LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Transkript

1 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y + 3y + 2y = e x Obecné řešení lineární diferenciální rovnice (1) má tvr ϕ(x) = ϕ h (x) + ϕ p (x), kde ϕ h (x) = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) je obecné řešení příslušné lineární diferenciální rovnice bez prvé strny (2) y + 3y + 2y = ϕ p (x) je nějké pevné (prtikulární) řešení rovnice (1). Funkce ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) tvoří fundmentální systém rovnice (2), tj. jsou bází vektorového prostoru všech řešení rovnice (2) Řešení rovnice (2) hledáme ve tvru ϕ(x) = e λx, kde λ je řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 3λ + 2 =. Je tedy λ 1 = λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 2x. Prtikulární řešení rovnice (1) budeme hledt metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x)ϕ 1 (x)+g 2 (x)ϕ 2 (x). Derivce hledných funkcí g 1 g 2 dostneme jko řešení soustvy g 1(x)ϕ 1 (x) + g 2(x)ϕ 2 (x) =, g 1(x)ϕ 1(x) + g 2(x)ϕ 2(x) = f(x), kde f(x) je prvá strn řešené lineární diferenciální rovnice. V nšem přípdě ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x) e 2x. g 1(x) e x + g 2(x) e 2x =, g 1(x)( e x ) + g 2(x)( 2 e 2x ) = 1 1+e x. 1

2 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = Potom g 1(x) = e x (1 + e x ), g 2(x) = e2x (1 + e x ) e x (1 + e x ) dx = e 2x (1 + e x ) dx = t dt = ln(1 + t) = ln(1 + ex ) t 1 + t dt = t+ln(1+t) = ex + ln(1+e x ). ϕ p (x) = e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )) ϕ(x) = c 1 e x +c 2 e 2x + e x ln(1 + e x ) + e 2x ( e x + ln(1 + e x )), c 1, c 2 R Příkld 1.2. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (3) y 2y + y = ex x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (4) y 2y + y = Řešením její chrkteristické rovnice λ 2 2λ + 1 = dostneme λ = 1, což je její dvojnásobný kořen. Fundmentální systém tedy tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = x e x. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 x e x. Jedno pevné prtikulární řešení rovnice (3) njdeme opět metodou vrice konstnt, tj. ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) e x +g 2 (x)x e x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme g 1(x) e x + g 2(x)x e x =, g 1(x) e x + g 2(x)(e x +x e x ) = ex x. g 1(x) =, g 2(x) = 1 x odtud Je tedy g 1 (x) = x, g 2 (x) = ln x. ϕ p (x) = x e x +x ln x e x,

3 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 3 ϕ(x) = e x (c 1 + c 2 x x + x ln x ), c 1, c 2 R Příkld 1.3. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (5) y + y = tg x Nejdříve njdeme obecné řešení rovnice bez prvé strny (6) y + y = Chrkteristická rovnice λ = má dv komplexně sdružené kořeny λ 12 = ±i. Jim odpovídjící fundmentální systém e (±1 i )x = e x (cos (1 x) ± i sin (1 x)) nhrdíme reálným fundmentálním systémem ϕ 1 (x) = e x cos (1 x) = cos x, ϕ 2 (x) = e x sin (1 x) = sin x. Potom ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x je obecné řešení rovnice (6). Prtikulární řešení rovnice (5) budeme hledt ve tvru ϕ p (x) = g 1 (x) cos x + g 2 (x) sin x, kde derivce neznámých funkcí získáme řešením soustvy Řešením této soustvy dostneme odtud g 1 (x) = g 2 (x) = cos x. Potom g 1(x) cos x + g 2(x) sin x =, g 1(x) sin x + g 2(x) cos x = tg x. g 1(x) = sin x tg x, sin 2 x sin 2 x cos x cos x dx = sin 2 x 1 dx = g 2(x) = sin x ϕ p (x) = 1 2 cos x ln sin x 1 sin x + 1, ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x cos x ln sin x 1 sin x + 1, t 2 t 2 1 dt = sin x+1 2 ln sin x 1 sin x + 1, c 1, c 2 R

