Limita ve vlastním bodě

Transkript

1 Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než dojdu do konce tvrdého itu. Definice. Necht L R. Řekneme že funkce f má v bodě itu rovnou číslu L a píšeme f () = L jestliže ke každému okolí O(L) bodu L eistuje okolí O( ) bodu tak že pro všechna Oi( ) \ { } platí f () O(L). Píšeme f () = L Pomocí kvantifikátorů lze psát: Rozdělujeme tři případy ity: Vlastní ita ve vlastním bodě: je-li L R. O(L) O( ) O( ) \ { } : f () O(L). Vlastní ita v nevlastním bodě: je-li = ± a L R. Nevlastní ita je-li L = ± Limita ve vlastním bodě Definice. (ε δ definice) Necht L R. Řekneme že f () = L jestliže ε > δ > R : < < δ = f () L < ε. Řešené příklady. ( + ) 5 ( + 5) + 5 toto je typický příklad kdy do výrazu nemůžeme přímo dosadit příslušnou hodnotu nebot by nám vyšel výraz /. Pokud si nakreslíme graf této funkce zjistíme že se jedná ve jmenovateli můžeme jej pomocí binomické věty rozepsat na (možná eistuje i lepší řešení) první dva členy výrazu tedy zmizí díky druhému členu. V čitateli tedy zbydou jen výrazy s mocninami až 5. tedy můžeme vykrátit. ( + ) 5 ( + 5) = ( + = ) + = což je vidět i v grafu. V tomto bodě je nyní možné funkci dodefinovat tak aby byla spojitá na intervalu ( ): f () = { (+) 5 (+5) + 5 pro =. pro ( ) ( ). Další klasický příklad: polynomy v čitateli i ve jmenovateli podělíme výrazem dostaneme = ( )( + + ) ( )( ) =. ()

2 . Příklad s odmocninami I tento výraz upravíme tak abychom odstranili odmocninu ve jmenovateli ( ) ( 5 4 ) = 4. Příklad s odmocninami II = ( ) postupujeme jako v předchozím případě výraz si nejprve trochu upravíme: = ( + )( ( + ) + )+ + + ( ) =. ( ) = ( + 4 ) ( ) + 4 ( ) ( + )( ( + ) + )+ + + ( ) = 4 ( + ) ( ) + 4 ( ) =. () 5. Příklad s goniometrickými funkcemi I + tan() tan() sin() řešíme jako předchozí dva příklady s odmocninami nyní se zbavíme odmocniny v čitateli dostaneme tan() ( ) = ( sin() + tan() + tan() ) =. cos() + tan() + tan() 6. Příklad s goniometrickými funkcemi II + cos() sin () Obrázek : Graf racionální lomené funkce.

3 výraz nejprve rozšíříme + cos() cos() ( sin ) () + + cos() poté ještě rozšíříme zlomek výrazem + cos() cos () ( sin ) ()( + cos()) + + cos() odtud sin () ( sin ) = ( ) =. ()( + cos()) + + cos() ( + cos()) + + cos() 7. Jednostranná ita I: necht je zadaná funkce f () pro ( ) f () = sgn() = pro = pro( ). () určete jednostranné ity v bodech nespojitosti. Řešení: zřejmě platí: sgn() = + sgn() =. 8. Jednostranná ita II: necht je zadaná funkce f () 9. f () = + potom + f () = + f () = +. ctan() = cos() sin() = cos() = sin() sin() cos() =. Příklady na procvičení [4] [] + [6] + cos() [] tan() [ ] 8 sin(4) [8] +

4 (pro odvážné). (pro odvážné) π 4 cos() + tan () [] sin() [ sin() cos() cos() sin(5) [5] ] ( + m) n ( + n) m [ mn N mn n m ] ( n a n ) na n [ ( a) n(n ) ( a) n N a ]. n Limita v nevlastním bodě Definice. Řekneme že + f () = L L R jestliže Řešené příklady. Limita pro výraz (viz ) tento výraz vynásobíme: + ε > A > R : > A = f () L < ε. [ ( 4 + ) ] =. Limita v nevlastním bodě výrazu v podílu I ( 4 + ) = + = + + =. toto je jeden z klasických příkladů na ity v nevlastním bodě. Stačí vytknout výraz / Totéž je zobrazeno v grafu.. Limita v nevlastním bodě výrazu v podílu II = = z čitatele i jmenovatele vytkneme nejvyšší mocninu která se tam nachází = =. 4. Je dobré vědět: sin()...neeistuje arctan() = π. 4

5 funkce asymptota funkce asymptota 4 4 Obrázek : Levý graf: f () = 4 + pravý graf: g() = Příklady na procvičení (ještě nějaké přidám) [ ] ( + a)( + b) ab R ( ) + ( ) + [] ( + + ) sinh() [ ] ln( + ) ln( + + ) [ ] [ ] 5 [ln( + ) ln()] [] [ a + b [ ] ] Další příklady. Spočítejte obsah trojúhelníku znázorněném na obrázku. Ten je omezen funkcí f () = b(/a) a velikosti stran jsou a a b. Příslušný útvar nejprve vyplňte n obdélníky určete jejich obsah v závislosti na n a výsledný obsah spočítejte jako itu n. Řešení: Nejprve spočítáme obsah jednoho obdelníku. Šířku spočítáme snadno rozdělíme-li úsečku o straně a na n částí velikost jedné části je rovna a/n. Body rozdělení mají souřadnice k = a n k k {...n }. Výška daného obdélníku je dána funkcí f (). Výšku k-tého obdélníku spočítáme v k = f ( k ) = b ( k a ) ( a = b n k ) = b a ( ) k n 5

6 (a/n)k y=b(/a) b b(k/n) a Obrázek : Výpočet obsahu obrazce. obsah k-tého obdélníku je tedy roven S k = abk n pro výpočet obsahu nejprve sečteme přes všechny obdélníky a poté v itě přejdeme s n tedy n ab S = n n využijeme vzorce pro výpočet součtu druhých mocnin po dosazení dostaneme k= k n k = n(n + )(n + ) k= 6 ab ab S = n n (n )n(n ) = 6 6 (n )n(n ) n n V itě tedy tento výraz je roven Tento výpočet lze provést i přes integrály S = ab. a ( ) [ b S = db = a a ] a = ab. Reference [] Demidovič B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Havlíčkův Brod: Fragment první vydání. [] Došlá Z.; Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Brno: Masarykova univerzita druhé vydání. [] Kubát J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus první vydání 4. 6