Matematické metody v kartografii. 1. přednáška Úvod. Referenční plochy v kartografii. Souřadnicové systémy.
|
|
- Magdalena Hájková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematické metody v kartografii 1. přednáška Úvod. Referenční plochy v kartografii. Souřadnicové systémy.
2 Skripta [1] Buchar P., Hojovec V.: Matematická kartografie, ČVUT Praha [] Bohm J.: Matematická kartografie I, II. [3] Hojovec V.: Kartografie, Kartografie [4] Srnka E.: Matematická kartografie [5] Vykutil J. : Vyšší geodézie, Kartografie [6] Snyder J. P., Bugayevskiy L. M.: Map projections, Taylor & Francis WWW: ex_soubory/hlavni_soubory/uvod.html Software: 1) WinKart: ) Proj4: 3) MatKart: 4) GMT (Linux):
3 Přehled přednášek 1. Úvod, referenční plochy a souřadnicové systémy. Referenční elipsoid a základní vztahy. 3. Důležité křivky na sféře a elipsoidu Kartografická zkreslení 6. Kartografická zobrazení, zobrazení z elipsoidu na kouli Válcová zobrazení Kuželová zobrazení 11. Azimutální zobrazení 1. Nepravá, polykónická, polyedrická zobrazení 13. Hodnocení kartografického zobrazení
4 1. Referenční plochy používané v kartografii Tvar Země nepravidelný, členitý, nelze matematicky popsat. Formován zemskou tíží (výslednice odstředivé a gravitační síly). Pro účely kartografie se Země nahrazuje referenční plochou. Vlastnosti referenční plochy: Její tvar a velikost jsou podobné tvaru Země. Matematicky snadno definovatelná. Nahrazuje Zemi jako celek nebo lokálně. Přehled referenčních ploch: a) Geoid b) Elipsoid c) Koule d) Rovina
5 . Geoid tzv. hladinová plocha. Představa: střední hladina všech moří a oceánů. Nejpřesnější aproximace zemského povrchu. Matematicky nedefinovatelná plocha, v kartografii se nepoužívá (neexistuje exaktní matematický převod na jiné referenční plochy.). Vlastnosti: V každém okamžiku kolmá na směr zemské tíže Prochází zvoleným nulovým výškovým bodem. Nepravidelný tvar (konvexní/konkávní), zvlněný, ovlivněn rozložením hmot. Průběh geoidu kontinuálně upřesňován: geodetická, astronomická, gravimetrická měření. V současné době je průběh geoidu znám s přesností v řádech 0,1 1m. (neustále se zpřesňuje).
6 3. Elipsoid Poměrně dobře vystihuje tvar Země. Matematicky relativně snadno definovatelný. Existuje řada různých elipsoidů, které se liší svými parametry. Typy elipsoidů: tříosý elipsoid Definován trojicí poloos a, b, c. Nejpřesnější aproximace geoidu. Střed totožný s geocentrem Země. Poledníky i rovnoběžky elipsy. Obtížné výpočty, nepoužívá se v praxi. rotační elipsoid Definován poloosami a,b. Tzv. dvouosý elipsoid, vzniká rotací elipsy kolem vedlejší poloosy. Poledníky elipsy, rovnoběžky kružnice.
7 4. Rotační elipsoid Rovnice 3-osého a -osého elipsoidu: x y z 1 a b c x y z 1 a b V matematické kartografii používán výhradně -osý elipsoid. způsoby aproximace zemského povrchu: a) Zemský elipsoid (aproximace geoidu) Střed ZE totožný s hmotným středem země (geocentrem). Malá poloosa ZE totožná se středem rotace. b) Referenční elipsoid (aproximace části geoidu) Střed RE není totožný se středem Země. Na vybraném území aproximuje lépe než ZE. Kartografická zobrazení definovaná na RE vykazují menší zkreslení než zobrazení definovaná na ZE.
