Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Transkript

1 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra : 1/13

2 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního obalu. 3 Definice lineárního podprostoru. Dnešní přednáška 1 Lineární závislost/nezávislost množiny (příp. skupiny) vektorů v lineárním prostoru. Jiří Velebil: Lineární algebra : 2/13

3 Připomenutí 1 Pro a 2 v R 3 je span({a 1, a 2 }) rovina procházející počátkem se směrem (a 1, a 2 ). a 1 2 Pro a 2 a 1 v R 3, lineární obal span({a 1, a 2 }) rovina není. V množině {a 1, a 2 } je (například) vektor a 2 zbytečný vzhledem k tvorbě lineárních kombinací. a Platí totiž span({a 1, a 2 }) = span({a 1 }). a Za chvíli budeme říkat, že množina {a 1, a 2} je lineárně závislá. Jiří Velebil: Lineární algebra : 3/13

4 Definice Lineární kombinace a 1 x a n x n je triviální, pokud a 1 = a 2 = = a n = 0. V opačném případě je lineární kombinace a 1 x a n x n netriviální. Poznámky 1 Triviální lineární kombinace je vždy rovna nulovému vektoru: rovnost 0 x x n = o platí, protože 0 x = o, pro jakýkoli vektor x (dokázáno minule). 2 I netriviální lineární kombinace může být rovna nulovému vektoru: například x x = o, pro jakýkoli vektor x. 3 Lineární kombinaci, která dává nulový vektor, také říkáme nulová triviální kombinace. a a Pozor: triviální kombinace je vždy nulová. Nulová kombinace nemusí být triviální. Jiří Velebil: Lineární algebra : 4/13

5 Definice (lineární nezávislost seznamu vektorů) Řekneme, že seznam S vektorů je lineárně nezávislý, pokud platí jedna z podmínek: 1 Seznam S je prázdný. 2 Seznam S je tvaru ( x 1,..., x n ) a platí: kdykoli a 1 x a n x n = o, pak a 1 = a 2 = = a n = 0. Řekneme, že seznam S je lineárně závislý, pokud není lineárně nezávislý. Příklady 1 Prázdný seznam () je vždy lineárně nezávislý. 2 Seznam ( o) je vždy lineárně závislý. 3 Seznam, ve kterém se opakuje vektor, je vždy lineárně závislý. Jiří Velebil: Lineární algebra : 5/13

6 Příklad Nulová lineární kombinace x 1 a x s a s = o v F r, kde a 11 a 1s a 2s a 21 a 1 =.,..., a s =. a r1 a rs kóduje soustavu r lineárních rovnic x 1 a 11 + x 2 a x s a 1s = 0 x 1 a 21 + x 2 a x s a 2s = 0 x 1 a r1 + x 2 a r2 + + x s a rs = 0 o s neznámých nad F. Seznam (a 1,..., a s ) je lineárně nezávislý právě tehdy, když tato soustava má pouze triviální řešení x 1 = x 2 = = x s = 0. Jiří Velebil: Lineární algebra : 6/13.

7 Definice (lineární nezávislost množiny vektorů) At M je množina vektorů v lineárním prostoru L. Řekneme, že M je lineárně nezávislá, pokud platí jedna z následujících podmínek: 1 Množina M je prázdná. 2 M = { x 1,..., x n } je neprázdná konečná množina a navíc platí: kdykoli a 1 x a n x n = o, pak a 1 = a 2 = = a n = 0. 3 M je nekonečná množina a každá její konečná podmnožina je lineárně nezávislá. Řekneme, že množina M je lineárně závislá, pokud není lineárně nezávislá. Jiří Velebil: Lineární algebra : 7/13

8 Příklady 1 { o} je lineárně závislá množina v jakémkoli lineárním prostoru L. Obecněji: at o M, potom M je lineárně závislá množina Množina { 0, 1, 0 } je lineárně nezávislá množina v R 3. Obecněji: definujte pro i = 1,..., n, vektor e i R n jako n-tici mající na i-té posici 1 a všude jinde 0. Potom {e 1,..., e n } je lineárně nezávislá množina v R n. 3 Nekonečná množina {1, x, x 2, x 3,... } je lineárně nezávislá množina v prostoru polynomů R[x]. Jiří Velebil: Lineární algebra : 8/13

9 Příklady (pokrač.) Množina { 7, 2, 8 } je lineárně závislá množina v R 3. Důvod: = Jiří Velebil: Lineární algebra : 9/13

10 Tvrzení At M je lineárně nezávislá množina vektorů v lineárním prostoru L. Jakmile N M, je i N lineárně nezávislá množina vektorů. Důkaz. Přednáška. Slogan Ubereme-li z lineárně nezávislé množiny vektorů nějaké vektory, je výsledná množina opět lineárně nezávislá. Jiří Velebil: Lineární algebra : 10/13

11 Tvrzení At M je lineárně závislá množina vektorů v lineárním prostoru L. Jakmile N je množina vektorů z L a platí M N, je i N lineárně závislá množina vektorů. Důkaz. Přednáška. Slogan Přidáme-li do lineárně závislé množiny vektorů nějaké vektory, je výsledná množina opět lineárně závislá. Jiří Velebil: Lineární algebra : 11/13

12 Věta (charakterisace lineárně nezávislých množin) Pro množina M vektorů z lineárního prostoru L jsou následující podmínky ekvivalentní: 1 Množina M je lineárně nezávislá. 2 Pro každý vektor x span(m) je množina M { x} lineárně nezávislá. Důkaz. Přednáška. Ilustrační obrázek x span(m) Jiří Velebil: Lineární algebra : 12/13

13 Věta (charakterisace lineárně závislých množin) Pro množina M vektorů z lineárního prostoru L jsou následující podmínky ekvivalentní: 1 Množina M je lineárně závislá. 2 Existuje množina N M, N M taková, že span(n) = span(m). Důkaz. Přednáška. Ilustrační obrázek span(m) Jiří Velebil: Lineární algebra : 13/13