Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Transkript

1 Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží těžnice t c trojúhelníka ABC Jsou dány bod [ ] Napište obecnou rovnici A a přímka p : x + y = 0 Napište obecnou rovnici a) přímky m která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkou p b) přímky k která prochází bodem A a je kolmá k přímce p p t = t t t R Určete vzájemnou polohu přímky p R R Je dána přímka ) [ + ] a) a přímky a = [ + s s] s b) a přímky b u) = [ + u + u] u c) a přímky c v) = [ 6 + v+ v] v R Je dána přímka p : x y = 0 Určete vzájemnou polohu přímky p a) a přímky a : x + y 5 = 0 b) a přímky b : x 6y + 6 = 0 c) a přímky c : x + 6y + 6 = 0 5 Napište rovnici roviny α zadané bodem [ 5] n r = 7) A a normálovým vektorem 6 Určete jakou polohu vzhledem k souřadnicovým rovinám zaujímají roviny: a) α : x y + z = 0 b) β : z = c) γ : x + y = 0 d) δ : x y + 5 = 0 e) ε : y = a) ς : x + y + z = k k 0 7 Napište rovnice přímky l procházející body A [ ] B [ 50 ] a) zda body C [ 6 ] a D [ 50 ] leží na přímce l b) průsečík Q přímky l s rovinou ν x 8 Jsou dány body A [ ] a B [ 0 ] a) přímku AB b) polopřímku AB c) úsečku AB Popište 9 Napište parametrické rovnice přímky l která je průsečnicí rovin α : x y z 9 = 0 a β : x y + z + = 0 l t = t t t t R s rovinou 0 Určete průsečík přímky ) [ + ] α : x y + z + 7 = 0 A a přímkou Napište rovnici roviny určené bodem [ 5 0 ] l t) = [ + t t + t] t R Určete:

2 Napište rovnici roviny procházející přímkou l t) = [ + t t + 5t] t a kolmé k rovině x + y z + 7 = 0 Napište rovnici roviny procházející bodem [ ] l t) = [ + t + t 5 + t] t R Jsou dány body A [ ] B [ 5 ] a C [ 8 ] trojúhelníka ABC Vypočítejte velikost výšky v c 5 Jsou dány body A [ ] a [ 7 ] R A a kolmé k přímce Určete plošný obsah B Napište obecnou rovnici roviny β která prochází bodem B a je kolmá k přímce AB 6 Jsou dány body A [ ] a [ 0 ] B Napište obecnou rovnici roviny α která prochází počátkem O soustavy souřadné a body A B 7 Určete vzájemnou polohu přímky k t) = [ + t t + 5t] t α : x + y z + = 0 8 Jsou dány přímka k t) = [ + 5t + t + t] t R a roviny R a rovina β : x + y z + 7 = 0 Napište obecnou rovnici roviny α která prochází přímkou k a je kolmá k rovině β 9 Jsou dány přímka k t) = [ 5 + t + t t] t R a rovina β : x + y z + 5 = 0 Napište obecnou rovnici roviny α která prochází přímkou k a je rovnoběžná s rovinou β 0 Je dán bod A [ 75 ] Napište obecnou rovnici roviny která a) je určena bodem A a souřadnicovou osou x b) prochází bodem A a je kolmá k souřadnicové ose z c) prochází bodem A a je rovnoběžná s nárysnou ν x Popište množinu společných bodů rovin α a β α : x y z 9 = 0 β : x y + z + = 0 A a přímkou Napište obecnou rovnici roviny α která je určena bodem [ 5 0 ] k t) = [ + t t + t] t R A a je kolmá Napište obecnou rovnici roviny která prochází bodem [ ] k přímce ) [ ] R p t = t t t t Určete hodnotu parametru m tak aby přímka p t) = [ + t + mt t] t R byla rovnoběžná s rovinou α : x y + 6z + 7 = 0 5 Určete hodnoty parametrů a a b tak aby přímka p byla kolmá k rovině ρ p t) = [ + at + t5 t] t R ρ : x y bz + 5 = 0 Napište souřadnice průsečíku Q přímky p a roviny ρ

3 Kuželosečky 6 Určete typ kuželosečky napište souřadnice středu /vrcholů ohnisek velikosti poloos /parametru rovnice os / řídící přímky / asymptot Napište parametrické vyjádření těchto kuželoseček a) x + 9y 0x + 6y + 00 = 0 b) 9x 6y 5x 6 y 7 = 0 c) x + y 8x + 6y = 0 d) x y + 8x y + = 0 e) x y x 6y 5 = 0 f) x + y + 8x 6y + = 0 g) 9x y + y + 8 = 0 h) y 0x 8y + 56 = 0 i) x + 6x y = 0 j) x + y + y + 5 = 0 7 Napište rovnici elipsy která se dotýká osy x v bodě A [ 0] B [ 0 ] a osy y v bodě Osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami 8 Napište rovnici elipsy která má ohniska F [ ] F [ 5] a vrchol [ 7] 9 Napište rovnici hyperboly která má vrcholy A [ 0 ] [ ] F [ 5 ] A B a ohnisko 0 Napište rovnici hyperboly víte-li že její asymptoty mají rovnice y = x a y x A 0 = a jeden její vrchol je bod [ ] Napište rovnici paraboly která má a) vrchol V [ 5] a řídící přímku x = b) vrchol V [ 5] a řídící přímku y = 6 c) ohnisko F [ ] a řídící přímku x = F a řídící přímku y = 5 d) ohnisko [ ] Napište rovnice paraboly procházející bodem L [ 5] y = 0 a osa má rovnici x = 0 Napište souřadnice společných bodů přímky p t) = [ + t t] t x ) + y = tečna ve vrcholu má rovnici R a elipsy Napište souřadnice společných bodů přímky p : x y + 5 = 0 a paraboly y = x Kružnice k je dána středem [ ] S a tečnou m : x y 6 = 0 Napište souřadnice bodu dotyku kružnice k a tečny m Dále napište středovou rovnici kružnice k