4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 4 Příkld 1.4. Njděme homogenní lineární diferenciální rovnici 2.řádu s konstntními koeficienty, jejíž fundmentální systém tvoří funkce ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x. Hledná rovnice bude mít tvr (7) y + 1 y + y =, kde 1 jsou neznámé konstnty. Protože ϕ 1 (x) = e x ϕ 2 (x) = e 2x jsou podle předpokldu řešením rovnice (7), musí pltit tj. po úprvě ϕ ϕ 1(x) + ϕ 1(x) 1 + ϕ 1 (x) =, 2(x) + ϕ 2(x) 1 + ϕ 2 (x) =, e x + e x 1 + e x =, 4 e 2x 2 e 2x 1 + e 2x = 1 + =, = 4. Řešením této soustvy dostneme = 1, 1 = 2. Hledná rovnice má tedy tvr y + y 2y =. Mohli jsme tké postupovt rychleji. Tvoří-li funkce ϕ 1 (x) = e 1 x ϕ 2 (x) = e 2 x fundmentální systém hledné rovnice, má chrkteristická rovnice (8) λ λ + =. dv reálné kořeny λ 1 = 1 λ 2 = 2 rovnici (8) můžeme npst ve tvru (polynom n levé strně npíšeme jko součin kořenových činitelů) ve tvru tj. Odtud pk (λ 1)(λ + 2) =, λ 2 + λ 2 =. y + y 2y =.

5 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Speciální prvá strn. Příkld 1.5. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (9) y + y 6y = 12x 2 + 2x + 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + λ 6 = dostneme λ 1 = 3, λ 2 = 2. Odtud ϕ h (x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x. O speciální prvé strně diferenciální rovnice (1) y + 1 y + 2 y = f(x) budeme mluvit v přípdě, že funkce f má tvr (11) f(x) = e x (p 1 (x) cos(bx) + p 2 (x) sin(bx)), kde, b R p 1, p 2 jsou polynomy stupně s r. Hledné prtikulární řešení ϕ p rovnice (1) má potom tvr (12) ϕ p (x) = e x x k (q 1 (x) cos(bx) + q 2 (x) sin(bx)), kde q 1, q 2 jsou polynomy jejichž stupeň je mximálně rovem většímu z čísel s r k je násobnost kořene λ = + i b chrkteristické rovnice (13) λ λ + 2 =. V přípdě, že komplexní číslo λ = + i b není kořenem chrkteristické rovnice (13), je k =. Prvá strn rovnice (9) má speciální tvr neboť 12x 2 + 2x + 1 = e x ( (12x 2 + 2x + 1) cos(x) + sin(x) ), komplexní číslo λ = +i b = +i = není kořenem chrkteristické rovnice. Je tedy k =. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = e x x ( (Ax 2 + Bx + C) cos(x) + q 2 (x) sin(x) ) = Ax 2 +Bx+C. (Polynom q 2 nás nebude zjímt, neboť jej budeme násobit číslem.) Podle předpokldu je ϕ p řešení rovnive (9). Doszením ϕ p do rovnice (9) dostneme podmínky pro neznámé konstnty A, B, C. ϕ p(x) = 2Ax + B, ϕ p(x) = 2A 2A + 2Ax + B 6Ax 2 6Bx 6C = 12x 2 + 2x + 1. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme 6A = 12, 2A 6B = 2, 2A + B 6C = 1. Potom A = 2, B =, C =. Je tedy ϕ p (x) = 2x 2 x 1 odtud ϕ(x) = c 1 e 3x +c 2 e 2x 2x 2 x 1, c 1, c 2 R

6 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 6 Příkld 1.6. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (14) y 3y = 3x 1 Řešením chrkteristické rovnice λ 2 3λ = dostneme λ 1 =, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 + c 2 e 3x. Prvá strn rovnice (14) má podobně jko v (9)speciální tvr neboť 3x 1 = e x ((3x 1) cos(x) + sin(x)), Tentokrát všk komplexní číslo λ = + i b = + i = je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Je tedy k = 1. Podle (12) je tedy ϕ p (x) = x 1 (Ax + B). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (14) porovnámím koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =. Je 2 tedy ϕ p (x) = 1 2 x2 ϕ(x) = c 1 + c 2 e 3x 1 2 x2, c 1, c 2 R Příkld 1.7. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (15) y + 2y + 5y = 8x e x Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ + 5 = dostneme λ 1 = + 2i, λ 2 = 2i. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x. Rovnice (15) má opět speciální prvou strnu, neboť 8x e x = e 1x (8x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = (Ax + B) e x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (15) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x A = 1, B = 1. Je tedy ϕ 2 p(x) = e ( x x 2) 1 ( ϕ(x) = c 1 e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + e x x 1 ), c 1, c 2 R 2

