=3, n=1000, hodnoty pro různá p (přítomny jen pro d> <d>/2),
20 Existují v rand a SW grafech centra? Malé vzdálenosti jsou charakteristické pro rand a SW grafy Distribuce stupňů má pro velká d exponenciální charakter, nedovolují existenci velkých center (vrcholů s vysokým stupněm) na obr. k je stupeň N = 10^6,<k>=4, Random Graph
21 Nový model Potřebujeme model, kde distribuce stupňů bude mít dlouhý konec (bude heavy tailed, right skewed), odrážející existenci center v reálných sítích Kandidát mocninné rozdělení (power law distribution) p(d) d -α na obr. k je stupeň N = 10^6,<k>=4, Random Graph & Scale/free
22 MADI Model preferenčního připojování (BA model), bezškálové grafy
23 Předchozí modely Mřížka pravidelný stupeň, velký shlukovací koeficient C, velká průměrná délka L Náhodné grafy všechny hrany stejně pravděpodobné (s pstí p), malý C, malá L Zobecněné náhodné grafy, vlastnosti jako náhodný graf ale respektuje distribuci stupňů dle mocninného zákona (tímto modelem se nebudeme zabývat) Wats Strogatzův model (Wats Newmanův model ) velký C, malá L
24 Centra (hubs) 2000 Malcom Gladwell - The Tipping Point existence prostředníků v sociální síti 248 příjmení z tel. seznamu pro Manhattan, bod za každého známého s příjmením ze seznamu Různé skupiny lidí (cca 400 osob), různé výsledky (nejméně 2 body, nejvíce 118) 1999 ( zároveň s WS modelem (1998)) Barabási, Jeong, Albertová zkoumali WWW existence center v síti Webu (doména nd.edu) z stránek v doméně univerzity Notre Dame mělo (82%) vstupní stupeň 3, 24 stránek vstupní stupeň cca 1000
25 Centra (hubs) Web později Z 203 mil. stránek mělo in stupeň 10 90% stránek, 3 měly in stupeň cca milion Herecká síť (10/2017) 1. Eric Roberts (L= ), 2. Michael Madsen (d = 6417, L= ), 3. Samuel L. Jackson (L = ), Objev shluků v sítích odporoval modelu n.g. WS model přizpůsobil model n.g. faktu existence shluků objev center definitivně vedl k opuštění náhodného pohledu na reálné sítě.
26 Centra (hubs) Kdyby zmíněné sítě byly n.g.: Gladwell - <d> = 39, nejspolečenštější osoba by musela mít méně než 118 známých Web pravděpodobnost stránky s in stupněm 500 by byla tj. centra nemohou existovat Hollywood E. Roberts by neexistoval, pst existence takového vrcholu Centra i v jiných sítích Buňka centra v síti molekul spojených chem. vazbami (voda, ATP) Studie AT&T vysoký podíl hovorů připadá na malý počet tel. čísel (call centra apod.)
27 Co znamená heavy tailed? Heavy tailed, také right skew Distribuce stupňů Normální rozdělení: Např. výška mužské populace je vycentrována okolo 180cm Mocninné rozdělení: např. městská populace: NYC 8.3 mil. obyv., ale mnoho malých měst Vysoký poměr max k min Výška: Nejvyšší muž 272cm, nejnižší: 74cm, poměr cca 3.7 Populace: NYC 8.3 mil. obyv., Duffield, Virginia 52 obyv., poměr cca
28
29 Invariant Co znamená scale-free? Invariance - neměnnost, stálost jevů nebo veličin vůči změnám Invariant - vztah nebo útvar neměnící se při určité transformaci nebo neměnný v různých variacích Invariant vzhledem ke změně měřítka (scale invariant) př. fraktály, Kochova vločka
30 Mocninný zákon Mocninný zákon je polynomiální závislost f(x) (ve které závislá proměnná x obsahuje exponent α) vyjadřující vlastnost invariance vzhledem k měřítku. Nejobvyklejší mocninný zákon má tvar f(x)=bx α +o(x α ), kde b, α jsou konstanty a o(x α ) je vzhledem k bx α asymptoticky menší funkce. Exponent α se nazývá měřítkový exponent. Měřítkový znamená, že mocninná funkce vyhovuje f(cx) f(x), kde c je konstanta (vyjadřuje, že zvětšením argumentu konstantním poměrem se změní pouze měřítko funkce, ne však její tvar). Pro znázornění funkce v grafické podobě se často používá tzv. loglog tvar zápisu log(f(x))= log b + α *log x Tento zápis představuje lineární závislost, kde α je parametr funkce určující její sklon (je vidět nezávislost tvaru na násobící konstantě argumentu b, tato konstanta nijak neovlivňuje parametr α).