4 6 Elipsa je dána středem S [ ] ohniskem [ 0] F a velikostí vedlejší poloosy b = a) Napište obecnou rovnici elipsy ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření b) Napište obecné rovnice tečen elipsy v jejích průsečících se souřadnicovými osami 7 Hyperbola je dána středem S [ ] ohniskem [ ] F a velikostí hlavní poloosy a = Napište obecnou rovnici hyperboly ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření Dále napište souřadnice vrcholů a obecné rovnice asymptot hyperboly 8 Parabola je dána vrcholem V [ ] a ohniskem [ 0] F Napište obecné rovnice tečny a normály v průsečíku paraboly s osou y 9 Hyperbola je dána ohnisky F [ ] a [ ] F a velikostí vedlejší poloosy b = Napište obecnou rovnici hyperboly ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření 0 Napište obecnou rovnici ve vrcholovém tvaru a parametrické vyjádření paraboly s vrcholem V [ ] a řídící přímkou x = Dále napište a) souřadnice ohniska a obecnou rovnici osy paraboly b) souřadnice průsečíku P paraboly s osou x c) obecnou rovnici tečny paraboly v bodě P Křivky k t = t t t t t Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou y c) parametrické rovnice tečen a normál ve všech výše uvedených bodech Je dána křivka ) [ ln ] 0 ) Je dána křivka k t) = [ t t 8t t t ] t R Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s nárysnou ν x b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s bokorysnou µ y c) rovnice tečen a obecné rovnice normálových rovin ve všech výše uvedených bodech Je dána křivka k t) = [ t 5t t + ] t R Napište souřadnice průsečíků křivky k s rovinou α : x y + z + 5 = 0 Dále napište rovnice tečen křivky a obecné rovnice normálových rovin křivky v těchto průsečících Je dána křivka k t) = [ cos t sin t] t < 0 > Napište souřadnice průsečíků křivky k s přímkou y = x Dále napište obecné rovnice tečen a normál křivky v těchto průsečících k t = t t t t Napište souřadnice průsečíků křivky k s půdorysnou x Dále napište rovnice tečen křivky a obecné rovnice normálových rovin křivky v těchto průsečících 5 Je dána křivka ) [ sin ) cos ) cos ] < >

5 6 Je dána křivka t) = [ tgt) cos t] t ) k a) Určete asymptoty křivky a napište jejich obecné rovnice b) Napište parametrické rovnice tečen v bodech A = k 6 ) a B = k ) t 7 Je dána křivka k t) = [ t ln t ) ] t R {0} t + t + a) Určete asymptoty křivky a napište jejich rovnice b) Určete průsečíky křivky s nárysnou ν x a napište rovnice tečen v těchto průsečících c) Pokud tyto tečny určují rovinu α napište její rovnici d) Určete průsečíky křivky s rovinou α 8 Je dána křivka k t) [ + cost + cost) sin t ] t < 0 > = a) Určete souřadnice singulárních bodů křivky b) Napište obecnou rovnici tečny l v bodě křivky jehož x ová souřadnice je 9 Je dána křivka t) = [ln t) t ln t t t ln t ] t 00) k Napište obecnou rovnici roviny která je určena singulárním bodem křivky a tečnou křivky v jejím průsečíku s nárysnou ν x k t = a t t a t t < > a > Napište a) souřadnice singulárních bodů křivky b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x c) obecné rovnice tečen křivky v bodech z b) 50 Je dána cykloida ) [ sin ) cos ) ] 0 0 t t t 5 Je dána křivka k t) = [ ] t R t + t + t + a) Zjistěte zda má křivka asymptoty Pokud ano popište je b) Napište souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s bokorysnou µ y k a) Zjistěte zda má křivka asymptoty Pokud ano napište jejich obecné rovnice b) Napište obecné rovnice tečen křivky v bodech k ) a k ) 5 Je dána křivka t) = [ cotgt sin t] t 0 ) c) Jsou-li tečny z b) různoběžné zjistěte zda jejich průsečík je bodem dané křivky 5 Je dána křivka k t) = [ cost sin t t ] t < 0 > Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s nárysnou ν x b) rovnice tečen křivky v bodech z a) c) souřadnice průsečíků tečen z b) s půdorysnou x d) rovnice přímky procházející průsečíky z c) t 5 Je dána křivka k t) = [ t + t + t t t ] t R Napište 6 a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou y b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x c) popište tečny z a) i b)

6 55 Je dána křivka k t) = [ t t t ) ] t < > Napište a) souřadnice průsečíků křivky s osami x a y b) obecnou rovnici přímky která spojuje body křivky na osách x a y ; vyberte body které jsou nejblíže počátku soustavy souřadnic cost sin t cost 7 56 Je dána křivka k t) = t < > + sin t + sin t a) Napište souřadnice všech průsečíků křivky s osou x b) Napište obecné rovnice tečen v bodech křivky z a) 57 Je dána křivka t) = [ t 8t ln t ] t 0 ) k Napište souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s rovinou A B C) C 00 α kde A [ ] B [ ] [ ] 58 Je dána křivka t) = [ sin t sin t tgt ] t ) k a) Napište souřadnice singulárních bodů křivky b) Určete tečny křivky v průsečících křivky s přímkou x = Jsou-li tečny různoběžné napište souřadnice jejich průsečíků 59 Je dána křivka k t) [ sint) cost) cost ] t < 0 > = Napište souřadnice vektoru který je kolmý k rovině určené tečnami křivky v bodě A 00 [ ] 60 Je dána křivka t) [ cost cost) sin t cost) ] t < 0 > k = a) Napište souřadnice průsečíků křivky a přímky x = y b) Napište obecné rovnice tečen a normál v bodech z a) t 6 Je dána křivka k t) = [ t t e ] t R a) Napište obecnou rovnici normálové roviny α křivky k v jejím průsečíku s osou z b) Popište průsečnici roviny α s půdorysnou x 6 Osa šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 Napište parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) a) pravotočivé šroubovice bodu A [ 0 5] b) levotočivé šroubovice bodu A [ 0 5] Bod A nechť je krajním bodem závitu 6 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x výška závitu v = 6 Napište a) parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) šroubovice k bodu A [ 0] b) obecné rovnice normálových rovin šroubovice k v bodech k ) a k ) c) souřadnice průsečíku Q šroubovice k s bokorysnou µ y