8 5. Geoid, zemský a referenční elipsoid
9 6. Nejznámější elipoidy Elipsoid a [m] b[m] Typ Besselův , ,9633 RE Hayfordův , ,9461 RE Krasovského , ,0188 RE WGS , ,314 ZE Clarkův (1880) , ,8696 RE GRS , ZE NAD , ,8000 RE IAG , ,5160 ZE
10 7. Zemský povrch, geoid, elipsoid Bod P leží na zemském povrchu (na reliéfu). Promítnutím P podle normály k elipsoidu vznikne bod P 0. Vzdálenost P 0 -P představuje elipsoidickou výšku H. Pak je převýšení elipsoidu vůči geoidu a h výška bodu od hladinové plochy. Hodnota je tížnicová odchylka. H h Z hodnoty lze určit parametry elipsoidu přimykajícího se v P k zemskému povrchu.
11 8. Referenční koule Větší odchylky od geoidu než elipsoid. Jednodušší matematická definice. Parametr: poloměr R, lze volit různými způsoby. Vlastnosti Konstantní křivost. Snadnější výpočty. Použití pro mapy malých a středních měřítek (nikoliv pro státní mapové dílo). Lze jí nahrazovat: A) Elipsoid lokálně (území 300 x 300 km) Přesné výpočty na malém území (lze zanedbat rozdíly). A) Elipsoid globálně Méně přesné výpočty na celém povrchu Země. Využití v geografické kartografii. Kartografická zkreslení při nahrazení geoidu koulí o několik řádů větší než při nahrazení geoidu elipsoidem!!!
12 9. Náhrada elipsoidu koulí Náhrada elipsoidu koulí na malém území R=a R=b R=střední poloměr křivosti Náhrada elipsoidu koulí globálně Koule stejný objem jako elipsoid Koule stejný povrch jako elipsoid Poloměr koule aritmetickým průměrem poloos MN R b a R b a R...) (1...) ( e e e b R e e e b R 3 b a R
13 10. Referenční rovina Vlastnosti: Tečná rovině ve zvoleném bodě. Použití pro malá území (0 x 0 km). Pro větší území značné výškové a polohové odchylky. Nulová křivost, nebere v potaz zakřivení Země. Mapy velkých měřítek: státní mapové dílo. Nelze použít pro mapy malých a středních měřítek, velké zkreslení Tečná rovina v bodě, princip azimutálních zobrazení. Zobrazení elipsoid -> rovina: přímá zobrazení. Zobrazení elipsoid -> koule -> rovina: dvojitá zobrazení. V matematické kartografii představuje rovina cílovou plochu, na kterou zobrazujeme = rovina mapy.
14 11. Zobrazovací plocha Plocha, na kterou zobrazujeme objekty z referenční plochy. Nejčastěji plocha rozvinutelná do roviny, plášť 3D primitiv (kužel, válec) či přímo rovina (tečná rovina). Lze zobrazovat na více než jednu plochu (polykónická zobrazení). Zobrazovací plocha ve vztahu k referenční ploše: Sečná Zobrazovací plocha se dotýká referenční plochy pouze v jednom bodě. Tečná Zobrazovací plocha se dotýká referenční plochy pouze ve dvou bodech. Pomalejší růst zkreslení.
15 1. Oprava délek při náhradě tečnou rovinou Skutečný horizont: P 1, P Zdánlivý horizont: P 1, P Rozdíl délek Δs mezi skutečným horizontem s a zdánlivým horizontem S. s s S S s R R tan 3 R T R 1 3 R s R 1 1 R[ 3 R 3 R ] 3 s 1R S [km] Δs [cm] Chyba roste kubicky. Do 50 km pod grafickou přesností mapy.
16 13. Oprava ploch při náhradě tečnou rovinou Skutečný horizont: P 1, P Zdánlivý horizont: P 1, P Rozdíl ploch ΔP omezených kružnicemi s poloměrem s/ a S/. S [km] ΔP [km] Do 50 km hluboce pod grafickou přesností mapy. s s S P s S s S S s S s s S s S s S s S P s p S P p P P ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) )( ( 4 ) ( 4 4 4
17 14. Oprava výšek při náhradě tečnou rovinou Rozdíl ploch Δh mezi skutečným a zdánlivým horizontem. h tan s h s tan s tan R s h R S [km] Δh [m] Chyba roste kvadraticky. Nabývá značných hodnot, nelze ji ignorovat (zavedení oprav).
