Obsah a průběh zkoušky 1PG

Transkript

1 Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna teoretická otázka dle části za bodů. U zkoušky jsou povoleny vlastnoručně psané poznámky na jednom listě formátu A5 oboustranně. Studijní materiály: MathOnLine Přednášky: Prezentace: Počítačové učebny: P:\Student\Martisek\PG_Prednasky MathOnLine Cvičení: Skripta: Borecká, K. a kol.: Konstruktivní geometrie, CERM, Beno, 6 Konstrukční úlohy Kuželosečky Konstrukce kuželoseček ze zadaných prvků. ypové příklady: MathOnLine, Cvičení, Kuželosečky, př. c),, skripta str. 4, 5 Kinematická geometrie Konstrukce prosté, prodloužené a zkrácené cykloidy, epi- a hypocykloidy. ypové příklady: MathOnLine, Cvičení, Kinematika, př.,, skripta str. Šroubovice Mongeovo promítání: Šroubování bodu o daný úhel, danou výšku ypový příklad: Prezentace, předn.. str., př. Zobrazení šroubovice včetně oskulačních kružnic a tečny ypové příklady: Prezentace, předn.. str., př., 5 Pravoúhlá axonometrie: Zobrazení šroubovice včetně oskulačních kružnic a tečny ypové příklady: Prezentace, předn.. str., př. 6. Plochy a tělesa Mongeovo promítání: Konstrukce hranolu, jehlanu, válce a kužele s podstavou v obecné rovině ypové příklady: Prezentace, předn. 8. str., MathOnLine Přednášky, kpt... př.,. Konstrukce kulové plochy ze zadaných prvků

2 ypový příklad: Prezentace, předn. 8. str., př. 5 Konstrukce řezu hranolu a jehlanu s podstavou v půdorysně obecnou rovinou ypové příklady: Prezentace, předn. 9. str., př., Konstrukce řezu rotačního kužele s podstavou v půdorysně rovinou kolmou na nárysnu (eliptický, parabolický i hyperbolický řez) ypové příklady: Skripta, str. 9, 9, 9 Konstrukce řezu rotačního válce s podstavou v půdorysně obecnou rovinou ypový příklad: MathOnLine Přednášky, kpt.., př. Pravoúhlá axonometrie: Konstrukce hranolu, jehlanu, válce a kužele s podstavou v některé pomocné průmětně. ypové příklady: Prezentace, předn. 8. str. Konstrukce řezu hranolu a jehlanu s podstavou v půdorysně obecnou rovinou ypové příklady: Prezentace, předn. 9. str., př., Konstrukce řezu rotačního válce rovinou rovnoběžnou se souřadnou osou ypový příklad: Prezentace, předn.. str., př. 4 ypy výpočetních úloh a) Rozšířený (projektivní) prostor Bod v rozšířené rovině: A= a; a; a ; a ; a alespoň jedno z čísel a; a; a je nenulové A je vlastní a A je nevlastní Vlastní bod: A= a; a;, v euklidovské rovině bod s kartézskými souřadnicemi ; Nevlastní bod A= a; a;, v euklidovské rovině vektor a a; a. Bod v rozšířeném prostoru: A= a; a; a; a ; a ; a alespoň jedno z čísel a; a; a; a je nenulové A je vlastní a A je nevlastní Vlastní bod: a; a; a; Aa; a; a. Nevlastní bod A= a; a; a;, v euklidovském prostoru vektor a; a; a A=, v euklidovském protoru bod s kartézskými souřadnicemi Příklad: Rovnice přímky určené body A;B : a. A a a. t t a; a; a; b ; b ; b ; a; a; a; t a ; a ; a ; b a ; b a ; b a ; t a s t; a s t; a s t; X = A+ B A Rozepsáním do souřadnic dostaneme parametrické rovnice

3 x a s t y a s t z a s t ( neuvádí se) Rovnice křivky t f t f t f t ; ; Q = ; ; ; (uvažujeme jen vlastní body) f t f t f t - souřadnicové funkce b) Projektivní zobrazení v rozšířeném prostoru A' M A, M - matice projektivního zobrazení m m m m4 a m m m m4 a m m m m 4 a ' a m4 m4 m4 m 44 a Afinní zobrazení zobrazuje vlastní bod na vlastní bod, tedy a ' a matice afinního zobrazení: m m m m4 a m m m m4 a m m m m 4 a Příklad: Posunutí o vektor v v ; v ; v ; a v v a v a v v a v a v v a v v v - matice posunutí (translace) o vektor v Příklad: Otočení kolem osy z o úhel : a cos a sin cos sin a a sin a cos sin cos a a a cos sin sin cos R z,