7 6 Je dána šroubovice k t) = [ cost sin t t ] t R Napište souřadnice A = s půdorysnou x průsečíku Q tečny l šroubovice v bodě k ) 65 Je dána křivka k t) = [ t + t t t t ] t R Napište a) rovnice tečny křivky v bodě A = k ) b) obecnou rovnici normálové roviny křivky k v bodě A 66 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z redukovaná výška závitu je v = 0 Napište parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) šroubovice bodu A [ 6 ] bod A nechť je krajním bodem závitu Dále napište rovnice tečny a obecnou rovnici normálové roviny v prostředním bodě B popsaného závitu šroubovice Plochy kvadratické 67 Určete jaká plocha je popsána rovnicí napište přesný název ploch a) x + y + z 6x + 8y + z + 0 = 0 b) 9x + 6y + z 8x y + 7 = 0 c) y + y 8z + = 0 d) 9x + 6y z 9 = 0 e) x + y x 8z + 7 = 0 f) x + y + 0x = 0 g) x + y + z 8x + y 6z + 7 = 0 h) + y 9z x = i) x y = z j) 9x y z + 90x 6y 6z 7 = 0 k) x y z x 6z 9 = 0 l) y z = 0 m) x y + x + y = 0 68 Určete jaká plocha je popsána rovnicí napište přesný název ploch Napište parametrické vyjádření křivek plochy v zadaných rovinách napište názvy těchto křivek a) x y + z + 8x y + 8z = 0 α : x = β : y = 0 γ : z = b) 9x + y z 6x y 8z + = 0 α : y = β : z = c) x y x 6y z 5 = 0 α : y = β : z = 0 d) 6x + 9y 6y 08 = 0 α : x = 0 β : z = e) 5x + 50x z + = 0 α : y = 0 β : x = f) 9x + y + 90x y 6z + = 0 α : x = 5 β : z = g) y x y + 0 = 0 α : z = 5 β : x = γ : x = h) 9x + 6y + z 5x + 6y 6z + 7 = 0 α : y = β : z =

8 Plochy 69 Je dána plocha p t Napište obecné rovnice tečných rovin plochy v zadaných bodech a) p t = [ t t t s] t R A 00 b) p t = [ t cos s t ) t sin s] t s R [ ] R s < 0 > A = p 0 0) B = p 8 ) t s c) p t = t + ts s + st t s t < > s < > 000 B 00 A [ ] [ ] p t s = t t s t s t B = p 6 ) d) ) [ ) sin cos ] e) p t s = [ s t s] t s ) ) ) ) t 9 s s t + t cos s )cos s+ t cos )sin s t sin R s < 0 > A = p 0 0) s R [ 008 ] R f) p = [ ] t A R s < 0 > A = p ) p t = scosht cosht + ssinht st t R A 0 B = p 0 0) g) [ ] h) p t = [ t t s + 5 t + ) s + ) ] t B = p ) s R [ ] R s R A = p 0) x ) y z + ) 70 Trojosý elipsoid + + = má parametrické vyjádření 9 p t = [ + cost cos s cost sin s + sint] t < > < 0 > s 0 B = p 0 6 A a ) dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech [ ] x + ) y ) z + ) 7 Rotační jednodílný hyperboloid + = má parametrické 6 vyjádření p t = [ + cosht cos s+ cosht sin s + sinht] t R s < 0 > Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech A [ ] a B = p 0 ) dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech 6 7 Je dána kulová plocha κ : x ) + y + z + ) = 6 Dále je dána rovina α : x + y + z + 5 = 0 Označte A a B průsečíky zadané plochy s přímkou q která prochází středem plochy a je kolmá k rovině α Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech A a B dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech 7 Eliptický konoid viz příklad 85) má parametrické vyjádření p t = [7 + 7cost 5 5sin t 7 + 7cost) s] t < > s < 0 > 7 Napište obecnou rovnici tečné roviny plochy v bodě A [ 7 5 ] a popište příslušnou normálovou přímku v tomto bodě

9 Plochy rotační Rotační plocha je určena osou rotace o a křivkou k křivka k neleží v rovině kolmé k ose o ) Každý bod křivky k se při rotaci pohybuje po tzv rovnoběžkové kružnici která leží v rovině kolmé k ose o její střed leží na ose o Doporučený postup pro získání parametrického popisu rotační plochy p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme parametrické vyjádření rovnoběžkové kružnice m bodu K m s J měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu m zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J 7 Napište parametrické vyjádření rotační plochy p t která vznikne rotací zadané křivky k kolem osy rotace o : a) k je přímka určená body P [ 00 ] a Q [ 50 ] osa rotace je souřadnicová osa y b) k je úsečka s krajními body B [ 0 ] a C [ 05 ] osa rotace je souřadnicová osa z c) k je elipsa x + y = 9 v půdorysně x y ) osa rotace je souřadnicová osa x d) k je elipsa x + y = 9 v půdorysně x y ) osa rotace je souřadnicová osa y e) k je hyperbola x z = 5 6 v nárysně ν x z ) osa rotace je souřadnicová osa x f) k je hyperbola x z = 5 6 v nárysně ν x z ) osa rotace je souřadnicová osa z g) k je přímka y = 5 x x R ) v půdorysně x osa rotace je souřadnicová osa y h) k je část paraboly z = x z < 0 8 > ) v nárysně ν x osa rotace je souřadnicová osa z i) v půdorysně x je dána elipsa bod S [ 0 ] je její střed hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = 8 velikost vedlejší poloosy je b = 6 křivka k je část elipsy před bokorysnou x ové souřadnice bodů jsou nezáporné) osa rotace je souřadnicová osa y j) k je úsečka s krajními body B [ 00 ] a V [ 5 ] osa rotace je osa o V o o

10 Plochy šroubové Šroubová plocha je určena šroubovým pohybem s osou o a výškou v a křivkou k křivka k neleží na jedné rotační válcové ploše s osou rotace o ) Každý bod křivky k se při šroubování pohybuje po šroubovici všechny tyto šroubovice mají stejnou osu o stejný smysl a stejnou výšku závitu v Doporučený postup pro získání parametrického popisu šroubové plochy p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme parametrické vyjádření šroubovice l bodu K l s J měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu l zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J 75 Napište parametrické vyjádření šroubové plochy p t která vznikne šroubovým pohybem zadané křivky k : y ) z ) a) k je elipsa + = v bokorysně µ y osa pravotočivého 9 šroubového pohybu je souřadnicová osa y výška závitu je v = y ) z ) b) k je elipsa + = v bokorysně µ y osa levotočivého 9 šroubového pohybu je souřadnicová osa y výška závitu je v = c) k je část paraboly z = x ) x < > ) v rovině α : y = 5 osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 0 d) k je část paraboly z = x ) x < > ) v rovině α : y = 5 osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 0 e) k je kružnice x ) + z = v nárysně ν x osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 f) v půdorysně x S 0 je její střed poloměr je r = uvažujte část kružnice body této části kružnice mají nezáporné y ové souřadnice osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z výška závitu je v = 0 g) k je parabola v nárysně x V 00 je její vrchol osa paraboly je je dána kružnice bod [ ] ν bod [ ] rovnoběžná s osou x bod P [ 00 ] je bodem paraboly uvažujte část paraboly mezi body P a Q[ 08 ] osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x redukovaná výška závitu je v = 0 popište jeden závit šroubové plochy

