MASARYKOVA UNIVERZITA. Michal Burián

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Modelování vyzařovací charakteristiky ultrazvukových měničů BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michal Burián Brno, jaro 2009

2 Prohlášení Prohlašuji, že tato bakalářská práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Dušan Hemzal, Ph.D. ii

3 Poděkování Děkuji Mgr. Dušanu Hemzalovi, Ph.D za jeho odborné vedení a za cenné rady a připomínky k realizaci této práce. Děkuji také Jaroslavu Vážnému za pomoc v boji s nástrahami systému L A TEX. Poděkování patří také mé rodině, která mi byla při dosavadním studiu velkou oporou. iii

4 Shrnutí Tato práce je zaměřena na konstrukci geometrického modelu konkrétního měniče sloužícího ke generování ultrazvukového pole v experimentálním 3D ultrazvukovém tomografickém zařízení. Model je vytvářen metodou prostorové sítě s ohledem na následné řešení vlnových rovnic metodou konečných prvků, které je rovněž provedeno. Nasimulováno je také pole konkrétní ultrazvukové sondy, která byla v rámci praktické části práce proměřena. Abstract The thesis deals with space mesh modeling for a particular geometry of an ultrasound transducer which is used in the experimetnal 3D ultrasound tomograhic setup. The model is presented and solved using the finite elements method. In the experimental part, the ultrasound filed of a aprticular transducer is both measured and modeled. All the results are discussed. Klíčová slova ultrazvukový měnič, metoda konečných prvků, Gmsh Keywords ultrasound transducer, finite elements method, Gmsh iv

5 Obsah 1 Úvod Základní veličiny a rovnice mechaniky kontinua Tenzor napětí Tenzor (malé) deformace a složený pohyb Tenzor rychlosti malé deformace Základní rovnice kontinua Izoentropické vlnění ve viskózní kapalině Vyjádření tlakové výchylky Tenzor napětí ve viskózním prostředí Odvození vlnové rovnice pro viskózní kapalinu Voigtův model visko-elastické tkáně Vlnová rovnice ve vislo-elastickém prostředí Společné vlastnosti odvozených rovnic ve zvolených prostředích Modelování geometrie a početní sítě ultrazvukových měničů Zdroj ultrazvuku a ultrazvukový měnič Piezoelektrický jev Struktura měniče Modelování geometrie a sítě Vzorový příklad pro namodelování geometrie a definici sítě Modelování geometrie ultrazvukového měniče Modelování vyzařovací charakteristiky Vyzařovací charakteristika a akustické pole Metoda konečných prvků Modelování blízkého pole ultrazvukového měniče Experimentální měření vyzařovací charakteristiky Popis měření akustického pole Model vyzařovací charakteristiky ultrazvukové sondy Závěr Literatura Přílohy Měnič (TAS) pro ultrazvukovou tomografii Zdrojový kód geometrie TASu v

6 Kapitola 1 Úvod Vyšetření ultrazvukem patří mezi neinvazivní diagnostické metody. Výhodou ultrazvuku je, že nezatěžuje pacienta jako například vyšetření rentgenem, kdy je člověk vystaven ionizujícímu záření. Právě tato skutečnost vedla k vývoji ultrazvukové tomografie, která je postavena na stejném principu jako CT (výpočetní tomografie), ale místo Rentgenova záření používá ke zobrazování ultrazvuk. I když je ultrazvuková tomografie stále v experimentální fázi, jeví se jako dobrou alternativou mamografie, používající Rentgenovo záření. Konkrétní ultrazvukové 3D zařízení tomografového typu je vyvíjeno ve Forschungs Zentrum Karlsruhe (FZK) v Německu. Po úvodní fázi, která zahrnovala konstrukci 2D systému je v současné době s úspěchem testován plně funkční 3D systém. Pro buzení ultrazvuku v tomografu se používá tzv. měničů, které jsou v přístroji uspořádány do kruhových vrstev. Pro snazší technické ovládání pracuje každý z měničů bud jako zdroj nebo jako přijímač ultrazvukového vlnění. Postupně jsou aktivovány jednotlivé vysílací měniče, přičemž průchodem ultrazvuku prostředími s různou akustickou impedancí se ultrazvukové vlny mění (tlumení, odraz) a tyto modifikované signály jsou přijímány všemi přijímacími měniči. Na základě těchto zaznamenaných změn je na počítači vytvořen obraz vyšetřovaného objektu. Kromě samotné konstrukce zařízení jsou ve FZK vyvíjeny i konkrétní měniče, TASy (Transducer Array Source), určené pro specializované použití v tomografu. Protože samotná rekonstrukce obrazu je u ultrazvuku výpočetně mnohem náročnější než u rentgenových přístrojů (a to díky složitým interferenčním vztahům v rámci ultrazvukového pole), je potřeba maximální část výpočtů přesunout mimo samotný rekonstrukční proces. Právě tímto směrem leží cíl předkládané bakalářské práce. Na základě konstrukčních detailů měničů dodaných z FZK je cílem práce položit základ k mechanickému modelování užívaných měničů. Z hlediska praktické aplikace to v podstatě znamená poskytnout výhledově do výpočtů spolehlivou vyzařovací charakteristiku jednotlivého měniče, která by takto již nemusela být určována složitým výpočtem během měření. Tato úloha je netriviální, protože tvar měniče je poměrně komplikovaný. V první části práce se seznámíme s fyzikálním modelem dostatečně obecným k tomu, aby popsal šíření ultrazvuku ve všech typech biomedicínských prostředí. Odvozování vychází z mechaniky kontinua - po dosazení příslušných materiálových konstant můžeme modelovat šíření ultrazvuku vybraným prostředím. Ve druhé části práce vybudujeme konkrétní model geometrie měniče a v jeho rámci provedeme simulaci ultrazvukového pole způsobeného aktivací tohoto měniče. Simulace jsou založeny na rovnicích získaných v teoretické části a implementovány metodou konečných prvků. 1

7 1. ÚVOD V rámci praktické části bylo absolvováno měření v ultrazvukové vaně, pro nějž byl vytvořen konkrétní model využívající vybudovanou teorii. V rámci zpracování měření je zařazena diskuse blízkého a vzdáleného pole měniče jakož i demonstrace předpovědi ultrazvukového pole proměřované sondy. Chtěl bych na tomto místě poděkovat Ing. Radimu Kolářovi, Ing. Martinu Čížkovi a doc. Ing. Jiřímu Rozmanovi, CSc. za umožnění měření v ultrazvukové vaně na VUT. Také bych rád poděkoval Ing. Jiřímu Holečkovi za pomoc se zprovozněním MKP softwaru pro modelování vyzařovací charakteristiky. 2

8 Kapitola 2 Základní veličiny a rovnice mechaniky kontinua Mechanika kontinua je speciální část mechaniky zabývající se spojitým prostředím. U kontinuálního prostředí předpokládáme, že prostor je zcela spojitě vyplněn látkou. Matematicky se látkové prostředí interpretuje jako soustava hmotných bodů, malých částic vyplňujících prostor, ve kterém se mohou pohybovat. Narozdíl od modelu tuhého tělesa, které je nestlačitelné, může určitá část kontinua měnit svůj objem a tvar. Částice tvořící kontinuum jsou fyzikálně nekonečně malé. Počet částic je dostatečně velký, ale ve srovnání s počtem molekul makroskopické části tělesa je jich mnohem méně. Částice musí mít nekonečně malý objem. Rozumíme tím dostatečně velký objem, který bude obsahovat větší množství molekul, ale také dostatečně malý, aby se makroskopicky vlastnosti tělesa neprojevily na poloze částice. Poloha malé částice v čase t je dána polohovým vektorem ve fyzikálně nekonečně malém časovém intervalu v němž okamžik t leží.[1] Kontinuum je tedy soustava fyzikálně nekonečně malých částic o polohovém vektoru r, hustě zaplňujících určitý objem V. Pohybové zákony popisujeme pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Mezi spojité látkové prostředí zahrnujeme pružné tělesa, ale stejně tak kapaliny a plyny. 2.1 Tenzor napětí Tenzor napětí vyjadřuje rozložení napětí v látce. Značíme ho symbolem τ a jeho jednotkou je pascal. Tenzor napětí je reprezentován maticí s prvky τ ij, kde index i značí, že prvek se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice. Jedná se o tenzor symetrický, tedy pro něj platí τ ij = τ ji. Tenzorová matice je označována jako matice symetrická. 2.2 Tenzor (malé) deformace a složený pohyb Obecně může těleso konat pohyb translační nebo rotační. Tyto vlastnosti jsou charakteristické pro tuhé těleso, které nelze nijak deformovat. U kontinua však mimo translační a rotační pohyb může docházet i k deformaci. Právě deformací se budeme zabývat. K deformaci kontinua dochází v případě, mění-li se vzdálenost mezi jednotlivými částmi kontinua. Změnu polohy vyjadřuje vektor posunutí u(x j, t), kde x j jsou souřadnice počátku vektoru posunutí a polohový vektor částice kontinua. Rychlost této změny vyjadřuje vektor rychlosti v = (x j, t) Označme jeden bod kontinua P (viz. obr.1), který je 3