31 Mocninný zákon Nechť stupně d jsou d = 0, 1, 2,..., diskrétní formalizace poskytuje pravděpodobnost p d, že uzel má přesně d hran jako p(d) Cd -α Konstanta C je určena normalizační podmínkou p d =1, pro d=1,2,,. Dostáváme tak C d -α =1 pro d=1,2,, Pro potřeby v bezškálových sítích se používá vztah m.z. p(d) d -α U reálných bezškálových sítí je exponent α typicky v rozmezí 2 α 3 (ale není to pravidlem).
32 Mocninné rozdělení Sklon α lineární měřítko log-log měřítko Velmi šikmé (asymetrie) Přímka v logaritmickém měřítku (rovnice přímky y=c+mx) f(x)=bx α, log(f(x))= log(b) + αlog(x) 32
33 Mocninný zákon Mocninný zákon vypadá stejně, nezávisle na měřítku, ve kterém se na něj díváme Tedy bezškálová distribuce vyhovuje: p(cd) = g(c)p(d), Tedy p(cd) p(d) tvar rozdělení je stále stejný až na multiplikativní konstantu, p(cd)=(cd) -α = c -α d -α d c*d log(p(d)) log(d)
34 Co znamená bezškálovost? Barabási a Albertová - vysvětlili bezškálovost webu pomocí násl. principů: neustálý růst sítě - síť je dynamická a neustále se proměňuje, v každém kroku časového vývoje se k síti přidá jeden uzel, preferenční připojování nového uzlu k starším - nezáleží tedy např. na obsahu webové stránky, ale na počtu stránek, které na ni odkazují. Pojem bezškálový původně jen pro generativní model bohatí bohatnou a chudí chudnou (a za určitých podmínek vítěz bere vše)
35 BA model BA model obecně pro neorientované grafy Mechanismy Růst sítě nejsou statické (na rozdíl od modelu NG), ale rostou (pro každé časové období přidáme k síti jeden vrchol) Preferenční připojování nové vazby (hrany) nejsou náhodné, ale preferují zdatnější vrcholy, pst, že se nový vrchol připojí k vrcholu i závisí proporcionálně na stupni d i přes sumu všech dosud existujících stupňů
36 BA model BA model (neorientovaný graf) vstup: počáteční (pod)graf G 0 s m 0 vrcholy a m (m m 0 ) počet hran pro nový vrchol proces: Vrcholy přidávány jeden po druhém Každý vrchol se připojí k m jiným vrcholům, vybere je s pstí úměrnou jejich stupni jestliže [d 1,,d t ] je posloupnost stupňů v čase t, vrchol t+1 se připojí k vrcholu i s pstí d j i = d j di 2mt
37 BA model Po t krocích máme graf s N=t+m 0 vrcholy a mt hranami Experimentálně Výsledkem je mocninné rozdělení distribuce stupňů s α = 3 (α = 2+1/m, bere m=1) Exponent je nezávislý na m, tedy na jediném parametru modelu Růst je lineární (linear preferential attachment), což vede ke konstantnímu průměrnému stupni (a k tomu, že distribuce stupňů je mocninná pro všechny stupně, což ale není v reálu příliš časté (zpravidla mocninné na konci, obecně od nějakého minimálního stupně > 1))
38 Simulace preferenčního Jednoduchý přístup, O(n) připojování vrcholy uložíme do pole a prvek pole vybíráme náhodně Pst výběru vrcholu je úměrná počtu výskytů prvku v poli (což koresponduje se stupněm vrcholu) Start každý vrchol má stejný stupeň (2), pst výběru vrcholu je 1/
39 Simulace preferenčního připojování Přidáme nový vrchol s m hranami, např. m = 2 Vybereme náhodně dva prvky z pole např. 2 a 3 Po přidání vrcholu 4 jsou psti výběru vrcholu 1, 2, 3 nebo 4 1/5, 3/10, 3/10, 1/5 Přidej nový vrchol náhodně vyber vrchol z pole atd
