9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

Transkript

1 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu (tj. průmětů v Mongeově projekci) tké průměty v xonometrii, nebo v perspektivě. Technické objekty mjí obvykle tři význčné nvzájem kolmé směry nebo tří význmné nvzájem kolmé roviny. Axonometrie je zobrzení n jednu průmětnu tk, by se žádný z těchto směrů nepromítl do bodu, resp. žádná z těchto rovin nepromítl do přímky Prvoúhlá (kolmá) xonometrie Velmi čsto používnou xonometrií je xonometrie prvoúhlá (kolmá). Je to xonometrie, kdy směr promítání je kolmý n průmětnu ω. Uvžujme krtézskou souřdnicovou soustvu O,,, i j k polohu xonometrické průmětny ω ω ω určeme body X ω x ; Y ω y; ω Z ω z, ve kterých průmětn ω protíná souřdnicové osy x = O, i ; y = O, j ; z = O, k. ω ω ω ω ω ω ω ω ω Přímky p = X Y ; n = X Z ; m = Y Z jsou stopmi pomocných průměten - rovin π (půdorysny), ν (nárysny) resp. µ (bokorysny) ω ω ω v průmětně ω. Trojúhelník X Y Z nzýváme xonometrickým trojúhelníkem. 1. Axonometrické osy v prvoúhlé xonometrii: Axonometrické osy v prvoúhlé xonometrii jsou výšky v xonometrickém trojúhelníku. Ten je vždy ostroúhlý. 2. Konstrukce xonometrických jednotek: Směr kolmý n xonometrickou průmětnu definuje mezi xonometrickou průmětnou pomocnými průmětnmi finity mezi rovinmi, jejímiž průměty jsou finity v rovině s osmi splývjícími se strnmi xonometrického trojúhelník. Otočíme-li některou z pomocných průměten π; ν ; µ do xonometrické průmětny, dostáváme kolmou osovou finitu, která je určen strnou xonometického trojúhelník dvojicí bodů O; ( O ). N tkto otočených osách můžeme přímo měřit jednotky event. souřdnice zdávných bodů. Průměty těchto jednotek i souřdnic zdávných bodů získáme inverzní finitou. Postup je ptrný z připojeného obrázku (zde je otočen půdorysn nárysn, stejným způsobem je možno otočit bokorysnu). 141

2 9. 2 Zobrzení bodu, přímky roviny v prvoúhlé xonometrii 1. Bod: Otočením půdorysny nárysny resp. bokorysny do xonometrické průmětny A ; x sestrojíme xonometrické souřdnice ( ) y z A A A ( A ) ; ( A ) bodu A x ; y ; z =. Inverzní x y z finitou pk získáme tk body A ; A ; A, které doplníme n souřdnicový kvádr dle Při prktických konstrukcích není třeb sestrojovt všechny průměty A 0 ; A 01 ; A 02 ; A 03 bodu A. K xonometrickému průmětu A 0 připojujeme většinou jen xonometrický půdorys A 01. A protože všechny body v xonometrické průmětně jsou xonometrickými průměty, budeme index 0 znčící právě xonometrický průmět v dlším textu vynechávt. 2. Přímk: Přímk je určen dvěm svými body. Půdorysy těchto bodů tedy určují půdorys přímky xonometrické průměty pk xonometrický průmět přímky. N připojeném obrázku je sestrojen přímk b AB. Její b b b průsečíky P ; N ; M s rovinmi π; ν ; µ nzýváme pořdě půdorysný, nárysný bokorysný stopník. Pro průměty dvojice přímek pltí totéž, co u Mongeovy projekce (viz kpt ) 3. Rovin: rovinu α určujeme nejčstěji úseky X α ; Y α ; Z α, které rovin vytíná n souřdných osách (k jejich nnesení využijeme opět otáčení průměten π; ν ; µ do xonometrické průmětny). Průsečnice roviny α s rovinmi π; ν ; µ nzýváme pořdě půdorysnou, nárysnou bokorysnou stopou znčíme p α ; n α ; m α. 4. Přímk bod v rovině: Sestrojíme-li v rovině α libovolnou přímku, pk pro její půdorysný stopník P pltí P α součsně P π1. Znmená to, že P p α. Podobně N n α ; M m α. Tyto vlstnosti umožňují zrekonstruovt přímku ležící v rovině zdné svými stopmi n zákldě znlosti jednoho průmětu. Rovněž tk bod: známým průmětem (npř. A 1) proložíme příslušný průmět libovolné přímky α sestrojíme její xonometrický průmět, n kterém njdeme xonometrický průmět bodu A. 142

