Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Transkript

1 Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/ Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/ - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

2 Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Nevlastní integrál vlivem funkce VY_3_INOVACE_M0319 Matematika 4. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: Datum ověření ve výuce: Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: prezentace Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy Materiál prezentace je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování

3 Nevlastní integrál vlivem funkce Jaroslav Hajtmar

4 Nevlastní integrály Omezující předpoklady Riemanova integrálu: Integrační obor je konečný uzavřený interval a, b. Integrovaná funkce f () je na tomto intervalu ohraničená. Integrály definované za těchto předpokladů tzv. vlastní integrály. Tato omezení lze jednoduchými úvahami odstranit!

5 Nevlastní integrál neomezené funkce neboli integrál nevlastní vlivem (neomezenosti) funkce nevlastní integrály. druhu. Uvažujme funkci f (), která je definovaná na intervalu a, b), kde a, b R, a < b. Předpokládejme, že je tato funkce spojitá na intervalu a, c) c a, b). (Tedy eistuje určitý integrál f () d, c a zatímco lim f () = ). Pak můžeme definovat funkci F vztahem b F(c) = c a f () d, a c < b Jak se chová veličina F(c), když budeme c libovolně blízko přibližovat zleva bodu b? Zajímá nás, zda hodnota integrálu konverguje k číslu L R (eistuje konečná limita), nebo zda se hodnota nekonečně zvětšuje resp. zmenšuje (limita je nevlastní), případně hodnota limity neeistuje (hodnota osciluje).

6 Integrál jako funkce horní meze y y = f () F (c) a c b b

7 Interpretace obrázku Velikost šedé plochy je funkční hodnota funkce F(c) tj. hodnota integrálu c f () d. Při posouvání meze c b mohou nastat tyto a možnosti: velikost šedé plochy (tj. hodnota tohoto integrálu) se blíží k nějakému konečnému číslu L (tj. eistuje konečná limita funkce F(c)) velikost plochy roste (klesá) nade všecky meze (tj. limita funkce F(c) je nevlastní) hodnota obsahu plochy neeistuje (tj. hodnota osciluje a limita funkce F(c) vůbec neeistuje).

8 Definice nevlastního integrálu. druhu DEF. Je-li funkce f () spojitá na intervalu a, b), zatímco limita b funkce lim f () =, pak integrál tvaru f () d nazýváme nevlastní integrál druhého druhu (neohraničené funkce) a přiřazu- b a jeme mu hodnotu rovnu limitě b a f () d = lim c b c a f () d = L Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvažovaný nevlastní integrál je konvergentní, v opačném případě, tj. když limita je nevlastní (tj. L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál je divergentní.

9 Úloha 1: Vypočítejte nevlastní integrál 1 0 d 1 substituce: 1 1 c 1 c 1 = t 1 c t Fc () = d= d= dt = dt t = = t 1 1 d = dt 1 0 1, c 1 c 1 c = = 1 1 c. Vypočteme limitu pro c 1 c 1 c 1 : L= lim F( c) = lim 1 1 c = 1 0 = 1. Integrál je tedy konvergentní a platí: 1 d =

10 c 0 d 1 y y = c 0 c 1 c 1

11 1 0 d 1 = 1 y 1 y = 1 1 F (c) 0 c 1 c c

12 Úloha : Ověřte, že nevlastní integrál 1 lim 0 + = ( ) = +, d je divergentní: jde skutečně o nevlastní integrál. (Funkce, jejímž grafem je rovnoosá hyperbola, má asymptotu bez směrnice = 0.) Nejprve vypočteme určitý integrál na intervalu c,, 0 < c : c d = [ ln ] c = ln ln c. Dále vypočteme limitu pro c 0 + : lim ln c) = ln ( ) = +. c 0 +(ln

13 0 d y y = 1 ln ln c c

14 0 d y y = ln ln G(c) ln ln c c

15 Poznámka: Má-li integrovaná funkce f : y = f () více bodů, v nichž je funkce neohraničená, pak: Rozdělíme interval integrace na tolik dílčích intervalů, aby v každém z nich byl jediný bod v horní nebo v dolní mezi, ve kterém je limita nevlastní. Konvergují-li nevlastní integrály ve všech těchto dílčích intervalech, pak za jeho hodnotu na celém intervalu považujeme součet jeho hodnot na dílčích intervalech. Je-li nevlastní integrál divergentní aspoň na jednom dílčím intervalu, považujeme jej za divergentní na celém intervalu.

16 Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, s. ISBN Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 013 [cit ]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: < /pdf/print/ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, Kreml P., Vlček J., Volný P., Krček J., Poláček J., Matematika II [online]. 013 [cit ]. Dostupné z WWW: < Archiv autora