11 76 Osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ 50 ] P Napište souřadnice průsečíku Q tečny šroubovice v bodě P s nárysnou x ν 77 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ 00 ] P 78 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ ] P Konoidy Konoidy jsou přímkové plochy určené třemi řídícími křivkami: a) řídící křivka k b) řídící přímka l c) řídící nevlastní přímka m která je určena řídící rovinou ϕ Tvořící přímky konoidu protínají všechny řídící křivky tj protínají křivku k a přímku l a jsou rovnoběžné s řídící rovinou ϕ Doporučený postup pro získání parametrického popisu konoidu p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I napíšeme parametrické vyjádření přímky l l u) u R napíšeme obecnou rovnici řídící roviny ϕ obvykle vedenou bodem O [ ]) ϕ : ax + by + cz = 0 zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme obecnou rovnici roviny α která prochází bodem K a je rovnoběžná s řídící rovinou ϕ α : K α α ϕ ax + by + cz + d = 0 d určíme dosazením souřadnic bodu K ) napíšeme souřadnice průsečíku L přímky l s rovinou α L = l α 5 napíšeme parametrické vyjádření přímky q určené body K a L q = KL q s R s J pro úsečku KL ) 6 měníme bod K křivky k zároveň se mění bod L přímky l ) uvolníme fixované t 0 v popisu q zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J

12 79 V nárysně ν x je dána kružnice x 6) + z = 6 uvažujte půlkružnici nad půdorysnou body této půlkružnice mají nezáporné z ové souřadnice) Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná půlkružnice b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 890 ] Q [ 098 ] c) řídící rovinaϕ je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření konoidu 80 V rovině α rovnoběžné s nárysnou x S 070 a poloměru r = uvažujte půlkružnici nad půdorysnou body této půlkružnice mají nezáporné z ové souřadnice) Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná půlkružnice b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 500 ] Q [ 005 ] c) řídící rovinaϕ je půdorysna x Napište parametrické vyjádření konoidu ν je dána kružnice o středu [ ] 8 V nárysně ν x je dána hyperbola z 6) x = uvažujte větev hyperboly 9 nad půdorysnou body této větve mají nezáporné z ové souřadnice) Hyperbolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná větev hyperboly b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 060 ] Q [ 66 ] c) řídící rovinaϕ je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření konoidu 8 V půdorysně x je dána kružnice x ) + y ) = Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná kružnice b) řídící přímka l prochází bodem P [ 00 ] a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je rovina ϕ : y + z = 0 Napište parametrické vyjádření konoidu 8 V bokorysně y V 080 je vrchol bod F [ 08 ] je ohnisko paraboly Parabolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná parabola b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 5 ] Q [ 007 ] c) řídící rovinaϕ je nárysna ν x Napište parametrické vyjádření konoidu µ je dána parabola bod [ ] 8 Speciální konoid hyperbolický paraboloid) je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka je přímka k = AB A [ 005 ] B [ 050 ] b) řídící přímka je přímka l = CD C [ 500 ] D [ 55 ] c) řídící rovinaϕ je nárysna ν x Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi přímkami k a l

13 85 V půdorysně x S 700 je střed hlavní osa je osa x velikost hlavní poloosy je a = 7 velikost vedlejší poloosy je b = 5 Uvažujte polovinu elipsy za nárysnou body této části mají záporné a nulové y ové souřadnice) Eliptický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná polovina elipsy b) řídící přímka je přímka l = OP O [ 000 ] P [ 0] c) řídící rovina je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi půlelipsou a přímkou l je dána elipsa bod [ ] 86 V půdorysně x 50 A 00 je hlavní vrchol bod C [ 050 ] je vedlejší vrchol Eliptický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná elipsa b) řídící přímka l prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je rovina ϕ : y + z = 0 Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi elipsou k a přímkou l je dána elipsa bod S [ ] je střed bod [ ] 87 V nárysně x V 60 je vrchol osa je rovnoběžná s osou x bod O [ 000 ] je bodem paraboly Uvažujte část paraboly před bokorysnou body této části mají nezáporné x ové souřadnice) Parabolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná část paraboly b) řídící přímka l prochází bodem P [ 060 ] a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je půdorysna x Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi křivkou k a přímkou l ν je dána parabola bod [ ] 88 Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem ABCD A [ 006 ] B [ 070 ] C [ 57 ] D [ 500 ] Napište parametrické vyjádření části hyperbolického paraboloidu která je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem ABCD Plochy přímkové obecné) Obecné přímkové plochy jsou určeny třemi řídícími křivkami k l a m Tvořící přímky plochy protínají všechny tři zadané křivky Speciálním případem těchto ploch jsou konoidy dvě ze zadaných křivek jsou přímky jedna vlastní a jedna nevlastní určená řídící rovinou) 89 Štramberská trúba je určena těmito řídícími křivkami: a) řídící křivka k je kružnice x + y = 6 v půdorysně x b) řídící přímka l prochází bodem P [ 007 ] a je rovnoběžná s osou x c) řídící přímka m prochází bodem [ 00 ] M a je rovnoběžná s osou y Tvořící přímky této plochy protínají všechny tři řídící křivky k l a m Napište parametrické vyjádření části této plochy mezi kružnicí k a přímkou m