9 2. ZÁKLADNÍ VELIČINY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA Obrázek 2.1: Odvození tenzoru (malé) deformace [2] definovaný polohovým vektorem o složkách x j. Další bod Q je dán jeho polohovým vektorem se složkami x i +d x i. Uvažujme vychýlení bodu P do nové polohy P o polohovém vektoru y j a stejně tak změnu polohy bodu Q do nové polohy Q s vektorem y j + d y j. Změnu polohy bodu P určuje vektor u i = u i (x) jako funkce souřadnice bodu.[3] Pro bod Q pak platí: Z obrázku je dále patrné, že u i (x + d x) = u i (x) + u i x i d x j = u j + d u j. (2.1) y i + d y i = x i + d xi + u i + d u i. (2.2) Nyní zavedeme Kroneckerovo delta δ ij, jehož vlastností je δ ij = 1 δ ij = 0 pro i = j pro i j S tímto symbolem pak můžeme napsat: d y i = d x i + d u i = d x i + u ( i d x j = δ ij + u ) i d x j, (2.3) x j x j kde pro δ ij platí d x i = δ ij d x j. Deformaci tedy vyjádříme jako rozdíl druhých mocnin vzdáleností bodů před a po deformaci, nebo-li před a po posunutí bodů PQ. Tedy musíme najít vztah pro d y j d y j d x j d x j. Dosazením předešlých vztahů dostaneme pro rozdíl kvadrátů vzdáleností: d y i d y i d x i d x i = Po roznásobení dostáváme vyjádření deformace jako ( δ ij + u ) ( i δ ik + u ) i d x j d x k d x i d x i. (2.4) x j x k d y i d y i d x i d x i = 2ε jk d x j d x k, (2.5) 4

10 kde ε jk je tenzor konečné deformace ve tvaru: 2. ZÁKLADNÍ VELIČINY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA ε jk = ( uj + u k + u ) i u i.[3] (2.6) x k x j x j x k Budeme však uvažovat jen malé deformace, u kterých jsou vektory posunutí a jejich derivace tak malé, že kvadratický člen v 2.6 lze zanedbat. Tenzorem ε ij budeme vždy myslet tenzor malé deformace. ε ij = 1 2 ( ) u i x + ui, (2.7) j x j kde u je vektorové pole posunutí elementů kontinua. Tenzor ε ij je tenzorem symetrickým. Pro symetrii tenzoru platí, že ε ij = ε ji a jeho složky mohou být reprezentovány diagonální maticí. Geometricky tento tenzor zastupuje určitý pravoúhlý trojhran. Při deformaci se každý bod trojhranu s polohou x i posune do nové polohy x i = ε ij x j, kde ε ij jsou prvky diagonální matice, reprezentující tenzor malé deformace. Prvky na diagonále dané matice vyjadřují relativní prodloužení ve směru hlavních os trojhranu a nediagonální prvky tenzoru ukazují na odchýlení těchto os od původního směru. Součet diagonálních členů tak vyjadřuje relativní změnu objemu v trojhranu a v dané části kontinua vůbec. Použijeme sumační symboliku, v níž se sčítá přes indexy opakující se ve výrazu jako například a i b i a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Potom můžeme psát, že pro stopu tenzoru malé deformace ε ii ε 11 + ε 22 + ε 33 platí: [1] 2.3 Tenzor rychlosti malé deformace ε ii = div u = V V. (2.8) Tenzor rychlosti deformace dostaneme derivováním tenzoru ε deformace podle času: η = ε/ t Pokud budeme předpokládat malé deformace, tak dospíváme ke vztahu: η ij = 1 ( ) v i 2 x + vj j x i v = u/ t je v tomto případě vektorové pole rychlosti elementů kontinua. Opět zde pro jeho stopu platí vztah η ii = div v. [1] 5

11 2.4 Základní rovnice kontinua 2. ZÁKLADNÍ VELIČINY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA Kromě uvedeného pole posunutí u a jeho derivací je stav kontinua popsán také termodynamickými stavovými veličinami. Mezi ně patří hustota ρ, tlak p, teplota T a entropie s. Entropii budeme považovat za časově konstantní v celém kontinuu, veškeré takové dynamické děje se označují jako izoentropické. V mechanice kontinua jsou pro izoentropické proudění zavedeny vztahy: [1] rovnice kontinuity pohybové rovnice vyjádření izoentropie ρ t kde f i je hustota objemových sil. + v grad ρ = ρ div v (2.9) ρ vi t + ρ( v grad)vi = ρf i ij τ + (2.10) x j ds dt = 0, (2.11) Pro šíření změn v kontinuu předpokládejme malé výchylky p, ρ stavových veličin z rovnovážných poloh. Pro tlak p a hustotu prostředí ρ napíšeme: p = p 0 + p ρ = ρ 0 + ρ, (2.12) kde p 0 a ρ 0 jsou konstanty. Tyto vyjádření dosadíme do rovnice kontinuity a dostaneme ρ t + v grad ρ = (ρ + ρ )div v. Jelikož však předpokládáme malé výchylky (p p 0, ρ ρ 0 ), je člen u grad ρ malý druhého řádu a po jeho zanedbání dostaneme rovnici ρ t = ρ 0 div v. (2.13) Složky rychlostního pole v považujeme za malé veličiny, zanedbání členu div v už však není možné, jelikož by to ukazovalo na nestlačitelnou pevnou látku nebo kapalinu. V takovém prostředí se ale vlny šířit nemohou. Z matematického hlediska dochází u divergence ke sčítání několika veličin řádu, který zanedbáváme. Sečtením dostáváme hodnotu divergence stejného řádu malosti jako u rychlostí: div v = vi x i = ( v 1 x 1 + v2 x 2 + v3 x 3 ). Nyní dosadíme do pohybových rovnic. Opět zde zanedbáme člen ρ( v )v i, jako člen vyššího řádu. Pohybová rovnice dostane tvar: v i ρ 0 t = ρ 0f i ij τ + x. (2.14) j Vztah 2.13 je rovnice kontinuity a vztah 2.14 pohybová rovnice pro malé výchylky hustoty v tekutině, kterou prochází akustická vlna. 6