40 Vlastnosti BA modelu Graf je souvislý Každý nový vrchol vzniká s vazbou nebo více vazbami (podle toho zda m = 1 nebo m > 1) Připojí se ke staršímu vrcholu, který je sám s pojen s jiným vrcholem A začali jsme od souvislého grafu (podgrafu, jádra) Starší vrcholy jsou bohatší Vrcholy postupem času shromažďují vazby, což přináší starším vrcholům výhodu nové vrcholy se připojují preferenčně a starší vrcholy mají vyšší stupně
41 Vlastnosti BA modelu Struktura core-pheriphery, vrcholy s vysokým stupněm mají často vysokou closeness a betweenness centralitu
42 Jak je to se scale-free sítěmi? Síť je často nazývána bezškálovou, pokud distribuce stupňů odpovídá mocninnému zákonu. Pojem bezškálový je však někdy používán chybně, pozor na to tento pojem původně jen pro generativní model Barabási- Albertová, Li: Towards a Theory of Scale-Free Graphs, Sec 3., ( Hlavní vlastnosti grafů SF (podle literatury) SF sítě mají mocninné rozdělení distribuce stupňů SF sítě mohou být generovány náhodnými procesy, jako je např. preferenční připojování SF sítě mají vysoce propojená centra, která drží sítě pohromadě a činí SF sítě odolnými vůči chybám ale zranitelnými vzhledem k cíleným útokům SF sítě jsou obecné v tom smyslu že distribuce stupňů zůstává zachována i při náhodném přepojování hran SF sítě jsou univerzální v tom smyslu, že nezávisí na specifických detailech domény
43 Příklady bezškálových sítí Moby Dick scientific papers AOL users visiting sites 97 bestsellers AT&T customers on 1 day California
44 Příklady Web různé experimenty různé hodnoty α α in = 2.1, α out = 2.45 α in = 2.1, α out = 2.72 α in = 2.1, α out = 2.38 Herci α = 2.3±0.1 Síť telef. hovorů α in = α out = 2.1
45 Další příklady exponent α (in/out degree) film actors 2.3 telephone call graph 2.1 networks 1.5/2.0 sexual contacts 3.2 WWW 2.3/2.7 internet 2.5 peer-to-peer 2.1 metabolic network 2.2 protein interactions 2.4
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Modely - pokračování Literatura Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms. Cambridge University Press. [112-133]
VíceMADI. Model bezškálového grafu (Scale-free graphs) - pokračování
MADI Model bezškálového grafu (Scale-free graphs) - pokračování Předchozí modely Mřížka pravidelný stupeň, velký shlukovací koeficient C, velká průměrná vzdálenost L Náhodné grafy všechny hrany stejně
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Základní (strukturální) vlastnosti sítí Stupně vrcholů a jejich
VíceMetody analýzy dat I. Míry a metriky - pokračování
Metody analýzy dat I Míry a metriky - pokračování Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [168-193] Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis:
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Strukturální vlastnosti sítí 1. krok analýzy
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Strukturální vlastnosti sítí 1. krok analýzy Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [235-270] Zaki, M. J., Meira Jr, W.