14 Plochy translační Translační plochy vznikají posunem translací) jedné řídící křivky k po druhé řídící křivce l tyto dvě křivky mají společný bod P Stejnou plochu získáme translací křivky l po křivce k Na ploše jsou dva systémy křivek křivky jednoho systému jsou shodné s křivkou k křivky druhého systému jsou shodné s křivkou l Doporučený postup pro získání parametrického popisu translační plochy p : napíšeme parametrické vyjádření řídící křivky k k t) t I napíšeme parametrické vyjádření řídící křivky l l s J zvolíme libovolný bod K na křivce k zvolíme libovolný bod L na křivce l t 0 je libovolné ale v dalším kroku s 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) pevně fixované číslo z J ) K = k t 0 ) L = l s 0 ) přesuneme křivku l do bodu K přesuneme křivku k do bodu L q = l + K P) s J q t) = k t) + L P) t I měníme bod K křivky k měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu q uvolníme fixované s 0 v popisu q zaměníme t 0 t ) zaměníme s 0 s ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p : p t t I s J Pozn: Je-li místo jedné řídící křivky zadána pomocná křivka m můžeme s jejím využitím buď popsat chybějící řídící křivku nebo vytvořit potřebný vektor posunutí 90 Popište parametricky část roviny rovnoběžník) kterou lze vytvořit posunutím translací) úsečky k t) = [ t + t + t] t < 0 > po úsečce l = [ + s s + s] s < 5 > Napište obecnou rovnici roviny ve které rovnoběžník leží Pozn: Stejný rovnoběžník vznikne translací úsečky l po úsečce k x ) y + ) 9 V rovině z = 0 je dána hyperbola = Uvažujte část 9 hyperboly body této části mají záporné nebo nulové x ové souřadnice Napište parametrické vyjádření translační plochy která vznikne translací vybrané části hyperboly po přímce l = [5s 6s0 + s] s R Translační plocha je část kvadratické plochy napište název této kvadratické plochy 9 Část kruho-parabolické translační plochy je určena řídícími křivkami: a) půlkružnice k : x 5) + y = 5 v rovině z = y ové souřadnice bodů půlkružnice jsou nezáporné b) část paraboly l : y + ) = z v rovině x = 0 body této části mají z ové souřadnice menší nebo rovny Plocha vznikne translací půlkružnice po parabole nebo translací paraboly po půlkružnici Napište parametrické vyjádření části plochy

15 9 Napište parametrické vyjádření části parabolicko-hyperbolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) část paraboly k : x + ) = z v rovině y = 0 body této části mají z ové souřadnice menší nebo rovny z ) y b) jedna větev l hyperboly 9 = v rovině x = body vybrané větve mají z ové souřadnice větší než 9 Napište parametrické vyjádření části kruho-parabolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) část paraboly k : x + ) = y v rovině z = body této části mají y ové souřadnice menší nebo rovny 8 b) půlkružnice l : x ) + z = 5 v rovině y = z ové souřadnice bodů půlkružnice jsou nezáporné 95 Napište parametrické vyjádření hyperbolicko-eliptické translační plochy jejíž řídící křivky jsou jedna větev hyperboly k a polovina elipsy l x ) z ) Elipsa l leží v rovině v rovině y = 0 a má rovnici + = pro 9 body poloviny elipsy jsou z ové souřadnice větší nebo rovny Při translaci elipsy l po větvi hyperboly k se střed elipsy pohybuje po větvi x ) y hyperboly m : = v rovině z = x ové souřadnice bodů větve 6 jsou menší než ) Pozn: Větev hyperboly m neleží na translační ploše 96 Napište parametrické vyjádření parabolicko-eliptické translační plochy jejíž řídící křivky jsou část paraboly l a polovina elipsy k Parabola l leží v rovině z = 0 a má rovnici x = uvažujte část paraboly pro body této části jsou y ové souřadnice nezáporné Při translaci paraboly l po polovině elipsy k se ohnisko paraboly pohybuje po polovině elipsy m : y + z = v rovině x = 0 z ové souřadnice bodů jsou 9 nezáporné) Napište parametrické vyjádření části translační plochy Pozn: Polovina elipsy m neleží na translační ploše 97 Napište parametrické vyjádření kruho-hyperbolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) kružnice k : x 7) + z 7) = v rovině y = x ) y ) b) jedna větev l : hyperboly = 5 v rovině z = 7 98 Napište parametrické vyjádření kruho-eliptické translační plochy určené řídícími křivkami: a) kružnice k : x ) + z = v rovině y = b) elipsa l : x ) + y + = 9 v rovině z =

16 99 Napište parametrické vyjádření části translační plochy která je určena řídícími křivkami: a) část cykloidy k t) = [ t sin t cost 0] t < 0 > b) polovina elipsy l : y + z = 9 v rovině x = z ové souřadnice bodů jsou nezáporné) 00 Napište parametrické vyjádření části translační plochy která je určena řídícími křivkami: a) část asteroidy k t) = [cost) sin t) 0] t < 0 > b) část paraboly l : z = x x < 0 > ) v rovině y = 0 Napište parametrické vyjádření hyperbolicko-parabolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou jedna větev hyperboly k a parabola l Hyperbola k leží v půdorysně x bod S [ 0 ] je její střed její hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = velikost vedlejší poloosy je b = Uvažujte větev hyperboly která neprotíná osu y Parabola l leží v nárysně ν x její vrchol V je průsečík vybrané větve hyperboly s osou x Řídící přímka paraboly je přímka d : d u) = [ u 0 ] u R 0 Napište parametrické vyjádření elipticko-parabolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou část paraboly k a elipsa l Parabola k leží v půdorysně x bod V [ 60 ] je její vrchol bod F [ 60 ] je její ohnisko Uvažujte část paraboly mezi jejím průsečíkem P s osou y a bodem Q který je souměrný k bodu P podle osy paraboly Elipsa l leží v rovině α : x = 6 bod [ 66 ] C 666 je její vedlejší vrchol S je její střed bod [ ] 0 Napište parametrické vyjádření translační plochy jejíž řídící křivky jsou elipsa l a závity šroubovice k Elipsa l leží v rovině rovnoběžné s bokorysnou µ y bod S [ 80 ] je její střed bod A [ 50 ] je její hlavní vrchol velikost vedlejší poloosy je b = Osa pravotočivé šroubovice k bodu A je osa z redukovaná výška závitu v = 0 Uvažujte závity nad půdorysnou x bod A je jeden krajní bod 0 Napište parametrické vyjádření kruho-hyperbolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou kružnice l a jedna větev hyperboly k Hyperbola k leží v rovině α : z = 5 bod S [ 5 ] je její střed hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = velikost vedlejší poloosy je b = Uvažujte tu větev hyperboly která neprotíná bokorysnu µ y Kružnice l leží v nárysně ν x a její průměr je úsečka spojující průsečíky hyperboly k s nárysnou ν x