12 Kapitola 3 Izoentropické vlnění ve viskózní kapalině 3.1 Vyjádření tlakové výchylky Izoentropickým vlněním označujeme takové vlnění, při kterém se nemění entropie v prostoru a čase. Při vlnivém pohybu kontinua, který je řešením pohybových rovnic, však za časový interval řádově rovný periodě kmitavého pohybu v podstatě nedochází k přenosu tepla mezi elementy kontinua, takže nemůže dojít k vyrovnání teplot. Každou část kontinua lze pak považovat za tepelně izolovanou a pohyb kontinua bude adiabatický, což podle druhé termodynamické věty znamená neměnnost entropie. [Horský J., Novotný J., Štefaník M.:Mechanika ve fyzice, str. 198] Jak je uvedeno v předchozím odstavci, vlnivý pohyb probíhá ve spojitém prostředí adiabaticky, protože se při tak rychlém kmitavém pohybu nestačí vyrovnávat teplota mezi částicemi kontinua, a tedy nedochází k přenosu tepla. Jedná se tedy o izoentropický děj, jehož součástí je děj adiabatický. Při šíření vlnění tedy dochází v kontinuu k výchylkám tlaku a hustoty z jejich rovnovážných poloh p 0 a ρ 0. Pro výsledné hodnoty hustoty a tlaku platí ρ = ρ 0 + ρ p = p 0 + p. (3.1) Výchylky, stejně jako u rovnic 2.12, jsou velmi malé. Vyjádříme stavovou rovnici ve tvaru p = kt V = ρkt m. (3.2) Teplotu budeme považovat za konstantní v čase i prostoru. Při izoentropickém přiblížení lze však teplotu ze stavové rovnice vyloučit a získat závislost p(ρ). Rozvineme-li tlak v Taylorovu řadu pro lineární členy, získáme: p = p 0 + ( p ρ ) (ρ ρ 0 ) (3.3) 0 Ze vztahu 3.1 pak vyplývá pro tlakovou výchylku ( ) p p = ρ c 2 ρ, (3.4) ρ 0 kde 0 ve výrazu znamená derivaci v rovnovážném stavu a c je rychlost šíření vlny, která se však mění napříč prostředím, tedy c(x, y). 7

13 3.2 Tenzor napětí ve viskózním prostředí Tenzor napětí τ ij ve viskózním prostředí má tvar 3. IZOENTROPICKÉ VLNĚNÍ VE VISKÓZNÍ KAPALINĚ τ ij = pδ ij + τ ij v, (3.5) kde p je záporně vzatý tlak a δ ij Kroneckerův symbol. První člen ve výrazu vyjadřuje Pascalův zákon jako rovnost tlaků v kapalině a zároveň zanedbává smykové síly třecí v daném prostředí. [1] Druhá část tenzoru napětí τv ij popisuje třecí síly působící ve viskózní tekutině (kapalině). Opět se jedná o tenzor symetrický, tedy platí rovnost τv ij = τv ji. Tenzor bude nulový, pokud kapalina bude vykonávat translační nebo rotační pohyb jako celek, nebo pokud bude v klidu. V případě deformace však dochází podle Hookova zákona k napětí v tekutině a tenzor napětí τv ij už je nenulový. Rychlostní pole deformace je vyjádřeno tenzorem rychlosti deformace η ij, uvedeným v předchozí kapitole. Můžeme tedy očekávat, že tenzor napětí bude záviset na komponentách tenzoru rychlosti deformace. Pro uvedenou závislost platí τv ij = C ikjl η kl, (3.6) kde C ijkl jsou komponenty tenzoru čtvrtého řádu. Jelikož jsou τ ij a η kl tenzory symetrické, tak také pro tenzor C ijkl bude platit C ijkl = C ijkl C ijkl = C ijlk. (3.7) Uvedené vztahy platí v případě anizotropního prostředí. Viskózní kapalinu však budeme považovat za izotropní prostředí, ve kterém je vztah 3.5 stejný ve všech kartézských souřadných soustavách a stejně tak prvky tenzoru C ijkl jsou stejné ve všech kartézských soustavách. Izotropní vlastnost tenzoru C ijkl lze popsat pomocí Kroneckerova symbolu δ ij. Tenzor C ijkl s požadovanou vlastností izotropie bude vystupovat jako lineární kombinace součinu dvou Kroneckerových symbolů, tedy C ijkl = λδ ij δ kl + µ(δ ik δ jl + δ il δ jk ). (3.8) Toto vyjádření můžeme označit za podmínku izotropie. Prostorově závislé veličiny λ a µ zde nazýváme koeficienty vazkosti, které jsou obecně závislé na hustotě a teplotě kapaliny. λ se nazývá první Lamého koeficient. Druhý koeficient µ (zvaný shear modulus) je modul pružnosti ve smyku a je nulový pro neviskózní kapalinu. Odchylky teplot a hustot v kapalině jsou však tak malé, že je budeme koeficienty λ a µ považovat za konstanty. Dosadíme-li do vztahu 3.5 za C ijkl a za η kl, dostaneme tenzor napětí τv ij ( v i τ ij v = λη k kδ ij + 2µη ij = λdiv v δ ij + µ x j + vj x i Nakonec po dosazení do vztahu 3.5 získáme výsledný tenzor napětí: ve tvaru ). (3.9) ( ) v τ ij = pδ ij + ληkδ k ij + 2µη ij i = ( p + λdiv v) + µ x + vj. (3.10) j x i Uvedené vztah pro tenzor napětí plně popisuje viskózní tekutinu (kapalinu). 8

14 3. IZOENTROPICKÉ VLNĚNÍ VE VISKÓZNÍ KAPALINĚ 3.3 Odvození vlnové rovnice pro viskózní kapalinu U tohoto odvození budeme uvažovat opět malé deformace. Pro získání vlnové rovnice musíme nejprve dosadit do pohybových rovnic kontinua za tenzor napětí. V pohybové rovnici vystupuje však jeho derivace podle souřadnic τ ij / x j Derivováni 3.10 podle x j získáme: τ ij = grad p + (µ + λ)grad div v + µ v (3.11) xj Ve viskózní kapalině zanedbáme ještě působení objemových sil f i, jako je tíha. Potom po dosazení dostáváme pro pohybové rovnice kontinua, popisující viskózní prostředí, tvar: ρ t = ρ 0div v (3.12) ρ 0 v t = grad p + (µ + λ)grad div v. (3.13) Ve druhé z rovnic jsme zanedbali člen µ v. Nyní si vyjádříme div v z první rovnice. Dosadíme-li do druhé rovnice 3.13, dostaneme ji ve tvaru: v ρ 0 t = grad p (µ + λ) grad 1 ρ ρ 0 t (3.14) Zderivujeme-li rovnici 3.12 podle času a aplikujeme-li na rovnici 4.3 operaci divergence, dostaneme pro pohybové rovnice vyjádření: 2 ρ t = ρ 2 0 div v (3.15) t ρ 0 div v t = div grad p 1 (µ + λ)div grad ρ ρ 0 t Jelikož je možné zaměnit časovou parciální derivaci a divergenci, neboli platí, že div v = div v t t, (3.16) můžeme vyjádřit vlnovou rovnici pro výchylku tlaku p ve viskózní kapalině. Dosazením z rovnice 3.1 do předcházejících vztahů dostaneme pro tlakovou výchylku p konečný vztah 2 p t 2 (c2 p ) = 1 ρ 0 (µ + λ) p t, (3.17) což je vlnová rovnice pro šíření tlakové výchylky p ve viskózní kapalině. V rámci izoentropického přiblížení platí díky vztahu 3.1 obdobná rovnice i pro výchylky hustoty ρ. Stejnou vlnovou rovnici můžeme získat i pro výchylku hustoty ρ a teploty T, jelikož jsou obě úměrné tlakové výchylce. (viz vztah 3.1) 9

15 3. IZOENTROPICKÉ VLNĚNÍ VE VISKÓZNÍ KAPALINĚ V případě neviskózní kapaliny jsou koeficienty µ a λ nulové a vlnová rovnice se stává homogenní, s nulovou pravou stranou. Pokud bude navíc stavová rovnice 3.2 konstantní v celém objemu daného prostředí, rychlost šíření c bude také konstantní v celém objemu. Tím se může c jako konstanta v rovnici dostat před derivaci (laplasián) a vlnová rovnice tak nabývá dobře známou podobu: p = 1 c 2 p t. (3.18) 10