18 15. Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu Nejčastěji používané souřadnicové systémy na referenčním elipsoidu: Zeměpisné souřadnice (, ). Geocentrická šířka. Redukovaná šířka. Pravoúhlé prostorové souřadnice (X,Y,Z). S rozvojem GPS se prostorové pravoúhlé souřadnice stávají stále významnější.
19 16. Zeměpisné souřadnice (, ) Zeměpisná šířka: Úhel mezi normálou v bodě a rovinou rovníku. Severní polokoule: <0, 90 >, jižní polokoule: <0, -90 > Zeměpisná délka: Úhel mezi rovinou místního poledníku a rovinou základního poledníku. Východní polokoule: <0, 180 >, západní polokoule: <0, -180 > Rovnoběžka: Průsečnice elipsoidu a roviny // s rovinou rovníku. Poledník: Průsečnice elipsoidu a roviny procházející osou rotace (ortodroma). Základní poledník: Ferro, Grenwich. Kartografické póly: Singulární body, =±90, =lib.=>problémy při výpočtech!!!
20 17. Znázornění zeměpisných souřadnic
21 18. Geocentrická a redukovaná šířka. Geocentrická šířka: Úhel spojnice středu elipsoidu se bodem na elipsoidu s rovinou rovníku Redukovaná šířka: Úhel spojnice průmětu bodu ležícího na oskulační kružnici s rovinou rovníku. Souřadnice bodu P: x a cos y bsin
22 19. Prostorové pravoúhlé souřadnice Počátek S se nachází ve středu elipsoidu. Osa Z prochází osou rotace Země. Osa X prochází průsečnicí roviny rovníku a roviny základního poledníku. Osa Y je kolmá na osy X a Z. Bod P na povrchu: X N cos cos Y N cos sin Z N(1 e )sin Bod P s výškou H: X ( N Y ( N H )cos cos H )cos sin Z N((1 e ) H )sin
23 0. Souřadnicové systémy na kouli Nejčastěji používané souřadnicové systémy na kouli: Zeměpisné souřadnice (u, v). Kartografické souřadnice (š, d). Prostorové souřadnice (X, Y, Z). Zeměpisné souřadnice na kouli Analogické definice Zeměpisná šířka: u Úhel mezi normálou (prochází středem) v bodě a rovinou rovníku. Zeměpisná délka: v Úhel mezi rovinou místního poledníku a rovinou základního poledníku. Východní polokoule: <0, 180 >, západní polokoule: <0, -180 > Více základních poledníků: Ferro, Grenwich,
24 1. Znázornění zeměpisných souřadnic
25 . Kartografické souřadnice Použití: Aby se obraz referenční plochy co nejvíce přimykal ke zvolenému území. Důsledkem jsou nižší hodnoty kartografických zkreslení. Osa zobrazovací plochy nebude // se zemskou osou. Vztaženy ke kartografickému pólu, který zpravidla označujeme K Kartografická šířka: š Měří se od kartografického rovníku., definována analogicky jako zeměpisná šířka. Kartografická délka: d Měří se od zeměpisného poledníku procházejícího kartografickým (a severním) pólem, definována analogicky jako zeměpisná délka. Nachází li se kartografický pól na rovníku, je zobrazení v poloze transverzální. Nachází li se kartografický pól jinde, je zobrazení v poloze obecné. Vztahy mezi zeměpisnými a kartografickými souřadnicemi: sférická trigonometrie Odvození bude uvedeno dále.
