Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Transkript

1 Vztah limity k a uspořádání Miroslav Hušek UJEP

2 Prohlížení Celý text je nejlépe čitelný v celoobrazovkovém módu. Toho docílíte stiskem kláves CTRL L. Doprovodný text V textu se užívají definice dle obvyklých zvyklostí. Pokud byste však měli přeci jen nějaké pochybnosti, lze užít doprovodný text.

3 Zadání úlohy 01 Zadání Ukažte, že jestliže lim x n < p, pak skoro všechny prvky posloupnosti {x n } jsou menší než p. Podobně pro obrácenou nerovnost. návod řešení

4 Zadání úlohy 02 Zadání Uveďte příklad posloupností {x n } a {y n } takové, že x n < y n pro všechna n a lim x n = lim y n.

5 Zadání úlohy 03 Zadání Ukažte, ( že pro každou posloupnost {x n } platí sup inf x ) ( ) n inf sup x n. k N n k k N n k

6 Zadání úlohy 01 Zadání Najděte příklady posloupností {x n }, {y n } tak, že lim x n = 0, lim y n = + a lim x n y n je předem dané číslo z R nebo, že lim x n y n neexistuje.

7 Zadání úlohy 02 Zadání Najděte příklady posloupností {x n }, {y n } tak, že lim x n = 0, lim y n = 0 a lim x n /y n je předem dané číslo z R nebo, že lim x n /y n neexistuje.

8 Zadání úlohy 03 Zadání Jestliže lim x n = sup{x n } a x n sup{x n } pro každé n, pak existuje rostoucí posloupnost {y n } konvergující k lim x n a mající stejnou množinu hodnot jako {x n }. Opakováním hodnot posloupnosti {y n } se získá neklesající posloupnost vzniklá přeházením původní posloupnosti {x n }. Jak lze změnit tvrzení, když x n = sup{x n } pro nějaké n? návod řešení

9 Zadání úlohy 04 Zadání Dokažte, že pro případ nevlastních limit lze větu o policajtech zformulovat jednodušeji: Jestliže x n y n pro skoro všechna n a lim x n = +, pak i lim y n = +. Jaká bude obdobná formulace pro? návod řešení

10 Zadání úlohy 05 Zadání Dokažte: jestliže {x n } je omezená posloupnost čísel větších než nějaké kladné číslo a {y n } konverguje k +, pak lim x n y n = +. Zformulujte tvrzení pro konvergenci k. Uveďte příklad, že nestačí předpokládat x n > 0 pro skoro všechna n. řešení

11 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Uvažte okolí (, p). zpět

12 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Okolí [, p) bodu lim x n (tato limita může být nevlastní) obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti {x n }. zpět

13 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Rozmyslete si, zda podposloupnosti posloupnosti {x n } mají nejmenší nebo největší prvky. zpět

14 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Posloupnost {x n } nemá největší prvek, ale každá jeho podposloupnost má nejmenší prvek (proč?). Zvolí se y 1 = min{x n } a indukcí y k = min{{x n } \ {y 1,..., y k 1 }} (poslední množinový rozdíl je rozdíl množin hodnot). Musí se ukázat, že množiny {x n } \ {y 1,..., y k 1 } jsou stále neprázdné a že uvedený postup vyčerpá všechny hodnoty z {x n }. Pokud se uvedený množinový rozdíl bude brát jako vynechání příslušných y i (právě jednou), dostane se přeházená neklesající posloupnost z {x n }. Jestliže {n n } nabývá svého suprema, nelze dosáhnout toho, aby neklesající posloupnost z hodnot posloupnosti {x n } vyčerpala všechny její hodnoty (pokud není konstantní). zpět

15 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Přímý důkaz. zpět

16 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Jestliže intervalové okolí + obsahuje bod x n, obsahuje i y n. Musí ted se skoro všemi x n obsahovat i skoro všechna y b n. zpět

17 Dodatky Rozšířená úloha 03 Rozšířená úloha 04 Rozšířená úloha 05 Je-li x n > r > 0 pro skoro všechna n, a p je libovolné reálné číslo, pak pro skoro všechna n bude ry n > p a tedy x n y n > p. Pro odpověď na poslední otázku stačí vzít x n = 1/n, y n = n zpět