4 R z, - matice rotace o úhel kolem osy z. Varianty: rotace kolem os xy, ; osová souměrnost podle os x; y, z, shodná zobrazení v projektivní rovině Skládání zobrazení: Matice složeného zobrazení = součin matic jednotlivých složek: Příklad: Matice vyšroubování o úhel kolem osy z (redukovaná výška v - výška, o kterou vystoupá bod při vyšroubování o úhel radián): M Rz; v ; kde v ;; v ; : cos sin cos sin sin cos sin cos M R z; v M v v Varianty: šroubování kolem os xy ; Příklad: Otočte bod A[;] E o úhel otočit o kolem bodu 4 S[;] E a '. a '.77 c) Křivky Příklad: Určete rovnici šroubovice s osou v ose z, procházející bodem 4;;; Řešení: A ; v cost sin t 4 4 cost sin t cost 4sin t Q t M A = S 4cos t;4sin t; t; ; t t t ;k ( pravotočivá, levotočivá) Varianty: šroubovice s osou xy ; ================== Q= f t ; f t ; f t ; : ečna křivky Směrový vektor: Q' = f ' t ; f ' t ; f ' t ;

5 ečna v bodě A = Q t f t ; f t ; f t ; : Q Q' Oskulační rovina v bodě A = Q t Q Q' Q'' t t u t v t t t Hlavní normála křivky f t; f t; f t; Je-li Q' tq'' t, tedy Q' t Q'' t, pak Q'' t = f '' t ; f '' t ; f '' t ; je směrový vektor hlavní normály a hlavní normála je N Q Q'' Q= : = normála, která leží v oskulační rovině. t t t Křivost v bodě A = Q t : t Q' t Q'' t Q' t Oskulační kružnice: Leží v oskulační rovině, střed na hlavní normále, poloměr. Příklad: Šroubovice je dána osou ox y, bodem ;5;; r t. A a redukovanou výšku v. Určeme tečnu a oskulační rovinu v bodě A Řešení: Matice šroub. pohybu - viz př. d): cost sin t 5sin t sin t cost 5 5cos t Šroubovice: Q t M A = t t Q t 5sin t;5cos t; t; Q A ;5;; Q' t 5cos t; 5sin t;; Q' 5;;; Q'' t 5sin t; 5cos t;; Q'' ; 5;; tečna: Q Q' t ;5;; 5;;; oskulační rovina: t t u t v t Q Q' Q'' =;5;; 5;;; u ; 5;; Rozepsáno do parametrických rovnic: v ečna: Další přímka oskulační roviny Oskulační rovina x y 5 5t x y 55t z t z Varianty: šroubovice s osou xy ; x 5u y 5 5v z 4. Příklad: Šroubovice je dána osou ox y, bodem ;5;; výšku v. Určeme hlavní normálu v bodě A Řešení: u A a redukovanou

6 Matice šroub. pohybu - viz př. d): cost sin t 5sin t sin t cost 5 5cos t Šroubovice: Q t M A = t t Q t 5sin t;5cos t; t; Q' t 5cos t; 5sin t;; Q' 5;;; Q'' t 5sin t; 5cos t;; Q'' ; 5;; Q' Q'' 5;;; ; 5;; 5 5 Q' Q'' hlavní normála: N Q Q'' t ;5;; ; 5;; t Varianty: šroubovice s osou xy ; =============== 5. Příklad: Šroubovice je dána osou ox y, bodem ;5;; A a redukovanou výšku v 5. Určeme poloměr oskulační kružnice v bodě A Řešení: Matice šroub. pohybu - viz př. d): cost sin t 5sin t sin t cost 5 5cos t Šroubovice: Q t M A = 5t 5t Q t 5sin t;5cos t;5 t; Q' t 5cos t; 5sin t;5; Q' 5;;5; Q'' t 5sin t; 5cos t;; Q'' ; 5;; Poloměr oskulační kružnice: i j k t t i j k Q' Q'' ; 5; t t Q' Q'' 5 5 Q' t Q' t Q'' t 5 t t 5 Q' r t 6 t