26 3. Zeměpisné a kartografické souřadnice
27 4. Sférická trigonometrie Sférický trojúhelník: Vymezen průsečíky tří hlavních kružnic (ortodrom). Výpočty provádíme zpravidla na jednotkové kouli a převádíme je na obecnou kouli. Označení stran: a, b, c Označení úhlů:,, Závislosti mezi stranami a úhly: Sínová věta Kosínová věta (I., II.) Sínus kosínová věta (I., II.) Neperovy analogie
28 5. Vztahy sférické trigonometrie Sinová věta: sin():sin():sin()= sin(a):sin(b):sin(c) I. kosinová věta: cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos() II. kosinová věta: cos() = -cos() cos() + sin() sin() cos(a) I. sinuskosinová věta: sin(a) cos() = cos(b) sin(c) sin(b) cos(c)cos() II. sinuskosinová věta: sin(a) cos(b) = cos(b) sin(g) + sin(b) cos(g) cos(a) a b cos[( ) / ] Neperovy analogie: tg tg cos[( ) / ] c tg cos[( a b) / ] cotg cos[( a b) / ]
29 6. Sférický exces Na kouli neplatí některá pravidla, která známe z Euleidovské geometrie. Nejjednodušším uzavřeným útvarem je sférický mnohoúhelník. Součet úhlů ve sférickém trojúhelníku není nikdy roven 180, je vždy větší. Sférický exces e: Nazýván sférickým nadbytkem, je vždy kladný. e 180 Přibližný výpočet sférického excesu e P 1 sin( ) ab R R
30 7. Vztahy (u,v) <=>(š, d) V obou případech použity věty sférické trigonometrie. Převod (u,v)<=> (š,d): sin š sin u sin u cos u sin v cos u sin d cos š k k cos u cos v Převod (š,d) <=>(u, v) sin u sin š sin u sin d cos š sin v cos u k cos š cos u k cos d
31 8. Pravoúhlé souřadnice v rovině kartografického zobrazení (x,y) Používají se u většiny kartografických zobrazení. Parametry souřadnicového systému: a) Počátek souřadnicového systému Volen do obrazu kartografického pólu Volen do průsečíku obrazů základního poledníku a rovníku. b) Orientace souřadnicových os x,y Matematický systém (x=>v, y=>s), xy (Gauss, UTM). Speciální - y=>j, y=>z (JTSK)
32 9. Adiční konstanty Při zobrazování územních celků volíme počátek souřadnicového systému zpravidla ve středu území. Výhoda: využíváme optimálních vlastností zobrazení (malé hodnoty zkreslení délek, úhlů, ploch). Nevýhoda: území neleží v prvním kvadrantu, souřadnice mohou být záporné. Řešení : K souřadnicím x, y připočítáváme adiční konstanty x, y. x x x y y y
33 30. Polární souřadnice v rovině kartografického zobrazení (, e) Počátek může být volen stejně jako u pravoúhlých souřadnic, ale nemusí. Používají se u kuželových a azimutálních zobrazení, snadnější vyjádření zobrazovacích rovnic. představuje průvodič bodu, tj. euklidovskou vzdálenost bodu od počátku souřadnicového systému. představuje úhel průvodiče měřený od rovnoběžky s osou x.
34 31. Vztah pravoúhlých a polárních souřadnic A) Oba souřadnicové systémy mají stejný počátek x y cos e sin e x e arctg ( y y x ) B) Oba souřadnicové systémy mají různý počátek x y x v cos e sin e
Zobrazování zemského povrchu
Zobrazování zemského povrchu Země je kulatá Mapy jsou placaté Zemský povrch je zvlněný a země není kulatá Fyzický povrch potřebuji promítnout na nějaký matematicky popsatelný povrch http://photojournal.jpl.nasa.gov/jpeg/pia03399.jpg
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 1 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Úvod přednášky, cvičení, zápočty, zkoušky Jiří Cajthaml (přednášky, cvičení) potřebné znalosti: vzorce
Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.
Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po
Geodézie a pozemková evidence
2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.3 Souřadnicové soustavy na území ČR Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze
Seminář z geoinformatiky Úvod do geodézie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Úvod do geodézie
MATEMATIKA V GEOGRAFII
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce MATEMATIKA V GEOGRAFII Vedoucí práce: RNDr. Libuše Samková, Ph.D. Autor práce: Jaroslav Pátek Studijní
Transformace dat mezi různými datovými zdroji
Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace
Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice
Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 6 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografická zobrazení použitá na našem území důležitá jsou zejména zobrazení pro státní mapová díla v
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
Optický komplex brýlí a očí I. LF MU Brno Brýlová technika
Optický komplex brýlí a očí I LF MU Brno Brýlová technika Struktura prezentace Definice základních pojmů centrace, vycházející z Gullstrandova systému oka Schéma polohy vztažných bodů do dálky 2 Základní
4. Matematická kartografie
4. Země má nepravidelný tvar, který je dán půsoením mnoha sil, zejména gravitační a odstředivé (vzhledem k rotaci Země). Odstředivá síla způsouje, že tvar Země je zploštělý, tj. zemský rovník je dále od
Přednášející: doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D; Místnost: B912 WWW: k154.fsv.cvut.cz/~stroner
154GEY1 Geodézie 1 Přednášející: doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D; Místnost: B912 Email: martin.stroner@fsv.cvut.cz WWW: k154.fsv.cvut.cz/~stroner Literatura: [1] Ratiborský, J.: Geodézie10. 2. vyd. Praha:
Základy kartografie. RNDr. Petra Surynková, Ph.D.