7 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 7 Příkld 1.8. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (16) y + y = x + sin x Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x. Rovnice (16) tentokrát nemá speciální prvou strnu. Prvá strn této rovnice je všk dán jko součet dvou funkcí, znichž kždá má tvr speciální prvé strny. Dále víme, že je-li ϕ p1 prtikulární řešení rovnice (17) y + y = x ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (18) y + y = sin x je ϕ p = ϕ p1 + ϕ p2 prtikulární řešení rovnice (16). Anlogickým postupem jko u rovnice (9) dostneme ϕ p1 (x) = x. Pro rovnici (18) pk pltí sin x = e x ( cos(1x) + 1 sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i je kořenem chrkteristické rovnice to jednonásobným. Potom ϕ p2 (x) = e x x 1 (A cos(1x) + B sin(1x)) = x(a cos x + B sin x). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (18) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, 2 B =. Je tedy ϕ p2 (x) = 1x cos x ϕ 2 p(x) = x 1 x cos x Odtud 2 ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x 1 x cos x,, 2 c 1, c 2 R

8 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení počáteční úlohy. Příkld 1.9. Njděme řešení počáteční úlohy (19) y + 9y = 8 cos x, y(π/3) =, y (π/3) = 3 2. Nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (19). Řešením chrkteristické rovnice λ = dostneme λ 12 = ±3i. Odtud ϕ h (x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x. Rovnice (19) má speciální prvou strnu neboť 8 cos x = e x (8 cos(1x) + sin(1x)), přičemž λ = + i b = + i 1 = i není kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e x x (A cos(1x) + B sin(1x)) = A cos x + B sin x. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (19) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů u funkcí sin x cos x A = 1, B =. Je tedy ϕ p (x) = cos x. Odtud dostneme obecné řešení rovnice (19) (2) y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + cos x jeho derivcí (21) y = 3c 1 sin 3x + 3c 2 cos 3x sin x. Doszením počátečních podmínek z (19) do (2) (21) dostneme = c , 3 2 = 3c Odtud c 1 = 1 2, c 2 =. Doszením do (2) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (19) ϕ(x) = 1 cos 3x + cos x. 2 Příkld 1.1. Njděme řešení počáteční úlohy (22) y + 2y 3y = 16x e x, y() = 1, y () =.

9 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 9 Opět nejdříve nlezneme obecné řešení rovnice (22). Řešením chrkteristické rovnice λ 2 + 2λ 3 = dostneme λ 1 = 1, λ 2 = 3. Odtud ϕ h (x) = c 1 e x +c 2 e 3x. Rovnice (22) má speciální prvou strnu neboť 16x e x = e 1x (16x cos(x) + sin(x)), přičemž λ = + i b = 1 + i = 1 je jednonásobným kořenem chrkteristické rovnice. Potom ϕ p (x) = e 1x x 1 ((Ax + B) cos(x) + q 2 (x) sin(x)) = e x (Ax 2 + Bx). Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (22) ( po úprvě), dostneme porovnáním koeficientů polynomů n levé prvé strně rovnosti A = 2, B =. Je tedy ϕ p (x) = e x (2x 2 x). Odtud dostneme obecné řešení rovnice (22) (23) y = c 1 e x +c 2 e 3x + e x (2x 2 x) jeho derivcí (24) y = c 1 e x 3c 2 e 3x + e x (2x 2 x) + e x (4x 1). Doszením počátečních podmínek z (22) do (23) (24) dostneme c 1 + c 2 = 1, c 1 3c 2 = 1. Odtud c 1 = 1, c 2 =. Doszením do (23) dostáváme hledné řešení počáteční úlohy (22) ϕ(x) = e x (2x 2 x + 1).