16 Kapitola 4 Voigtův model visko-elastické tkáně 4.1 Vlnová rovnice ve vislo-elastickém prostředí Vezměme nyní tenzor napětí τ ij, který bude mít tvar: τ ij = Eε ij + µη ij, (4.1) kde E je modul pružnosti a µ je viskózní parametr shear modulus jako v předchozí kapitole. Musíme brát v úvahu, že se oba parametry mění v celém prostředí, takže platí: E(x, y) a µ(x, y ). Následně zderivujeme tenzor napětí τ podle času a jelikož pro tenzor malé deformace ε a tenzor rychlosti deformace η platí vztahy ε ij = 1 ( ) u i 2 x + ui, η ij = 1 ( ) v i j x j 2 x + vj, j x i pro derivaci tenzoru bude platit: τ ij x i = E 2 ( u + grad div u) + µ 2 ( v + grad div v) + E,i ε ij + µ,i η ij (4.2) Pro tento tenzor napětí získávají pohybové rovnice 4.1 se zanedbáním objemových sil f i tvar v ρ 0 t = E 2 ( u + grad div u) + µ ( v + grad div v) E ( ),i u i 2 xj + uj + µ ( ),i v i x i 2 x + vj. (4.3) j x i Z rovnice kontinuity 2.13 máme divergenci vektoru posunutí div u = ρ ρ 0 + C, (4.4) kde C je konstanta. Když tuto rovnici zderivujeme podle času, získáme div v = 1 ρ 0 ρ t. (4.5) 11

17 4. VOIGTŮV MODEL VISKO-ELASTICKÉ TKÁNĚ Dosazením těchto vyjádření divergencí do vztahu 4.3 dostaneme pozměněný vztah: ρ 0 v t = E 2 ) ( u 1ρ0 grad ρ + µ ) ( v 1ρ0 grad ρ + 2 t + E ( ),i u i 2 xj + uj + µ ( ) i v i x i 2 x + vj. (4.6) j x i Nyní musíme na vzniklé pohybové rovnice aplikovat operaci divergence, což znamená vynásobit operátorem nabla. Získáme tak: 2 ρ 0 t = E ρ µ ρ 2 ρ 0 ρ 0 t ) ( u 1ρ0 grad ρ grad E + 1 ( v 1ρ0 grad ρ 2 2 t ( ) ( + E,ji u i 2 xj + uj + µ,ji v i x i 2 x + vj j x i Sdružením vhodných členů můžeme napsat 2 ρ 0 t 2 = E div ( µ E grad ρ ) + ρ 0 ρ u grad E 1 2 v grad µ E,ji 2 div ( µ grad ρ t ) ( ) u i xj + uj x i ) grad µ + ). (4.7) + µ,ji 2 ( ) v i x + vj. (4.8) j x i Pokud vypustíme poslední čtyři členy vzorce 4.8 přejde rovnice nakonec do tvaru: 2 ρ 0 E t div ( µ E grad ρ ) = div ( µ grad ρ ). (4.9) 2 ρ 0 ρ 0 t Máme tu opět vlnovou rovnici, která popisuje šíření výchylek hustoty ve visko-elastickém prostředí. Pokud budou pro naše účely pružné a viskózní parametry E a µ konstantní ve vymezeném prostředí, rovnice se zjednoduší a napíšeme ji jako: 2 ρ 0 t 2 E ρ 0 ρ 0 = µ ρ 0 ρ t. (4.10) Výraz E/ρ 0 ve vlnové rovnici vystupuje jako c 2, tedy vyjadřuje kvadrát rychlosti šíření vlny v daném prostředí. 4.2 Společné vlastnosti odvozených rovnic ve zvolených prostředích Jak jsme ukázali, lze najít obecný model, který v rámci příslušného přiblížení zahrnuje oba hlavní typy prostředí, se kterými se v biomedicínských aplikacích můžeme setkat jsou to viskózní tekutiny a visko-elastické tkáně. Z fyzikálního hlediska je situace příhodná tím, že obě skupiny můžeme formálně popisovat stejným typem diferenciální rovnice. 12

18 4. VOIGTŮV MODEL VISKO-ELASTICKÉ TKÁNĚ Jediným omezením pro všechny vlnové rovnice, které jsme odvodili, je platnost vztahů ( rychlostí šíření ) pro vlny podélné. U podélné (čili zvukové) vlny je charakteristické, že částice kmitají ve směru šíření vlny. Naopak pro příčné vlny platí, že částice kmitají kolmo na směr postupu vlny. Prostředí, ve kterém se mohou příčné vlny šířit, musí mít nenulový modul pružnosti ve smyku G, neboli taková prostředí musí přenášet smykové napětí. Voda i vzduch mají jako všechny tekutiny modul G roven nule, a proto se v nich příčné vlnění nešíří. Jiná situace ovšem nastane, pokud podélná vlna narazí na rozhraní s tkání. V tomto případě již může dojít kromě zalomení podélné vlny v tkáni také ke generaci vlny příčné. Na opačném konci tkáně se však příčná vlna musí bud odrazit zpět, nebo se ztransformovat na vlnu podélnou, které se navazujícím tekutinovým prostředím může jediná šířit. Obdobou příčných vln jsou kmity elektromagnetického pole (světelné vlny). Toto pole naopak nemá schopnost přenášet kmity podélné. Z hlediska vlnových jevů jsou tedy nejbohatší visko-elastická prostředí. Rychlost šíření podélné vlny je obecně dána vztahem λ + 2µ/3 c = ρ rychlost šíření příčné vlny určuje vztah c = µ ρ Mezi jednotlivými veličinami vyskytujícími se v teorii pružnosti existuje množství vztahů, kterými je mezi sebou můžeme vzájemně převádět. Měření vyzařovací charakteristiky bude probíhat ve vodě. Fyzikální parametry pro vodu, které použijeme jsou: hustota: 998 kg/m 3 rychlost šíření podélné vlny: 1480 m/s viskozitní parametry: pro nízké hodnoty útlumu, které voda vykazuje v prvním přiblížení tyto parametry zanedbáme. V tabulce 4.1 jsou uvedeny fyzikální parametry pro další možná biologická prostředí (včetně vody), ve kterých se vlny šíří. Dané hodnoty se vtahují k šíření ultrazvuku o frekvenci 1 MHz za Pokojové teploty. Tabulka 4.1: Fyzikální parametry pro biologická prostředí (převzato z [5]) 13

19 Kapitola 5 Modelování geometrie a početní sítě ultrazvukových měničů 5.1 Zdroj ultrazvuku a ultrazvukový měnič Za ultrazvuk považujeme podélné mechanické vlnění, jehož frekvence je vyšší než 16 khz. Zdrojem tohoto podélného mechanického vlnění, zvuku může být například chvějící se membrána. O tom, zda se jedná o ultrazvuk, rozhoduje pouze frekvence chvění membrány. V praxi se k vytváření ultrazvuku používají ultrazvukové měniče. Ultrazvukový měnič najdeme v každém lékařském ultrazvukovém přístroji nebo jiných zařízeních produkujících ultrazvuk. (Fotografie měniče, určeného pro ultrazvukovou tomografii, je vložena do příloh.) Ke vzniku ultrazvukového vlnění dochází v měniči v důsledku převrácenému piezoelektrickému jevu Piezoelektrický jev Piezoelektrický jev nastává tehdy, když na krystal působíme mechanickou silou a způsobujeme jeho deformaci. Na krystalu dochází ke vzniku elektrostatického náboje a napětí. Mezi piezoelektrické krystaly patří ty, které nemají střed symetrie, například křemen, jako nejvíce používaný, nebo sfalerit. Tohoto jevu se užívá u zapalovačů. Pro vytváření ultrazvuku se však využívá převráceného piezoelektrického jevu. Jeho podstatou je vyvolání deformace piezokrystalu při přiložení elektrického napětí na jeho povrch. V ultrazvukovém měniči se nachází právě piezokrystal, který je zdrojem ultrazvukových vln. Piezoelektrický jev zde ale probíhá obráceně, elektrické napětí způsobuje deformaci krystalu, která se následně přenáší do zkoumaného objemu. 5.2 Struktura měniče Ultrazvukový měnič TAS se skládá z několika různých materiálů a částí. Jednak je to onen piezoelektrický krystal. Dalšími prvky ultrazvukového měniče jsou elektrody po stranách piezomateriálu, kterými je přiváděno napětí pro buzení kmitání krystalu, dále pak dvě akusticky upravené vrstvy ve směru přenosu ultrazvukových vln. Na opačné straně se potom nachází tlumící vrstva. Část struktury měniče je vidět na obrázku 5.1 Samotný piezokrystal je strukturovaný do osmi tzv. piezodisků o rozměrech 5 5 mm uspořádaných za sebou. Každý piezodisk obsahuje devět oddělených čtvercových ploch, z nichž na pět je přivedeno napětí pomocí malých elektrod. Prostřední plocha na disku funguje jako vysílač, (zdroj vlnění) a čtyři plochy v rozích disku slouží jako přijímače. Na zbylé čtyři není připojená žádná elektroda, a proto jsou piezoelektricky neaktivní. To je částečně vidět i v detailní části obrázku 5.2, kde je zobrazeno zapojení piezokrystalu do systému elektrod. 14