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta RNDr., Ph.D. petra.surynkova@mff.cuni.cz www.surynkova.info Kartografie Vědní obor zabývající se znázorněním zemského povrchu a nebeských těles
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Zobrazení. Geografická kartografie Přednáška 4
Zobrazení Geografická kartografie Přednáška 4 kartografické zobrazení způsob, který každému bodu na referenční ploše přiřazuje právě jeden bod na zobrazovací ploše (výjimkou jsou ovšem singulární body)
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Evidenční číslo materiálu: 441 Autor: Silvie Lidmilová Datum: 12.9.2011 Ročník: 6. Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vzdělávací obor: Zeměpis Tematický okruh: Přírodní obraz
1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105
.. Kruhový pohyb Předpoklady: 05 Předměty kolem nás se pohybují různými způsoby. Nejde pouze o přímočaré nebo křivočaré posuvné pohyby. Velmi často se předměty otáčí (a některé se přitom pohybují zároveň
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah Křovákovo zobrazení 1 Křovákovo zobrazení Obsah Křovákovo zobrazení 1 Křovákovo zobrazení Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Křovákovo zobrazení Křovákovo zobrazení
15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
3. Souřadnicové výpočty
3. Souřadncové výpočty 3.1 Délka. 3.2 Směrník. 3.3 Polární metoda. 3.4 Protínání vpřed z úhlů. 3.5 Protínání vpřed z délek. 3.6 Polygonové pořady. 3.7 Protínání zpět. 3.8 Transformace souřadnc. 3.9 Volné
Souřadnicové systémy Souřadnice na referenčních plochách
Geodézie přednáška 2 Souřadnicové systémy Souřadnice na referenčních plochách Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Souřadnicové systémy na území
Stavební geodézie. Úvod do geodézie. Ing. Tomáš Křemen, Ph.D.
Stavební geodézie Úvod do geodézie Ing. Tomáš Křemen, Ph.D. Stavební geodézie SG01 Ing. Tomáš Křemen, Ph.D. B905 http://k154.fsv.cvut.cz/~kremen/ tomas.kremen@fsv.cvut.cz Doporučená literatura: Hánek,
2.1 Tyčová, pásová, kloubová měřidla
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.1 Tyčová, pásová, kloubová měřidla Tyčová, pásová a kloubová měřidla patří mezi nejjednodušší měřící prostředky
Matematické metody v kartografii. Jednoduchá azimutální zobrazení. Azimutální projekce. UPS. (10.)
Matematické metody v kartografii Jednoduchá azimutální zobrazení. Azimutální projekce. UPS. (10.) 1. Jednoduchá azimutální zobrazení Společné vlastnosti: Jednoduché zobrazení, zobrazuje na tečnou rovinu
Geodézie Přednáška. Souřadnicové systémy Souřadnice na referenčních plochách
Geodézie Přednáška Souřadnicové systémy Souřadnice na referenčních plochách strana 2 každý stát nebo skupina států si volí pro souvislé zobrazení celého území vhodný souřadnicový systém slouží k lokalizaci
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_16 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
GIS Geografické informační systémy
GIS Geografické informační systémy Kartografie Glóbus představuje zmenšený a zjednodušený, 3rozměrný model zemského povrchu; všechny délky na glóbu jsou zmenšeny v určitém poměru; úhly a tvary a velikosti
Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii
Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie
Úvod do předmětu geodézie
1/1 Úvod do předmětu geodézie Ing. Hana Staňková, Ph.D. IGDM, HGF, VŠB-TU Ostrava hana.stankova@vsb.cz A911, 5269 1 Geodézie 1/2 vědní obor o měření části zemského povrchu, o určování vzájemných vztahů
5.19 Deskriptivní geometrie. Charakteristika vyučovacího předmětu. 1. Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu
5.19 Deskriptivní geometrie Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Deskriptivní geometrie vychází ze
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Geodézie pro architekty. Úvod do geodézie
Geodézie pro architekty Úvod do geodézie Geodézie pro architekty Ing. Tomáš Křemen, Ph.D. B905 http://k154.fsv.cvut.cz/~kremen/ tomas.kremen@fsv.cvut.cz Doporučená literatura: Hánek, P. a kol.: Stavební
1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy
Matematická kartografie Buchar.: Matematická kartografie 10, ČVUT; Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Referenční plochy referenční elipsoid (sféroid) zploštělý rotační elipsoid Besselův
28.9.2014. Prezentace, promítané na přednášce, jsou dostupné na http://www2.zf.jcu.cz/~hanek00/geoda/
Ing. Pavel Hánek, Ph.D. Prezentace, promítané na přednášce, jsou dostupné na http://www2.zf.jcu.cz/~hanek00/geoda/ HÁNEK, P. (ST.) - KOZA, P. - HÁNEK, P.: Geodezie pro SPŠ stavební. 4. upravené a rozšířené
Matematické metody v kartografii. Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.)