10 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešení okrjové úlohy. 2. Okrjové úlohy Příkld 2.1. Njděme řešení okrjové úlohy (25) u + 4u = 3 cos x + 6 sin x, u() =, u(π/4) = 2 2. Stejným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (25). Postupně dostneme dále u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x u p = cos x + 2 sin x. Obecné řešení rovnice (25) má tedy tvr (26) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (25) do (26) dostneme = c 1 + 1, 2 = c Odtud c 1 =, c 2 = 2. Doszením do (26) dostáváme právě jedno hledné řešení okrjové úlohy (25) u = cos 2x 2 sin 2x + cos x + 2 sin x. Příkld 2.2. Njděme řešení okrjové úlohy (27) u + 4u = 3 sin x, u() =, u(π) =. Opět nejdříve njdeme obecné řešení rovnice (27). Postupně dostneme u h = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x dále u p = sin x. Obecné řešení rovnice (27) má tedy tvr (28) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + sin x. Postupným doszením okrjových podmínek z (27) do (28) dostneme = c 1, = c 2.

11 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 11 Druhá z rovnic je splněn pro libovolné c 2. Položme c 2 = c, kde c R. Potom okrjová úloh (27) má nekonečně mnoho řešení u = c sin 2x + sin x, c R. Příkld 2.3. Njděme řešení okrjové úlohy (29) u + u = 4 sin x, u() =, u(π) =. Podobným postupem jko v příkldě 1.8 njdeme obecné řešení rovnice (29) (3) u = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. Postupným doszením okrjových podmínek z (29) do (3) dostneme = c 1, = 2π. Druhá rovnost všk není nikdy splněn, tj. úloh (29) nemá řešení. Příkld 2.4. Njděme řešení okrjové úlohy (31) v závislosti n prmetru R. u + 4u = 1 sin 3x, u() = 1, u(π/2) = Podobným postupem jko v příkldě 1.9 njdeme obecné řešení rovnice (31) (32) u = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x. Doszením okrjových podmínek z (31) do (32) dostneme 1 = c 1, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 1. Pk bude mít úloh (31) nekonečně mnoho řešení (33) u = cos 2x + c 2 sin 2x 2 sin 3x, c 2 R. Pokud bude 1 úloh (31) nebude mít řešení. Příkld 2.5. Njděme řešení okrjové úlohy (34) u + π 2 u = 3π 2 cos 2πx, u () = 2π, u(1/2) = v závislosti n prmetru R.

12 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 12 Podobně jko v předchozím příkldě njdeme obecné řešení rovnice (34) (35) u = c 1 cos πx + c 2 sin πx cos 2πx. Před doszením okrjových podmínek nejříve njdeme u (36) u = πc 1 sin πx + πc 2 cos πx + 2π sin 2πx. Doszením okrjových podmínek z (34) do (36) (35) dostneme 2 = c 2, = c Druhá rovnost všk bude splněn pouze v přípdě, že = 3. Pk bude mít úloh (34) nekonečně mnoho řešení (37) u = c 1 cos πx + 2 sin πx cos 2πx, c 1 R. Pokud bude 3 úloh (34) nebude mít řešení Vlstní čísl. Příkld 2.6. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (38) u + λu =, u() =, u(l) =. Hledáme tkové λ R, λ >, pro které má úloh (38) netriviální řešení. (Pro λ má úloh pouze triviální řešení.) Obecné řešení rovnice (38) má tvr (39) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. Doszením okrjových podmínek (38) do (39) dostneme = c 1, = c 2 sin λ l. Protože hledáme netriviální řešení, musí být c 2. Druhá rovnost tk bude splněn pouze v přípdě, že Čísl sin λ l = = λ l = kπ = λ = k2 π 2 l 2. (4) λ k = k2 π 2, k N l 2 jsou hledná vlstní čísl okrjové úlohy (38). Pro kždé λ k má úloh (38) nekonečně mnoho řešení (41) u k = c sin kπ l x, c R.