17 Výsledky: Analytická geometrie přímky roviny a) x + y 7 = 0 b) x y = 0 c) x y 8 = 0 d) x y = 0 a) x + y 7 = 0 b) x y = 0 a) přímky p a a jsou různoběžné společný bod je bod P [ ] b) přímky p a b jsou rovnoběžné a rúzné c) přímky p a c jsou totožné a) přímky p a a jsou různoběžné společný bod je bod P [ ] b) přímky p a b jsou rovnoběžné a rúzné c) přímky p a c jsou totožné 5 α : x + y + 7z + 9 = 0 6 a) O [ 000] α rovinaα prochází počátkem soustavy souřadnic b) β x β z rovina β je rovnoběžná s půdorysnou tj je kolmá k ose z c) γ x O [ 00 0] γ rovinaγ je kolmá k půdorysně a prochází počátkem d) δ z δ x rovinaδ je rovnoběžná s osou z tj je kolmá k půdorysně e) ε ν x ε y rovinaε je rovnoběžná s nárysnou tj je kolmá k ose y f) rovina ζ protíná osy x y a z postupně v bodech X [ k 00] Y [ 0 k0] a Z [ 0 0 k] tj vytíná na osách stejné úseky vzhledem k počátku) 7 l t) = [ t + t + t] t R a) C l D l 6 5 b) Q [ 0 ] 8 a) p t) = [ t + t + 6t] t R b) t < 0 ) c) t < 0 > 9 l t) = [ 9t 5t + t] t R 0 Q [ 9 ] 9 x + 7y + z 8 = 0 x + y + z + = 0 x + y + z 7 = 0 0 Plošný obsah trojúhelníka je 5 velikost výšky v c je 5 β : 6x 7y + 6z 9 = 0 6 α : x y z = 0 7 Přímka k leží v roviněα 8 α : x 7y 9z + 0 = 0 9 Přímka k je rovnoběžná s rovinou β α : x + y z + = 0 0 a) 5 y + 7z = 0 b) z = 5 c) y = 7 Průsečnice rovin α a β je přímka p t) = [9t 5t + t] t R α : 9x + 7y + z 8 = 0 x + y + z 7 = 0 m = 5 a = 6 b = Q [ ]

18 Kuželosečky ) + y+ 9 x elipsa: [ 5 ] 5) 6 a) = b = o h : y = : x = 5 S F [ 5 5 ] [ ] F a = o v t) [ 5 + cost + sin t ] t < 0 > x ) ) y+ = hyperbola: S [ ] F [ ] F [ 8 ] a = b) 6 9 k = : x y 7 = b = o h : y = o v : x = a 0 a : x + y 0 c) 5 d) 0 e) 0 f) 0 y ) g) x = 9 = k t) = [ ± cosht + sinh t ] t R x ) + y + ) = kružnice: S [ ] r = 5 k t) = [ + 5cost + 5sin t ] t < 0 > x + ) y + ) = různoběžné přímky průsečík je P [ ] l : x y + = 0 l t) = [ + t + t ] t R m : x + y + = 0 m t) = [ + t t ] t R x ) y + ) = různoběžné přímky průsečík je P [ ] l : x y 5 = 0 l t) = [ + t + t ] t R m : x + y + = 0 m t) = [ + t t ] t R x + ) + y ) = jeden bod P [ ] hyperbola: [ 0] S F [ ] [ ] F a = + b = o h : x = 0 o v : y = a : x + y 0 a : x y + 0 = t) = [ sinh t ± cosht ] t R y ) = 0 x parabola: V [ ] [ 7] k h) ) [ + + t ] t k t) = t R 0 + ) = y + : 5 y = t) t t 8 i) ) = x parabola: V [ ] [ ] d k = [ ] t R j) x + y + ) = prázdná množina x+ ) ) + y = x ) ) + y = x+ ) ) y+ 5 9 = x 0 = y 9 6 a) y + 5) = 8 x ) b) x ) = y + 5) c) y + ) = x ) d) x ) = y ) x ) = y F p = 0 o : y = d : x = F = 8 p o : x = Přímka p je sečnou zadané elipsy společné body jsou P [ ] a [ ] Přímka p je tečnou zadané paraboly bod dotyku je T [ ] 5 Bod dotyku je bod T [ 6 ] x ) + y + ) = 5 ) 8 ) + y 6 a) = x t) = [ + cost + sin t ] t < 0 > b) ) [ 0 N = k = + p N : x y + + = 0 ) [ 0 ] 5 M = k = p M : x + y + = 0 = k ) = [ 0] C p C : y = 0 k Q

19 Křivky + ) x y [ ] ) 7 = k t) = + sinh t ± cosh t t R A [ 0] B[ 6] 9 6 asymptoty: x y 8 = 0 x + y + 6 = 0 t x k t) = [ t + + ] t 8 ) = 8 y ) 8 + y = 8 tečna: x y + 7 = 0 normála: x 0 6) 9 8 x ) 6 9 = y k t) = [ + sinh t 6 ± cosh t ] t R 0 t + ) = x ) k t) = t t a) F [ ] o : y = 7 b) P = k ) = [ 0] y [ ] c) x + y 7 = 0 R 7 R = k ) = [ 0 ] A a) A = k ) = [ ] b) B = k ) = [ ln ] c) tečna v bodě A : l A = [ s ] s R normála v bodě A : n A u) = [ u] u R tečna v bodě B : l B = [ s] s R normála v bodě B : n B u) = [ u ln ] u R a) A = k ) = [0 8 ] u r A = k ) = 0 9) b) B = k 0) = [ 0 0] u r B = k 0) = 0 8 ) c) tečna v bodě A : l = [ s 8 9s] s R normálová rovina v bodě A : x + 9z + 8 = 0 tečna v bodě B : m = [ 8s s] s R normálová rovina v bodě B : 8y + z = 0 A = k 0) = [ 0 ] u r = A k 0) = 0 0) tečna v bodě A : l = [ 0 + s] s R normálová rovina v bodě A : z = B = k ) = [ 5 ] u r = k B ) = 0) tečna v bodě B : m = [ + s 5 + 0s + s] s R normálová rovina v bodě B : x + 0y + z 6 = 0 A = k ) [ ] tečna v bodě A : x + y 6 = 0 normála v bodě = A : y = x B = k ) = [ ] tečna v bodě B : x + y + 6 = 0 normála v bodě B: y = x 5 A = k ) = [ 0] tečna v bodě A l = [ + s + s s] s R : normálová rovina v bodě A : x + y + z + = 0 B = k ) = [ 0] tečna v bodě B m = [ s + s s] s R : normálová rovina v bodě B : x y z = 0 6 a) y = pro t + i pro t ) b) l = [ + 8s s ] s R m = [ + 8s + s ] s R 7 a) asymptota je přímka l = [0 s] s R pro t i pro t + ) b) průsečíky jsou P = k ) = [ 0 ] Q = k ) = [ 0 ] tečna v bodě P je přímka p = [ s s + s] s R u) [ + u u tečna v bodě Q je přímka q = u] u R c) α : x + z = 0 d) křivka k leží v rovině α 8 a) singulární bod je k ) = [0 0] b) k 0) = k ) = [ 0] tečna l : x = 9 Singulární bod je k ) = [0 ] α : e e + ) x + e) y + e) z + = 0 8

