Sada 1 Matematika. 04. Nekonečné řady

Transkript

1 S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 04. Nekonečné řady Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/ Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Mgr. Petr Šíma 2012 Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Co je to nekonečná řada? caused by a road accident, Algarve, Portugal. Photography by: Osvaldo Gago GeoGebra

3

4 Příklad 1: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,... 2, 6, 18, 54, 162,... daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti: (= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a )

5 Příklad 2: a 1, a 2, a 3, a 4,a 5, a 6,... daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada příslušná k této posloupnosti: (= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a )

6 Příklad 3: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,... -1, 5, 11, 17, 23,... daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti: (= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a )

7 Příklad 4: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,... 10, 0, 0, 0, 0,... daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti: (= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a )

8 Příklad 5 vymyslete každý svoji nekonečnou řadu

9 Je vůbec možné sečíst nekonečně mnoho sčítanců? ? 1 (-1) 1 (-1)...? NELZE MOŽNÁ? NELZE

10

11 Vytvoříme posloupnost částečných součtů: s 1 s 2 s 3 s s 5 15,5 s 6 15,75 s 7 15,875

12 Posloupnost částečných součtů: s 1, s 2, s 3, s 4,s 5, s 6,... Existuje-li vlastní limita (reálné číslo) posloupnosti částečných součtů nekonečné řady, nazýváme ji součtem nekonečné řady. reálné číslo součet NŘ tj. součet nekonečné řady se neomezeně blíží nějakému reálnému číslu ten označujeme za hodnotu tohoto součtu.

13 Nekonečná řada má součet 16.

14 Nekonečná řada, která má součet, se nazývá konvergentní. (Existuje vlastní limita její posloupnosti částečných součtů.) Nekonečná řada, která nemá součet, se nazývá divergentní. (Neexistuje vlastní limita její posloupnosti částečných součtů.) Rozhodování o tom, zda je nekonečná řada konvergentní nebo divergentní (tj. zda má nebo nemá součet), je často složité viz. podmínky konvergence např. tzv. nutná podmínka konvergence nekonečné řady: (tj. členy nekonečné řady a n se s rostoucím nhodnotově blíží k nule) Jde o podmínku nutnou ale nikoliv postačující nekonečná řada splňující tuto podmínku nemusí být konvergentní!

15 1. Za jakých podmínek je/není konvergentní NŘ vytvořená z členů AP a GP? 2. Tabulka (MS Excel) částečné součty

16 Nekonečná řada vytvořená z libovolné aritmetické posloupnosti (tzv. nekonečná aritmetická řada) s nenulovou diferencí je divergentní(součet +, - ). Nekonečná řada vytvořená z libovolné geometrické posloupnosti (nekonečná geometrická řada) s kvocientem q, je a) konvergentní pro součet takové řady platí: tzv. podmínka konvergence NGŘ b) divergentní součet + nebo - osciluje

17 Příklad 6: nekonečná geometrická řada splněno tato NGŘ má součet (je konvergentní)

18 Zdroje: obrázky na str. 1: caused by a roadaccident, Algarve, Portugal(Photography by: Osvalso Gago) Kliparty programů Zoner Callisto 5 (freeware) a ActivInspire(licence SŠS Jihlava) GeoGebra(printscreen) Literatura: Doc. RNDr. OLDŘICH ODVÁRKO a kol., Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 6. část, SPN 1987, 2. vydání Doc. RNDr. OLDŘICH ODVÁRKO, DrSc. Posloupnosti a finanční matematika pro pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Prometheus, 2002, 1. vydání (dotisk), ISBN Doc. RNDr. JOSEF POLÁK, Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, 2003, 8. vydání, ISBN Použitý SW: Microsof Office vlastník licence SŠS Jihlava IrfanView(v. 4.33) freeware Zoner Callisto 5 freeware GeoGebra freeware Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Petr Šíma. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na