13 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 13 Pro kždé k N je funkce ( kždý její násobek) (42) u k = sin kπ l x. hlednou vlstní funkcí příslušnou k vlstnímu číslu (4). Příkld 2.7. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (43) u + λu =, u () =, u(l) =. Budeme postupovt stejně jko v příkldu 2.6. Njdeme obecné řešení rovnice (43) (44) u = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x. jeho derivci (45) u = c 1 λ sin λ x + c2 λ cos λ x. Doszením druhé okrjové podmínky do (44) první okrjové podmínky do (45) dostneme = c 2, = c 1 cos λ l. Netriviální řešení úlohy (43) pk dostneme pouze z podmínky cos λ l = = λ l = (2k 1) π 2 = λ = (2k 1)2 π 2 4l 2. Vlstní čísl příslušné vlstní funkce ( kždý jejich násobek) úlohy (43) jsou (46) λ k = (2k 1)2 π 2 4l 2, u k = cos (2k 1)π 2l x, k N. Příkld 2.8. Njděme vlstní čísl vlstní funkce okrjové úlohy (47) u + λu =, u() =, u(π) =. K nlezení vlstních čísel vlstních funkcí úlohy (47) využijeme výsledku úlohy (38). Doszením z l = π do (4) (42) dostneme (48) λ k = k2 π 2 π 2 = k 2, u k = sin kx k N.

14 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU Řešitelnost okrjové úlohy. Příkld 2.9. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (49) (5) Připomeňme, že okrjová úloh u + u = x + sin x, u() =, u(π/2) =. u + λu = f(x), u() =, u(l) =. je jednoznčně řešitelná právě tehdy, když λ není vlstní číslo příslušného homogenního problému. V přípdě, že λ je vlstní číslo příslušného homogenního problému, budeme mít úloh řešení pouze tehdy, když pro sklární součin vlstní funkce u příslušné vlstnímu číslu λ funkce f (prvou strnu rovnice (5)) pltí (51) (u, f) =, tj. l u(x)f(x)dx =. V tomto přípdě má úloh (5)) nekonečně mnoho řešení. V přípdě, že (u, f), nemá úloh (5)) řešení. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (5)) jsou (příkld 2.6) (52) λ k = k2 π 2 (π/2) 2 = 4k2, k N. Číslo λ = 1 tedy není vlstní číslo příslušného homogenního problému úloh (49) má právě jedno řešení. Příkld 2.1. Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (53) u + 4u = cos 2x, u() =, u(π) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (53) jsou (viz. příkld 2.6) (54) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 Číslo λ = 4 je v tomto přípdě vlstní číslo to pro k = 2. Úloh tedy bude řešitelná pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 2 (x) = sin 2x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 4) funkce f(x) = cos 2x (prvá strn rovnice (53) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je π [ sin 2 ] π 2x (u 2, f) = sin 2x cos 2xdx = =. 4

15 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 15 Protože je (u 2, f) =, má úloh (53) nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (55) u + 16u = cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (55) jsou (viz. příkld 2.6) (56) λ k = k2 π 2 (π/4) 2 = 16k2, k N. Číslo λ = 16 je vlstní číslo to pro k = 1. Úloh (55) tedy bude mít řešení pouze v tom přípdě, když sklární součin funkce u 1 (x) = sin 4x (vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 1 = 16) funkce f(x) = cos 8x (prvá strn rovnice (55)) bude roven nule (funkce budou ortogonální). Je (u 1, f) = π/4 sin 4x cos 8xdx = 1 4 π sin t(2 cos2 t 1)dt = 1 4 = 1 4 π Protože je (u 1, f), úloh (55) nemá řešení. sin t cos 2tdt = [ 2 cos 3 t 3 cos t ] π = 1 6. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (57) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 3x, u() =, u(π) = Vlstní čísl příslušného homogenního problému k úloze (57) jsou (příkld 2.6) (58) λ k = k2 π 2 = k 2, k N. π 2 1. Jestliže λ nebude vlstní číslo, tj. λ k 2, k N, potom úloh (57) bude jednoznčně řešitelná. 2. Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N pk úloh bude mít nekonečně mnoho řešení nebo řešení mít nebude. K vlstnímu číslu λ k = k 2 existuje vlstní funkce u k = sin kx f(x) = sin 3x je prvá strn rovnice (57), přičemž pltí f = u 3, tedy funkce f je součsně vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (57)) pro λ 3 = 9. Úloh (57) bude tedy v tomto přípdě řešitelná, když: (u k, f) = (u k, u 3 ) =.

