S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

Transkript

1 S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ, π, ABC, ). Třírozměrný prostor, ve kterém budeme pracovat, nazýváme Euklidovský prostor a označujeme jej E 3. Z Á K L A D N Í V Z T A H Y M E Z I Ú T VA R Y... být prvkem, ležet v, ležet na (znak incidence) Př. A p... bod A leží na přímce p A ρ... bod A leží v rovině ρ... být podmnožinou (znak inkluze) Př. p ρ... přímka p leží v rovině ρ =... rovnost, totožnost, splývání geometr. útvarů Př. p = AB... přímka p je určena body A, B Negace předchozích vztahů jsou:,, Př. C p, p CD Z Á K L A D N Í S T E R E O M E T R I C K É VĚTY Pět základních Eukleidových axiomy A1. Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. A2. Danou přímkou a bodem, který na ní neleží, prochází právě jedna rovina. A3. Leží li přímka v rovině, pak v této rovině leží každý bod této přímky. A4. Mají li dvě různé roviny společný jeden bod, pak mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází. A5. Ke každé přímce lze vést daným bodem právě jednu rovnoběžku. DŮSLEDKY A X I O MŮ 1. Dvě přímky, které mají společné dva body, jsou totožné (rovnají se), 2. Dvě různé přímky mohou mít společný nejvýše jeden bod. 3. Dvě roviny, které mají společnou přímku a bod, který na ní neleží, jsou totožné (rovnají se). 4. Dvě různé roviny mohou mít společnou nejvýše jednu přímku (průsečnici). 5. Společný bod dvou různých rovin leží na jejich průsečnici. 6. Dvě roviny, které mají společné dvě různé přímky, jsou totožné (rovnají se).

2 P O L O H O V É V L A S T N O S T I Věty o vzájemné poloze bodů, přímek a rovin 1. Leží li dva různé body v rovině, pak tam leží celá přímka jimi určená. 2. Existuje jediná rovina, která je určena třemi různými body (neležící v jedné přímce). 3. Dvě různé přímky, které mají společný právě jeden bod, leží v jediné rovině. V Z Á J E M N Á P O L O H A D V O U PŘÍMEK V E 3 přímky p, q leží v jedné rovině neleží v jedné rovině nemají společný žádný bod mimoběžky mají společný právě jeden bod různoběžky mají společné buď všechny body nebo žádný bod rovnoběžky V Z Á J E M N Á P O L O H A D V O U R O V I N V E 3 Nechť α, β jsou roviny E3. Pak roviny α, β jsou: 1. rovnoběžné, je-li jejich průnikem celá rovina nebo prázdná množina. 2. různoběžné, je-li jejich průnikem přímka (průsečnice) V Z Á J E M N Á P O L O H A P R Í M K Y A R O V I N V E 3 Přímka p a rovina ρ jsou: 1. rovnoběžné, je-li jejich průnikem celá přímka nebo prázdná množina. 2. různoběžné, je-li jejich průnikem právě jeden bod.

3 K R I T E R I U M R O V N O BĚŽNOSTI PŘÍMKY A R O V I N Y Přímka je rovnoběžná s rovinou právě tehdy, je li rovnoběžná aspoň s jednou přímkou této roviny. Důsledky: 1. Je li přímka p rovnoběžná s přímkou q, která je rovnoběžná s rovinou α, pak i přímka p je rovnoběžná s rovinou α. 2. Je li přímka p rovnoběžná s přímkou q, která je rovnoběžná s přímkou r, pak i přímka p je rovnoběžná s přímkou r (tranzitivnost rovnoběžnosti). K R I T E R I U M R O V N O BĚŽNOSTI D V O U R O V I N Dvě roviny jsou rovnoběžné právě tehdy, jestliže v jedné rovině existují takové dvě různoběžky, které jsou po řadě rovnoběžné s jinými dvěma různoběžkami v rovině druhé. DŮSLEDKY: 1. Jsou li dvě roviny rovnoběžné, pak každá přímka v jedné rovině je rovnoběžná s druhou rovinou. 2. Je li přímka p rovnoběžná s rovinou α, která je rovnoběžná s rovinou β, pak přímka p je rovnoběžná i s rovinouβ. 3. Je li rovina α rovnoběžná s rovinou β, která je rovnoběžná s rovinou γ, pak rovina α je rovnoběžná i s rovinou γ (tranzitivnost rovnoběžnosti). 4. Daným bodem lze vést právě jednu rovinu rovnoběžnou s danou rovinou.

4 V Z Á J E M N Á P O L O H A TŘÍ R O V I N 1. Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. 2. Dvě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. 3. Každé dvě roviny jsou různoběžné a všechny tři průsečnice jsou navzájem rovnoběžné a různé. 4. Každé dvě roviny jsou různoběžné a všechny průsečnice splývají v jedinou přímku. 5. Každé dvě roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice jsou navzájem různoběžné a protínají se v jednom společném bodě

5 M E T R I C K É V L A S T N O S T I O D C H Y L K A D V O U PŘÍMEK 1. Odchylkou dvou rovnoběžných přímek rozumíme číslo 0 (0 rad). 2. Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost ostrého nebo pravého úhlu, tj. číslo ϕ ( 0, 90. Je li ϕ = 90, mluvíme o kolmých různoběžkách. 3. Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Je li ϕ = 90, mluvíme o kolmých mimoběžkách. Je li ϕ odchylka dvou přímek p, q, píšeme ϕ = < pq. Př. Určete odchylku přímek: a) AB, EG b) AH, CF c) AH, BE Př. Je dán pravidelný trojboký hranol ABCA B C ; AB = a = 5cm, AA = v = 6cm. Určete konstrukčně i početně odchylku přímek BC a AC. K O L M O S T PŘÍMEK A R O V I N 1. Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. 3. Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Kriterium kolmosti přímky a roviny: Přímka je kolmá na rovinu právě tehdy, je li kolmá aspoň na dvě různoběžky této roviny (obr. 1). Kriterium kolmosti dvou rovin: Dvě roviny jsou na sebe kolmé právě tehdy, jestliže v jedné z nich leží aspoň jedna kolmice k rovině druhé (obr. 2). obr. 1 obr. 2 obr. 3 Důsledky Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Dvě roviny, které jsou kolmé k téže přímce, jsou navzájem rovnoběžné. Dvě přímky, které jsou kolmé k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné.

6 O D C H Y L K A PŘÍMKY A R O V I N Y Odchylka přímky a roviny je rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny. Odchylku ϕ přímky p a roviny ρ zapisujeme: ϕ = < pρ. def < pρ = 90 p ρ Přímkou p, která není kolmá k rovině ρ prochází právě jedna rovina α kolmá k dané rovině ρ. Průsečnice rovin ρ a α je přímka p - pravoúhlý průmět přímky p do roviny ρ. Rovina α se nazývá promítací rovina přímky p. Příklady: 1. Je dán kvádr ABCDEFGH ; AB = a = 4,5 cm, BC = b = 3 cm, AE = c = 3, 8 cm bod S je střed horní podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky BS a rovin ABF, BCG. 2. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV se středem podstavy S, AB = a = 3, 5cm, VS = v = 6cm. Určete odchylku přímky CM (bod M je střed hrany AV) a roviny podstavy. Řešte konstrukčně i graficky. O D C H Y L K A D V O U R O V I N Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je kolmá k oběma rovinám. Odchylku dvou rovin ρ a σ zapisujeme ϕ = < ρσ. def < ρσ = 90 ρ σ def < ρσ = 0 ρ σ 0 < < ρσ < 90 Postup při sestrojování roviny α kolmé k oběma daným rovinám ρ, σ : 1) Nalezneme průsečnici r rovin ρ, σ. 2) Na této průsečnici vhodně zvolíme bod P. 3) Tímto bodem vedeme kolmici p k průsečnici r (ležící v rovině ρ ) a kolmici s k průsečnici r (ležící v roviněσ ). 4) Přímky r, s, jejichž průsečíkem je bod P, určují rovinu α. Zároveň ostrý úhel, jež svírají, je odchylka rovin ρ a σ. Poznámka: V příkladech budou přímky r a s nahrazovány výškami v trojúhelníku, popř. příčkami, apod. 3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV; AB = a = 5 cm, AV = b = 7 cm. Určete odchylku ϕ roviny boční stěny od roviny podstavy. Řešte početně i konstrukčně. 4. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD. Určete odchylku: rovin dvou stěn čtyřstěnu, přímky, která obsahuje hranu čtyřstěnu, a roviny stěny čtyřstěnu, která tuto hranu neobsahuje.