20 50 a) k 0) = [0 0] k ) = [a 0] k ) = [a 0] b) [ a a] [a a] c) y = a 5 a) neexistuje b) k ) = [] k ) = [ ] 5 a) y = 0 b) x + y = 0 x y + = 0 c) P = k ) = [0 ] 5 a) P = k ) = [0 ] Q = k ) = [0 ] b) tečna v bodě P je přímka p = [ s + s] s R tečna v bodě Q je přímka q u) = [u + u] u R c) p = 0] 9 q = 0] [ v) [ + [ d) m = v + v 0] v R 5 a) A = k ) = [ 0 6] b) bod na křivce neexistuje c) tečna v bodě A : l = [ 0 + s6] s R 55 a) průsečíky s osou x : A = k 0) = [ 0] B = k) = [ 0] C = k ) = [ 0] průsečíky s osou y : D = k ) = [0 6] b) p = BD : x + y 6 = 0 56 a) P = [ 0] Q = [ 0] R = S = [0 0] b) t : x = t : x = t : x y = 0 t : x + y = 0 P Q R S 57 k ) = [9 6 ln ] k) = [ 80] 58 a) S = [0 0] b) [ 0] 59 n r = 0 0) 60 a) A = k ) = [ ] 5 B = k ) = [ ] b) tečna v bodě A je + ) x ) y = 0 normála v bodě A je ) x + + ) y = 0 tečna v bodě B je ) x + ) y = 0 normála v bodě B je + ) x + ) y + = 0 6 a) x + z = 0 b) l = [ s 0] s R 6 a) k t) = [ 5sin t + t 5cost] t < 0 > b) k t) = [ + 5sin t + t 5cost] t < 0 > 6 a) k t) = [ + t sin t cost] t < 0 > x z + 9 = x + y = 0 b) 0 c) [ 00 ] 6 l = [ s s] s R A = k ) [ 0 = ] = [ 0] 65 A = [ 0] a) p = [ s s] s R b) y z 9 = 0 66 k t) = [ 6cost + sin t cost + 6sin t + t] t < 0 > B = k ) = [ 6 + ] tečna v bodě B je p = [ 6 + s + s + s] s R normálová rovina je α : x + y z + + = 0 Q

21 Plochy kvadratické 67 a) ) + y + ) + z + ) = 6 S poloměr r = x ) y ) z b) + + = trojosý elipsoid střed S [ 0 ] 9 c) y + ) = 8 z ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou x z d) x + y = jednodílný eliptický hyperboloid střed S [ 000 ] velikosti 9 poloos x kulová plocha střed [ ] x rotační paraboloid vrchol V [ 0 ] e) ) + y = 8 z ) o = [ 0 s] s R osa rotace f) x + 5) + y = 9 rotační válcová plocha osa rotace o = [ 5 0 s] s R g) x ) + y + ) + z ) = 0 jeden bod [ ] h) x + y 9z = 0 nerotační kuželová plocha vrchol V [ 000 ] i) hyperbolický paraboloid sedlový bod [ 0 00 ] j) 9 x + 5) y + ) z + 8) = 0 rotační kuželová plocha vrchol V 5 8 osa rotace o = [ s 8] s R [ ] x ) k) y z + ) = 0 osa rotace o = [ s 0 ] s R l) y y + = 0 dvě různoběžné roviny jejich průsečnice je osa x [ s 0 0]s R S dvoudílný rotační hyperboloid střed [ ] m) x + ) y ) = 0 dvě různoběžné roviny x + y = 0 x y + = 0 průsečnice je přímka rovnoběžná s osou z l = [ s] s R x + ) y + ) z + ) 68 a) + = rotační jednodílný hyperboloid v rovině α je hyperbola + 7sinht ± cosht] t R [ 5 v rovině β je kružnice + 5 cost 0 + sint] t < 0 > v rovině γ je hyperbola [ [ ± cosh + 7 t 7sinht ] t R x ) y ) z + ) b) + = jednodílný eliptický hyperboloid 9 9 v rovině α je hyperbola [ ± cosht + sinht] t R v rovině β je elipsa [ + cost + sint ] t < 0 > c) x ) y + ) = z + ) hyperbolický paraboloid v rovině α je parabola [ 6 t + t ] t R v rovině β je hyperbola [ ± cosht + sinht 0] t R d) x ) + y = eliptická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné 9 6 s osou z v rovině α jsou dvě přímky [ 0 6 t]t R [ 0 s] s R v rovině β je elipsa [ cost + sint ] t < 0 >