16 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 16 Tto podmínk bude splněn vždy, když k 3. Vlstní funkce totiž tvoří ortogonální systém pltí (59) (u k, u l ) = pro k l, resp. (u k, u l ) pro k = l, k, l N. Odtud pk: ) Jestliže λ = λ k kde λ k = k 2, k N, k 3 má úloh (57) nekonečně mnoho řešení. b) Jestliže λ = 9 (tj. k = 3), nemá úloh (57) řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (6) v závislosti n prmetru λ R. u + λu = sin 4x + 2 sin 8x, u() =, u(π/2) = Budeme postupovt stejně jko v příkldu Nejdříve njdeme vlstní čísl vlstní funkce příslušného homogenního problému k úloze (6). (61) λ k = 4k 2, u k = sin 2kx. Dále je f(x) = sin 4x + 2 sin 8x, tj. f = u 2 + 2u 4. Potom: 1) Jestliže λ λ k, kde λ k = 4k 2, k N, má úloh (6) právě jedno řešení. 2) Jestliže λ = λ k, kde λ k = 4k 2, k N, potom (u k, f) = (u k, u 2 + 2u 4 ) = (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ). Podle (59) ) Pro k 2 k 4 je (u k, u 2 ) + 2(u k, u 4 ) = úloh (6) má nekonečně mnoho řešení. b) Pro k = 2 je (u 2, u 2 ) + 2(u 2, u 4 ) = (u 2, u 2 ) úloh (6) nemá řešení. c) Pro k = 4 je (u 4, u 2 ) + 2(u 4, u 4 ) = 2(u 4, u 4 ) úloh (6) nemá řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (62) u + 64u = 2 sin 12x + cos 8x, u() =, u(π/4) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π 2 (π 2 /16) = 16k2. Je zřejmé, že pro k = 2 je λ 2 = 16 4 = 64 u funkce u v úloze (62) stojí druhé vlstní číslo. To le znmená, že úloh (62) nemá jednoznčné řešení.

17 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 17 O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení, rozhodne sklární součin (u 2, f), kde u 2 = sin 8x je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 2 = 64 f(x) = 2 sin 12x + cos 8x je prvá strn rovnice (62). Předně pro k = 3 je λ 3 = 16 9 = 144 třetí vlstní číslo u 3 = sin 12x je třetí vlstní funkce. Oznčíme-li g(x) = cos 8x, je pk f = 2u 3 + g. Potom ( využitím toho, že (u 2, u 3 ) = ) (u 2, f) = (u 2, 2u 3 + g) = 2(u 2, u 3 ) + (u 2, g) = = π/2 sin 8x cos 8x dx = to znmená, že úloh (62) má nekonečně mnoho řešení. Příkld Rozhodněme o řešitelnosti okrjové úlohy (63) u + 9π 2 u = 3 sin 4πx + x + 1, u() =, u(1) =. Vlstní čísl příslušného homogenního problému mjí tvr λ k = k2 π = k 2 π 2. Je zřejmé, že pro k = 3 je λ 3 = 9π 2 u funkce u v úloze (63) stojí třetí vlstní číslo. Opět úloh (63) nemá jednoznčné řešení. O tom, zd tto úloh má nekonečně mnoho řešení nebo nemá řešení bude zse rozhodovt sklární součin (u 3, f), kde u 3 = sin 3πx je vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ 3 = 9π 2 f(x) = 3 sin 4πx + x + 1 je prvá strn rovnice (63). Pro k = 4 je λ 4 = 16π 2 čtvrté vlstní číslo u 4 = sin 4πx je čtvrtou vlstní funkcí. Oznčíme-li g(x) = x + 1, je pk f = 3u 4 + g. Potom ( využitím toho, že (u 3, u 4 ) = ) (u 3, f) = (u 3, 3u 4 + g) = 3(u 3, u 4 ) + (u 3, g) = = to znmená, že úloh (63) nemá řešení. (x + 1) sin 3πx dx = 1 π 2.4. Okrjové úlohy v operátorovém tvru. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (64) u + (1 + x)u = x, u() =, u(1) = je pozitivní.