20 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ Obrázek 5.1: Řez ultrazvukovým měničem (převzato od FKZ) Obrázek 5.2: Zapojení piezokrystalu v ultrazvukovém měniči: v detailu jsou patrné elektrody přiložené na jednotlivé čtvercové plochy piezodisku. (převzato od FZK) Obrázek 5.3: Struktura a rozměry piezokrystalu: červené plochy krystalu znázorňuje vysílače záření, zelené plochy přijímače. Model piezokrastalu byl vytvořen podle uvedených rozměrů. (převzato od FKZ) Zmíněné čtvercové struktury se sestávají z devíti ještě menších čtvercových plošek. Dohromady tedy jeden piezodisk obsahuje osmdesát jedna malých plošek s délkou hrany 15

21 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ 0,4 mm. Na jednom celém piezokrystalu měniče se tak nachází osm vysílačů produkujících ultrazvuk a třicet dva přijímačů. Na obrázcích 5.3 je ukázána struktura a všechny potřebné rozměry piezokrystalu, podle kterých byla vytvořena jeho geometrie. 5.3 Modelování geometrie a sítě K namodelování vyzařovací charakteristiky je nejdříve potřeba vytvořit reálnou geometrii měniče a následně na něm vygenerovat početní sít s uzlovými body. V těchto bodech bude probíhat výpočet simulované vyzařovací charakteristiky měniče. Z tohoto důvodu potřebujeme znát souřadnice těchto uzlů. Pro modelování měniče a vytvoření sítě byl zvolen program Gmsh. [6] Jedná se o třídimenzionální generátor sítí pro výpočet metody konečných prvků. O této metodě pojednává více kapitola o výpočtu vyzařovací charakteristiky. V programu lze geometrii vytvářet dvěma způsoby. První možností je psaní definic, kterými vytváříme v prostoru jednotlivé geometrické prvky (body, úsečky, povrchy...) celku. Druhá možnost spočívá v použití grafického rozhraní programu za pomocí pohyblivého použití myši a příslušných tlačítek Vzorový příklad pro namodelování geometrie a definici sítě Popis modelování jednoduché geometrie pomocí příkazů v programu Gmsh uvádím na jednodušším modelu. Je jím krychle s koulí uvnitř. Jsou zde nadefinovány vnější povrch krychle a vnitřní povrch koule pro vytvoření sítě na těchto plochách. Na vygenerování sítě v prostoru mezi pláštěm koule a krychle je potřeba zase definovat daný objem, kde se sít vytvoří. Parametry jednotlivých geometrických prvků se zapisují do editorového okna jednoduše za sebou a jsou odděleny středníkem. Editorové okno vyvoláme tlačítkem Edit v ovládacím okně. Nyní následuje popis jednotlivých příkazů používaných při tvorbě geometrie, které byly vybrány ze zdrojového souboru daného modelu. [6] Pro definování bodu používáme výraz Point s příslušnými parametry ve tvaru Point(3) {0,1,0,0.1}. V kulatých závorkách je vždy uvedeno definiční číslo daného prvku, ve složené závorce potom první tři čísla představují souřadnice bodu v prostoru. Poslední parametr v závorce vpravo je volitelný (není povinný) a definuje charakteristickou sít ovou délku v tomto bodě. Charakteristická délka představuje průměrnou lineární délku elementu sítě.(ne všechny elementy jsou stejně velké). Změnou tohoto parametru tedy určujeme hustotu později vygenerované sítě. Zápis Point(3) {0,1,0,0.1} tedy vytvoří bod číslo 3 o souřadnicích X = 0, Y = 1 a Z = 0. Dalším používaným geometrickým prvkem je spojnice mezi dvěma body:vytvoří příkazem Line (1) = {4, 7}, kde v kulaté závorce je opět označení vzniklé úsečky a ve složené závorce musí být uvedena čísla spojovaných krajních bodů, které byly definovány dříve. Uvedený výraz tedy zobrazí v prostoru úsečku, která spojuje krajní body s označením 4 a 7. 16

22 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ Ke zhotovení koule byl opakovaně použit příkaz Circle. Vytváří obloukové křivky sloužící jako kostra koule. Čísla {12,9,15} ve složených závorkách v uvedeném pořadí představují označení počátečního bodu, středu obloukové křivky a koncového bodu křivky. Aby mohl být vytvořený útvar vyplněn 3D sítí, je potřeba u kostky i koule definovat jejich povrchy a objemy. Pro definování povrchů se je nutné použít příkazy: Line Loop(34) = {23,18,15}, Ruled Surface a Plane Surface(44) = 44. První příkaz vytvoří orientované smyčky, které propojí kostru objektu. Kostru v případě krychle tvoří její hrany, v případě koule uvnitř jsou to obloukové křivky. Parametry u příkazu představují čísla křivek kostry, které orientovaná smyčka propojuje. Potřebujeme-li opačnou orientaci smyčky, přidáme znaménko mínus. Příkaz Plane Surface(44) = 44 už potom vytvoří rovinný povrch stěn krychle. To stejné provede příkaz Ruled Surface(26) = 26 u koule. Ten má stejnou funkci, avšak pro zakřivený povrch. Do složených závorek těchto příkazů se zadává identifikační číslo orientované smyčky, která propojila hranice daného povrchu. V kulatých závorkách najdeme opět označení povrchu samotného. Zbývá definice objemu. Její zápis má v tomto případě tvar Volume(58) = {56,57}, kde vystupují jako parametry čísla už vytvořených povrchů, jenž budou tvořit hranice objemu. Číslo 56 značí povrch krychle, číslo 57 povrch koule. Objem takto napsaný je tedy nadefinován jako prostor mezi stěnami krychle a povrchem koule. Při spuštění meshování se pak sít vygeneruje jen v předepsaném objemu nebo povrchu podle toho, zda je zvolena 3D nebo 2D sít. Celý soubor příkazů s parametry generující krychli s kouli pak vypadá následovně (v každém odstavci je definován jeden druh geometrického prvku): Point (1) = {0, 0, 0, 0. Point (2) = {1, 0, 0, 0. Point (3) = {0, 1, 0, 0. Point (4) = {0, 0, 1, 0. Point (5) = {1, 1, 1, 0. Point (6) = {1, 1, 0, 0. Point (7) = {0, 1, 1, 0. Point (8) = {1, 0, 1, 0. Point (9) = {0.5, 0.5, 0.5, 0. Point (10) = {0.75, 0.5, 0.5, 0. Point (11) = {0.25, 0.5, 0.5, 0. Point (12) = {0.5, 0.25, 0.5, 0. Point (13) = {0.5, 0.75, 0.5, 0. Point (14) = {0.5, 0.5, 0.25, 0. Point (15) = {0.5, 0.5, 0.75, 0. Line (1) = {4, 7}; Line (2) = {7, 3}; Line (3) = {3, Line (4) = {1, 2}; Line (5) = {2, 6}; Line (6) = {6, 5}; Line (7) = {5, 8}; Line (8) = {8, 4}; Line (9) = {4, Line (10) = {3, 6}; Line (11) = {2, 8}; Line (12) = {5, 7}; Circle (13) = {12, 9, 15}; Circle (14) = {15, 9, 13}; Circle (15) = {13, 9, 14}; Circle (16) = {14, 9, 12}; Circle (17) = {12, 9, 1 Circle (18) = {11, 9, 13}; Circle (19) = {13, 9, 10}; Circle (20) = {10, 9, 12}; Circle (21) = {15, 9, 10}; Circle (22) = {10, 9, 14}; Circle (23) = {14, 9, 1 Circle (24) = {11, 9, 15}; Line Loop (26) = {21, -19, -14}; Ruled Surface (26) = {26}; Line Loop (28) = {19, 22, -15}; Ruled Surface (28) = {28}; Line Loop (30) = {22, 16, -20}; Ruled Surface (30) 17