3 5. Hlvní přímky: Podobně jko v Mongeově projekci můžeme k doplnění chybějícího průmětu bodu v rovině s výhodou použít hlvních přímek. Kždým bodem A α prochází právě jedn hlvní přímk 1 h α rovnoběžná s půdorysnou (hlvní přímk první osnovy), právě jedn hlvní přímk 2 h α rovnoběžná s nárysnou (hlvní přímk druhé osnovy) právě jedn hlvní přímk 3 h α rovnoběžná s bokorysnou (hlvní přímk třetí osnovy) Hlvní přímk první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou stopou, podle je tedy její půdosys rovnoběžný s půdorysem půdorysné stopy. Z nlogického důvodu je nárys hlvní přímky druhé osnovy rovnoběžný s nárysem nárysné stopy bokorys hlvní přímky třetí osnovy rovnoběžný s bokorysem bokorysné stopy. 6. Spádové přímky: Spádová přímk první osnovy je kolmá k půdorysné stopě roviny. N rozdíl od Mongeovy projekce všk průmětem tohoto prvého úhlu obecně není prvý úhel, protože ni jedno rmeno promítného úhlu obecně není rovnoběžné s xonometrickou průmětnou. Sestrojme bod A jko průsečík osy z p α oznčme B = Y. V trojúhelníku OAB, který leží v půdorysně, sestrojme výšky: Průmět výšky v je rovnoběžný s průmětem osy x. Dále sestrojme přímku v b tk, že B vb vb b. Přímk v b je rovnoběžná s xonometrickou průmětnou, podle je tedy úhel bvb průmětem prvého úhlu v b je rovněž výškou OAB. Bod V v vb je tedy ortocentrum OAB, kterým musí procházet třetí výšk. Přímk vo = OV je tedy kolmá n AB určuje směr půdorysu I s 1 spádové přímky I s první osnovy. Spádové přímky druhé resp. třetí osnovy sestrojíme nlogicky. 143

4 7. Rovin určen dvěm přímkmi, třemi body: Je-li rovin určen dvěm přímkmi, sestrojíme jejich stopníky, kterými musejí procházet stopy roviny. N připojeném obrázku jsou sestrojeny půdorysné stopníky přímek ; b, nárysný bokorysný stopník stčí pk jen jeden. Je-li rovin určen třemi svými body, vezmeme libovolné dvě strny tkto dného trojúhelník plikujeme předchozí konstrukci Zákldní polohové úlohy v prvoúhlé xonometrii Jk již víme z kpt. 8. 3, k zákldním polohovým úlohám ptří: ) Dným bodem vést k dné přímce rovnoběžku b) Dným bodem vést k dné rovině rovnoběžnou rovinu c) Sestrojení průsečnice dvou dných rovin d) Sestrojení průsečíku dné přímky s dnou rovinou ) Dným bodem A vést přímku rovnoběžnou s dnou přímkou b : V xonometrii podobně jko v Mongeově projekci používáme rovnoběžná promítání, průmětem dvou rovnoběžek jsou tedy buď opět dvě rovnoběžky (pokud neleží v promítcí rovině), nebo dv body (pokud promítné rovnoběžky leží v příslušné promítcí rovině). b) Dným bodem vést k dné rovině rovnoběžnou rovinu: Je-li dán bod A svvým xonometrickým průmětem xonometerickým půdorysem, pk podobně jko v Mongeově projekci vedeme dným bodem přímku I α β h p, jejím nárysným stopníkem prochází nárysná stop bokorysným stopníkem bokorysná stop. Je-li dán nárys resp. bokorys bodu A, lze zcel nlogicky použít hlvní přímku druhé resp. třetí osnovy. c) Nlézt průsečnici r dných dvou rovin α ; β : Podobně jk v Mongeově projekci nejčstěji nlézáme stopníky průsečnice. Vzhledem k tomu, že půdorys půdorysné stopy, nárys nárysné stopy resp. bokorys bokorysné stopy jsou zárověň xonometrickými průměty těctho stop, nlézáme xonometrický průmět prsečnice nejčstěji jko spojnici průsečíků příslušných stop. 144

