Digitální učební materiál

Transkript

1 Digitální učební materiál Číslo projektu Z..07/..00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Vitáka 4 Název DUMu Primitivní funkce přímá integrace Název dokumentu VY INOVAE 8 Pořadí DUMu v sadě 8 Vedoucí skupiny/sady Helena Hufová Datum vytvoření 4. března 0 Jméno autora Miluše Hrubá Ročník studia čtvrtý Předmět nebo tematická oblast Matematika Výstižný popis způsobu využití materiálu ve výuce Materiál lze využít k nácviku určování primitivní funkce, prostřednictvím IT může být použit i k samostatnému studiu žáků. Inovace: Sada příkladů s gradující obtížností

2 8. Naučme se integrovat Stejně jako u derivace funkce je nutným předpokladem toho, abychom se naučili integrovat - tedy abychom k dané funkci f našli takovou funkci F, jejíž derivace (v každém bodě nějaké množiny) byla funkce f - znalost základních vzorců a pravidel. Funkci F nazýváme funkcí primitivní k funkci f a používáme označení f d F. Protože víme, že derivace konstanty je nula, píšeme f d F, R, k dané funkci tedy eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší o konstantu. Aby funkce F eistovala, musí být funkce f v příslušném intervalu spojitá. Tabulka základních primitivních funkcí: 0 d, d d, n n d, 0;, n R n d ln, 0 e d e, a a d, a 0, a, ln a sin d cos, cos d sin, cos sin d tg, k, k, k Z d cotg, k, k, k Z Jsou-li f, gdvě funkce, ke kterým eistují funkce primitivní, pak f g d f d g d.

3 Je-li k libovolná konstanta, pak k f d k f d. k f k f... k f d k f d k f d... k f d. Obecně: n n n n Výhodou, kterou můžeme využít při řešení příkladů, je možnost zkoušky tedy to, že F f. Řešené příklady Ve všech případech určete k dané funkci funkci primitivní, tedy vypočtěte dané integrály v intervalech, ve kterých jsou obě funkce definovány:... d Využijeme pravidlo o integraci součtu i pravidlo o vytknutí konstanty, nejprve však výraz za integračním znakem upravíme: d 9 4 ln 9 4 d 4 9 d d d 4 ln 9 d Abychom mohli využít pravidlo o integraci rozdílu, vydělíme čitatele jmenovatelem, odmocniny zapíšeme ve tvaru mocniny s racionálním eponentem a budeme dělit mocniny se stejným základem. 8 d d d d cotg d

4 4.. Konstantu vytkneme před integrační znak a funkci za integračním znakem upravíme pomocí vzorců z trigonometrie. Vydělíme pak čitatele jmenovatelem a můžeme použít vzorců z tabulky. cotg cos sin d d d sin sin sin cos d sin d d cotg Výraz za integračním znakem nejprve umocníme a pak využijeme vzorců z trigonometrie. sin cos d sin sin cos cos d sin d cos e 0 0 d Využijeme pravidlo o integraci rozdílu, vytkneme konstantu a upravíme mocninu. Dostaneme e 0 0 d e d 0 0 d e ln0 e 0 0 ln0 Příklady k procvičení Vypočtěte:. d 6. 4e d. d 7. d d 8. d d cos 9. d cos 0. sin d sin d

5 Výsledky:. ln, ,. 4 4, 4. 9,., 6. 4e ln, tg, 0. cos cotg ln ln, 8., ln,, Zdroje: HRUBÝ, Dag a Josef KUBÁT. Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 997. ISBN Materiál je určen pro bezplatné užívání pro potřebu výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Dílo smí být dále šířeno pod licencí BY-SA (