18 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 18 Operátor A je definován předpisem (65) Au = u + (1 + x)u s definičním oborem (66) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. Chceme-li dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (67) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (1 + x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme u v dx = [ u v] 1 ( u )v dx = = ( u (1)v(1) + u ()v()) + u v dx = (1 + x)uv dx. u v dx, kde ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. (Protože v D A, je v() =, v(1) = ( u (1)v(1) + u ()v()) =.) Je tedy (68) (Au, v) = u v dx + (1 + x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (67). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + (1 + x)v) dx = v u dx + Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 1 ( v )u dx = = ( v (1)u(1) + v ()u()) + v u dx = (1 + x)vu dx. u v dx, kde ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. (Protože u D A, je u() =, u(1) = ( v (1)u(1) + v ()u()) =.) Je tedy (69) (u, Av) = u v dx + (1 + x)uv dx.

19 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 19 Z (68) (69) vidíme, že pltí (67), tj. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Ukžme nyní, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (7) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 1. Zvolme u D A. Potom podle (68) je (Au, u) = u u dx+ (1+x)uu dx = (u ) 2 dx+ (1+x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 1. Podmínk (7) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (71) je pozitivní. u + (x 2 + 1)u = cos x, u() =, u (2) = Operátor A je definován předpisem (72) Au = u + (x 2 + 1)u s definičním oborem (73) D A = { u C 2 (, 2 ) : u() =, u (2) = }. Budeme postupovt podobně jko v příkldu Ukážeme nejdříve, že operátor A je symetrický, tj. pltí (74) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + (x 2 + 1)u ) v dx = u v dx+ Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] 2 ( u )v dx = = ( u (2)v(2) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = (x 2 +1)uv dx. u v dx,

20 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 2 (u, v D A, v() =, u (2) = ( u (2)v(2) + u ()v()) =.) Je tedy (75) (Au, v) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx. A podobně uprvíme prvou strnu rovnosti (74) Zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = ( u( v + (x 2 + 1)v ) dx = v u dx+ (x 2 +1)vu dx. A opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme v u dx = [ v u] 2 ( v )u dx = = ( v (2)u(2) + v ()u()) + v u dx = u v dx. (u, v D A, u() =, v (2) = ( v (2)u(2) + v ()u()) =.) Je tedy (76) (u, Av) = u v dx + (x 2 + 1)uv dx operátor A je symetrický. A nyní zse podobným postupem jko v příkldu 2.16 ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (77) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, 2. Zvolme u D A. Potom podle (75) je (Au, u) = u u dx+ (x 2 +1)uu dx = (u ) 2 dx+ (x 2 +1)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, 2. Podmínk (77) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Ukžme, že operátor A příslušný okrjové úloze (78) u + g(x)u = f(x), u() =, u(b) =, kde funkce f g jsou funkce spojité n intervlu, b g(x), x, b, je pozitivní.

21 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 21 Při řešení této obecné úlohy budeme postupovt nlogicky jko v příkldu Operátor A je definován předpisem (79) Au = u + g(x)u s definičním oborem (8) D A = { u C 2, b : u() =, u(b) = }. Budeme-li chtít dokázt, že operátor A je pozitivní, musíme opět nejdříve ukázt, že je symetrický, tj. pltí (81) u, v D A : (Au, v) = (u, Av). Zvolme tedy libovolné u, v D A. Potom (Au, v) = ( u + g(x)u) v dx = u v dx + Užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde u v dx = [ u v] b ( u )v dx = = ( u (b)v(b) + u ()v()) + ϕ = u ψ = v, ϕ = u ψ = v. u v dx = g(x)uv dx. u v dx, (Protože v D A, je v() =, v(b) = ( u (b)v(b) + u ()v()) =.) Je tedy (82) (Au, v) = u v dx + g(x)uv dx. Podobným způsobem nyní uprvíme prvou strnu rovnosti (81). Opět zvolme libovolné u, v D A. Potom (u, Av) = (u( v + g(x)v) dx = v u dx + g(x)vu dx. Opět užitím metody per prtes n první z integrálů dostneme kde v u dx = [ v u] b ( v )u dx = = ( v (b)u(b) + v ()u()) + ϕ = v ψ = u, ϕ = v ψ = u. v u dx = u v dx,