5 d) Nlézt průsečík R dné přímky s dnou rovinou α : Opět lze postupovt buď metodou promítcí roviny, nebo metodou krycí přímky tk, jko v Mongeově promítání (vlstní konstrukce je ovšem opět prkticky stejná), 9. 4 Plnimetrické úlohy v pomocných průmětnách K řešení plnimetrických úloh v půdorysně, nárysně resp. bokorysně využíváme většinou otáčení těchto průmětem do průměty xonometrické. Při otáčení opět využíváme finity mezi otáčenou pomocnou průmětnou průmětnou xonometrickou. Afinit mezi těmito dvěm rovinmi se do xonometrické průmětny promítá jko osová finit s osou v příslušné strně xonometrického trojúhelník (stopou xonometrické průmětny). 1. Příkld: Jsou dány body S ; L v půdorysně. Sestrojme kružnici k( S; r ) v půdorysně tk, by L k. Řešení: K vynesení zdných bodů S ; L je třeb otočit půdorysnu do xonometrické průmětny sestrojit otočené body ( S ); ( L ). Tyto body otočíme zpět do nárysny pomocí osové finity Af ( XY; ( O) ; O ). Průmětem kružnice bude elips s hlvní osou = r XY, která prochází bodem L. Sestrojíme ji tedy proužkovou konstrukcí. 2. Příkld: Jsou dány body CS ; c v xonometrické bokorysně. V této průmětně sestrojme rovnostrnný trojúhelník ABC tk, by CSc = vc byl jeho výškou. Tomuto trojúhelníku opišme kružnici. Řešení: Pro vynesení bodů CS ; c je třeb otočit bokorysnu do xonometrické průmětny sestrojit otočené body ( C) ;( S c ). V tomto otočení rovněž sestrojíme poždovný rovnostrnný trojúhelník ( A)( B)( C), kterému rovněž opíšeme kružnici ( k ). Pro odpovídjící konstrukci v bokorysně využijeme osové finity 145

6 Af ( YZ; ( O) ; O ) :( A) A;( B) B ; ( C) C. Afinním obrzem k opsné kružnice ( k ) bude elips s hlvní osou = r YZ, která prochází body ABC. ; ; Sestrojíme ji tedy proužkovou konstrukcí. 3. Příkld: Sestrojme kružnici v nárysně, je-li dán její střed S poloměr r. Řešení: Kružnice se promítne jko elips s hlvní osou = r XZ, tedy y, Hlvní vrcholy této elipsy oznčme A; B. Dále sestrojme přímky r x; A r ; s z; B s. Jedná se o různoběžky, průsečík oznčme M. Různoběžky rs ; jsou nvzájem kolmé, bod M tedy leží n hledné kružnici (Thletov vět), xonometrický průmět bodu M tedy leží n elipse, do které se kružnice promítne. Tuto elipsu můžeme opět sestrojit proužkovou konstrukcí Zářezová metod Zářezová metod umožňuje sestrojit xomonetrický průmět geometrickíého útvru U, známe-li jeho půdorys nárys. Otočíme půdorysnu nárysnu do xonometrické průmětny, tentokrát ovšem tk, bychom nezměnili orientci souřdnicové soustvy. Do otočené půdorysny (nársny) přeneseme zdný půdorys (nárys). Kvůli přehlednosti je vhodné vysunout tyto průměty proti směru osy z resp. y (viz připojený obrázek). Půdorysem A 1 libovolného bodu A U veďme přímku 1 s1, nárysem A 2 téhož bodu přímku 2 s2 sestrojme bod A s1 s2. Množin všech tkto sestrojených bodů je rovnoběžným xonometrickým průmětem U útvru U. 146