Frekvenční charakteristiky

Transkript

1 Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša

2 ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci Mohou popisovat např.: Jaké frekvence propustí filtr Výhybka reprosoustavy Vstupní díl rádia / televize Splitter ADSL zásuvky Antialiasingový filtr CD přehrávače Jaké frekvenční pásmo je schopen zpracovat audiozesilovač Kolik snímků za sekundu a v jakém rozlišení může zobrazit analogový monitor (souvisí s frekvenčním rozsahem jeho zesilovače)

3 PŘENOSOVÁ FUNKCE OBVODU A JEJÍ GRAFICKÁ REPREZENTACE Uvažujme lineární dvojbran Závislost výstupního napětí na frekvenci můžeme vyjádřit přenosem Přenos je funkcí proměnné ω; graficky můžeme tuto funkci znázornit buď:. V komplexní rovině jako Hodograf (Nyquistova frekvenční charakteristika) Im 0,5 ω 0,5 0 0,5 Re 0,5 ω=0 ω Následující grafy představují frekvenční charakteristiku integračního RC obvodu Hodograf je křivka v komplexní rovině, jejímž bodům jsou přiřazeny hodnoty frekvence ω Vzdálenost vybraného bodu křivky (odpovídajícím určité frekvenci ω) od počátku určuje modul přenosu Úhel mezi reálnou osou a spojnicí vybraného bodu křivky s počátkem určuje fázi přenosu Hodograf pasivních obvodů s vyjímkou rezonančního leží uvnitř jednotkové kružnice Má význam pro hodnocení stability obvodů se zpětnou vazbou (Nyquistovo kritérium stability) v praxi je jednodušší změřit frekvenční charakteristiku obvodu, nežli hledat póly (neznámého) přenosu

4 2. Rozdělena na dva grafy jako modulová a fázová frekvenční charakteristika [db] [rad] Modulová charakteristika je vynášena jako Obě osy modulové charakteristiky jsou logaritmické Jednotkou je decibel [db] Fázová charakteristika je vynášena jako Osa x fázové charakteristiky je logaritmická, osa y je lineární Jednotkou je radián [rad]

5 BODEHO ASYMPTOTICKÉ CHARAKTERISTIKY Ve 30. létech minulého století navrhl Hendrik Wade Bode jednoduchou metodu kreslení amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik Touto metodou je možné nakreslit velmi přesné charakteristiky bez grafiky počítače Frekvenční charakteristiky nám dávají informaci o časových konstantách obvodu (v přechodných dějích), činiteli jakosti rezonančního obvodu a pod. Přenos obvodu je obecně P M k=0 P (p) = b kp k P N k=0 a kp = b 0 + b p + b 2 p b M p M k a 0 + a p + a 2 p a N p N Q M k= = K (p z k) Q N k (p p k) = b M (p z )(p z 2 ) (p z M ) a N (p p )(p p 2 ) (p p N ) z k p k jsou kořeny polynomu v čitateli nuly jsou kořeny polynomu ve jmenovateli póly zde jsou ukryty časové konstanty obvodu Rozdělením přenosu na parciální zlomky a zpětnou transformací bychom nalezli přechodovou charakteristiku obvodu Grafem přenosu je trojrozměrná plocha nad p rovinou Nás ale více zajímá řez touto plochou, kdy ¾ =0 p = ¾ + j =0+j = j Tím se dostáváme k harmonickému ustálenému stavu Proměnnou nebude frekvence ω, ale komplexní frekvence jω

6 pól (jde až do ) P(j) = P M k=0 b k(j) k P N k=0 a k(j) k = frekvenční charakteristika žlutý řez je výše uvedenou modulovou charakteristikou b 0 + b j + b 2 (j) b M (j) M a 0 + a (j)+a 2 (j) a N (j) N Q M k= = K (j z k) Q N k (j p k) = b M (j z )(j z 2 ) (j z M ) a N (j p )(j p 2 ) (j p N )

7 Podstatou Bodeho charakteristik jsou vlastnosti logaritmu, jmenovitě: Logaritmus součinu je součet logaritmů Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů log = 0 Vzhledem ke třetí uvedené vlastnosti je potřeba normovat závorky v rozkladu kořenových činitelů: μ j z k = z k j + z k Potom, pokud, log ³ j + 0 z k z k μ À, log ³ j + log z k z k z k Q M P 0 (j) = K 0 k= (j z k +) Q N k (j p k +) = b M( z )( z 2 ) ( z M ) a N ( p )( p 2 ) ( p N ) (j k= Graficky úsečka se sklonem 20 db / dekádu z M +) (j p +)(j p 2 +) (j p N +) z +)(j z 2 +) (j Modulová charakteristika: MX F db () =20log( P 0 (j) ) =20log(K 0 NX ))+ 20 log μ j + 20 log μ j + z k p k Fázová charakteristika: '() =arg(p 0 (j)) = MX arg k= μ j + z k NX arg k= μ j + p k k=

8 Nyní budeme zkoumat frekvenční charakteristiku RLC obvodu stejného, na kterém jsme zkoumali přechodné děje 2. řádu P (p) =. R = 4 kω pc pl + R + pc P (p) = = L = H C = μf R = 4 kω, 2 kω a kω p 2 LC + prc + = LC p 2 + p R L + p p + P(j) = p ;2 = 2000 p = : = 3732: = 267:9 P 0 (j) = 3732: 267:9 (j 3732: +)(j LC (j) (j)+ 267:9 +) = (j (j) ;2 = 3732: = 267:9 3732: +)(j 267:9 +)

9 2. R = 2 kω P (p) = p p + P(j) = (j) (j)+ p ;2 = 000 p = 000 (j) ;2 = 000 P 0 (j) = 3. R = kω P (p) = (j = 000 +)2 (j 000 +)2 p p + P(j) = p ;2 = 500 p = j (j) (j)+ P 0 (j)= (j 000 )2 + j = (j 000 )2 + j (j) ;2 = j r Q