7 Varianty: šroubovice s osou xy, ; oskulační kružnice elipsy ve vrcholech (bylo spočítáno na přednášce), oskulační kružnice kružnice =============== d) Generování ploch 6. Příklad: Napište rovnici plochy vzniklé rotací přímky P u AB ; ;;; B= ;;5; kolem osy x. Řešení: Matice příslušné rotace je R zv, cos v sin v sin v cos v Rovnice přímky (viz příklad a): P u A+ B A u u;;5 u; A= ; Kuželová plocha je tedy: u u cos v sin v 5u sin v uv ; ; u R ; v ; sin v cos v 5u 5u cos v Rozepsáno do parametrických rovnic: xu y 5usin v z 5u cosv Varianty: rotace kolem os yz ; ===================== 7. Příklad: Parabola u ; u; u ; P = se pohybuje ve směru v v v; v; v; Napište rovnici parabolické válcové plochy, která tímto pohybem vznikne Řešení: Matice příslušné translace je v = V =. takže v v v v

8 v v v u u v v u u v uv ; uv ; Parametrické rovnice: x v y u v z u v Varianty: parabola v rovině kolmé na jinou souř. osu, jiný směr, popř. i jiná řídicí křivka. =============== Okruhy teoretických otázek Euklidovský a projektivní prostor. Základní útvary a vztahy mezi nimi, axiomatická výstavba (skupiny axiomů, příklady). Syntetický model euklidovského prostoru - PK geometrie a řešitelnost úloh, příklady neřešitelných úloh. Analytický model euklidovského prostoru vektorový a afinní prostor, kartézské souřadnice 4. Projektivní prostor syntetický a analytický model, homogenní souřadnice Zobrazení a promítání. Zobrazení, kolineární zobrazení, dělicí poměr a dvojpoměr, Pappova věta. Středová kolineace mezi rovinami a v rovině (synteticky). Osová afinita mezi rovinami a v rovině (synteticky) 4. Promítání prostoru na rovinu, základní typy a vlastnosti, Pohlkeova věta Kinematická geometrie v rovině. Základní pojmy a vlastnosti (neproměnná soustava, trajektorie, okamžitý střed otáčení, polodie, vratný pohyb). Přehled cyklických pohybů (cykloidální, epi- hypocykloidální, evolventní) Mongeovo promítání. Základní pojmy, zobrazení bodu, přímky a roviny. Základní polohové úlohy - rovnoběžka k přímce, rovina rovnoběžná s rovinou, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou. Základní metrické úlohy - kolmice k rovině, rovina kolmá k přímce, sklápění ( skutečná velikost úsečky), otáčení (jednoduchá planimetrická úloha v obecné rovině)

9 Pravoúhlá axonometrie. Základní pojmy, zobrazení bodu, přímky a roviny. Základní polohové úlohy - rovnoběžka k přímce, rovina rovnoběžná s rovinou, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou. Zářezová metoda Křivky. Souvislá množina, topologická dimenze, křivka. Klasifikace křivek, příklady rovinných, prostorových, analytických a grafických křivek. Regulární křivky - bodová funkce, tečna, normála, křivost, oskulační kružnice 4. Kuželosečky ohniskové a projektivní definice, řezy kuželové plochy, ohniskové vlastnosti. 5. Afinita mezi kružnicí a elipsou 6. NURBS křivky - pojmy řídicí bod, bázová funkce, stupeň křivky, váha bodu, napojování, kuželosečky jako NURBS 7. Šroubovice definice, orientace, redukovaná výška, řídicí kužel a jeho souvislost s tečnami Plochy. Pojem plochy, regulární plocha, křivky na ploše, eliptický, parabolický a hyperbolický bod. ečná rovina, normála, křivosti plochy. Základní metody generování ploch, pojmy přímková, cyklická, translační, rotační a šroubová plocha 4. Elementární plochy jako NURBS. 5. Rotační plochy meridiánová rovina, meridián, rovnoběžkové kružnice 6. Šroubové plochy základní rozdělení a použití 7. Přímkové plochy rozvinutelné, zborcené, příklady Příklad zadání:. Sestrojte parabolu, která se dotýká přímek x x t y ; 5 ; t ; t t y v bodech ;??; ; ( bodů).. Je dán pravidelný šestiboký jehlan s výškou v 9 a podstavou v půdorysně, střed 4;5; A 5; ;. Sestrojte jeho řez rovinou podstavy S, vrchol podstavy 6; 5; v pravoúhlé axonometrii, XYZ ;;. Po kružnici x ( bodů). y 5 se odvaluje její tečna t. Určete rovnici dráhy jejího bodu A t, který v čase A 5; ( bodů). 4. Vysvětlete pojmy souvislá množina, topologická dimenze, křivka (teoretická otázka bude položena ústně). ( bodů). t splývá s bodem podzim 5 Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. garant předmětu