22 e) 5 x + ) = z ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou y 5t v rovině α je parabola [ + t 0 + ] t R v rovině β je přímka [ t 7] t R f) 9 x + 5) + y ) = 6 z ) eliptický paraboloid t v rovině α je parabola [ 5 + t + ] t R 9 v rovině β je elipsa [ 5 + cost + sint ] t < 0 > g) y ) = x + ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou z v rovině α je parabola [ t + t 5 ] t R v rovině β je přímka [ t] t R v rovině γ jsou dvě přímky [ + t] t R [ s] s R x ) y + ) z ) h) + + = trojosý elipsoid v rovině α je bod [ ] v rovině β je elipsa [ + cost + sint ] t < 0 > Plochy 69 a) A = p ) = p ) v bodě A jsou tečné roviny τ : x y = 0 σ : x + y = 0 b) tečná rovina v bodě A neexistuje τ : y 8z + 8 = 0 B c) A [ 0 0 0] = p0 0) B [ 0 0 ] = p 0) = p 0) τ A : z = 0 τ B : x + z = 0 σ B : x z + = 0 d) A [9 0 0] tečná rovina v bodě A neexistuje B [ 9 0 ] τ B : x + z + 7 = 0 e) A [ 0 0 8] = p ) = p ) τ : 8y + z = 0 σ : 8y z + = 0 f) A [ 0] τ : 6x + y + 8 = 0 g) τ A : y z = 0 tečná rovina v bodě B neexistuje h) tečná rovina v bodě A neexistuje τ B : 0x + 5y 5 = 0 70 A 0 ] = p 0) = p ) τ : x + z = 0 l A u) = [ + u 0 + u] u R [ B = p 0 ) = [ + ] τ : x + y 6 = 0 6 l B v) = [ + + v + v ] v R B A 7 A[ ] = p0 ) τ A : y = 0 la u) = [ + u ] u R B = p 0 ) = [ + ] τ : x + y + 5 = 0 6 B l B v) = [ + + v + v ] v R 7 Střed plochy je bod S [ 0 ] q v) = [ + v v + v] v R A[ 5 ] τ A : x + y + z 9 = 0 la u) = [5 + u + u + u] u R B = [ ] τ : x + y + z + 7 = 0 B l B w) = [+ w + w + w] w R A= p ) τ : 5x + y 0z + 5 = 0 l u) = [ 7 + 5u + u 0u] u R

23 Plochy rotační 7 a) p t = [ 5t) + t) sin st 5t) + t) cos s] nebo p t = [5t cos s + t)sin st t)cos s 5t sin s] t R s < 0 > jednodílný hyperboloid b) p t = [ + t)cos s + t)sin s+ t] t < 0 > s < 0 > část rotační kuželové plochy c) p t = [cost sint cos s sin t sin s] t < 0 > s < 0 > zploštělý elipsoid d) p t = [cost cos s sin t cost sin s] t < > < 0 s > protáhlý elipsoid e) p t = [ ± 5cosht sinht cos s sinht sin s] t < 0 ) s < 0 > rotační dvoudílný hyperboloid f) p t = [5cosh t cos s 5cosh t sin s sinh t] t R s < 0 > rotační jednodílný hyperboloid g) p t = [ t cos s 5t t sin s] t R s < 0 > rotační kuželová plocha h) p t = [ t cos s t sin s t ] t < 0 > s < 0 > část rotačního paraboloidu i) p t = [ + 8cost)cos s + 6sint + 8cost)sin s] t < > s < 0 > j) p t = [ + t)cos s + t)sin s 5t] t < 0 > s < 0 > Plochy šroubové 75 a) 6 p t = [ + sint)sin s + cost + s + sint)cos s] t < 0 > s R b) 6 p t = [ + sin t)sin s + cost + s + sint)cos s] t < 0 > s R c) p t = [ + t)cos s + t sin s 5 + 0s t cos s + t)sin s] t < > s R d) p t = [ + t)cos s t sin s 5 + 0s t cos s + + t)sin s] t < > s R e) p t = [ + cost)cos s + sin t sin s s sint cos s + cost)sin s] t < 0 > s R f) p t = [ + cost)cos s + sint)sin s 5 + sin t )cos s + + cost)sin s s] t < > s R t g) p t = [ + s + t)sin s + t)cos s] t < > s < 0 > 76 p t = [ 5cost + 5ssint + t + s 5sint 5scost] t < 0 > s R 0 Q [ 5 0 ] 77 p t = [cost ssin t sin t + scost t + s] t < 0 > s R 78 p t = [ + t + s cost sint sin t + cost) s cost + sint + sin t + cost) s] t < 0 > s R

24 Konoidy 79 p t = [6 + 6cost 9s 6sint + 6cost 6sin t) s] t < 0 > s R 80 p t = [cost + 5 sint cost) s 7 7s sint] t < 0 > s R 8 p t = [6 + sinht 6s cosht + + sinht cosht) s] t R s R 8 p t = [ + cost scost + sin t + sin t) s + sin t) s] t < 0 > s R t 8 p t = [ 5 + t s + t t 8 ) 8 + t + ) s ] t R s R p t = [5s 5t 5 5t + 7t 5) s] t R s < 0 > 85 p t = [7 + 7cost 5sin t 5ssin t 7 + 7cost) s] t < > s < 0 > 86 p t = [ + cost scost 5 + 5sint) 5 + 5sint) s] t < 0 > s < 0 > 87 p t = [ t t 6) s 6s + t] t < > s < 0 > p t = [5t 7s 6 6t + 8t 6) s] t < 0 > s < 0 > nebo p t = [5s 7t 6 6t + 8t 6) s] t < 0 > s < 0 > Plochy přímkové obecné) 89 p t = [cost scost sint 8 ssin t s] t < 0 > < 0 > Plochy translační 7 90 p t = [ t + s + t s + t + s] t < 0 > s < 5 > Rovnoběžník leží v rovině α : 7x + 5y 8z + = 0 9 p t = [ cosht + 5s + sinht 6s0 + s] t R s R Plocha je částí hyperbolické válcové plochy 9 p t = [5 + 5cost 5sint + s + s ] t < 0 > s < > 9 p t = [ + t sinhs t + + coshs] t < > s R 9 p t = [ + t + 5coss + t 5sin s] t < > s < 0 > 95 p t = [ coshs + cost sinhs + sint] t < 0 > s R s t 96 p t = [ t + coss sins] t < > s < 0 > 97 p t = [5 + cosht + coss + 5sinht 7 + sins] t R s < 0 > 98 p t = [cost + coss + sins sint] t < 0 > s < 0 > 99 p t = [ t sint coss cost sins] t < 0 > s < 0 > 00 p t = [ s + cos t sin t s ] t < 0 > s < 0 > 0 p t s = s + + t + t s ) [ cosh sinh ] t R s R 0 s p t = [ s cost sint] t < 0 > s < 6 6 > 0 p t = [cost 5sint + coss + 5cost + sint sin s + t] t < 0 > s < 0 > 0 p t = [ + cosht + coss + sinht 5+ sins] t R s < 0 >