22 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 22 (Protože u D A, je u() =, u(b) = ( v (b)u(b) + v ()u()) =.) Je tedy (83) (u, Av) = u v dx + Z (82) (83) vidíme, že pltí (81), tj. g(x)uv dx. u, v D A : (Au, v) = (u, Av) operátor A je symetrický. Nyní ukžme, že operátor A je pozitivní, tj. pltí (84) u D A : (Au, u) (Au, u) = u(x) =, x, b. Zvolme u D A. Potom podle (82) je (Au, u) = u u dx + g(x)uu dx = (u ) 2 dx + g(x)u 2 dx, protože součet integrálů z nezáporných funkcí je nezáporný. A tento součet se rovná pouze tehdy, když ob integrály se součsně rovnjí. Ale to nstne pouze v přípdě, že u(x) =, x, b. Podmínk (84) pltí operátor A je pozitivní. Příkld Njděme hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (85) u + x 2 u = x, u() =, u(1) = s operátorem A pro funkci u 1 (x) = x(1 x). Podle příkldu 2.18 víme, že operátor (86) Au = u + x 2 u s definičním oborem (87) D A = { u C 2 (, 1 ) : u() =, u(1) = }. je pozitivní. Funkcionál energie pro okrjovou úlohu Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A, má tvr (88) F u = (Au, u) 2(f, u). Protože u 1 D A, dostneme doszením u 1 (x) = x(1 x) (u 1(x) = 2) do (86) Au 1 = 2 + x 2 x(1 x) = 2 + x 3 (1 x) dále do (88) F u 1 = (Au 1, u 1 ) 2(f, u 1 ) = 2 (2 + x 3 (1 x)) x(1 x)dx x x(1 x)dx = =

23 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU 23 Příkld 2.2. Njděme minimální hodnotu funkcionálu energie F příslušného okrjové úloze (89) u + 9u = 9x 2 9x 2, u() =, u(1) =. Podle věty o minimu kvdrtického funkcionálu víme, že pokud je funkce u řešením okrjové úlohy Au = f, kde A je pozitivní operátor s definičním oborem D A (podle příkldu 2.18 je operátor A příslušný úloze (89) pozitivní), pk tto funkce minimlizuje funkcionál energie příslušný této úloze nopk, pokud u minimlizuje funkcionál energie dné okrjové úlohy, pk tto funkce je řešením této úlohy. Tto vět umožňuje hledt řešení okrjové úlohy tk, že njdeme funkci u D A, která minimlizuje funkcionál energie příslušný dné úloze. (Toto je princip řešení okrjových úloh tzv. vričními metodmi). Nopk, známe-li řešení okrjové úlohy u D A, pk tto funkce minimlizuje příslušný funkcionál energie. A to je právě náš přípd. Podobně jko v příkldech 1.1 ž 2.3 njdeme řešení úlohy (89). (Diferenciální rovnice 2.řádu s konsttními koeficienty se speciální prvou strnou.) Nejdříve njdeme řešení rovnice bez prvé strny. Chrkteristická rovnice λ 2 + 9λ = má dv různé reálné kořeny λ 1 = 3 λ 2 = 3. Odtud u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x je řešením rovnice bez prvé strny. Dná rovnice má speciální prvou strnu tedy prtikulární řešení rovnice (89) budeme hledt ve tvru u p = Ax 2 + Bx + C. Doszením tohoto předpokládného řešení do rovnice (89) porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostneme A = 1, B =, C =. Obecné řešení rovnice (89) má tedy tvr u h = c 1 e 3x +c 2 e 3x +x 2 x. Doszením okrjových podmínek do obecného řešení njdeme hledné řešení. Řešením úlohy (89) je funkce u D A (9) u (x) = x 2 x, x, 1. Je tedy (viz příkld 2.19) F u = (Au, u ) 2(f, u ) = ( (x 2 x))dx 2 (9x 2 9x 2) (x 2 x)dx = 19 3 hledná minimální hodnot funkcionálu energie.