14 Kuželosečky v základní poloze

Transkript

1 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými kvdrtickými útvr (v nltickém vjádření oshují proměnné, v druhé mocnině). 4. Poznámk Řez n dvojkuželu v 3 rovin procházející vrcholem kužele vtnou z povrchu kužele od, přímku dvojici různoěžných přímek pokud neprocházejí vrcholem kužele, je množinou společných odů rovin kužele některá z křivek zvných kuželosečk 4. Definice elips Nechť je kldné reálné číslo. Elips je množin odů, které mjí součet vzdáleností od dvou dných odů F F konstntní, roven. Bod F, F se nzývjí ohnisk elips, číslo se nzývá hlvní poloos. Přímk F F se nzývá hlvní os elips. Bod S střed úsečk F F se nzývá střed elips. Přímk kolmá k hlvní ose procházející středem elips se nzývá vedlejší os. Vzdálenost ohnisek F F =e, kde číslo e se nzývá výstřednost pltí vžd e <. Číslo = ( e ) se nzývá vedlejší poloos vžd pltí. Průsečík elips s hlvní osou se nzývjí hlvní vrchol elips; průsečík elips s vedlejší osou se nzývjí vedlejší vrchol elips. Vzdálenost hlvních vrcholů je rovn ; vzdálenost vedlejších vrcholů je rovn.

2 4.3 Definice zákldní poloh elips Říkáme, že elips je v zákldní poloze, právě kdž F = [-e,], F = [e,], S = [,], hlvní os je os. 4.4 Vět Bod X = [,] leží n elipse, která leží v zákldní poloze, právě kdž jeho souřdnice splňují osovou rovnici elips 4.5 Definice kružnice Kružnice je množin odů, které mjí od dného odu S konstntní vzdálenost r. Bod S se nzývá střed kružnice r poloměr kružnice. 4.6 Vět Elips, která má hlvní poloosu stejně velkou jko vedlejší poloosu = = r, tj. ohnisk F = F = S, je kružnice se středem v odě S poloměrem r. Osová rovnice kružnice je + = r. 4.7 Příkld Npište rovnici elips, která je v zákldní poloze pltí + = 9, e = 3 Řešení e = = (+)(-) = 9 => - =, + = => = 5, = Příkld Npište rovnici kružnice v zákldní poloze, n které leží od A = [5,] Řešení r = 5 + = 3 => + = Příkld Npište rovnici elips v zákldní poloze, víte-li, že hlvní poloos je 4krát větší než vedlejší výstřednost se rovná 3 5. Npište rovnici kružnice, která má stejný osh jko elips, víte-li, že osh elips se spočítá podle vzorce S = π. Řešení = 4, 9.5 = e = = 5, => =, = S = π r = π. => r = 8 => + = 8 4. Definice hperol Nechť je kldné reálné číslo. Hperol je množin odů, které mjí rozdíl vzdáleností od dvou dných odů F F konstntní roven.

3 Bod F, F se nzývjí ohnisk hperol, číslo se nzývá hlvní poloos. Přímk F F se nzývá hlvní os hperol. Bod S střed úsečk F F se nzývá střed hperol. Přímk kolmá k hlvní ose procházející středem hperol se nzývá vedlejší os. Vzdálenost ohnisek F F =e, kde číslo e se nzývá výstřednost pltí vžd e >. Číslo = (e - ) se nzývá vedlejší poloos (může nstt >, =, <). Průsečík hperol s hlvní osou se nzývjí (hlvní) vrchol hperol. Vzdálenost hlvních vrcholů je rovn. 4. Definice zákldní poloh hperol Říkáme, že hperol je v zákldní poloze, právě kdž F = [-e,], F = [e,], S = [,], hlvní os je os. 4. Vět Bod X = [,] leží n hperole, která leží v zákldní poloze, právě kdž jeho souřdnice splňují osovou rovnici hperol 4.3 Definice rovnoosá Hperol se nzývá rovnoosá, právě kdž =. 4.4 Definice smptot Přímk =, + = se nzývjí smptot hperol v zákldní poloze. 4.5 Poznámk Asmptot ( )( ) 4.6 Příkld Npište rovnici hperol v zákldní poloze, je-li vzdálenost mezi ohnisk vzdálenost vrcholů 8. Určete její smptot.

4 Řešení = e, 8 = => = 4, e = 5 => e = + => = 3 6 9, 3 4, Příkld Hperol v zákldní poloze má jeden vrchol v odě [3,] jednu smptotu 4 6 =. Npište její rovnici. Řešení ted = 3, směrnicový tvr smptot = / => = Definice prol Nechť p je kldné reálné číslo. Prol π je množin odů, které mjí stejnou vzdálenost od dné přímk d jko od dného odu F, který je od přímk vzdálen p. Bod F se nzývá ohnisko prol, přímk d se nzývá řídící přímk číslo p se nzývá prmetr prol. Přímk procházející odem F kolmá k přímce d se nzývá os prol. Průsečík V os prol s prolou se nzývá vrchol prol. 4.9 Definice zákldní poloh prol Říkáme, že prol π je v zákldní poloze, právě kdž F = [p/,], V = [,] řídící přímk d = -p/. Os prol splývá s osou. 4. Vět Bod X = [,] leží n prole π, která leží v zákldní poloze, právě kdž jeho souřdnice splňují vrcholovou rovnici prol p 4. Příkld Bod A = [,6] leží n prole v zákldní poloze. Npište její rovnici. Řešení 36 = p. => p = 9 => π =8

5 4. Poznámk Optické vlstnosti kuželoseček Pprsek vcházející z ohnisk se odráží od prol v rovnoěžném směru s osou prol. svítiln, reflektor, ntén, sluneční pece, most, rotující hldin vodorovný vrh, poh nité částice v elektrickém poli Pprsek vcházející z jednoho ohnisk prochází po odrzu od elips druhým ohniskem přížské metro, ďálov kzteln, oěh plnet kolem slunce koule klouové náhrd (perfektně dosedá) Pprsek vcházející z jednoho ohnisk se po odrzu od hperol jeví jko vcházel s druhého ohnisk. chldící věže KONEC