Matematické metody v kartografii Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.) 1. Členění kartografických zobrazení: Existuje velkémnožstvíkarografických zobrazení. Lze je členit
1. rys - Rotační válec V Mongeově promítání sestrojte sdružené průměty rotačního válce, jsou-li dány:
Pokyny pro vypracování zápočtových prací (rysů): okraje (uvnitř rámečku) napište nadpis (Rotační válec), u dolního okraje akademický rok, rys č. 1, varianta n, jméno, příjmení a číslo studijní skupiny.
4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 5 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Válcová zobrazení obrazem poledníků jsou úsečky, které mají konstantní rozestupy obrazem rovnoběžek jsou
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti
Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti Cílem pomůcky je pochopit význam geometrických charakteristik pro pohybové chování těles na něž působí vnější síly. Princip pomůcky je velmi jednoduchý, jde
4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky
4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky Předpoklady: 4205 Pedagogická poznámka: Tuto hodinu učím jako běžnou jednohodinovku s celou třídou. Některé dvojice stihnou naměřit více odporů. Voltampérová
Mechanika tuhého tělesa. Dynamika + statika
Mechanika tuhého tělesa Dynamika + statika Moment hybnosti U tuhého tělesa není hybnost vhodnou veličinou pro posouzení dynamického stavu rotujícího tělesa Definujeme veličinu analogickou hybnosti, která
Sada 2 Geodezie II. 11. Určování ploch z map a plánů
S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Geodezie II 11. Určování ploch z map a plánů Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2
Matematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
GIS Geografické informační systémy. Daniela Ďuráková, Jan Gaura Katedra informatiky, FEI
GIS Geografické informační systémy Daniela Ďuráková, Jan Gaura Katedra informatiky, FEI jan.gaura@vsb.cz http://mrl.cs.vsb.cz/people/gaura Kartografie Stojí na pomezí geografie a geodezie. Poskytuje vizualizaci
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence
ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008 1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 2 2 2 3 3 3 a ± b ; a b ; a ± b ; a ± b 1.1. rozklad výrazů na součin: vytýkání, užití vzorců: ( ) ( ) 1.2. určování definičního
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
geografie, jest nauka podávající nám, jak sám název značí-popis země; avšak obsah a rozsah tohoto popisu byl
82736-250px-coronelli_celestial_globe Geografie=Zeměpis geografie, jest nauka podávající nám, jak sám název značí-popis země; avšak obsah a rozsah tohoto popisu byl a posud do jisté míry jest sporný Topografie
Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
Geodézie a pozemková evidence
2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.2 - Kartografická zobrazení, souřadnicové soustavy Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Matematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
154GUI1 Geodézie pro UIS 1
154GUI1 Geodézie pro UIS 1 Přednášející: Ing. Tomáš Křemen, Ph.D; Místnost: B905 Email: tomas.kremen@fsv.cvut.cz WWW: k154.fsv.cvut.cz/~kremen Literatura: [1] Ratiborský, J.: Geodézie 10. 2. vyd. Praha:
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Kulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
Kartografie I. RNDr. Ladislav Plánka, CSc. Institut geodézie a důlního měřictví, Hornicko-geologická fakulta, VŠB TU Ostrava
Kartografie I Matematické a geometrické základy kartografických děl RNDr. Ladislav Plánka, CSc. Institut geodézie a důlního měřictví, Hornicko-geologická fakulta, VŠB TU Ostrava Podkladové materiály pro
Euklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 5. 9. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_13_FY_A
Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 5. 9. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_13_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Matematika - Tercie Matematika tercie Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy
- Tercie Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
Astronomická pozorování
KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové
KONFORMITA GAUSS-KRÜGEROVA ZOBRAZENÍ Radek Hampl Stručný pohled do historie vzniku Gauss-Krügerova zobrazení
KONFORMITA GAUSS-KRÜGEROVA ZOBRAZENÍ Radek Hampl 1 Abstrakt: Příspěvek se týká problematiky konormity Gauss-Krügerova zobrazení. Ukazuje se, že toto zobrazení není ve své reálné podobě konormní a lépe
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
Zobrazování zemského povrchu
Zobrazování zemského povrchu Země je kulatá Mapy jsou placaté Zemský povrch je zvlněný a země není kulatá Fyzický povrch potřebuji promítnout na nějaký matematicky popsatelný povrch http://photojournal.jpl.nasa.gov/jpeg/pia03399.jpg
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
E-ZAK. metody hodnocení nabídek. verze dokumentu: 1.1. 2011 QCM, s.r.o.
E-ZAK metody hodnocení nabídek verze dokumentu: 1.1 2011 QCM, s.r.o. Obsah Úvod... 3 Základní hodnotící kritérium... 3 Dílčí hodnotící kritéria... 3 Metody porovnání nabídek... 3 Indexace na nejlepší hodnotu...4
Obsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
PŘEJÍMACÍ A PERIODICKÉ ZKOUŠKY SOUŘADNICOVÝCH MĚŘICÍCH STROJŮ
ČVUT - Fakulta strojní Ústav technologie obrábění, projektování a metrologie Měrové a školicí středisko Carl Zeiss PŘEJÍMACÍ A PERIODICKÉ ZKOUŠKY SOUŘADNICOVÝCH MĚŘICÍCH STROJŮ Ing. Libor Beránek Aktivity
PŘEJÍMACÍ A PERIODICKÉ ZKOUŠKY SOUŘADNICOVÝCH MĚŘICÍCH STROJŮ
ČVUT - Fakulta strojní Ústav technologie obrábění, projektování a metrologie Ing. Libor Beránek Průmyslová metrologie PŘEJÍMACÍ A PERIODICKÉ ZKOUŠKY SOUŘADNICOVÝCH MĚŘICÍCH STROJŮ Aktivity mezinárodní
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ UŽITÍM MNOŽIN BODŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KONSTRUKČNÍ
2. Bodové pole a souřadnicové výpočty
2. Bodové pole a souřadnicové výpočty 2.1 Body 2.2 Bodová pole 2.3 Polohové bodové pole. 2.3.1 Rozdělení polohového bodového pole. 2.3.2 Dokumentace geodetického bodu. 2.3.3 Stabilizace a signalizace bodů.
AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 8 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Nepravá zobrazení zachovávají některé charakteristiky jednoduchých zobrazení (tvar rovnoběžek) některé
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
Základní konvenční technologie obrábění FRÉZOVÁNÍ. Technologie III - OBRÁBĚNÍ
Tento materiál vznikl jako součást projektu EduCom, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Základní konvenční technologie obrábění FRÉZOVÁNÍ Technická univerzita v
Kótování oblouků, děr, koulí, kuželů, jehlanů, sklonu a sražených hran
Kótování oblouků, děr, koulí, kuželů, jehlanů, sklonu a sražených hran 1. Kótování oblouků veškeré oblouky kružnic se kótují poloměrem a jedním z těchto rozměrů: - středovým úhlem - délkou tětivy - délkou
f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =
Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží
Optika. VIII - Seminář
Optika VIII - Seminář Op-1: Šíření světla Optika - pojem Historie - dva pohledy na světlo ČÁSTICOVÁ TEORIE (I. Newton): světlo je proud částic VLNOVÁ TEORIE (Ch.Huygens): světlo je vlnění prostředí Dělení
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce
Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu