SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

Transkript

1 VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu jejich primitivní funkce. INTEGRAE RAIONÁLNÍH FUNKÍ Z linearity neurčitého integrálu a znalosti primitivní funkce k n je zřejmý výpočet primitivní funkce polynomů. Pro racionální funkce je postup složitější. V této části bude R značit racionální funkci Q P, kde P, Q jsou polynomy stupňů n, m resp., a m. Lze předpokládat, že koeficient u m v Q je.. Je-li n m, eistují polynomy P, P, tak, že R P + P Q, stupeň P je n m, stupeň P je menší než m.. Polynom Q lze napsat (jednoznačně) ve tvaru Q() ( r ) k ( r p ) kp ( + u + v ) l ( + u q + v q ) lq, kde r,..., r p jsou různá reálná čísla (kořeny polynomu Q, k i je násobnost kořenu r i ) a + p j + q j jsou kvadratické polynomy bez reálných kořenů (l j je násobnost jejich kompleních kořenů) a pro různá j mají tyto polynomy různé komplení kořeny. 3. Racionální funkce P Q lze napsat jednoznačně ve tvaru p i ( Ai,ki ( r i ) k A ) i, i ( r i ) kde koeficienty typu A, B, jsou reálná čísla. + q j ( B j,lj + j,lj ( + u j + v j ) l B j, + ) j, j (, + u j + v j ) Získat takový rozklad (na parciální zlomky) znamená (viz příklady ve vičení). Zjistit kořeny jmenovatele, pak formálně napsat uvedený rozklad, vynásobit rovnost jmenovatelem a získat tak rovnost dvou polynomů.. rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin. Tím dostaneme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty A, B, s potřebnými indey. 3. Tento systém vyřešíme (má jediné řešení). Integrace racionální funkce byla tedy převedena na integraci polynomu (někdy nulového) a součet jistých jednodušších racionálních funkcí, pro které lze jejich primitivní funkce snadno zjistit. Dále uvedené primitivní funkce jsou definovány na stejné množině jako příslušné částečné zlomky. I. Funkce typu ( r) k jejich integrál je znám z předchozí kapitoly: ( r) k d k ( r) k, pro k ; lg r, pro k.

2 II. Funkce typu B+ ( +u+v) l se pro B 0 nejdříve převede na tvar, kdy v čitateli je derivace kvadratického trojčlenu z jmenovatele, tj. na B + u ( + u + v) l, jehož integrál se substitucí y + u + v převede na integrál z předchozí části I pro r 0, k l; zbyde výraz tvaru ( + u + v) l, který se pomocí úpravy na čtverec (viz Příklady 4 v předchozí kapitole) převede na tvar (y + ) l a pro jeho integrál eistuje rekurentní vzorec (viz Příklady 3 v předchozí kapitole). Poznámky Příklady vičení Učení PŘEVOD FUNKÍ NA RAIONÁLNÍ FUNKE Některé funkce vzniklé substitucí do racionálních funkcí, se dají integrovat pomocí převodu jinými substitucemi zpět na (obecně jiné) racionální funkce. R(e a ) d Tyto integrály (a je libovolné reálné nenulové číslo) se převedou na integraci racionálních funkcí pomocí substituce e a t: R(e a ) d R(t) dt. a t e e + d : e t e d dt R, t R + log t + ) log e +, R. t + dt R(lg ) Tyto integrály se převádějí na integraci racionální funkce substitucí lg t: R(lg ) d R(t) dt. d + log log d : log t / d dt t + dt t (, ), t R t + log t ) log + log log, (, ). + t dt Příklady

3 R(sin, cos ) d V tomto případě lze vždy použít substituci tg t t t sin t, cos + t +, d t + dt. sin d tg t : d t + dt (0, π), t R t + t dt t t ( t t + ) tg tg t + dt. Výsledek platí na otevřených intervalech tvaru (kπ, (k + )π), kde k Z. R(sin, cos ) d pokud R( sin, cos ) R(sin, cos ) tg t sin t t +, cos t +, d dt t +. sin d tg t : d t + dt (0, π/), t R t dt t tg. t t + t + dt Jestliže byla hledána primitivní funkce na (0, π) (jak to bude na jiných intervalech?), předchozí postup z tohoto intervalu vynechává bod π/ a dává primitivní funkci na (0, π/) nebo na (π/, π). Napíšeme-li výsledek jako cos sin, dostáváme primitivní funkci na celém intervalu (0, π) (proč?). cos t pokud R( sin, cos ) R(sin, cos ), sin t pokud R(sin, cos ) R(sin, cos ). Příklady 3 cos sin d t sin t : cos d dt (0, π), t (0, ], (0, π). sin R (, p a+b c+d ) d t dt Zde je p přirozené číslo a a, b, c, d jsou reálná čísla splňující vhodné podmínky, aby následující postup a výrazy měly smysl (např. ad bc 0). ubstituce p a + b c + d t 3

4 převede daný integrál na integrál z racionální funkce. Po umocnění dostaneme a je patrno, že dovedeme vyjádřit pomocí t. Dostaneme p a + b c + d t a + b c + d tp dtp b a ct p. dtp b a ct p, d ( dt p ) b a ct p dt, p a + b c + d t. + + d + t t : Ověříme.M!!! d t (t ) dt (0, ) t (, ) t + ( t t ) (t ) dt 3 t3 t 3 t + t dt ( ) 3 + +, (0, ). R(, a + b + c) d Pokud je a > 0, lze použít substituci a + b + c a + t, pak umocněním se vyřeší t c b at, odkud lze dosazením získat výraz pro a + b + c a pro d. V uvedené substituci lze na pravé straně měnit znaménka; např. někdy bývá výhodnější (podle tvaru integrované funkce) použít a + b + c a + t. Pokud je c > 0, lze použít substituci a + b + c c + t, pak umocněním se vyřeší b ct t a, odkud lze dosazením získat výraz pro a + b + c a pro d. I zde lze na pravé straně substituce měnit znaménka. Ověřte předpoklady. substituční věty pro obě substituce. Zkusíme Eulerovy substituce na příkladech: d t t +t : Ověříme.M!!! d t +t+ (+t) dt (, ) t (0, ) t + t + t( + t) dt.... 4

5 + d + + t t +t : Ověříme.M!!! d t +4t+ dt t + t + t(t )( + t ) dt.... (+t ) t NAVÍ: Pokud má dvojčlen a + b + c reálné kořeny (např. když a < 0, c > 0), lze převést odmocninu v R(, a + b + c) d na lineárně lomenou funkci. Např., má-li a + b + c polynom kořeny α < β, pak úprava (pro jednoduchost a ) + b + c α ( α)(β ) (β ) β, vše na intervalu (α, β). Dostaneme se k integrálu typu Q (, p a + b c + d ) d. Zkusíme si to na příkladě ( 3 ) d. Zde ( )( + ), tedy (pro (, )) ( ) + + ( ). Zvolíme substituci Výpočet je standardní: Příklady 4 ( 3 ) t d t +. + t : ( ) d dt (, ), t (0, ) t 4 3t 4 + dt.... 5