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Míry a metriky (Measures and Metrics) - - pokračování
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Míry a metriky (Measures and Metrics) - - pokračování Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [168-193] Zaki, M. J., Meira
VíceModerní aplikace statistické fyziky II - TMF050
Moderní aplikace statistické fyziky II - TMF050 Body 2, E-Kredity 3, 2/0 Zk - LS Miroslav Kotrla a František Slanina kotrla@fzu.cz slanina@fzu fzu.cz kmenově: externě: ÚTF UK FZÚ AV ČR, v.v.i. oddělení
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Albert-László Barabási. Network Science http://barabasi.com/networksciencebook/ kapitoly 1 a 2 http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/5352/csci5352_
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Newman, M. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press. [15-77] Leskovec, J., Rajaraman, A., Ullman, J. D.
VíceMetody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics)
Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Úvod do sítí (Networks Basics) Literatura Newman, M. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press. [15-77] Leskovec, J., Rajaraman, A., Ullman, J. D.
VíceÚvod do mobilní robotiky AIL028
Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního
VíceRedukce bezškálových grafů pomocí genetických algoritmů Scale-free Network Reduction by Genetic Algorithms
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra informatiky Redukce bezškálových grafů pomocí genetických algoritmů Scale-free Network Reduction by Genetic Algorithms 2014
VícePROSTOROVÉ ANALÝZY DAT
PROSTOROVÉ ANALÝZY DAT doc. Dr. Ing. Jiří Horák VŠB-TU Ostrava, HGF, Institut geoinformatiky, 2018 7.vydání část C linie, grafy a sítě 1 Obsah: 1 Linie... 4 1.1 Analýza interakčních dat... 4 1.1.1 Prostorové
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
VícePB050: Modelování a predikce v systémové biologii
PB050: Modelování a predikce v systémové biologii David Šafránek 21.10.2009 Obsah Pojem modelu a simulace in silico opakování Obsah Pojem modelu a simulace in silico opakování Workflow systémové biologie
VíceZdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
VíceUkážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
VíceČasová složitost / Time complexity
Časová složitost / Time complexity Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 24 Složitost algoritmů Algorithm complexity Časová a paměťová složitost Trvání výpočtu v závislosti
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceGenerování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VícePočítačové zobrazování fraktálních množin. J. Bednář*, J. Fábera**, B. Fürstová*** *Gymnázium Děčín **SPŠ Hronov ***Gymnázium Plasy
Počítačové zobrazování fraktálních množin J. Bednář*, J. Fábera**, B. Fürstová*** *Gymnázium Děčín **SPŠ Hronov ***Gymnázium Plasy *jurij.jurjevic@centrum.cz **icarosai@seznam.cz ***barborafurstova7@seznam.cz
VíceALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceFraktály. krásné obrázky v matematice
Fraktály aneb krásné obrázky v matematice Mgr. Jan Šustek 22. 10. 2009 Grafy funkcí Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [ 6, 6] R definované vztahy f(x) = 2 3 Jak vypadají jejich grafy? x 2 + x 6 x 2 + x
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VíceMetody analýzy dat II
Metody analýzy dat II Vzorkování (Sampling) MAD2 2018/19 1 Literatura http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/53 52/csci5352 2017 L9.pdf https://cs.stanford.edu/~jure/pubs/samplingkdd06.pdf https://www.cs.purdue.edu/homes/neville/co
VíceZákladní pojmy teorie grafů [Graph theory]
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
VíceProjekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma
Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění Jan Klíma Obsah Motivace & cíle práce Evoluční algoritmy Náhradní modelování Stromové regresní metody Implementace a výsledky
VíceRegrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA
Regrese používáme tehd, jestliže je vsvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Specifikace modelu = a + bx a závisle proměnná b x vsvětlující proměnná Cíl analýz Odhadnout hodnot
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Více10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy
10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu
VíceMetody analýzy dat II
Metody analýzy dat II Detekce komunit MADII 2018/19 1 Zachary s club, Collaboration network in Santa Fe Institute, Lusseau s network of Bottlenose Dolphins 2 Web Pages, Overlaping communities of word associations
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceBinární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
VíceMonte Carlo. Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel.