23 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ = {30}; Line Loop (32) = {16, 17, -23}; Ruled Surface (32) = {32}; Line Loop (34) = {23, 18, 15}; Ruled Surface (34) = {34}; Line Loop (36) = {21, 20, 13}; Ruled Surface (36) = {36}; Line Loop (38) = {13, -24, -17} Ruled Surface (38) = {38}; Line Loop (40) = {24, 14, -18}; Ruled Surface (40) = {40}; Line Loop (44) = {7, 8, 1, -12}; Plane Surface (44) = {44}; Line Loop (46) = {9, 4, 11, 8}; Plane Surface (46) = {46}; Line Loop (48) = {11, -7, -6, -5}; Plane Surface (48) = {48}; Line Loop (50) = {6, 12, 2, 10}; Plane Surface (50) = {50}; Line Loop (52) = {2, 3, -9, Plane Surface (52) = {52}; Line Loop (54) = {4, 5, -10, 3}; Plane Surface (54) = {54};Physical Surface(1) = {36, 32, 34, 28, 30, 40, 26, 38}; Surface Loop(56) = {48,46,52,50,44,54}; Surface Loop(57) = {38,36,26,28,30,32,34,40}; Volume(58) = {56,57}; Physical Volume(101) = {58}; Physical Surface(2) = {48, 46, 54, 52, 50, 44}; Physical Surface(102) = {32, 28, 34, 30, 36, 26, 40, 38}; V posledních dvou řádcích se vyskytují zápisy Physical Volume a Physical Surface. Tento druh příkazů není už potřebný z hlediska generování sítě. Je však nutný pro nadefinování fyzikálních okrajových podmínek řešené úlohy. O okrajových podmínkách viz. Kapitola 6 Výsledný model zapsaný zdrojovým kódem ukazuje obrázek 5.4. Obrázek 5.4: Příklad namodelované geometrie pomocí uvedených zdrojových příkazů Nakonec je potřeba vytvořit na modelu 3D sít, což provedeme kliknutím do ovládacího okna na Geometry. Otevře se nabídka, ve které vybereme možnost Mesh, a následně klikneme na tlačítko 3D. Sít se vytvoří v nadefinovaném objemu, což je vidět na obrázku Modelování geometrie ultrazvukového měniče Model piezoelektrického krystalu byl vytvořen podle nákresů poskytnutých lidmi z FKZ. Jeho geometrie je však příliš složitě strukturovaná. Proto byl pro modelování ultrazvukového měniče použit program Autodesk Inventor. Jedná se o aplikaci na vytváření 18

24 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ Obrázek 5.5: Model po vygenerování 3D sítě v rovině XZ. Sít se vytvořila jen v definovaném objemu (koule je prázdná). strojírenských konstrukcí a technických výkresů. Tvorba modelu zde probíhá plně v grafickém rozhraní pomocí ovládacího panelu. Krystal byl tak namodelován přesně podle zadaných rozměrů. Na obrázku 5.6 je grafické prostředí Programu Autodesk Inventor s vytvořeným piezokrystalem (jeden piezodisk s kmitajícími ploškami) Obrázek 5.6: Model části piezokrystalu v programu Autodesk Inventor Pro vytvoření sítě se však už byl následně použit program Gmsh, kam byla vytvořená geometrie importována. Potom v samotném programu Gmsh je ještě potřeba měnič uložit jako soubor s příponou geo. Tak potřebnému dojde k přetransformování zdrojového kódu do podoby, které rozumíme, popsané na vzorovém příkladu krychle s koulí. Následně byla v programu Gmsh dodělána polokoule, která definuje okolní vyzařovací prostor měniče. Fyzické objemy a povrch měniče byly dodefinovány příkazy stejným způsobem jako u vzoru. Pro potřebu modelování vyzařovací charakteristiky je sít vyge- 19

25 5. MODELOVÁNÍ GEOMETRIE A POČETNÍ SÍTĚ ULTRAZVUKOVÝCH MĚNIČŮ nerována na povrchu piezokrystalu a uvnitř polokoule. V samotném měniči se sít nevytvořila, viz. obrázek 5.7, kde jsou v této oblasti vidět světlá místa. Každou vytvořenou sít musíme následně optimalizovat (tlačítky mesh a optimize) za účelem odstranění nevhodných elementů sítě. Obrázek 5.7: Vygenerovaná 3D sít nad modelem piezokrystalu ve zvolené ohraničené oblasti, světlejší oblasti dokazují, že sít byla vytvořena jen nad modelem. Při modelování vyzařovací charakteristiky měniče je používán právě tento model, kde jsou ještě dodefinovány fyzické povrchy piezokrystalu a obálky, na které budou aplikovány okrajové podmínky, viz. kapitola 6. Ty jsou nutné pro řešení vyzařovací charakteristiky. Sít také musí být mnohem hustší, aby bylo modelování více přesné. Hustota sítě na obrázku 5.7 byla zvolena kvůli přehlednosti. U všech vytvořených sítí potřebujeme znát souřadnice uzlů pro modelování vyzařovací charakteristiky. Požadované informace získáme, když zvolíme v hlavní nabídce save mesh. Uloží se tím samotná sít (jako soubor msh). Vypsané souřadnice uzlů i jejich celkový počet pak najdeme v editorovém okně. 20

26 Kapitola 6 Modelování vyzařovací charakteristiky 6.1 Vyzařovací charakteristika a akustické pole Vyzařovací charakteristikou ultrazvukového měniče se rozumí rozložení amplitud akustických výchylek tlaku způsobené ultrazvukovým pulzem (zdrojem) v prostoru. Jelikož platí, že kvadrát tlakové výchylky je úměrný intenzitě šířícího se pulzu, považujeme za charakteristiku také intenzitu vlnění závislou na vzdálenosti od zdroje. Vztah mezi intenzitou a kvadrátem tlakové výchylky je: I = p 2 cρ, (6.1) kde p je tlaková výchylka, c je rychlost šíření vlny a ρ je hustota prostředí, ve kterém se vlna šíří. Jednotkou intenzity je W/m 2. (vztah pro intenzitu byl odvozen ze vzorců uvedených v [4] kapitola 18) Modelujeme tak akustické pole vyzařování, a to blízké a vzdálené. Pro blízké pole je charakteristické, že se zde v malé vzdálenosti od zdroje projevuje interference a vlivem toho je pole nerovnoměrné. Akustické tlaky zde nabývají různých skokových hodnot. V dalekém akustickém poli dochází k divergenci svazku paprsků, přičemž k největším tlakovým výchylkám dochází v ose měniče, kde je intenzita vyzařování nejvyšší. Se zvyšující se výchylkou od osy dochází k jejímu poklesu. Lokalizace hranice mezi vzdáleným a blízkým polem závisí na rozměru měniče R a vlnové délce λ ultrazvukové vlny. [7] Označíme-li hranici blízkého a vzdáleného pole jako z H, můžeme pro ni napsat vztah: ) 2 z H = R2 λ 6.2 Metoda konečných prvků 1 ( λ 2R. (6.2) Pro namodelování vyzařovací charakteristiky, nebo-li rozložení tlakové výchylky v prostoru, jsme potřebovali vyřešit vlnovou rovnici pro zadané okrajové podmínky. Metoda konečných prvků (MKP) je metodou numerickou a pomáhá řešit rovnice, které by bylo obtížné počítat analyticky. Budeme uvažovat jen stacionární řešení vlnové rovnice. Stacionární řešení je takové, které nezávisí na čase hovoříme o časově ustáleném řešení. Máme-li obyčejnou vlnovou rovnici ve tvaru 1 c 2 2 u t 2 u = 0, (6.3) 21