Monte Carlo Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel. Typy MC simulací a) MC integrace b) Geometrické MC c) Termodynamické MC d) Modelování vývoje na strukturální
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 1.10.2008 Obsah Pojem modelu a simulace in silico Statická analýza modelu Dynamická analýza modelu Obsah Pojem modelu a simulace in silico Statická analýza
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
VíceVybrané technologie povrchových úprav. Základy vakuové techniky Doc. Ing. Karel Daďourek 2006
Vybrané technologie povrchových úprav Základy vakuové techniky Doc. Ing. Karel Daďourek 2006 Střední rychlost plynů Rychlost molekuly v p = (2 k N A ) * (T/M 0 ), N A = 6. 10 23 molekul na mol (Avogadrova
VíceGrafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik
VíceAlgoritmy I, složitost
A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceElegantní algoritmus pro konstrukci sufixových polí
Elegantní algoritmus pro konstrukci sufixových polí 22.10.2014 Zadání Obsah Zadání... 3 Definice... 3 Analýza problému... 4 Jednotlivé algoritmy... 4 Algoritmus SA1... 4 Algoritmus SA2... 5 Algoritmus
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceRegresní analýza. Eva Jarošová
Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VíceZáklady vakuové techniky
Základy vakuové techniky Střední rychlost plynů Rychlost molekuly v p = (2 k N A ) * (T/M 0 ), N A = 6. 10 23 molekul na mol (Avogadrova konstanta), k = 1,38. 10-23 J/K.. Boltzmannova konstanta, T.. absolutní
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceFraktály. Ondřej Bouchala, George Dzhanezashvili, Viktor Skoupý
Fraktály Ondřej Bouchala, George Dzhanezashvili, Viktor Skoupý 19.6.2012 Abstrakt Tato práce se zabývá vlastnostmi a vykreslováním fraktálů. Popisuje fraktální dimenzi (soběpodobnostní a mřížkovou), dále
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceNESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1
NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.
VíceObsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů (separace kořenů)
76 Rovnice vyšších řádů (separace kořenů) Předpoklady: 00507, 00705 Přehled rovnic: Řád rovnice Tvar Název způsob řešení (vzorec) ax + b = 0 lineární b a 0, x = a ax + bx + c = 0 kvadratická ± a 0, x,
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
Vícejednoduchá heuristika asymetrické okolí stavový prostor, kde nelze zabloudit připustit zhoršují cí tahy Pokročilé heuristiky
Pokročilé heuristiky jednoduchá heuristika asymetrické stavový prostor, kde nelze zabloudit připustit zhoršují cí tahy pokročilá heuristika symetrické stavový prostor, který vyžaduje řízení 1 2 Paměť pouze
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký)
2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) Model Ram Při analýze algoritmu bychom chtěli nějak popsat jeho složitost. Abychom mohli udělat toto, potřebujeme nejprve definovat výpočetní model.
VíceModelov an ı syst em u a proces
Modelování systémů a procesů 13. března 2012 Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3 Příklady na stavový popis dynamických systémů Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz VII. SYSTÉMY ZÁKLADNÍ POJMY SYSTÉM - DEFINICE SYSTÉM (řec.) složené, seskupené (v
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Vícea jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 17.1. 2007, var A... 1). Vašim úkolem je sestrojit všechny neisomorfní jednoduché souvislé grafy na 6 vrcholech mající posloupnost stupňů 1,2,2,2,2,3. Zároveň zdůvodněte, proč
VíceMěření závislosti statistických dat
5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceFunkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.
Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
Vícewww.pedagogika.skolni.eu
2. Důležitost grafů v ekonomických modelech. Náležitosti grafů. Typy grafů. Formy závislosti zkoumaných ekonomických jevů a jejich grafické znázornění. Grafy prezentují údaje a zachytávají vztahy mezi
VíceMetody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
VíceAlgoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
VíceHAZARDY V LOGICKÝCH SYSTÉMECH
HAZARDY V LOGICKÝCH SYSTÉMECH 1. FUNKČNÍ HAZARD : Při změně vstupního stavu vstupních proměnných, kdy se bude měnit více jak jedna proměnná - v reálné praxi však současná změna nenastává a ke změnám hodnot
VíceMĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ
MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Více