27 6. MODELOVÁNÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY kde u = u(r)e iωt je funkcí souřadnic a představuje vlnu s amplitudou u(r). Dosazením za u do vlnové rovnice 6.3 a derivováním dostaneme rovnici: ( ω ) 2 u + u = 0, (6.4) c kde ω/c představuje velikost vlnového vektoru k, spojenou s vlnovou délkou vztahem k k = 2π/λ. Veličina u může zastupovat výchylku tlaku, hustoty čí teploty. Vztah 6.4 je nezávislý na čase, jelikož u je pouze funkcí souřadnic; získaná stacionární rovnice se nazývá Helmholtzova. Pro obecné okrajové podmínky ji lze řešit analyticky jen s krajními obtížemi nebo vůbec. V tuto chvíli nastupuje metoda konečných prvků. Její princip spočívá v převedení obtížně řešitelné diferenciální rovnice na soustavu mnoha lineárních rovnic algebraických. Tuto soustavu necháme vyřešit programu Matlab, který použije pro výpočet již namodelovanou sít. Jak již bylo řečeno, je principem metody nahradit diferenciální Helmholtzovu rovnici soustavou lineárních rovnic, a to ve tvaru K ij Φ i = b i, (6.5) kde K ij je maticí soustavy a Φ i jsou neznámé hodnoty na uzlech sítě. Přibližnost metody konečných prvků spočívá v hledání hodnot neznámé funkce u pouze v uzlových bodech a zjednodušujícím předpokladu průběhu neznámé funkce mezi těmito uzly (v našem případě budeme uvažovat průběh lineární). Pro získání konkrétního řešení Helmholtzovy rovnice je třeba zavést hraniční a okrajové podmínky. V dalším využijeme podmínku Dirichletovu, která na hranici nebo její části předepisuje hledané funkci přímo konkrétní hodnotu. Druhým základním typem okrajové podmínky je podmínka Neumannova typu, kdy je na hranici předepsána hodnota derivace neznámé funkce. Podmínku Neumannova typu nevyužijeme. Kombinací obou podmínek vzniká okrajová podmínka smíšená, která předepisuje pouze vztah mezi funkcí a její derivací na hranici, aniž by kteroukoliv z těchto hodnot stanovila přímo. My využijeme konkrétně smíšenou podmínku Robinova typu, která zaručuje propustnost hranice pro vlnění postupující směrem ven ze zkoumaného objemu. V hraničních uzlech opatřených Dirichletovou podmínkou vlastně hodnotu hledané funkce známe a tak se tyto uzly převedou na pravou stranu rovnice, kde se přidají k číslům b i. Pro vyřešení této soustavy vzhledem k neznámým hodnotám vnitřních uzlů sítě je nutné znát koeficienty matice K ij. Je však dokázáno, že prvky matice K ij jsou po volbě konkrétního diferenciálního operátoru zkoumané rovnic dány pouze geometrií sítě, která je již vygenerována nezávisle. Program Matlab spočítá koeficienty matice z tzv. momentových integrálů, ve kterých vystupují pouze souřadnice vrcholů sítě. Tyto souřadnice uzlů byly vygenerovány programem Gmsh. Skript programu pro řešení soustavy pracuje následovně: 1) Nejprve počítá momentové integrály, kde používá souřadnice uzlů. 2) Potom počítá prvky matice K ij. 3) Zahrne okrajové podmínky. 4) Vyřeší soustavu rovnic a vygeneruje výsledné hodnoty v uzlech sítě. 22

28 6. MODELOVÁNÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY 6.3 Modelování blízkého pole ultrazvukového měniče Při modelování byla použita geometrie měniče v souladu s obrázkem 6.1, vytvořená v programu Autodesk Inventor a importována do programu Gmsh, kde byla dotvořena elipsovitá obálka uzavírající zkoumaný objem. Zdrojový kód této geometrie je uveden v příloze. Jedná se konkrétně o měnič typu TAS, jehož popis byl dodán z Německa. Vyzařovací charakteristika byla modelována pro frekvenci 1MHz, což odpovídá vlnové délce při šíření ve vodě 1,5 mm. Obvykle se modeluje sít s šesti elementy na jednu vlnovou délku. Charakteristická délka sítě se tedy pro namodelování nastavila na jednu šestinu vlnové délky, což je 0.24 mm. Obrázek 6.1: Geometrie měniče používaná pro modelování vyzařovací charakteristiky Jak již bylo uvedeno, pro modelování vyzařovací charakteristiky měniče byl použit program Matlab, který řeší diferenciální rovnici pro šíření vlnění na základě metody konečných prvků. Aby program mohl rozložení akustického pole spočítat, musely se mu zadat souřadnice uzlů sítě a okrajové podmínky. Souřadnice uzlů byly získány jako výstup programu Gmsh již popsaným způsobem (konec kapitoly 5) Okrajové podmínky určují vlastnosti modelu a zároveň tvoří podmínky pro řešení soustavy lineárních rovnic, již Matlab počítá. Na model měniče byly aplikovány 2 druhy okrajových podmínek. Na povrch měniče byla zadefinována tzv. Dirichletova podmínka, která měla dvě formy: na centrálním čtverečku centrálního čtverce byla zadefinována jednotková velikost hledané výchylky akustického pole. V souladu s průvodní dokumentací měniče je tímto způsobem měnič aktivován. Na ostatních částech měniče byla rovněž použita Dirichletova podmínka, tentokrát s nulovou hodnotou. Fyzikálně tato podminka představuje povrch, od kterého se všechno vlnění totálně odráží. Pro obálku obklopující měnič byla použita Robinova podmínka, umožňující ultrazvukovému poli opustit modelovaný objem. Po zadání těchto parametrů byl spuštěn výpočet. Výstupem procedury, která hlavně spočívala v počítání vyprodukované soustavy lineárních rovnic, jsou funkční hodnoty 23

29 6. MODELOVÁNÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY v uzlech sítě. Tyto hodnoty představují velikost intenzity ultrazvukového vlnění v daném bodě prostoru a vytváří tak model vyzařovací charakteristiky. Výsledek spočítané charakteristiky akustického pole měniče je reprezentován 3D grafem, který byl seřezán v rovinách různě vzdálených od těla piezokrystalu. Na obrázcích jsou ukázané rovinné řezy namodelovaného akustického pole. Každý řez ukazuje závislost intenzity ultrazvuku na prostorových souřadnicích. Intenzita je v grafu udávána v násobcích buzení měniče (její čtverec je úměrný intenzitě v jednotkách W/m 2 ) a prostorové souřadnice mají jednotku 1 mm. Generování sítě a hlavní část výpočtu byly prováděny ve všech případech na notebooku DELL Studio 1730 s dvoujádrovým procesorem 2 2, 4 GHz a 3 GB paměti. Počet rovnic soustav, které jsme byli schopni vyřešit (potažmo počet vytvořených uzlů sítě, pokud zanedbáme přesuny uzlů s Robinovou podmínkou) kolísal mírně podle složitosti modelu kolem hodnoty Model vyzařovací charakteristiky měniče TAS je uveden na následujících obrázcích 6.2 až 6.6 Obrázek 6.2: Vyzařovací charakteristika TASu v rovině vzdálené 0,5 mm od těla měniče. V této malé vzdálenosti od budící plošky je pole minimálně ovlivněno okolním tělem měniče. 24

30 6. MODELOVÁNÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 6.3: Vyzařovací charakteristika TASu v rovině vzdálené 1 mm od těla měniče. S narůstající vzdáleností od měniče se v rámci vyzařovací charakteristiky začíná zvedat podklad způsobený interferencí na struktuře měniče. Obrázek 6.4: Vyzařovací charakteristika TASu v rovině vzdálené 3 mm od těla měniče. V této vzdálenosti je již příspěvek interferencí od těla měniče podstatný tímto způsobem vzniká složitý průběh blízkého pole. 25

31 6. MODELOVÁNÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 6.5: Vyzařovací charakteristika TASu v rovině vzdálené 0,2 mm od základny měniče. Tato rovina řezu se nachází v úrovni kostek, vyřezaných na měniči. V souladu se sítí, která uvnitř těla měnič nebyla generována vykazuje simulované ultrazvukové pole uvnitř měniče nulové hodnoty. Patrná je struktura zářezů mezi jednotlivými kostkami měniče, kam ultrazvukové pole proniká. Obrázek 6.6: Vyzařovací charakteristika TASu v rovině vzdálené 0,1 mm pod základnou měniče. Vidíme, že do této roviny nemá ultrazvukové pole šanci proniknout jinak, než kolem těla měniče. Tomu odpovídá průběh intenzity navýšený v bodech, které jsou blíže aktivní části měniče (hrany měniče oproti jeho rohům). 26

32 Kapitola 7 Experimentální měření vyzařovací charakteristiky Experimentální měření proběhlo na ústavu biomedicínského inženýrství, fakulty elektrotechniky a komunikačních technologií Vysokého učení technického v Brně. Cílem bylo změřit blízké a vzdálené akustické pole vytvářené ultrazvukovým piezoelektrickým měničem. 7.1 Popis měření akustického pole Základem měřící aparatury byla ultrazvuková vana s vibračně izolovanými stěnami naplněná vodou, v níž se zaznamenávalo akustické pole. Rozměry vany byly cm. Jako zdroj akustických pulzů sloužila v našem případě ultrazvuková fokusovaná sonda typu FPA s vyzařovací plochou o velikosti mm. Největší tlak na této ploše byl generován uvnitř oblasti 5 mm od rohu delší hrany a 2 mm od rohu hrany kratší. Před měřením se fokusace sondy nastavila na 25 cm a vlnová frekvence na na hodnotu 1,7 MHz. Záměrným nastavením fokusace na vzdálenost 25 cm fakticky došlo k potlačení fokusačního chování a sonda se chovala jako plošný zdroj vlnění. Tento zdroj byl při měření ponořen ve vodě 3,5 cm pod hladinou. Další součástí měřícího zařízení sloužící k detekci ultrazvukových pulzů byl jehlový hydrofón typu MH 28-5 od firmy FORCE, napojený na posuvný systém ovládaný počítačem. Hydrofón, umístěný v ultrazvukové vaně vždy v určité vzdálenosti od sondy, zaznamenával výchylky akustického tlaku ve vodě. Detektor byl připojený přes zesilovač a osciloskop, kde docházelo k modifikaci signálu, k počítači. Program, vytvořený speciálně pro tento druh měření týmem UBMI, vždy zaznamenával největší tlakovou výchylku detekovanou hydrofónem v závislosti na jeho umístění. Na obrázku 7.1 je vidět část měřící aparatury. Shora uvedeným způsobem byla změřena závislost velikosti výchylky akustického tlaku na poloze detektoru vzhledem ke zdroji. Měření probíhalo po geometrickém nastavení celého systému v ose sondy, kde by měl zdroj vyzařovat s největší intenzitou. Akustické pole se zaznamenávalo v rozmezí od jednoho do patnácti centimetrů od sondy. Naměřenou závislost je ukazuje obrázek 7.2. V grafu lze rozlišit blízké a vzdálené akustické pole. Průběh křivky naznačuje v blízkosti sondy oscilace velikostí akustického tlaku. Tento jevy je způsobem interferencí, a jsou pro pro blízké pole typické. V pravé části grafu, představující pole vzdálené, je křivka ustálená a postupně klesá. Podle vztahu (6.2) by pro vzdálené pole měniče s lineárním rozměrem 22 mm měla platit hranice přibližně z h = 80 mm. Tento údaj je plně v souladu s experimentálně zjištěnou závislostí. 27

33 7. E XPERIMENT A LN I M E R EN I VYZA R OVAC I CHARAKTERISTIKY Obra zek 7.1: Ultrazvukova vana se sondou vytva r ejı cı ultrazvuk (vpravo) a jehlovy m hydrofo nem na posuvne m rameni (vlevo) Obra zek 7.2: Za vislost velikosti akusticke vy chylky tlaku na jejı vzda lenosti od ultrazvukove sondy. Od vzda lenosti 8 cm od me nic e pozorujeme vzda lene pole ultrazvuku. 7.2 Model vyzar ovacı charakteristiky ultrazvukove sondy Jak se uka zalo, jsou v souc asne dobe intenzity buzene me nic i TAS pr ı lis nı zke pro zachycenı hydrofo nem i pr i pouz itı zesilovac u zu sta vajı signa ly na u rovni elektronicke ho s umu. Z tohoto du vodu bylo rozhodnuto pro prakticke me r enı vyuz ı t sondu medicı nske ho ultrazvuku System5 a vyhotovit pro ni take druhy model v programu gmsh. Konkre tnı zvolena geometrie modelu piezodesky je na obra zku 7.3. Modelova nı akusticke ho pole sondy je prostorove limitova no vlnovou de lkou pouz ite ho ultrazvuku a odpovı dajı cı charakteristickou de lkou sı te : pr i zve ts ova nı zkoumane ho objemu poc et uzlu sı te prudce naru sta. Pro nastavenou frekvenci 1,7 MHz ma ultrazvuk vlnovou de lku 0,87 mm a jelikoz pro urc itou pr esnost poz adujeme, aby na jednu vlnovou de lku pr ipadlo 6 elementu sı te, charakteristicka de lka by me la by t nastavena na pr ibliz ne 0,15 mm. V tabulce 7.1 jsou uvedeny charakteristicke de lky a jı m odpovı dajı cı poc ty uzlu 28

34 7. EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 7.3: Geometrie kmitající desky sondy připravení v programu Gmsh sítí vygenerovaných pro shora vyobrazenou geometrii sondy. Je zde vidět exponenciální nárůst počtu uzlů se zkracující se délkou elementu sítě, což dokládá i graf na obrázku 7.4. Tabulka 7.1: Závislost počtu vygenerovaných uzlů na charakteristické délce sítě. Jsou zde uvedené i příslušné doby trvání generování sítě a její optimalizace. Optimalizaci sítě nejkratší uvedenou charakteristickou délkou nebyla dokončena z důvodu nedostatku počítačové paměti. Vzhledem k velkému počtu vygenerovaných uzlů při malé charakteristické délce bylo rozhodnuto zvýšit charakteristickou délku na 0,22 mm a simulovaný objem pak zasahoval do vzdálenosti 3 mm od středu buzené piezodesky. Tento údaj dokresluje vysokou výpočetní náročnost (zda způsobenou velkou plochou buzené oblasti - v řádu deseti vlnových délek v jednom rozměru) a zároveň praktické obtíže, se kterými se lze při ověřování modelů setkat: charakteristiku ultrazvukového pole jsme měřili až od jednoho centimetru vzdálenosti od měniče, aby nedošlo aby nedošlo k poškození hydrofónu. Model vyzařovací charakteristiky sondy byl zhotoven stejným způsobem jako v předchozí 29

35 7. EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 7.4: Graf závislost počtu uzlů vygenerované sítě na charakteristické délce elementu. kapitole u měniče TAS. Zhotovený 3D model vyzařovací charakteristiky je reprezentován na obrázcích 7.5 až 7.8 jednotlivými řezy, různě vzdálenými od zdroje (piezodesky), kde je pomocí barevné škály zobrazeno rozložení intenzity v prostoru akustického pole obdobně jako na obrázcích předchozí kapitoly a prostorové souřadnice jsou udávány znovu v milimetrech. Obrázek 7.5: Rozložení intenzity pole v rovině vzdálené 0,2 mm od piezodesky. Rovina řezu prochází piezodeskou, ve které se správně ultrazvuková pole nešíří. 30

36 7. EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 7.6: Rozložení intenzity pole v rovině vzdálené 0,5 mm od piezodesky. Rovina řezu leží těsně nad aktivní horní stěnou sondy - ultrazvukové pole je tvořeno prakticky ideální vlnoplochou. Obrázek 7.7: Rozložení intenzity pole v rovině vzdálené 1 mm od piezodesky. S narůstající vzdáleností od piezodesky se dostáváme do oblasti blízkého pole pozorujeme interferenční artefakty. 31

37 7. EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ VYZAŘOVACÍ CHARAKTERISTIKY Obrázek 7.8: Rozložení intenzity pole v rovině vzdálené 2 mm od piezodesky. V této vzdálenosti od sondy se již začíná projevovat elipsoidální tvar zkoumaného objemu ořez tvaru sondy je způsoben nepřítomností uzlů vně diamantově tvarované oblasti. 32